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2.2 圆的一般方程A组1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,-1)B.C.(-1,2)D.解析:将圆的方程化为+(y+1)2=,即可得到圆心坐标为.答案:D2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0解析:能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程x2+y2-2x-4y+1=0化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,知圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有C符合.故选C.答案:C3x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是()A.B.C.D.解析:依题意应有所以于是m+n<.答案:A4.经过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程是()A.x2+y2-4y-6=0B.x2+y2-4x-4y-6=0C.x2+y2-4x-6=0D.x2+y2-4x+4y+6=0解析:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有解得故所求圆的方程是x2+y2-4x-6=0.答案:C5.方程x(x2+y2-4)=0与x2+(x2+y2-4)2=0表示的曲线()A.都表示一条直线和一个圆B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆C.都表示两个点D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点解析:x(x2+y2-4)=0⇒x=0或x2+y2-4=0,x2+(x2+y2-4)2=0⇒x=0且y=±2.故选D.答案:D6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为.解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y-2=0的距离d=.答案:7.动圆x2+y2-2x-k2+2k-2=0的半径的取值范围是.解析:由已知得半径r=,由于(k-1)2≥0,(k-1)2+2≥2,所以r≥,即r的取值范围是[,+∞).答案:[,+∞)8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.解析:由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2或-(舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=19C的圆经过点A(1,0),B(2,1),且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程.解:AB的中点为,且中垂线的斜率k=-1,∴AB的中垂线的方程为y-=-,令x=0,得y=2,即圆心为(0,2).∴圆C的半径r=|CA|=.∴圆的方程:x2+(y-2)2=5,即x2+y2-4x-1=0.10.已知点P在圆C:x2+y2-4x+3=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),点O的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得x=,y=,于是x0=2x,y0=2y.①∵点P在圆(x-2)2+y2=1上,∴点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,即(x0-2)2+=1.②把①代入②,得(2x-2)2+(2y)2=1.整理,得(x-1)2+y2=.∴点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=.B组1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点,则()A.D=0,E=0,F≠0B.D=0,E≠0,F=0C.D≠0,E=0,F=0D.D=0,E≠0,F≠0解析:圆心在y轴上,所以D=0,又圆与x轴相切于原点,所以F=0,E≠0.答案:B2.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为()A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)解析:∵r=,∴当S最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).答案:D3.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A. B.- C.3 D.-3解析:圆心为(k,0),在直线2x-y+3=0上,所以2k-0+3=0,所以k=-,故选B.答案:B4A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0答案:B5.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值是()A.-3B.3C.2D.8解析:圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=5-c,所以圆的圆心为P(2,-1),半径r=.因为圆与y轴交于A,B两点,满足∠APB=90°,所以r=2,解得c=-3.答案:A6.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a=.解析:若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是,则-=-,解得a=±.答案:±7x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.解析:x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d==5>r=3,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6.答案:68.一圆经过A(4,2)和B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.同理,圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E,由题设-D-E=2,①又点A,B在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0,③由①②③联立,解得D=-2,E=0,F=-12.即所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.9.已知一曲线上的点与定点O(0,0)的距离和定点A(3,0)的距离的比是,求此曲线的方程,并说明此曲线表示的图形.解:设点M(x,y)是曲线上的任意一点,则点M属于集合.由两点间的距离公式,得.化简得x2+y2+2x-3=0,①这就是所求的曲线方程.把方程①的左边配方,得(x+1)2+y2=4.所以曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.。
2.2圆的一般方程
A组
1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()
A.(1,-1)
B.
C.(-1,2)
D.
解析:将圆的方程化为+(y+1)2=,
即可得到圆心坐标为.
答案:D
2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()
A.x+y-1=0
B.x+y+3=0
C.x-y+1=0
D.x-y+3=0
解析:能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程x2+y2-2x-4y+1=0化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,知圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有C符合.故选C.
答案:C
3x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
解析:依题意应有
所以于是m+n<.
答案:A
4.经过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程是()
A.x2+y2-4y-6=0
B.x2+y2-4x-4y-6=0
C.x2+y2-4x-6=0
D.x2+y2-4x+4y+6=0
解析:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,
依题意有
解得
故所求圆的方程是x2+y2-4x-6=0.
答案:C
5.方程x(x2+y2-4)=0与x2+(x2+y2-4)2=0表示的曲线()
A.都表示一条直线和一个圆
B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆
C.都表示两个点
D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点
解析:x(x2+y2-4)=0⇒x=0或x2+y2-4=0,x2+(x2+y2-4)2=0⇒x=0且y=±2.故选D.答案:D
6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为.
解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y-2=0的距离d=.答案:
7.动圆x 2+y 2-2x-k 2+2k-2=0的半径的取值范围是
.解析:由已知得半径r=,由于(k-1)2≥0,(k-1)2+2≥2,所以r ≥,即r 的取值范围是[,+∞).
答案:[,+∞)
8.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是.
解析:由于圆心在第一象限且与x 轴相切,故设圆心为(a ,1),
又由圆与直线4x-3y=0相切,得=1,
解得a=2或-(舍去).
故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2
=1.
答案:(x-2)2+(y-1)2=1
9C 的圆经过点A (1,0),B (2,1),且圆心C 在y 轴上,求此圆的一般方程.
解:AB 的中点为,且中垂线的斜率k=-1,∴AB 的中垂线的方程为y-=-,
令x=0,得y=2,即圆心为(0,2).
∴圆C 的半径r=|CA|=.
∴圆的方程:x 2+(y-2)2=5,即x 2+y 2-4x-1=0.
10.已知点P 在圆C :x 2+y 2-4x+3=0上运动,求线段OP 的中点M 的轨迹方程.
解:设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标为(x 0,y 0),
点O 的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得x=,y=,
于是x 0=2x ,y 0=2y.①
∵点P在圆(x-2)2+y2=1上,
∴点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,
-2)2+=1.②
即(x
把①代入②,得(2x-2)2+(2y)2=1.
整理,得(x-1)2+y2=.
∴点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=.
B组
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点,则()
A.D=0,E=0,F≠0
B.D=0,E≠0,F=0
C.D≠0,E=0,F=0
D.D=0,E≠0,F≠0
解析:圆心在y轴上,所以D=0,又圆与x轴相切于原点,所以F=0,E≠0.
答案:B
2.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为()
A.(1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(0,-1)
解析:∵r=,
∴当S最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).
答案:D
3.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()
A. B.- C.3 D.-3
解析:圆心为(k,0),在直线2x-y+3=0上,
所以2k-0+3=0,所以k=-,故选B.
答案:B
4A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是()
A.4x-3y-2=0
B.4x-3y-6=0
C.3x+4y+6=0
D.3x+4y+8=0
答案:B
5.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值是()
A.-3
B.3
C.2
D.8
解析:圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=5-c,
所以圆的圆心为P(2,-1),半径r=.
因为圆与y轴交于A,B两点,满足∠APB=90°,
所以r=2,解得c=-3.
答案:A
6.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a=.
解析:若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是,
则-=-,解得a=±.
答案:±
7x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差
是.
解析:x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d==5>r=3,
∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6.
答案:6
8.一圆经过A (4,2)和B (-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程.解:设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x 2+Dx+F=0,所以圆在x 轴上的截距之和为x 1+x 2=-
D.
同理,圆在y 轴上的截距之和为y 1+y 2=-E ,
由题设-D-E=2,①
又点A ,B 在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0,②
1+9-D+3E+F=0,③
由①②③联立,解得D=-2,E=0,F=-12.
即所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0.
9.已知一曲线上的点与定点O (0,0)的距离和定点A (3,0)的距离的比是,求此曲线的方程,并说明此曲线表示的图形.
解:设点M (x ,y )是曲线上的任意一点,则点M 属于集合.
由两点间的距离公式,得.
化简得x 2+y 2
+2x-3=0,①
这就是所求的曲线方程.
把方程①的左边配方,得(x+1)2+y 2=4.
所以曲线是以C (-1,0)为圆心,2为半径的圆.。
