高中数学课时分层作业22 方程的根与函数的零点

高中数学方程的根和函数的零点题型及解析一、知识点（总结）1、函数零点的定义对于函数 y = f(x) ，我们把使 f(x) = 0，的实数 x叫做函数 y = f(x) 的零点 .2、方程的根与函数的零点之间的关系（等价关系）方程 f(x) = 0 的实数根等价于函数 y = f(x) 的零点等价于函数 y = f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标 .3、一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a≠0) 的根与二次函数y = ax^2 + bx + c (a≠0) 的图像之间的关系：注：a>0!方程的实数根就是对应函数图像与 x 轴交点的横坐标 .4、结论方程 f(x) = 0 有实数根等价于函数 y = f(x) 的图像与 x 轴有交点等价于函数 y = f(x) 有零点5、函数零点判定定理如果函数 y = f(x) 在区间[a , b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)▪f(b) < 0="">,那么函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点，即存在c∈ (a , b) , 使得 f(c) = 0 ,这个c也就是 f(x) = 0 的根.注：①该定理能确定函数 f(x) 在 (a , b) 内有零点，但零点不一定唯一；②若函数 f(x) 在 [a , b] 上的图像是连续不断的，且是单调函数，f(a)▪f(b) < 0="">,则函数 f(x) 在区间 (a , b) 上有唯一的零点 .6、函数零点个数判断方法①几何法：作出函数的图像，找出零点；②代数法：求方程 f(x) = 0 的实数根 .注：“方程的根”与“函数的零点”尽管联系密切，但不能混为一谈！例：方程 x^2 - 2x + 1 = 0 在 [0 , 2] 上有两个相等的实数根，而函数 y = x^2 - 2x + 1 在 [0 , 2] 上只有一个零点！二、题型（总结）1、求下列函数的零点三、参考资料函数的连续性导数与微分。

学习资料方程的根与函数的零点[A组学业达标］1．函数f(x）＝x＋错误!的零点的个数为（)A．0B．1C．2 D．3解析：函数f（x）的定义域为{x|x≠0},当x〉0时，f(x)>0；当x<0时，f(x）<0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A.答案：A2．函数f（x）＝x＋ln x的零点所在的区间为（)A．(－1,0）B．(0,1)C．（1,2) D．(1,e）解析：法一：因为x〉0，所以A错．又因为f（x)＝x＋ln x在(0，＋∞）上为增函数，f(1)＝1>0，所以f（x）＝x＋ln x在（1，2)，（1，e）上均有f（x)>0,故C、D错．法二：取x＝错误!∈(0,1），因为f错误!＝错误!－1<0，f（1）＝1>0，所以f(x）＝x＋ln x 的零点所在的区间为（0,1)．答案：B3．对于函数f(x），若f（－1）·f(3）<0，则(）A．方程f(x）＝0一定有实数解B．方程f(x）＝0一定无实数解C．方程f（x)＝0一定有两实根D．方程f（x)＝0可能无实数解解析：∵函数f(x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管f(－1）·f(3）<0，但方程f （x)＝0在（－1，3）上可能无实数解．答案：D4．已知f（x)＝(x－a)（x－b）－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点,则实数a，b，α，β的大小关系可能是（)A．a〈α<b<βB．a<α〈β<bC．α<a〈b〈βD．α<a〈β〈b解析:∵α，β是函数f(x）的两个零点，∴f（α）＝f(β)＝0.又f（a)＝f（b）＝－2〈0，结合二次函数的图象（如图所示）可知a，b必在α，β之间．故选C.答案：C5．函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若f（1)＞0，f（2）＜0，则f(x）在（1,2）上的零点() A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有解析：若a＝0,则f（x)＝bx＋c是一次函数,由f(1）·f（2）＜0得零点只有一个;若a≠0，则f(x）＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点,则必有f（1）·f（2)＞0，与已知矛盾．故选C。

课时分层作业二十三方程的根与函数的零点（30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共30分)1。

已知函数f(x）=若f(f（0))=4a，则实数a等于（）A。

B. C.2D。

9【解析】选C。

由题知f(0）=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2。

2.设函数f(x）=，若f（m）=3,则实数m的值为（)A。

—2 B。

8 C.1 D.2【解析】选D。

因为当0<x〈2时,log2x<1，所以由f（m)=3得m ≥2,所以m2-1=3,解得m=2。

3.函数y=f（x)在区间［1，4]上的图象是连续不断的曲线,且f(1)·f(4）〈0，则函数y=f（x）（）A。

在(1, 4）内至少有一个零点B.在(1，4)内至多有一个零点C。

在(1，4)内有且只有一个零点D.在（1, 4）内不一定有零点【解析】选A。

由已知y=f（x）的图象在区间[1，4]上是连续不断的曲线,且f(1)·f（4)〈0,故在（1，4）内至少有一零点.4。

函数f(x）=—x3—3x+5的零点所在的大致区间是()A.(-2，0）B。

(0，1) C.(1，2）D。

(2,3)【解析】选C。

因为函数f(x)=—x3-3x+5是单调递减函数,又因为f(1)=—13—3×1+5=1>0，f(2）=—23-3×2+5=-9〈0,所以函数f（x）的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是（1,2）.5.已知x0是函数f（x)=2x+的一个零点.若x1∈（1，x0)，x2∈（x0，+∞）,则有（）A.f(x1)〈0，f(x2）<0B.f（x1）〈0,f(x2）>0C.f（x1）〉0，f(x2）<0D.f（x1）>0，f（x2)〉0【解析】选B。

因为x〉1时,y=2x，y=都是增函数，所以f（x)=2x+在(1，+∞)上是增函数，所以有且只有一个零点x0，根据零点存在性定理及函数增减性知，f（x1）<0，f（x2)〉0。

第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．4．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，－12 B ．0，12 C ．0,2 D ．2，－12 4．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________．三、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．413．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x 轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 作业设计1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac<0，∴a ≠0， ∴Δ＝b 2－4ac>0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A ，可能存在根； 对于选项B ，必存在但不一定唯一； 选项D 显然不成立．] 3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0， ∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4．C [∵f(x)＝e x ＋x －2， f(0)＝e 0－2＝－1<0， f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C [x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3. x>0时，f(x)＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f(1)＝－2<0，f(e 3)＝1>0，∵f(1)f(e 3)<0 ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 总之，f(x)在R 上有2个零点．]6．A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.]7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．]13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0 ∴12<k <23.。

高中数学方程的根与函数的零点练习题（附答案新人教A版必修1）高一数学方程的根与函数的零点练习题（附答案新人教A版必修1）一、选择题1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一的实根[答案] D2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x 1 2 3 4 5 6f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个[答案] B3．(2019～2019山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上() A．一定有零点 B．可能有两个零点C．一定有没有零点 D．至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6[答案] D[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式0，此方程无实数根，f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.在同一坐标系中画出y＝x3，x[1,2]与y＝5x＋5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．f(x)＝0在[1,2]上无零点．C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx 与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．D：∵f(1)＝e＋31－6＝e－30，f(2)＝e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点．5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和16 B．1和－16C．12和13 D．－12和－13[答案] B[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，a＝5，b＝6.g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－16. 6．(2019福建理，4)函数f(x)＝x2＋2x－3，x0－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] 令x2＋2x－3＝0，x＝－3或1；∵x0，x＝－3；令－2＋lnx＝0，lnx＝2，x＝e20，故函数f(x)有两个零点．二、填空题7．已知函数f(x)＝x＋m的零点是2，则2m＝________. [答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)＝0.2＋m＝0，解得m＝－2.2m＝2－2＝14.8．函数f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0的零点的个数为________．[答案] 2[解析] 当x0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－12(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0有2个零点．9．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－，＋)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？[解析] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．11．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x2＋4x－12x－2；(4)f(x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．[解析] (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－18或x＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为＝12－412＝－70，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)因为f(x)＝x2＋4x－12x－2＝x＋6x－2x－2，令x＋6x －2x－2＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log373，所以函数的零点为log373.(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2. 12．(2019～2019北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，m＋2＞0，f1＜0，解得－2＜m＜－12.第二种情况，m＋2＜0，f1＞0，此不等式组无解．综上，m的取值范围是－2＜m＜－12.。

课时作业(二十)方程的根与函数的零点[学业水平层次]一、选择题1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是()A．0B．1C．2D．3【解析】令log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是2，故选C.【答案】 C2．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】注意到f(－1)×f(0)＝12×(－1)＜0，因此函数f(x)在(－1，0)上必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3，故选D.【答案】 D3．函数f(x)＝ln x＋2x－8的零点所在区间为()A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)【解析】∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.又f(x)在(3，4)上连续，∴f(x)在区间(3，4)内有零点．【答案】 C4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有【解析】若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx ＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C.【答案】 C二、填空题5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．【解析】由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.【答案】(－∞，1)6．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．【解析】由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－1 2.【答案】0或－1 27．(2014·温州高一检测)根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.【解析】f(1)＝ln1－1＋2＝1f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0，f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0，f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0，f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0，所以f(3)·f(4)＜0.所以函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(3，4)内有一个零点，所以k＝3.【答案】 3三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x.(2)f(x)＝x2＋2x＋4.(3)f(x)＝2x－3.(4)f(x)＝1－log3x.【解】(1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 9．(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点．(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2.即函数f(x)的零点为－1与2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－1 8.所以a的取值范围是a≥－1 8.[能力提升层次]1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是() A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0【解析】根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．【答案】 C2．(2013·重庆高考)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【解析】∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．【答案】 A3．(2014·杭州高一检测)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．【解析】画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.【答案】a＜b＜c4．(2014·渭南高一检测)方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求实数k的取值范围．【解】因为方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，所以设f(x)＝x2－(k＋2)x ＋1－3k，画出函数的大致图象如图．据图象有f (0)＝1－3k >0，且f (1)＝－4k <0，且f (2)＝1－5k >0，所以0<k <15.所以实数k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪0<k <15.。

课时分层作业(二十二) 方程的根与函数的零点(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.] 2．函数f (x )＝2x－1x的零点所在的区间是( )【导学号：37102351】A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 B [由f (x )＝2x－1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－2<0，f (1)＝2－1＝1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0. ∴零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0D [当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x－1＝0，所以x ＝0；当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( )【导学号：37102352】A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有C [若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(b ，c )和(c ，＋∞)内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(a ，b )和(b ，c )内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内C [∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0， f (c )＝(c －a )(c －b )>0，∴f (x )的零点在分别位于(a ，b )和(b ，c )内．] 二、填空题 6．函数f (x )＝x －1ln xx －3的零点是________.【导学号：37102353】1 [令f (x )＝0，即x －1ln xx －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.]7．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 2 [令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0， ∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.]8．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是________.【导学号：37102354】(－3,0) [函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知⎩⎪⎨⎪⎧ f －2>0，f 0<0，f2<0，f3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a >0，a <0，a <0，3＋a >0，解得－3<a <0.]三、解答题9．判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点，从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.【导学号：37102355】[解] ①当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0得x ＝－1，符合题意；②当a >0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为开口向上的抛物线，且f (0)＝－1<0，对称轴x ＝12a >0，所以f (x )必有一个负实根，符合题意；③当a <0时，x ＝12a <0，f (0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－14，此时f (x )＝－14x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝0， 所以x ＝－2，符合题意．综上所述a 的取值范围是a ≥0或a ＝－14.[冲A 挑战练]1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和 3B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.]2．（2018·全国卷Ⅰ）9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]3．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．(0,4) [由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]4．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系是________.【导学号：37102357】a＜b＜c[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C 的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．[解](1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．。

活页作业(二十三) 方程的根与函数的零点知识点及角度难易度及题号基础中档稍难求函数的零点14、711 函数零点的所在区间29函数零点的个数35、810 二次函数的零点分布69121．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )A．1，－4 B．4，－1C．1,3 D．不存在解析：函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－1.答案：B2．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且函数f(x)＝3x＋x－2的图象在(0,1)上连续不断．答案：C3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x 1234567f(x)123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2个B．3个C．4个D．5个解析：由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.答案：B4．已知x0是函数f(x)＝2x－log13x的零点，若0<x1<x0，则f(x1)的值满足( ) A．f(x1)>0B．f(x1)<0C ．f (x 1)＝0D ．f (x 1)>0与f (x 1)<0均有可能解析：由于f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)<f (x 0)＝0. 答案：B5．方程lg x ＋x －1＝0有________个实数根．解析：由原方程得lg x ＝－x ＋1，问题转化为函数y ＝lg x 的图象与函数y ＝－x ＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图：由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根． 答案：16．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则a 的取值范围是________．解析：∵二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1的开口向上，又其一个零点大于1，另一个零点小于1.∴当x ＝1时，其函数值小于零，即：12－2a ×1＋a －1＜0，∴a ＞0.答案：a ＞07．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x 2＋x ＋2；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(3)f (x )＝3x ＋1－7；(4)f (x )＝log 5(2x －3)．解：(1)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(2)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝x ＋6x －2x －2，令x ＋6x －2x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(3)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点是log 373.(4)令log 5(2x －3)＝0， 解得x ＝2，所以函数的零点是2.8．函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：作出y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f (x )只有一个零点．故选B.答案：B9．若方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________. 解析：方程为log 3x ＋x －3＝0，设f (x )＝log 3x ＋x －3， ∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0， 即f (2)·f (3)<0，∴函数在(2,3)内存在零点，∴k ＝2. 答案：210．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．11．求函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出其简图． 解：令f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2＝0， 则有x 2(x －2)－(x －2) ＝(x ＋1)(x －1)(x －2)＝0， ∴函数f (x )的零点为－1,1,2.又f (0)＝2>0，根据函数零点的性质可知在区间(－1,1)内，f (x )>0；在区间(－∞，－1)内，f (x )<0；在区间(1,2)内，f (x )<0；在区间(2，＋∞)内，f (x )>0.其图象如图所示．12．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点， (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 解：(1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×－3＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝k －22－4×k 2＋3k ＋5≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β 2＝α＋β2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43，∴α2＋β 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509，即α2＋β2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤509，18.1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．。

必修一 3.1.1方程的根与函数的零点课堂练习： 1．函数()()()1ln 23x x f x x --=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()1ln 22,303x x x x f x x -->≠∴=≠-，即无零点，选A.考点：函数零点2．若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C 【解析】试题分析：函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则()()011<-f f ，即()()011<+-a a ，解得1a <-或1a > 故选：C ．考点：函数零点的判定定理.3. 设0x 是方程4ln =+x x 的解，则0x 属于区间（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4） 【答案】C考点：函数零点的定义及运用.4．关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的两根满足()()12110x x --<，则a 的取值范围是______． 【答案】()2,1-试题分析：由()()12,110x x --<，得方程有一根比1大的，另一根比1小的，令()()2212,f x x a x a =+-+-只需()10f <，求得21a -<<，故答案为()2,1-.考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、二次函数的图象与性质. 5．已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈.（1）若()()12f f -=,且函数()y f x x =-的值域为[)0,+∞,求函数()f x 的解析式; （2）若0c <,且函数()f x 在[]1,1-上有两个零点, 求2b c +的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+（2）222b c -<+<试题解析：（1）因为()()12,1f f b -=∴=-,因为函数()y f x x =-的值域为[)0,+∞,所以方程()0f x x -=有两个相等的实数根, 即220x x c -+=有等根, 故()2440,1,1c c f x x x ∆=-==∴=-+.（2）设()f x 的两个零点分别为12,x x ,所以()()()12f x x x x x =--,不妨设[)(]()()()12121,0,0,1,222x x f x x ∈-∈=--,且()(]()[)()()1222,3,21,2,22,6x x f -∈-∈∴∈,()242,222f b c b c =++∴-<+<.考点：二次函数值域，二次函数实根分布1．函数()32x f x x =+的零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,0- C ．()1,2 D ．()2,1-- 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，()()1303112(1)10,020202f f --=+-=-<=+=>，所以(1)(0)0f f -<，由零点的存在性定理可知，函数在区间()1,0-内有零点，故选B.考点：零点的存在性定理.2．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 【答案】B考点：函数零点3．已知关于x 的方程||10x e kx -+-=有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______. 【答案】(1,0)(0,1)-【解析】试题分析：关于x 的方程||10x e kx -+-=有2个不相等的实数根,即kx e x-=-1有两个不等的实数根，转化为xey -=和kx y -=1的图象有两个交点，由于两函数的图象均过点()1,0，故已有一个交点，又因为xey -=为偶函数，当0>x 时，xe y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，临界位置为直线kxy -=1与曲线相切，设切点坐标为()00,y x ，xey --='，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=--ke y e kx y x x00001，解的1,1,000===k y x ，故要使得有两个不相等的实数根，可得01<-<-k ，得()1,0∈k ，又因为xe y -=为偶函数，可得当0<x ，()0,1-∈k ，则k 的范围为(1,0)(0,1)-，故答案为(1,0)(0,1)-.考点：函数零点的个数.4．若函数()22x f x b =--有两个零点, 则实数b 的取值范围是 ． 【答案】()0,2 【解析】试题分析：由函数()22x f x b =--有两个零点，可得b x =-22有两个零点，从而可得函数22-=x y 函数b y =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，20<<b 时符合条件，故答案为：()0,2.考点：函数的零点.5．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 对任意x R ∈,都有()()4f x f x =+,且当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根, 求a 的取值范围.【答案】).【解析】试题分析：由()()4f x f x =+得4T =,作出图像如下.关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根, 就是函数()y f x =与()log 2a y x =+有三个不同的交点，即()())1,log 223,log 623a a a a >+<+<⇒∈.考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。

课时作业二十：方程的跟与函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．以下函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤11＋log 2x ，x >1，那么函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0C.12D ．03．函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)4．0＜a ＜1，那么函数y ＝|log ax |－a |x |零点的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或者2个或者3个5．方程|2x－1|＝a 有两个不等实根，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(1,2) C ．(0，＋∞) D ．(0,1)二、填空题 6．函数f (x )＝x －1ln xx －3的零点是________．7．假设方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，那么实数a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝3x＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，那么a ，b ，c 的大小关系是________.三、解答题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x x ≥02x x <0，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程)10．函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)假设f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)假设函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围．[才能提升]1．函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，那么方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )A．1 B．2C．3 D．03．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有以下判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)4．二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在以下条件下，务实数a的取值范围.(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。