湖北省荆州中学2019-2020学年高二下学期第四次周考数学(文)试题Word版含答案

湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ） A ．10B ．10 C ．2 D ．15 【答案】B 【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C D '所成角的余弦值. 【详解】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA '===,则()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0E 、()0,0,2C '，()0,2,1D ，()1,1,0CE =、()0,2,1C D '=-，设异面直线CE 与C D '所成角为θ， 则10cos 25CE C D CE C Dθ'⋅===⋅'∴异面直线CE 与C D '10故选：B 【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.2．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2C ．D【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi3．已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．53π B ．5π C ．253πD ．25π【答案】C 【解析】 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为233r ==，设正三棱柱的高为h ，由1232⨯=，得h =∴外接球的半径为R ==∴外接球的表面积为：2252544123S R πππ==⨯=． 故选C ．【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．4．若实数满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1C．10D．12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.5．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．6．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设2()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限. 【详解】因为函数()y f x =的图象过原点， 所以可设2()(0)f x ax bx a =+≠，()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>,2240,0244b ac b b a a a--->=>， 则函数2()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限，故选A. 【点睛】本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.7．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立。

湖北省荆门市2018-2019学年高二下学期第四次周考数学（文）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。

每小题只有一项是最符合题目要求的） 1、已知复数2z i =-，则复数z z ⋅的值为（ ）A ．3B ．5C ．D 2、已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＞0，那么命题¬p 为（ ） A ．∃x ∈R ，2x ＜0 B ．∀x ∈R ，2x ＜0 C ．∃x ∈R ，2x ≤0 D ．∀x ∈R ，2x≤03、“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、经过点)3,2(P 且与直线023=+-y x 平行的直线为 （ ）A ．033=+-y xB ．033=--y xC ．033=++y xD ．033=-+y x5、已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过点（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（1.5，0）D ．（1.5，4）6、已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为（ ）A.B.C.D. 47、直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8B.4C.22D.42 8、如图所示的程序框图中，输出S 的值为（ ）A ．10B ．12C ．8D ．159、在（0,1）内任取一个实数b,则使得方程x 2-x+b=0有实数根的概率为( )10、函数334y x x =-（[0,2]x ∈）的最大值是（ ）A ．1B ． 2C ．0D ．-111、设点P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线的离心率为（） AB．2CD．212、已知函数，若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围为（ ） A.B.C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13、某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.14、如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x+y 的最大值为15、由图（1）有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由图（2）有体积关系：P A B C P ABCV V '''--＝ .C ′16.当(0,1)x ∈时，函数()1x f x e =-的图像不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，70分）17、（10分）已知曲线C 的极坐标方程为ρ﹣4cos θ=0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|．18、(本小题满分12分) 已知函数()|21|f x x =-．（Ⅰ）若不等式)012)21(>+≥+m m x f （的解集为(,2][2,)-∞-+∞，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式()2|23|2y y af x x ≤+++，对任意的实数x ，y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．19、(本小题满分12分)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？20、(本小题满分12分)如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ， E 是PC的中点．.求证：（Ⅰ）PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE ；, AB=2a ,求三棱锥E-BCD 的体积.21、(本小题满分12分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线l ：y =kx +m （k ∈R ），使得0OA OB ⋅=成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．22、(本小题满分12分) 21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln ,f x ax bx x a b R =+-∈.（1）当1,3a b =-=时, 求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值;（2）设0a >,且对于任意的()()0,1x f x f >≥,试比较ln a 与2b -的大小.湖北省荆门市2018-2019学年高二下学期第四次周考数学（文）试题参考答案一、选择题【答案】A【解析】解：对函数求导可得：，且： ，，则导函数单调递增，而 ，故 ，由存在性的条件可得关于实数 的不等式：，解得：.二、填空题13. 6 ， 30 ， 10 14 . -1 ，15. PA PB PC PA PB PC '''⋅⋅⋅⋅， 16. a ≥2-e三、解答题17 . （1）曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，即可得出曲线C 的直角坐标方程；由直线l 过点M （1，0），倾斜角为，可得参数方程．（2）把直线l 代入圆的直角坐标方程x 2+y 2﹣4x=0，化简后利用韦达定理可求t 1+t 2，t 1t 2的值，由|MA|+|MB|=|t 1﹣t 2|即可求值得解．【解答】解：（1）对于C ：由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，∴x 2+y 2=4x ，可得圆C 的圆心为（2，0），半径为2，直线l 过点M （1，0），倾斜角为，参数方程为（t 为参数）；（2）设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程x 2+y 2﹣4x=0，化简得t 2﹣﹣3=0，∴t 1+t 2=，t 1t 2=﹣3，∴|MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==．18 解：【答案】（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集，再根据解集相等关系解得．（Ⅱ）最小值为4．19解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．-------------3分（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35， [70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5-----------------------6分（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人， 第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ------------9分设第3组的3位同学为A 1，A 2，A 3，第4组的2位同学为B 1，B 2，第5组的1位同学为C 1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下： （A 1,A 2），（A 1,A 3），（B 1,B 2），（A 2,A 3），（A 1,B 1），（A 1,B 2），（A 2,B 1），（A 2,B 2），（A 3,B 1），（A 3,B 2），（A 1,C 1），（A 2,C 1），（A 3,C 1），（B 1,C 1），（B 2,C 1）， 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A 1,C 1），（A 2,C 1），（A 3,C 1），（B 1,C 1），（B 2,C 1），共5种．…所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为--------------12分20证明：（I ）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE ∥AP ， 又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ．∴PA ∥平面BDE ． ------4分 （II ）∵PO ⊥底面ABCD ，PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且AC ∩PO=O ∴BD ⊥平面PAC ， -----------6分而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ---8分 （III ）∵ PB 与底面所成的角为600,且PO ⊥底面ABCD ，∴∠PBO=600,∵ AB=2a, ∴BO=2 a PO=6 a, --------10分∴E 到面BCD 的距离= 2∴三棱锥E-BCD 的体积V=23123a ⨯= -------12分21解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为（a ＞b ＞0），半焦距为c ．依题意，由右焦点到右顶点的距离为1，得a ﹣c=1，解得c=1，a=2． ∴b 2=a 2﹣c 2=3．------------∴椭圆C的标准方程是．-------------------------------------4分（Ⅱ）存在直线l ，使得•=0成立．理由如下：由，得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．△=（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，化简得3+4k 2＞m 2．--------6分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，．若•=0，则x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=0，得，即，化简得，7m 2=12+12k 2，将代入3+4k 2＞m 2中，得，解得． -------------------------------9分又由7m 2=12+12k 2≥12，得，即或． ---------11分∴实数m 的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．--------------12分22．【答案】(1)()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2ln 2-；(2) ln 2a b <-（Ⅱ）由题意，函数f （x ）在x=1处取到最小值，又xbx ax x b ax x f 1212)(2'-+=-+=设0)('=x f 的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x 不妨设0,021><x x ，则)(x f 在),0(2x 单调递减，在),(2+∞x 单调递增，故)()(2x f x f ≥， 又()(1)f x f ≥，所以12=x ，即21a b += 2 ，即12b a =-令()24ln g x x x =-+ ，则()14'x g x x -= 令()'0g x = ，得14x = , 当104x << 时，()()'0,g x g x > 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当 x14x <时， ()()'0,g x g x <在（∞+，41）上单调递减；因为()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭故()0g a < ，即24ln 2ln 0a a b a -+=+< ，即ln 2a b <- .。

荆州中学2017级高三年级第四次考试数学（文）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B =（）A. {|12}x x <≤B. {|13}x x <<C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x << 2.已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<4.已知()1in 32s πθπθ⎛-<=⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ）A.9B.3 C. 9D.95.设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A. 2B. 2-C. 2±D. 06.设函数()()3222f x x a x x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,3)处的切线方程为（ ）A. 25-=x yB. 2+=x yC. 58y x =-+D. 4+-=x y7将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A.43πB.3 C. D.6π 8.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增，则满足()()211f x f -<的x 取值范围是（ ） A. (1,0)- B. (0,1)C. (1,2)D. (1,1)-9.已知()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A.B.C.D.10.下列四个结论：①命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<”的否定是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥”；②若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0α<时，幂函数y x α=在区间()0,+∞上单调递减. 其中正确的是（ ） A.①④B. ②③C. ①③D. ②④11.设P ，Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的动点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）A. 246+ C. 27+ D. 2612.已知奇函数()()f x x R ∈的导函数是()f x '，当0x >时，()()03xf x f x '+>，且(2)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. (,2)(0,2)-∞-B. (,2)(2,2)-∞--C.(2,0)(2,)-+∞ D. (0,2)(2,)+∞二．填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若[)0,x π∈，则满足sin 2x <的x 的取值范围为______________. 14.若2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f 等于．15已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________. 16设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是.三．解答题：共70分。

湖北省荆州市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在四边形ABCD 中，对角线 AC ⊥BD ，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边AD 、AB 、BC 、CD 的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．20B ．15C ．30D ．602．下列事件是必然事件的是( )A ．任意作一个平行四边形其对角线互相垂直B ．任意作一个矩形其对角线相等C ．任意作一个三角形其内角和为360︒D ．任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分3．sin45°的值等于（ ）A ．2B ．1C ．32D ．224．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．()2y x 12=-+B ．()2y x 12=++C ．2y x 1=+D ．2y x 3=+ 5．如图，反比例函数k y x=（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知菱形ABCD ，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A．16 B．12 C．24 D．187．下列计算正确的有（）个①（﹣2a2）3＝﹣6a6②（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 ③（x﹣2）2＝x2﹣4 ④﹣2m3+m3＝﹣m3⑤﹣16＝﹣1．A．0 B．1 C．2 D．38．九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中第一小组对应的圆心角度数是（）A．B．C．D．9．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为()A．4 B．.5 C．6 D．810．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）A．613B．513C．413D．31311．如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的主视图是( )A．B．C．D．12．如图，直角边长为2的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018=_____个单位长度．14．如图，E是▱ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，那么DF=__．15．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为____．16．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．17．如果a2﹣b2=8，且a+b=4，那么a﹣b的值是__．18．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（__________）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，垂足为O，P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（1）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ=15°，求∠AQE的大小；（2）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ=65°，求∠AQE的大小．20．（6分）（5分）计算：．21．（6分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．(1)求证：OP=OQ；(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．22．（8分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．23．（8分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．“从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B求证：△ADF ∽△DEC ；若AB=8，AD=63，AF=43，求AE 的长．25．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ．（2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =．（3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ．所以：线段________就是所求的线段x ．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=u u u r u r ，试用向量πu r 表示向量DB uuu r．26．（12分） 截至2018年5月4日，中欧班列（郑州）去回程开行共计1191班，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在河南采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A 型商品的件数是用1000元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价少20元，已知A 型商品的售价为160元，B 型商品的售价为240元，已知该客商购进甲乙两种商品共200件，设其中甲种商品购进x 件，该客商售完这200件商品的总利润为y 元（1）求A 、B 型商品的进价；（2）该客商计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？定商场最多购进120件，若客商保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该客商获得最大利润的进货方案．27．（12分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：求被调查的学生人数；补全条形统计图；已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH是矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【详解】∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF=12BD=1．同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=12AC=5，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．故选B．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（1）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．2．B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生，是随机事件，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生，是必然事件，故本选项正确；C、三角形的内角和为180°，所以任意作一个三角形其内角和为360 是不可能事件，故本选项错误；D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生，是随机事件，故选项错误，故选：B．【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【详解】解：sin45°，故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．4．C【解析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】∵抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x 2+2-1，即y=x 2+1．故选C ．5．C【解析】【分析】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k 值．【详解】由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则OCE OAD kkS S 22∆∆==，，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG =|k|．又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴S 矩形ABCO =4S □ONMG =4|k|，∵函数图象在第一象限，k ＞0， ∴k k 94k 22++=． 解得：k=1．故选C ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6．A【解析】【分析】正方形ACEF的周长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4，∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为：4AC=1．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．C【解析】【分析】根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解．【详解】①（﹣2a2）3=﹣8a6，错误；②（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，错误；③（x﹣2）2=x2﹣4x+4，错误④﹣2m3+m3=﹣m3，正确；⑤﹣16=﹣1，正确．计算正确的有2个．故选C．【点睛】考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．8．C【解析】试题分析：由题意可得，第一小组对应的圆心角度数是：×360°=72°，故选C．考点：1.扇形统计图；2.条形统计图．9．C【解析】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得AB DEBC EF=,即123EF =，解得EF=6，故选C.10．B【解析】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有4个情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：513．故选B．11．C【解析】A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.【点睛】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.12．B【解析】【分析】先根据等腰直角三角形斜边为2，而等边三角形的边长为3，可得等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况，进而得到S关于t的图象的中间部分为水平的线段，再根据当t=0时，S=0，即可得到正确图象【详解】根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2，斜边上的高为1，而等边三角形的边长为3，高332完全处于等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S关于t的图象的中间部分为水平的线段，故A，D选项错误；当t＝0时，S＝0，故C选项错误，B选项正确；。

荆州中学、宜昌一中2019年秋季学期高二期末联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数231iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A. 12-B. 12i - C. 52D.52i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及复数的概念即可求解.【详解】()()()()231231511122i i i z i i i i +++===-+--+，故复数的虚部为52， 故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的概念，属于基础题. 2.(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-，若a //b ,则m n +=（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理即可求解.【详解】由a //b ,且(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-， 则存在非零实数λ使得λa b =，即()2301m n λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得6m =，1n =，所以7m n +=. 故选：B【点睛】本题考查了空间向量共线定理，需掌握向量共线定理的内容，属于基础题.3.椭圆2218x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ）A. 12B. 4C. 12或4D. 10或6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程222a b c =+即可求解.【详解】因为双曲线的焦距为24c =，则2c =， 由222a b c =+，当焦点在x 轴上时， 即28212m =+=，解得12m = 当焦点y 轴上时，即282m =+，解得4m =.故4m =或12. 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，需熟记,,a b c 之间的关系，属于基础题. 4.曲线31233y x x =-+在点（1，43）处的切线的倾斜角为（ ）A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】D 【解析】 分析】 首先对函数31233y x x =-+求导，求出()1f '的值，根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由31233y x x =-+，则22y x '=-， 所以21121x y ==-=-'，所以切线的斜率为1-，由tan 1k α==-，所以34πα=， 故选：D【点睛】本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 5.已知α，β是相异两平面；,m n 是相异两直线，则下列命题中假命题的是 （ ） A. 若m n ，m α⊥，则n α⊥ B. 若m α⊥，m β⊥，则αβ∥ C. 若m α，n αβ=，则m nD. 若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，由直线与平面垂直的判定定理可得真假； 在B 中，由平面与平面平行的判定定理可得真假； 在C 中，m 与n 平行或异面；在D 中，由平面与平面垂直的判定定理可得真假．【详解】解：在A 中：若m n ，m α⊥，则由直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，故A 正确； 在B 中：若m α⊥，m β⊥，则由平面与平面平行的判定定理得αβ∥，故B 正确； 在C 中：若m α，n αβ=，则m 与n 平行或异面，故C 错误；在D 中：若m α⊥，m β⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6.数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，则2020S 的值为（ ） A. 6 B. 12C. 2020D. 6060【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断数列{}n a 为等差数列，由函数的零点与方程根的关系可得220196a a +=， 再由等差数列的性质以及等差数列的前n 和的公式即可求解. 【详解】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，∴数列{}n a 为等差数列，又22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，即22019,a a 是方程2650x x -+=的两个根，220196a a ∴+=，()()1202022019202020202020606022a a a a S +⋅+⋅∴===，故选：D【点睛】本题主要考查了等差中项、函数与方程的关系、等差数列的性质以及前n 和的公式，属于基本知识的考查，属于基础题.7.平面直角坐标系内，到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】A 【解析】【分析】根据已知判断点A 是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项，据此解答此题，此题属于基础题. 【详解】由题意，点(2,3)A 在直线:280l x y +-=， 即动点到点A 的距离与动点到直线l 的距离相等， 点(2,3)A 满足直线:280l x y +-=方程， 所以动点的轨迹是一条过A 与直线垂直的直线. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题.8.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别,A B ,O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程为（ ） A. ()()222+1=5x y -- B. ()()22+2++1=20x y C. ()()224+2=5x y -- D. ()()22+4++2=2x y【答案】A 【解析】 【分析】由题意知OA PA ⊥，BO PB ⊥，四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP ，AOB ∆外接圆就是四边形AOBP 的外接圆.【详解】由题意知，OA PA ⊥，BO PB ⊥，∴四边形AOBP 有一组对角都等于90， ∴四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP ，OP 的中点为()2,1，OP =∴四边形AOBP 的外接圆方程为()()222+1=5x y --，∴AOB ∆外接圆的方程为()()222+1=5x y --.故选：A【点睛】本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 9.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点0(2,)M y 在抛物线C 上，M 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M 的半径为（ ）A.23B.43C.83D.163【答案】C 【解析】 【分析】依据图像运用抛物线的定义及直线与圆相切，可得22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求出p ，进而得到M 的半径． 【详解】如图所示，连接ME ，依题意ME l ⊥，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ， 在Rt MFH ∆中，||2||MF FH =， 由抛物线定义可得||||ME MF =， 则22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得43p =， 故M 的半径为8223p +=， 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与圆相切，考查逻辑推理，数学运算的核心素养，属于中档题． 10.如图，正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为( )A 2B.12【答案】C 【解析】 【分析】设正方形边长为a ，AC 和BD 的交点为O ，过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E ,则二面角B CD A --就是BEO ∠，由平面BAC ⊥平面DAC ，在BEO ∆中即可求解.【详解】设正方形边长为a ，AC 和BD 的交点为O ， 过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E , 则二面角B CD A --的平面角就是BEO ∠，因2AO a=，12OE a =，且平面BAC ⊥平面DAC ，BO AC ⊥， 所以BO OE ⊥，所以222234BE BO OE a =+=，即BE =，所以cos 3aOE BEO BE ∠===， 故选：C【点睛】本题主要考查面面角，解题的关键是作出二面角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题..11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos b c B C a +=+，8sin bcA=，则ABC ∆的周长的最小值为( )A. 3B. 3+C. 4D. 4+【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角求出角90A =，从而可求出8bc =，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为cos cos b c B C a +=+，根据正弦定理可得sin sin cos cos sin B CB C A+=+， 所以()()sin sin sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+， 所以cos sin cos sin 0A C A B +=，即()cos sin sin 0A C B +=， 在ABC ∆中，sin sin 0C B +≠，故cos 0A =，90A ∴=sin 1A =，则8bc =，所以4a b c b c ++=+≥+当且仅当b c =时取等号，综上ABC ∆的周长的最小值为4+. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理以及基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题.12.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P Q 、均位于第一象限，且212,?0QP PF QF QF ==，则双曲线C 的离心率为（ ）A.1 B. C. 1 D. 1【答案】A 【解析】 设12(,),(,0),(,0)b Q t t F c F c a -，则12(,),(,)b bFQ t c t F Q t c t a a=+=-，由题设120QF QF ⋅=可得222220b t c t a-+=，解之得t a =，故(,)Q a b ，又由2QP PF =可知点P 是2QF 中点，则(,)22a c b P +，代入双曲线方程可得22()1144a c a +-=，即22()54a c a +=，所以1e =，应选答案A ． 点睛：本题将向量与圆锥曲线的几何性质有机整合在一起，旨在检测双曲线的标准方程与焦点、渐近线、离心率等几何性质．求解时充分借助题设条件，探求三点2,,P Q F 之间的关系，运用代点法将点(,)22a c bP +代入双曲线方程建立关于离心率的方程，通过解方程使得问题获解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分;把答案填在对应题号的横线上.）13.如图，已知平行四边形ABCD 中，04,3,60AD CD D ==∠=,PA ⊥平面ABCD ，且6PA =，则PC =__________.【答案】7 【解析】 【分析】由向量的加减运算法则，可得PC PA AD DC =++，将其代入2PC PC PC =⋅中计算；结合向量的数量积的运算，即可求出2PC 的值，进而得出PC 的值.【详解】因为PC PA AD DC =++，所以()22PC PC PC PA AD DC=⋅=++222222PA AD DC PA AD PA DC AD DC =+++⋅+⋅+⋅ 2226432cos120611249AD DC =+++⋅=-=，因此7PC =， 故答案为：7【点睛】本题是一道有关向量的题目，解题的关键是掌握向量的数量积公式，属于基础题.14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，且55a =，则1232a a +的最小值为______. 【答案】245【解析】 【分析】根据21n n n a a a ++=+，且55a =，求得21325a a +=，从而可得2132155a a +=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】21n n n a a a ++=+，且55a =，321a a a ∴=+， 432212a a a a a =+=+， 54321325a a a a a ∴=+=+=，所以2132155a a +=， 数列{}n a 的各项均为正数，120,0a a ∴>>，∴2121121212394323212122455555255a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 当且仅当2132a a =时，即154a =，256a =取等号，故1232a a +最小值为245. 故答案为：245【点睛】本题主要考查数列的递推关系、基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题.15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点，且AB 4=，点D 为线段AB 的中点，对于直线l :(1)y k x =-上任-点P ，都有1PD >，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】34k > 【解析】的【分析】由题意可求得1CD =，设C 到直线l :(1)y k x =-的距离为d ，由已知可知2>d ，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】根据题意可得4AB ==，解得1CD =，其中()1,1C -，设C 到直线l :(1)y k x =-的距离为d ，则11d ->，即2d =>，解得34k > 故答案为：34k > 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.16.若点P 是椭圆22:12516x y C +=上任意一点，点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+______. 【答案】941【解析】【分析】 首先利用两角和与差的公式以及同角三角函数的关系将cos()cos()αβαβ-+化简成1tan tan 1tan tan αβαβ+-，然后设出点P ，求出直线PA 、PB 斜率，再将椭圆方程代入化简即可求解. 【详解】由cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin si 1n tan tan 1tan tan αβααβαβαβαβαββαβ+--+==+-， 设点(),P x y ，由()0,4A ，()0,4B -，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β， 所以4tan y x α-=，4tan y xβ+=， 所以2222441cos()1644cos()161y y x y x x y y x y x x αβαβ-++⋅-+-==-++-+-⋅，又2212516x y +=可得2212516y x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，代入上式可得 22222222252516cos()1691625cos()1641251616y y x y x y y y αβαβ-+--+-===+-+--+， 故答案为：941【点睛】本题主要考查了椭圆的性质、直线的斜率、两角和与差的公式以及同角三角函数的关系，综合性比较强，属于中档题.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.若圆M 的方程为22(1)(4)4x y -+-=，ABC ∆中，已知(7,2)A ,(4,6)B ,点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程；（2）求ABC ∆面积的最小值．【答案】（1）22(4)(3)1x y -+-=；（2）4【解析】【分析】 （1）设00(,),(,)D x y C x y ，根据中点坐标公式得出002722x x y y =-⎧⎨=-⎩，由相关点法即可求出点D 的轨迹方程； （2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）设00(,),(,)D x y C x y 有000072722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩， 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=，即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.（2）计算得5AB =, 直线AB 为43340x y +-=,点(1,4)到直线AB 的距离412341855d +-==,∴点C 到直线AB 的最小距离为188255-= min 18()5425ABC S ∆∴=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.18.设向量()2,sin a θ=，(1,cos )b θ=r ，其中θ为锐角.（1）若94a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （2）若a ∥b ，求22sin sin cos cos θθθθ+-的值.【答案】（1（2）1 【解析】【分析】 （1）利用向量数量积的坐标运算以及同角三角函数的平方关系，结合θ为锐角即可求解.（2）根据向量共线的坐标表示可得tan 2θ=，再由同角三角函数的商的关系以及齐次式即可求解.【详解】（1）由92sin cos 4a b θθ⋅=+⋅=, 得1sin cos 4θθ=, 213(sin cos )12sin cos 122θθθθ+=+=+=, sin cos θθ+=（2）由//a b 得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=,原式=222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθθ+-+-=++22221121+-==+ 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算以及向量共线的坐标表示，考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.19.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ,点P 在椭圆C 上，124PF PF +=，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线3y =+相切. （1）求椭圆C 的方程； .（2）若直线:=l y kx 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ．【答案】（1）22143x y +=；（2）6k =± 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义以及点到直线的距离公式即可求出,a b ，从而求得椭圆的方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，再由题意可得0OA OB ⋅=，将两根之和、两根之积代入即可求解.【详解】（1）点(0,0)30y -+=的距离为d ==,得b = 由1242PF PF a +==得2a =,椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）联立22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，设1122(,)(,)A x y B x y ,得22(43)40k x ++-=,12243x x k k +=-+ ,122443x x k -=+, 由题意可知：0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=,即12123)0x x +++=,得12123)90x x x x +++=,代入解得21,66k k ==±即为所求. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =,PA PD ⊥，AD CD ⊥，060BAD ∠=，,M N 分别为,AD PA 的中点.（Ⅰ）证明：平面BMN ∥平面PCD ；（Ⅱ）若4,AD CD ==（1）求平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值；（2）求点M 到平面BCP 的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1（2 【解析】【分析】（Ⅰ）证出BM CD P ，MN PD P ，利用面面平行的判断定理即可证明.（Ⅱ）（1）以M 为坐标原点，,,MB MD MP 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系M xyz -，分别求出平面BMN 的一个法向量、平面BCP 的一个法向量，利用法向量的数量积求出二面角的夹角.（2）由平面BCP 的法向量，(0,0,2)MP =，根据数量积的几何意义即可求解.【详解】（Ⅰ）连接,,60,BD AB AD BAD ABD =∠=︒∴为等边三角形， M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥,,,AD CD CD BM ⊥⊂平面ABCD ，BM CD P ,又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，BM ∴平面PCD ,,M N 分别为,AD PA 的中点，MN PD ∴P ,又MN ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ，MN ∴平面PCD .又,BM MN ⊂平面,BMN BM MN M =，∴平面BMN P 平面PCD .（Ⅱ）（1）连接PM ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =，PM ⊂平面PAD ，,PM AD PM ⊥∴⊥平面ABCD .又,,,BM AD MB MD MP ⊥∴两两互相垂直.以M 为坐标原点，,,MB MD MP 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -.4,AD CD ==，则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1,1),M P A N B C --，设平面BMN 的一个法向量为111(,,)m x y z =，平面BCP 的一个法向量为222(,,)n x y z =， (23,0,0),(0,1,1)MB MN ==-∴由00m MB m MN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1110y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴取(0,1,1)m =,(3,2,0),(2BC BP =-=-，∴由00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴取(2,3,2n =，3cos m n m n mn ⋅+∴<⋅>=== ∴平面BMN 与平面BCP 成锐二的余弦值为38（2）面BCP 的法向量为(2,3,2n =,(0,0,2)MP=, 22MP nd n ⋅===. 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理、空间向量在求二面角、点到面的距离中的应用，属于中档题. 21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，92,*2n n n S a n N =-∈,32n n nb a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意,m n N *∈，不等式m n S b λ>恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）证明见解析，13322n n n a -=+⋅；（2）存在，272λ< 【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系可得1922n n n a a -=-，再由等比数列的定义即可证出，利用{}n b 为等比数列，由等比数列的通项公式求出n b ，进而可求得n a .（2）利用等比数列的前n 项和公式，求出m S ，进而求出m S 的最小值，根据n b 的通项公式求出n b 的最小值，由min ()m n S b λ<⋅即可求解.【详解】（1）当2n ≥时,111992(2)22n n n n n n n a S S a a ---=-=--- , ∴1922n n na a -=-， 11111393222223622n n n n n n n n n n n a a b b a a --------===--.∴数列{}n b 为公比为2的等比数列. 当1n =时，111992,22s a a =-=，11332b a =-=,13322n n n n b a -∴=⋅=- , 13322n n n a -∴=+⋅. （2）011121113()3(222)222m m m S -=⋅+++++++ 011(1)2(12)3223332112212m m m m --=⋅+⋅=⋅---, 假设存在实数λ，对任意*,,m n m n N S b λ∈>函数3322mm m S =⋅-，有min 19()2m S S ==， 132n n b -=⋅ , min 1()3n b b ==， min 27()2m n S b λ∴<⋅=即为所求 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.22.已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）y x =；（2）证明见解析，定点(0,1)．【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用“点差法”确定1k 的值，从而求出直线的方程；（2）求出直线MN 的方程，利用韦达定理以及121k k +=探究直线过哪个定点.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =①，2222y x =②．①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y += 所以，21121212=1y y k x x y y -==-+． 又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =；（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-，亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=． 所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-= 于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=． 同理，12221N k k x k -=，21N y k =． 易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭， 即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1．【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.。

湖北省荆州市2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）2．二次函数y=-x2-4x+5的最大值是（）A．-7 B．5 C．0 D．93．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣4B．5×10﹣4C．5×10﹣5D．50×10﹣34．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（）A3B．5C7D．25．在海南建省办经济特区30周年之际，中央决定创建海南自贸区（港），引发全球高度关注．据统计，4月份互联网信息中提及“海南”一词的次数约48500000次，数据48500000科学记数法表示为（）A．485×105B．48.5×106C．4.85×107D．0.485×1086．如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线l：y＝﹣12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点D位于直线y＝﹣2与x轴之间的区域（不包括直线y＝﹣2和x轴），则l与直线y＝﹣1交点的个数是（）A．0个B．1个或2个C．0个、1个或2个D．只有1个7．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180°8．某校为了了解七年级女同学的800米跑步情况，随机抽取部分女同学进行800米跑测试，按照成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，绘制了如图所示统计图. 该校七年级有400名女生，则估计800米跑不合格的约有( )A．2人B．16人C．20人D．40人9．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（）A．主视图是中心对称图形B．左视图是中心对称图形C．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形D．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形10．如图1 是某生活小区的音乐喷泉，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m ，此时距喷水管的水平距离为 1 m ，在如图 2 所示的坐标系中，该喷水管水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是（ ）A ．()213y x =--+ B ．()2213y x =-+ C ．()2313y x =-++D ．()2313y x =--+11．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠B=30°．动点P 从点B 出发，沿 B-C-D 的路线向点D 运动．设△ABP 的面积为y(B 、P 两点重合时，△ABP 的面积可以看作0)，点P 运动的路程为x ，则y 与x 之间函数关系的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．tan45º的值为（ ） A ．12B ．1C ．2 D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知正八边形ABCDEFGH 内部△ABE 的面积为6cm 1，则正八边形ABCDEFGH 面积为_____cm 1．14．不等式组36{12x x x -≥-->的最大整数解为_____．15．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 ．16．某商场对今年端午节这天销售A 、B 、C 三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制了如图1和图2所示的统计图，则B 品牌粽子在图2中所对应的扇形的心角的度数是_____．17．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠OBC=18°，则∠A=_______________________．18．如图，点1A 、2A 、3A ⋯在直线y x =上，点1C ，2C ，3C ⋯在直线y 2x =上，以它们为顶点依次构造第一个正方形1121A C A B ，第二个正方形2232A C A B ⋯，若2A 的横坐标是1，则3B 的坐标是______，第n 个正方形的面积是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：求被调查的学生人数；补全条形统计图；已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？20．（6分）如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两港口，海上有一座小岛P，渔民每天都乘轮船从A，B两港口沿AP，BP的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P在A港的北偏东60°方向，在B港的北偏西45°方向，小岛P距海岸线MN的距离为30海里．求AP，BP的长（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）；甲、乙两船分别从A，B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？21．（6分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：组别成绩（分）频数（人数）频率一 2 0.04二10 0.2三14 b四 a 0.32五8 0.16请根据表格提供的信息，解答以下问题：本次决赛共有名学生参加；直接写出表中a= ,b= ;请补全下面相应的频数分布直方图；若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为．22．（8分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？23．（8分）如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点B．求反比例函数的解析式；若点E恰好落在反比例函数y=kx上，求平行四边形OBDC的面积．24．（10分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2，4，6，B组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？25．（10分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD 的延长线于点F．（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．26．（12分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：一个水瓶与一个水杯分别是多少元？甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）27．（12分）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：请将以上两幅统计图补充完整；若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有_ ▲ 人达标；若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）. 故答案选D.考点：位似变换.2．D【解析】【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．【详解】y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，即二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是9，故选D．【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．3．C【解析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，0.00005＝5510-⨯，故选C.4．C【解析】在菱形ABCD中,OC=12AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2,OA=12AC=1，在矩形OCED中,由勾股定理得：==在Rt△ACE中,由勾股定理得：== C.点睛:本题考查了菱形的性质，先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.5．C【解析】【分析】依据科学记数法的含义即可判断.【详解】解：48511111=4.85×117，故本题选择C.【点睛】把一个数M记成a×11n（1≤|a|＜11，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是1的数字前1的个数，包括整数位上的1．6．C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以得到l与直线y＝﹣1交点的个数，从而可以解答本题．【详解】∵抛物线l：y＝﹣12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点D位于直线y＝﹣2与x轴之间的区域，开口向下，∴当顶点D位于直线y＝﹣1下方时，则l与直线y＝﹣1交点个数为0，当顶点D位于直线y＝﹣1上时，则l与直线y＝﹣1交点个数为1，当顶点D位于直线y＝﹣1上方时，则l与直线y＝﹣1交点个数为2，故选C．【点睛】考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和分类讨论的数学思想解答．7．D【解析】分析：依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．详解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选D．点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．8．C【解析】【分析】先求出800米跑不合格的百分率，再根据用样本估计总体求出估值．【详解】400×2201216102=+++人.故选C．【点睛】考查了频率分布直方图，以及用样本估计总体，关键是从上面可得到具体的值．9．D【解析】【分析】先得到圆锥的三视图，再根据中心对称图形和轴对称图形的定义求解即可．【详解】解：A、主视图不是中心对称图形，故A错误；B 、左视图不是中心对称图形，故B 错误；C 、主视图不是中心对称图形，是轴对称图形，故C 错误；D 、俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握各自的定义是解题关键． 10．D【解析】【分析】根据图象可设二次函数的顶点式，再将点（0,0）代入即可．【详解】解：根据图象，设函数解析式为()2y a x h k =-+由图象可知，顶点为（1,3）∴()213y a x =-+，将点（0,0）代入得()20013a =-+解得3a =-∴()2313y x =--+故答案为：D ．【点睛】本题考查了是根据实际抛物线形，求函数解析式，解题的关键是正确设出函数解析式．11．C【解析】【分析】先分别求出点P 从点B 出发，沿B→C→D 向终点D 匀速运动时，当0＜x≤2和2＜x≤4时，y 与x 之间的函数关系式，即可得出函数的图象．【详解】由题意知，点P 从点B 出发，沿B→C→D 向终点D 匀速运动，则当0＜x≤2，y=12x ， 当2＜x≤4，y=1，由以上分析可知，这个分段函数的图象是C ．故选C ．12．B【解析】【分析】【详解】解：根据特殊角的三角函数值可得tan45º=1， 故选B ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．14【解析】【分析】取AE 中点I ，连接IB ，则正八边形ABCDEFGH 是由8个与△IDE 全等的三角形构成．【详解】解：取AE 中点I ，连接IB ．则正八边形ABCDEFGH 是由8个与△IAB 全等的三角形构成．∵I 是AE 的中点， ∴ == =3,则圆内接正八边形ABCDEFGH 的面积为：8×3=14cm 1． 故答案为14．【点睛】本题考查正多边形的性质，解答此题的关键是作出辅助线构造出三角形．14．﹣1．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其最大整数解．【详解】3612x x x -≥-⎧⎪⎨-⎪⎩①＞②, 解不等式①得:x≤1,解不等式②得x-1＞1x ，x-1x ＞1，-x ＞1，x ＜-1，∴ 不等式组的解集为x ＜-1，∴ 不等式组的最大整数解为-1.故答案为-1.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式组的整数解. 15．23π. 【解析】 试题分析：连结OC 、OD ，因为C 、D 是半圆O 的三等分点，所以，∠BOD ＝∠COD ＝60°，所以，三角形OCD 为等边三角形，所以，半圆O 的半径为OC ＝CD ＝2，S 扇形OBDC ＝1204360π⨯=43π，S △OBC ＝12312⨯⨯＝3，S 弓形CD ＝S 扇形ODC －S △ODC ＝6041233602π⨯-⨯⨯＝233π-，所以阴影部分的面积为为S ＝43π－3－（233π-）＝23π.考点：扇形的面积计算.16．120°【解析】【分析】根据图1中C 品牌粽子1200个，在图2中占50%，求出三种品牌粽子的总个数，再求出B 品牌粽子的个数，从而计算出B 品牌粽子占粽子总数的比例，从而求出B 品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数．【详解】解：∵三种品牌的粽子总数为1200÷50%=2400个， 又∵A 、C 品牌的粽子分别有400个、1200个，∴B 品牌的粽子有2400-400-1200=800个，则B 品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数为360×800136012024003=⨯=︒．故答案为120°．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．17．72°．【解析】【详解】解：∵OB=OC ，∠OBC=18°，∴∠BCO=∠OBC=18°，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，∴∠A=12∠BOC=12×144°=72°． 故答案为 72°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．18． (4,2), 242n -【解析】【分析】由2A 的横坐标是1，可得()2A 1,1，利用两个函数解析式求出点1C 、1A 的坐标，得出11A C 的长度以及第1个正方形的面积，求出1B 的坐标；然后再求出2C 的坐标，得出第2个正方形的面积，求出2B 的坐标；再求出3B 、3C 的坐标，得出第3个正方形的面积；从而得出规律即可得到第n 个正方形的面积．【详解】解：Q 点1A 、2A 、3A ⋯在直线y x =上，2A 的横坐标是1，()2A 1,1∴，Q 点1C ，2C ，3C ⋯在直线y 2x =上，11C ,12⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，111A ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1111A C 122∴=-=，11B 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴第1个正方形的面积为：21()2；()2C 1,2Q ，22A C 211∴=-=，()2B 2,1，()3A 2,2，∴第2个正方形的面积为：21；()3C 2,4Q ，33A C 422∴=-=，()3B 4,2，∴第3个正方形的面积为：22；⋯，∴第n 个正方形的面积为：n 222n 4(2)2--=．故答案为()4,2，2n 42-．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及规律型中图形的变化规律，解题的关键是找出规律.本题难度适中，解决该题型题目时，根据给定的条件求出第1、2、3个正方形的边长，根据数据的变化找出变化规律是关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（4）60；（4）作图见试题解析；（4）4．【解析】试题分析：（4）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（4）利用（4）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（4）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．试题解析：（4）被调查的学生人数为：44÷40%=60（人）；（4）喜欢艺体类的学生数为：60-44-44-46=8（人），如图所示：全校最喜爱文学类图书的学生约有：4400×2460=4（人）． 考点：4．条形统计图；4．用样本估计总体；4．扇形统计图．20．（1）AP ＝60海里，BP ＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，则有PE=30海里，由题意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，从而可得AP ＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的长；(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程，求解后进行检验即可得.【详解】(1)如图，过点P作PE⊥MN，垂足为E，由题意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，∴PE＝EB＝30海里，在Rt△PEB中，BP＝22PE EB+＝302≈42海里，故AP＝60海里，BP＝42(海里)；(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据题意，得604224 1.260x x-=，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24(海里/时).，答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.21．（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.【解析】试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.试题解析：（1）2÷0.04=50（2）50×0.32=16 14÷50=0.28 （3）（4）（0.32+0.16）×100%=48% 考点：频数分布直方图22．（1）当4≤x≤6时，w1=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w2=﹣12x2+7x﹣23；（2）最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．【解析】分析：（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．详解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，代入A（4，4），B（6，2）得：44 62 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：18kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣12x+5，∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣12x+5）﹣3=﹣12x2+7x﹣23；（2）当4≤x≤6时，w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，∴当x=6时，w1取最大值是1，当6≤x≤8时，w2=﹣12x2+7x﹣23=﹣12（x﹣7）2+32，当x=7时，w2取最大值是1.5，∴101.5=203=623，即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．点睛：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．23．（1）y=12x；（2）1；【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入反比例解析式求得k值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据点B（3，4）、C（m，0）的坐标求得边BC的中点E坐标为（32m，2），将点E的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，根据平行四边形的面积公式即可求解.【详解】（1）把B坐标代入反比例解析式得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）∵B（3，4），C（m，0），∴边BC的中点E坐标为（，2），将点E的坐标代入反比例函数得2=，解得：m=9，则平行四边形OBCD的面积=9×4=1．【点睛】本题为反比例函数的综合应用，考查的知识点有待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键．24．（1）P（抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P=13；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．25．（I）65°；（II）72°【解析】【分析】（I）如图①，连接OB，先利用切线的性质得∠OBF=90°，而OA⊥CD，所以∠OED=90°，利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠1=∠A=25°，从而得到∠2=65°，最后利用三角形内角和定理计算∠BGF的度数；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，利用切线的性质得OB⊥BF，再利用AC∥BF得到BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，从而得到∠OBA=∠OAB=18°，接着计算出∠OAH=54°，然后根据圆周角定理得到∠BDG的度数．【详解】解:（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF=90°，∵OA⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，∵OA=OB，∴∠1=∠A=12（180°﹣130°）=25°，∴∠2=90°﹣∠1=65°，∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=12（180°﹣144°）=18°，∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，∴∠OAH=144°﹣90°=54°，∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，∴∠BDG=∠BAC=72°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．26．（1）一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）当10＜n＜25时，选择乙商场购买更合算．当n＞25时，选择甲商场购买更合算．【解析】【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．【详解】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，解得：x＝40，则一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）甲商场所需费用为（40×5+8n）×80%＝160+6.4n乙商场所需费用为5×40+（n﹣5×2）×8＝120+8n则∵n＞10，且n为整数，∴160+6.4n﹣（120+8n）＝40﹣1.6n讨论：当10＜n＜25时，40﹣1.6n＞0，160+0.64n＞120+8n，∴选择乙商场购买更合算．当n＞25时，40﹣1.6n＜0，即160+0.64n＜120+8n，∴选择甲商场购买更合算．【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解. 27．（1）见解析；（2）1；（3）估计全校达标的学生有10人【解析】【分析】（1）成绩一般的学生占的百分比=1-成绩优秀的百分比-成绩不合格的百分比，测试的学生总数=不合格的人数÷不合格人数的百分比，继而求出成绩优秀的人数．（2）将成绩一般和优秀的人数相加即可；（3）该校学生文明礼仪知识测试中成绩达标的人数=1200×成绩达标的学生所占的百分比．【详解】解：（1）成绩一般的学生占的百分比=1﹣20%﹣50%=30%，测试的学生总数=24÷20%=120人，成绩优秀的人数=120×50%=60人，所补充图形如下所示：（2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=1．（3）1200×（50%+30%）=10（人）．答：估计全校达标的学生有10人．。

湖北省荆州中学2019-2020学年高二下学期第四次周考数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数2cos y x x ==的导数为（ ） A.2'2cos sin y x x x x =+B.2'2cos sin y x x x x =-C.'2cos y x x =D.2'sin y x x =-2.在去年的中国足球校园联赛荆州中学赛区，荆州中学代表队每场比赛平均失球数是1.5，整个赛事每场比赛失球个数的标准差为1.1；大冶一中代表队每场比赛平均失球数是2.1，整个赛事每场比赛失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说荆州中学代表队比大冶一中代表队防守技术好；②大冶一中代表队比荆州中学代表队防守技术水平更稳定；③荆州中学代表队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④大冶一中代表队很少不失球. A.1个B.2个C.3个D.4个3.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A.2B 4C.5D.64.“3<<7m ”，是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.某同学抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线22221x y a b-=的离心率>5e 的概率是（ ） A.16 B.14C.13 D.136 6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，(1,2,0)AB =u u u r ,(2,1,0)AD =u u u r ,1(0,1,5)CC =u u u u r，则对角线1AC 的边长为（ ） A.42B.43C.52D.127.某种品牌摄像头的使用寿命ξ (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.荆州中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ）A.18 B.14C.12 D.348.如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，则直线AE 与平面11ABC D 所成角的正弦值是（ ）A.15 B.15 C.10 D.109.353(12)(1)x x +的展开式中x 的系数是（ ）A.4-B.2-C.2D.410.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A.74B.94C.4D.211.已知直线y kx =与曲线1y nx =有公共点，则k 的最大值为（ ） A.1B.12C.1eD.21e12.给出以下命题，其中真命题的个数是（ ）①若“()p ⌝或q ”是假命题，则“p 且()q ⌝”是真命题； ②命题“若5a b +≠，则2a ≠或3a ≠”为真命题；③若()(1)(2)(3)(4)(5)6f x x x x x x x =++++++，则(0)5f '=！④直线(3)y k x =-与双曲线22145x y -=交于A ,B 两点，若5AB =，则这样的直线有3条； A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）13.用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ．14.若曲线5()a 1f x x nx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．15.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ,y ,并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖。

湖北省荆州中学2019-2020学年高二数学7月双周考试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，()11z i i -=+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )A ．36种B ．30种C ．42种D ．60种3．已知学生贾天才考试中每一道简单题做对的概率为34，每一道中等题做对的概率为23，每一道难题有三个选项，其中正确答案有且只有一项，贾天才面对难题时，他极有自知之明，答案完全凭感觉随机蒙一个。

在贾天才参加的某次考试中，简单题有8道题，做对一题得5分，做错或不做得0分；中等题有有6道题，做对一题得10分，做错或不做得0分；难题有3道题，做对一题得15分，做错或不做得0分.则贾天才在本次考试中所得分数的数学期望为（ ） A ．70分B ．145分C ．95分D ．85分4．已知圆22:240C x y x y +--=上存在不同两点关于直线210x ay +-=对称，则实数a =( )A ．32-B ．54-C ．12-D ．34-5.已知椭圆与抛物线214y x =有一个公共焦点，椭圆的离心率是0和1的等差中项，则椭圆的长轴长为( )A ．18B ．14C ．2D ．46．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据表中数据可得回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为15万元，则m 的值为( ) A ．8.0B ．8.5C ．9.6D ．8.87．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()3,M m 到该抛物线焦点距离为4，(),N s t 为已知抛物线上任意一点，则1ts+的取值范围为 ( ) A ．()2,-+∞ B ．(),2-∞-C ．()1,-+∞D ．[1,2)-8．若焦点在y 轴上的双曲线222y x m-=，则该双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为( )AB ．1C D ．29．已知11,,22AB m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是单位向量，点A 的坐标为A ⎛- ⎝⎭ ,则点B 的坐标为 ( )A ．31,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,22⎛- ⎝B ．11,,022⎛⎫-- ⎪⎝⎭或11,22⎛-- ⎝C ．11,,022⎛⎫⎪⎝⎭或11,22⎛ ⎝ D ．选项A 、B 、C 都不对10．如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，事件A ：甲的平均成绩超过乙的平均成绩；事件B ：乙在4次考试中成绩的中位数不高于90分，则()P B A 的值为 ( )A ．67B ．56C ．0D ．111．已知1x =是函数()()()2ln 1,0,f x a x x x x =++-∈+∞的一个极值点，直线y b =与函数()()()2ln 1,0,f x a x x x x =++-∈+∞的图象恰有两个不同交点，则实数b 的取值范围是( )A ．(),2ln 2-∞-B ．(]2ln2,0-C ．()2ln2,0-D ．()2ln 2,-+∞12．已知方程2222123x y m n n m+=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为42则实数n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．3296,77⎛⎫-⎪⎝⎭D ．824,77⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13. 已知函数2()3x f x =，则函数()f x 的图象在点0x =处的切线方程为_______. 14．nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项，则该展开式的常数项是__________．（用数字作答）15．已知某批零件的长度误差ξ（单位mm ）服从正态分布(1,4)N ，若(13)0.6826P ξ-<≤=，(35)0.9544P ξ-<≤=，现从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,3)-内的概率(33)P ξ-<<=_____________．16．在三棱锥P ABC -中，若5,10,13PA BC PB AC PC AB ======该三棱锥外接球的体积为_________． 三、解答题17. (本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()221n S n n n N*=-+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2nn n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和()3n T n ≥。

湖北省荆州市沙市高二（下）第四次周练数学试卷（文科）一、选择题：1. 复数1+2i2+i的虚部为（）A.3 5B.35i C.45D.45i2. 对任意复数z=x+yi(x, y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.|z−z¯|=2yB.z2=x2+y2C.|z−z¯|≥2xD.|z|≤|x|+|y|3. 不等式(1+x)(1−|x|)>0的解集是（）A.{x|0≤x<1}B.{x|x<0且x≠−1}C.{x|−1<x<1}D.{x|x<1且x≠−1}4. 下列命题中，正确的命题有（）①命题“∃x∈R，使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③“a<2”是“函数f(x)=x3−2ax+a在(0, 1)内有极小值”的必要条件；④命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题时，实数m的取值范围是[2, 6]．A.1个B.2个C.3个D.4个5. 设a，b，c∈R+，则“abc=1”是“√a√b√c≤a+b+c”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件6. 已知a>0，若不等式|x−a|+3x≤0的解集为{x|x≤−1}，则a的值为( )A.1 2B.1C.2D.327. 椭圆x2a2+y22=1与双曲线x23−y2=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=()11238. 已知抛物线C:y 2=8x 与点M(−2, 2)，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →⋅MB →=0，则k =（ ） A.12B.√22C.√2D.29. 已知函数f(x)=ax 2−2x −a +52，若存在x 0∈[1, 4]，使f(x 0)=0有解，则实数a的取值范围是（ ） A.(−∞, 2) B.(0, 12)C.[116, +∞)D.(−∞, 116]10. 函数f(x)的图象如图所示，已知函数F(x)满足F′(x)=f(x)，则F(x)的函数图象可能是（ ）A. B.C. D.二、填空题：若实数x ，y 满足x 2+y 2+xy =1，则x +y 的最大值是________．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)<12，则关于x 的不等式f(x)<x2+12的解集为________．12过曲线y=x3+2x上一点(1, 3)的切线方程是________．过点(√2, 0)引直线l与曲线y=√1+x2相交于A，B两点，则直线l斜率的取值范围是________．已知x2a2+y2b2=1(a>b>0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1, k2≠0)，若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．给出定义：若函数f(x)在(a, b)上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在(a, b)上也可导，则称f(x)在(a, b)上存在二阶导函数，记f″(x)=（f′(x)）′．若f″(x)<0在(a, b)上恒成立，则称函数f(x)在(a, b)上为凸函数．已知函数f(x)=112x4−16mx3−32x2，若对任意实数m满足|m|≤2时，函数f(x)在(a, b)上为凸函数，则b−a的最大值是________．三、解答题；（1）求证：a2+b2+3≥ab+√3(a+b)；（2）已知a，b，c是正数，求证：2a+b +2b+c+2c+a≥9a+b+c．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？已知g(x)=ln(e x+b)（b为常数）是实数集R上的奇函数，当g(x)>0时，有f(x)= ln g(x)+ax．（1）求b的值；（2）若函数f(x)在[1, e]上的最小值是32，求a的值．设函数f(x)=x(e x−1)−ax2.(1)若a=12，求f(x)的单调区间；如图，抛物线C1:x2＝4y，C2:x2＝−2py(p>0)，点M(x0, y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)，当x0＝1−√2时，切线MA的．斜率为−12(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．参考答案与试题解析湖北省荆州市沙市高二（下）第四次周练数学试卷（文科）一、选择题： 1.【答案】 A【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】由复数的运算法则化简已知复数，可得其虚部． 【解答】 解：1+2i2+i =(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=4+3i 5=45+35i ，∴ 所求虚部为35， 故选：A 2.【答案】 D【考点】虚数单位i 及其性质 【解析】根据|z −z ¯|=|2yi|=2|y|，可得A 、C 不正确，根据z 2=x 2−y 2−2xyi ，可得B 不正确，由|z|=√x 2+y 2 可得D 正确． 【解答】解：由于复数z =x +yi(x, y ∈R)，i 为虚数单位，∴ |z −z ¯|=|2yi|=2|y|，故(A)错误．由z 2=x 2−y 2+2xyi ，故(B)错误．由|z −z ¯|=2|y|，不一定大于或等于2x ，故(C)错误．由|z|=√x 2+y 2≤√x 2+y 2+2|x||y|=|x|+|y|，故(D)正确． 故选：D ． 3. 【答案】 D【考点】 绝对值不等式 【解析】首先分析题目求不等式(1+x)(1−|x|)>0的解集，因为是绝对值不等式需要去绝对解：求不等式(1+x)(1−|x|)>0的解集则分两种情况讨论：情况1:{1+x>01−|x|>0即：{x>−1−1<X<1则：−1<x<1．情况2:{1+x<01−|x|<0即：{X<−1X<−1或X>1则：x<−1两种情况取并集得{x|x<1且x≠−1}．故选D．4.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】对于①，直接写出命题的否定加以判断；对于②，直接由复合命题的真值表加以判断；对于③，利用导数求出函数f(x)=x3−2ax+a在(0, 1)内有极小值的充要条件加以判断；对于④，先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：对于①，命题“∃x∈R，使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”，命题①正确；对于②，设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则p、q中至少有一个假命题，若其中一真一假，则“￢p∧￢q为假命题”，命题②错误；对于③，∵y=x3−2ax+a，∴y′=3x2−2a，令y′=0，得x=√2a3，（负值舍去），∵函数y=x3−2ax+a在(0, 1)内有极小值，∴0<√2a3<1，∴a∈(0, 32)．∴ ③“a<2”是“函数f(x)=x3−2ax+a在(0, 1)内有极小值”的必要条件，命题③正确；对于④，命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题的否定为：“∀x0∈R，都有x02+mx0+2m−3≥0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则其否定为：“∀x0∈R，都有x02+mx0+2m−3≥0”，为真命题，∴△=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2, 6]，命题④正确．∴正确的命题有3个．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先举特殊值，再尝试由abc=1推出√a b√c≤a+b+c，写出推理过程．【解答】解：∵abc=1，∴a√b c=√bc+√ac+√ab≤b+c2+a+c2+a+b2=a+b+c；（当且仅当a=b=c=1时，等号成立）若a=b=c=4，则a√b c≤a+b+c成立，综上所述，“abc=1”是“√a b√c≤a+b+c”的充分不必要条件．故选A．6.【答案】C【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】由题意可得|x−a|≤−3x的解集为{x|x≤−1}．而由|x−a|≤−3x，求得x≤−a2，可得−a2=−1，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得|x−a|≤−3x的解集为{x|x≤−1}．而由|x−a|≤−3x，可得3x≤x−a≤−3x，求得x≤−a2，∴−a2=−1，∴a=2.故选C.7.【答案】A【考点】双曲线的特性由双曲线x 23−y 2=1得焦点为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，解得a 2=6，由椭圆与双曲线的定义，得|PF 1|+|PF 2|=2√6，|PF 1|−|PF 2|=±2√3，由此得到2(|PF 1|2+|PF 2|2)=36，4|PF 1|⋅|PF 2|=12，再由余弦定理，能求出cos ∠F 1PF 2． 【解答】解：由双曲线x 23−y 2=1得焦点为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)， ∴ a 2−2=4，解得a 2=6，由椭圆与双曲线的定义，得：|PF 1|+|PF 2|=2√6，|PF 1|−|PF 2|=±2√3， 两式分别平方后，相加得2(|PF 1|2+|PF 2|2)=36， 两式分别平方后相减，得4|PF 1|⋅|PF 2|=12， 因此，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2=(|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|2)÷(2|PF 1|⋅|PF 2|) =(18−16)÷6=13． 故选：A ． 8.【答案】 D【考点】 抛物线的求解平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】方法1 设A(y 128,y 1),B(y 228,y 2)，由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y =k (x −2)，联立y 2=8x 得ky 2−8y −16k =0,y 1+y 2=8k ，y 1y 2=−16，由MA →⋅MB →=0得：(y 128+2,y 1−2)(y 228+2,y 2−2)=0，解得：k =2． 方法2 M 在抛物线准线上，MA ⊥MB ⇒MF ⊥AB ． 又F (2,0)，故直线MF 斜率为−12，从而k =2，选D ．9.【答案】D【考点】二次函数的性质 【解析】若函数f(x)=ax 2−2x −a +52，分a =0时和a ≠0时，两种情况讨论“存在x 0∈[1, 4]，使f(x 0)=0有解”的实数a 的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．解：当a =0时，f(x)=−2x +52，令f(x 0)=0，则x 0=54∈[1, 4]，满足条件， 当a ≠0时，f(1)=12>0，若存在x 0∈[1, 4]，使f(x 0)=0有解， 当f(4)=3a −112≤0时，即a ≤116，∴ a ≤116，且a ≠0综上所述，实数a 的取值范围是(−∞, 116]， 故选：D 10.【答案】 B【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】先根据导函数f ′(x)的图象得到f ′(x)的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项． 【解答】解：由图可得−1<f ′(x)<1，即F(x)图象上每一点切线的斜率k ∈(−1, 1) 且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢， 结合选项可知选项B 符合 故选B ．二、填空题： 【答案】2√33【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】利用基本不等式，根据xy ≤(x+y)24把题设等式整理成关于x +y 的不等式，求得其范围，则x +y 的最大值可得． 【解答】解：∵ x 2+y 2+xy =1, ∴ (x +y)2=1+xy , ∵ xy ≤(x+y)24,∴ (x +y)2−1≤(x+y)24，整理求得−2√33≤x +y ≤2√33， ∴ x +y 的最大值是2√33.故答案为：2√33.【答案】(1, +∞)【考点】函数的单调性与导数的关系导数的几何意义【解析】根据条件构造函数g(x)=f(x)−x2−12，然后利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：设g(x)=f(x)−x2−12，则g′(x)=f′(x)−12，∵f(x)的导函数f′(x)<12，∴g′(x)）=f′(x)−12<0，即函数在定义域上单调递减，∵g(1)=f(1)−12−12=1−12−12=0，∴当x>1时，g(x)<g(1)=0，∴不等式f(x)<x2+12的解集为(1, +∞)，故答案为：(1, +∞)．【答案】0<t<1或2<t<3【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先由函数求f′(x)=−x+4−3x ，再由“函数f(x)=−12x2+4x−3ln x在[t, t+1]上不单调”转化为“f′(x)=−x+4−3x =0在区间[t, t+1]上有解”从而有x2−4x+3x=0在[t, t+1]上有解，进而转化为：g(x)=x2−4x+3=0在[t, t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数f(x)=−12x2+4x−3ln x∴f′(x)=−x+4−3x∵函数f(x)=−12x2+4x−3ln x在[t, t+1]上不单调，∴x2−4x+3x=0在[t, t+1]上有解∴g(x)=x2−4x+3=0在[t, t+1]上有解∴g(t)g(t+1)≤0或{t<2<t+1 g(t)≥0 g(t+1)≥0△=4>0∴0<t<1或2<t<3．故答案为：0<t<1或2<t<3．【答案】5x−y−2=0或y=114x+14【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设出切点坐标，求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率，根据(1, 3)和切线斜率写出直线方程即可．【解答】解：设切点为(m, m3+2m)，该点导数为3m2+2，∵切线方程过(1, 3)，∴m3+2m−3=(3m2+2)(m−1)，整理得：(2m+1)(m−1)2=0，解得：m=−12或m=1，当m=1时，切线方程y=5(x−1)+3=5x−2当m=−12时，切线方程y=114(x+12)−98=114x+14．故答案为：5x−y−2=0或y=114x+14．【答案】(−1, −√3 3)【考点】直线与圆相交的性质【解析】设直线方程为y=k(x−√2)，曲线y=√1+x2即y2−x2=1，是焦点在y轴的双曲线的上支，其渐近线方程为y=±x，联立直线与曲线方程，判别式大于0，由此能求出k 的取值范围．【解答】解：设直线方程为y=k(x−√2)，曲线y=√1+x2即y2−x2=1是焦点在y轴的双曲线的上支，∵渐近线方程为y=±x，∴−1<k<1．①联立{y=k(x−√2)y=√1+x2，得(k2−1)x2−2√2k2x+2k2−1=0，∵直线l与曲线y=√1+x2相交于A，B两点，∴{k2−1≠0(−2√2k2)−4(k2−1)(2k2−1)>0，解得k >√33或k <−√33．② 又∵ y =√1+x 2>0，直线l 与曲线y =√1+x 2相交于A ，B 两点， ∴ k <0，③由①②③，得−1<k <−√33． 故答案为：(−1, −√33)． 【答案】√32【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】设P( a cos α, b sin α)，求出k 1和k 2 的值，化简|k 1|+|k 2|=2ba sin α≥2b a，由|k 1|+|k 2|的最小值为1，得2ba =1，由此能求得结果． 【解答】解：设P( a cos α, b sin α)， ∵ M(−a, 0)，则N(a, 0)， ∴ k 1=b sin αa cos α−a，k 2=b sin αa cos α+a．∴ |k 1|+|k 2|=b sin αa(1−cos α)+b sin αa cos α+a =b sin α(1+cos α)+b sin α(1−cos α)a(1−cos α)(1+cos α)=2b sin αa sin 2α=2b a sin α≥2b a，∵ |k 1|+|k 2|的最小值为1，∴ 2ba =1，即a =2b ， ∴ e =ca =√a 2−b 2a =√3b 22b=√32． 故答案为：√32．【答案】2【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】先求出f ″(x)，问题转化为当|m|≤2时，mx >x 2−3恒成立，讨论当x =0时，x >0，x <0的情况，从而求出x 的范围，进而解出答案． 【解答】解：∵ f′(x)=13x 3−12mx 2−3x ，∴ f ″(x)=x 2−mx −3，当|m|≤2时，f ″(x)=x 2−mx −3<0恒成立， ⇔当|m|≤2时，mx >x 2−3恒成立． 当x =0时，f ″(x)=−3<0显然成立．当x>0，x−3x<m．∵m的最小值是−2．∴x−3x<−2．从而解得0<x<1，当x<0，x−3x>m，∵m的最大值是2，∴x−3x>2，从而解得−1<x<0．综上可得−1<x<1，从而(b−a)max=1−(−1)=2．三、解答题；【答案】证明：（1）a2+b2+3=a2+b22+a2+32+b2+32≥ab+√3(a+b)；（2）∵[(a+b)+(b+c)+(a+c)](1a+b +1b+c+1a+c)≥3×3=9，∴2a+b +2b+c+2c+a≥9a+b+c．【考点】不等式的证明【解析】（1）a2+b2+3=a2+b22+a2+32+b2+32，利用基本不等式，可得结论；（2）[(a+b)+(b+c)+(a+c)](1a+b +1b+c+1a+c)≥3×3=9，即可证明结论．【解答】证明：（1）a2+b2+3=a2+b22+a2+32+b2+32≥ab+√3(a+b)；（2）∵[(a+b)+(b+c)+(a+c)](1a+b +1b+c+1a+c)≥3×3=9，∴2a+b +2b+c+2c+a≥9a+b+c．【答案】解：设长方体的宽为x(cm)，则长为2x(cm)，高为ℎ=18−12x4=4.5−3x(cm)(0<x<32)．故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5−3x)=9x2−6x3(cm3)(0<x<32)．从而V′(x)=18x−18x2=18x(1−x)．令V′(x)=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．当0<x<1时，V′(x)>0；当1<x<32时，V′(x)<0，故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V=V′(x)=9×12−6×13=3(cm3)，此时长方体的长为2cm，高为1.5cm．【考点】利用导数研究函数的极值函数模型的选择与应用【解析】先设设长方体的宽为x(cm)，利用长方体的体积公式求得其体积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．【解答】解：设长方体的宽为x(cm)，则长为2x(cm)，高为ℎ=18−12x4=4.5−3x(cm)(0<x<32)．故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5−3x)=9x2−6x3(cm3)(0<x<32)．从而V′(x)=18x−18x2=18x(1−x)．令V′(x)=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．当0<x<1时，V′(x)>0；当1<x<32时，V′(x)<0，故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V=V′(x)=9×12−6×13=3(cm3)，此时长方体的长为2cm，高为1.5cm．【答案】解：（1）∵g(−x)=−g(x)∴ln(e−x+b)+ln(e x+b)=0⇒(e−x+b)(e x+b)=1⇒(e−x+e x)b+b2=0⇒(e−x+e x+b)b=0⇒b=0．（2）由（1）知f(x)=ln x+ax (x>0)，则f′(x)=1x−ax2=x−ax2在[1, e]上，讨论如下：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)=a<1，这与函数在[1, e]上的最小值是32相矛盾；②当a=1时，函数f(x)在(1, e]单调递增，其最小值为f(1)=1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a<e时，函数f(x)在[1, a)上有f′(x)<0，单调递减，在(a, e]上有f′′(x)>0，单调递增，所以函数f(x)满足最小值为f(a)=ln a+1由ln a+1=32，得a=√e．④当a=e时，函数f(x)在[1, e)上有f′(x)<0，单调递减，其最小值为f(e)=2，还与最小值是32相矛盾；⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为f(e)=1+ae>2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a的值为√e．【考点】导数求函数的最值函数奇偶性的性质【解析】（1）利用奇函数的定义进行整理化简是解决本体的关键，注意对数运算性质的灵活运用，指数运算性质的运用和变形，以及恒成立问题的处理方法；（2）利用导数作为工具求解该函数在闭区间上的最值是解决本题的关键，根据该函数在何处取到最值列出关于a的方程达到求解a的目的．【解答】解：（1）∵g(−x)=−g(x)∴ln(e−x+b)+ln(e x+b)=0⇒(e−x+b)(e x+b)=1⇒(e−x+e x)b+b2=0⇒(e−x+e x+b)b=0⇒b=0．（2）由（1）知f(x)=ln x+ax (x>0)，则f′(x)=1x−ax2=x−ax2在[1, e]上，讨论如下：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)=a<1，这与函数在[1, e]上的最小值是32相矛盾；②当a=1时，函数f(x)在(1, e]单调递增，其最小值为f(1)=1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a<e时，函数f(x)在[1, a)上有f′(x)<0，单调递减，在(a, e]上有f′′(x)>0，单调递增，所以函数f(x)满足最小值为f(a)=ln a+1由ln a+1=32，得a=√e．④当a=e时，函数f(x)在[1, e)上有f′(x)<0，单调递减，其最小值为f(e)=2，还与最小值是32相矛盾；⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为f(e)=1+ae>2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a的值为√e．【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=x(e x−1)−12x2，f′(x)=e x−1+xe x−x=(e x−1)(x+1)，令f′(x)>0，可得x<−1或x>0；令f′(x)<0，可得−1<x<0.∴函数的单调增区间是(−∞, −1)，(0, +∞)；单调减区间为(−1, 0).(2)f(x)=x(e x−1−ax)．令g(x)=e x−1−ax，则g′(x)=e x−a．若a≤1，则当x∈(0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0．若a>1，则当x∈(0, ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0, ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0．综上，得a的取值范围为(−∞, 1]．【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】(1)求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（2）f(x)=x(e x−1−ax)，令g(x)=e x−1−ax，分类讨论，确定g(x)的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：(1)当a=12时，f(x)=x(e x−1)−12x2，f′(x)=e x−1+xe x−x=(e x−1)(x+1)，令f′(x)>0，可得x<−1或x>0；令f′(x)<0，可得−1<x<0.∴函数的单调增区间是(−∞, −1)，(0, +∞)；单调减区间为(−1, 0).(2)f(x)=x(e x−1−ax)．令g(x)=e x−1−ax，则g′(x)=e x−a．若a≤1，则当x∈(0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0．若a>1，则当x∈(0, ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0, ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0．综上，得a的取值范围为(−∞, 1]．【答案】（1）因为抛物线C1:x2＝4y上任意一点(x, y)的切线斜率为y′=x2，且切线MA的斜率为−12，所以设A点坐标为(x, y)，得x2=−12，解得x＝−1，y=x24=14，点A的坐标为(−1, 14)，故切线MA的方程为y=−12(x+1)+14因为点M(1−√2, y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0=−12(2−√2)+14=−3−2√24①∴y0=−(1−√2)22p =−3−2√24②解得p＝2（2）设N(x, y)，A(x1, x124)，B(x2, x224)，x1≠x2，由N为线段AB中点知x=x1+x22③，y=y1+y22=x12+x228④切线MA，MB的方程为y=x12(x−x1)+x124，⑤；y=x22(x−x2)+x224⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0, y0)的坐标满足x0=x1+x22，y0=x1x24因为点M(x0, y0)在C2上，即x02＝−4y0，所以x1x2=−x12+x226⑦由③④⑦得x2=43y，x≠0当x1＝x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=43y因此中点N的轨迹方程为x2=43y【考点】直线与椭圆结合的最值问题抛物线的性质【解析】(Ⅰ)利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．(Ⅱ)由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程【解答】（1）因为抛物线C1:x2＝4y上任意一点(x, y)的切线斜率为y′=x2，且切线MA的斜率为−12，所以设A点坐标为(x, y)，得x2=−12，解得x＝−1，y=x24=14，点A的坐标为(−1, 14)，故切线MA的方程为y=−12(x+1)+14因为点M(1−√2, y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0=−12(2−√2)+14=−3−2√24①∴y0=−(1−√2)22p =−3−2√24②解得p＝2（2）设N(x, y)，A(x1, x124)，B(x2, x224)，x1≠x2，由N为线段AB中点知x=x1+x22③，y=y1+y22=x12+x228④切线MA，MB的方程为y=x12(x−x1)+x124，⑤；y=x22(x−x2)+x224⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0, y0)的坐标满足x0=x1+x22，y0=x1x24因为点M(x0, y0)在C2上，即x02＝−4y0，所以x1x2=−x12+x226⑦由③④⑦得x2=43y，x≠0当x1＝x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=43y因此中点N的轨迹方程为x2=43y。

2020年春四川省泸县第一中学高二第四学月考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题★答案★后，用铅笔把答题卡对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.回答非选择题时，将★答案★写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2,1x R x ∃∈=-使得”的否定是（ ） A. 2,1x R x ∀∉=-都有 B. 2,1x R x ∃∉=-使得 C. 2,1x R x 使得∃∈≠- D. 2,1x R x ∀∈≠-都有【★答案★】D 【解析】分析：利用特称命题的否定解答.详解：由特称命题的否定得命题“2,1x R x ∃∈=-使得”的否定是“2,1x R x ∀∈≠-都有”，故★答案★为D.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题:p ,()x M p x ∃∈,特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝.2.已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 5B. 2C.102D. 1【★答案★】C 【解析】 【分析】 整理得到21iz i-=+，根据模长的运算可求得结果.【详解】由2z zi i +=-得：21iz i -=+ 2510122i z i -∴===+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.3.已知两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行，则m 的值是（ ） A. 4- B. 1-C. 1D. 4【★答案★】A 【解析】由两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行可得，斜率相等，截距不相等，即22m=-且132≠-，解得4m =-，故选A.4.下列判断正确的是（ ）A. 两圆锥曲线的离心率分别为1e ，2e ，则“121e e <”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B. 命题“若21x =，则1x =.”的否命题为“若21x =，则1x ≠.”C. 若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是假命题D. 命题“x R ∀∈，22x x ≥."的否定是“0x R ∃∈，0202x x <.”【★答案★】D 【解析】 【分析】 通过113e =，22e =可验证出A 错误；根据否命题的定义可知B 错误；根据含逻辑连接词的命题的真假性可判断出C 错误；根据含量词命题的否定可知D 正确. 【详解】A 选项：若113e =，22e =，则12213e e =<，此时两圆锥曲线为一个椭圆和一个双曲线，可知A 错误；B 选项：原命题的否命题为：若21x ≠，则1x ≠，可知B 错误；C 选项：由p q ∧为假，可知,p q 至少一个为假命题；当p 真q 假时，p q ∨为真命题，可知C 错误；D 选项：根据含全称量词命题的否定可知D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到充要条件、否命题、含逻辑连接词的命题、含量词的命题的否定的相关知识.5.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A.4πB.54π C. π D.54π【★答案★】C【解析】试题分析：观察所给的视图可知该几何体是一个底面半径为12，母线长为1的圆柱，所以该几何体的侧面积12212S R lπππ=⨯=⨯⨯=，选C．考点：1．三视图；2．空间几何体的结构特征；3．空间几何体的侧面积．6.已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，命题121:,()log2xq x R x∃∈=，则下列命题中的真命题为（）A. ￢qB. p∧qC. （￢p）∧qD. （￢p）∨（¬q）【★答案★】B【解析】【分析】根据函数的单调性以及函数的图象与性质，分别判断命题p q，的真假，再结合选项得出★答案★．【详解】命题:p构造函数()sin,0=f x x x x->，()1cos0f x x'=-≥恒成立，即()f x在(0,)+∞上单调递增，又(0)0f=，则()0f x>，即sinx x>成立，命题p 正确；命题:q 令11()2x y =，212log y x=，分别画出两个函数的图象可知，在(0,1)上有一个交点， 即命题q 正确； 综上可知p q ∧正确， 故选：B ．【点睛】本题考查判断命题的真假，属于中档题．7.将函数1()x f x e -=的图象向左平移1个单位得到曲线1C ，而且曲线1C 与函数()g x 的图象关于y 轴对称，则()g x 的表达式为（ ） A. 2xy e-=B. 2x y e-=C. xy e =D. xy e -=【★答案★】C 【解析】 【分析】利用函数图象变化之间的关系，以及函数对称之间的关系，进行推导即可． 【详解】将函数()1xf x e -=的图象向左平移1个单位，得到函数y=()11x x e e -+-=，即曲线1y xC e-=：．∵曲线1C 与函数()g x 的图象关于y 轴对称，∴g（x ）=x e 故选C ．【点睛】本题主要考查函数图象之间的关系，要求熟练掌握函数图象的平移以及对称之间的关系． 8.下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A. 平面内的三条直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则//a b .类比推出：空间中的三条直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则//a bB. 平面内的三条直线,,a b c ，若//,//a c b c ，则//a b .类比推出：空间中的三条向量,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a cC. 在平面内，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为14D. 若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==.类比推理：“若,,,a b c d Q ∈，则22,a b c d a c b d +=+⇒==”【★答案★】D 【解析】 【分析】对四个★答案★中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到★答案★【详解】对于A ，空间中，三条直线a b c ，，，若a c b c ⊥⊥，，则a 与b 不一定平行，故错误 对于B ，若0b =，则若////a b b c ，，则//a c 不正确，故错误对于C ，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为12，则它们的体积比为18，故错误 对于D ，在有理数Q 中，由22a b c d +=+可得，()()20a c b d -+-=，解得a c =，b d =，故正确综上所述，故选D【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题． 9.定义在R 上的奇函数()f x 满足33()()88f x f x +=-，并且当308x ≤≤时，()161xf x =-，则(100)f =（ ）A. 12-B. 1-C. 32-D. 2-【★答案★】B 【解析】 【分析】由题意明确函数的周期性，想方设法把100转化到给定范围上即可. 【详解】∵3388f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且数(f x ）为奇函数 ∴f（x+34）=f （-x ）=()f x - ∴()f x = f （x+32）∴函数的周期为32，()()33535111006611?2888844f f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又当308x ≤≤时，()161xf x =-， ∴()()1100?2114f f ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭故选B ．【点睛】抽象函数给出条件判断周期的常见形式为: (1)()()f x a f x b T a b +=+⇒=- ； （2）()()2f x a f x T a +=-⇒=； （3） ()()12f x a T a f x +=±⇒= . 10.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q 两点，1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）A. 21-B. 2C. 21+D. 22+【★答案★】C 【解析】 【分析】根据题设条件，可知2212,2b PF F F c a==，根据212PF F F =，结合222c a b =+和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，可知2212,2b PF F F c a==，因为12PF Q π∠=，可得212PF F F =，即22b c a=，即22b ac =， 又由222b c a =-，所以222c a ac -=，即2220c ac a --=， 即2210e e --=，解得21e =+或12e =-，又因为1e >，所以21e =+.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围).11.函数()ln ,0,cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨≤⎩的图象上关于y 轴对称的点共有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【★答案★】C 【解析】分析：由题意将原问题转化为函数图像交点个数的问题，绘制函数图像即可求得最终结果. 详解：函数ln y x =关于y 轴对称的函数为()ln y x =-，该函数为单调函数， 原问题等价于函数()ln y x =-与函数()cos 0y x x π=≤的交点的个数， 绘制函数图像如图所示，观察可知，交点个数为3个， 则函数(),0,,0lnx x f x cos x x π>⎧=⎨≤⎩的图象上关于y 轴对称的点共有3对.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查等价转化的数学思想，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. (),e +∞C. ()()0,1,e +∞D.()()20,1,e +∞【★答案★】D 【解析】当0x =时，()210f x e =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点，当()0x ∈+∞，时，()0f x =等价于2x e e a x +=令()()20x e e g x x x +=>，则()22x x xe e e g x x --'=当2x <时，()0g x '<， 当2x =时，()0g x '=， 当2x >时，()0g x '>，())2g x e ⎡∴∈+∞⎣，(1)当01a <<时，()f x 在()0，-∞有两个零点，故()f x 在()0+∞，没有零点，从而 2a e <，01a ∴<<(2)当0a ≤或1a =时，()f x 在()0，-∞有一个零点，故()f x 在()0+∞，有一个零点，不合题意；(3)当1a >时，()f x 在()0，-∞没有零点，故()f x 在()0+∞，有两个零点，从而2a e > 综上所述，01a <<或2a e >，即实数a 的取值范围是()()20,1,e ⋃+∞故选D点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，分段函数的图象，复合函数的图象以及零点问题等知识点；主要考查了学生的抽象概括能力，运算求解的能力以及应用意识；考查数行结合思想，分类与整合，函数与方程思想；考查数学抽象，数学运算和数据分析等．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某田径队有男运动员30人，女运动员10人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有_______人. 【★答案★】5 【解析】 【分析】直接根据分层抽样的定义求解即可. 【详解】男运动员30人，女运动员10人，∴抽出的女运动员有1012020510304⨯=⨯=+人，故★答案★为5.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 14.二维空间中，圆的一维测度（周长）2lr π=，二维测度（面积）2S r π=；三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W =___________. 【★答案★】43r π 【解析】二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；观察发现'S l =，三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现',V S =∴四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W ，则34'12,3W V r W r ππ==∴=，故★答案★为43r π.【方法点睛】本题通过观察维测度与二维测度、二维测度与三维测度之间的关系，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一. 15.函数()ln f x x x =-在(]0,e 上的最大值为________． 【★答案★】1- 【解析】 【分析】由函数()ln f x x x =-可知，0x >，利用导数的正负确定函数的单调性，从而可求函数()f x 在(]0,e 上的最大值.【详解】解：由函数()ln f x x x =-可知，0x >， 则()111xf x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，即函数()f x 在()0,1上单调递增， 当1x e <≤时，()0f x '<，即函数()f x (]1,e 上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，()()max 1ln111f x f ==-=-. 故★答案★为：1-.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于中档题.16.已知直线21ax by +=（其中a ，b 为非零实数）与圆224x y +=相交于A,B 两点，O 为坐标原点，且23AOB π∠=，则2212+a b的最小值为______． 【★答案★】8 【解析】 【分析】由直线2ax+by=1（其中a ，b 为非零实数）与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，且23AOB π∠=，可得圆心O （0，0）到直线2ax+by=1的距离d=1，可得2a 2+b 2=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵直线2ax+by=1（其中a ，b 为非零实数）与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且23AOB π∠=，∴圆心O （0，0）到直线2ax+by=1的距离d=2212a b+=1，化为2a 2+b 2=1．∴21a +22b =（21a +22b ）（2a 2+b 2）=2+2+22b a +224a b ≥4+222224b a a b⋅=8，当且仅当b 2=2a 2=12取等号． ∴21a +22b 的最小值为8． 故★答案★为：8．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知函数2()1f x x ax lnx =-++-在1x =处取得极值.（1）求()f x ，并求函数()f x 在点()()22f ,处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.【★答案★】（1）()231ln f x x x x =-++-；36ln22y x =-+-（2）()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求出导函数1()2f x x a x'=-+-，0x >，利用()f x 在1x =处取得极值，得到()10f '=，得到3a =，求出切点坐标切线的斜率，然后求解函数()f x 在点()()22f ,处的切线方程． （2）由（1）1()23f x x x'=-+-，通过导函数的符号，求解函数的单调增区间与函数的单调减区间．【详解】解：（1）由题得，()()120.f x x a x x'=-+-> 又函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10,f '=解得 3.a =即()231ln f x x x x =-++-.因为()()1230f x x x x '=-+->，所以()()32,23ln22f f =-'=-， 所以曲线()f x 在点()()22f ,处的切线方程为3622y x ln =-+-．（2）由（1）得，()()1230f x x x x'=-+->， 令()0f x '>，即1230x x -+->，解得112x <<，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.令()0f x '<，即1230x x -+-<，解得102x <<或1x >，所以()f x 的单调递减区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的切线方程的求法，单调区间的求法，考查计算能力．18.某公司共有职工1500人,其中男职工1050人,女职工450人.为调查该公司职工每周平均上网的时间,采用分层抽样的方法,收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据(单位:小时)男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 每周平均上网时间超过4个小时 70 总计300(Ⅰ)应收集多少名女职工样本数据?(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12.试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率是多少?(Ⅲ)在样本数据中,有70名女职工的每周平均上网时间超过4个小时.请将每周平均上网时间与性别的22⨯列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”【★答案★】(1) 应收集90位女职工的样本数据;(2)0.75;(3) 没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”. 【解析】分析：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，即可得到，应收集90位女职工的样本数据. （Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-+=，即可得到结论；(Ⅲ)由（Ⅱ）知，求得每周平均上网时间与性别的22⨯列联表，利用公式，求解2χ的值，即可作出判断结论． 详解：（Ⅰ）300450901500⨯=，∴应收集90位女职工的样本数据. （Ⅱ）由频率分布直方图得()120.1000.0250.75,-+=∴估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75(Ⅲ)由（Ⅱ）知，300名职工中有3000.75225⨯=人的每周平均上网时间超过4小时． 有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，∴有22570155-=名男职工每周平均上网时间超过4小时，又样本数据中有90个是关于女职工的，∴有30090210-=个关于男职工的，∴有907020-=名女职工，有21015555-=名男职工的每周上网时间不超过4小时， ∴每周平均上网时间与性别的22⨯列联表如下：男职工女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 55 20 75 每周平均上网时间超过4个小时15570225总计 210 90 300结合22⨯列联表可算得：()223005570155207522521090x ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 0.529 3.841≈<所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”点睛：本题主要考查了分层抽样的应用，以及独立性检验的实际应用问题，其中正确理解题意，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19.如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （2）求三棱锥V ABC -的体积. 【★答案★】（1）详见解答；（2）33. 【解析】 【分析】（1）由已知可得OC AB ⊥，再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ，即可证明结论； （2）OC ⊥平面VAB ，用等体积法求三棱锥V ABC -的体积. 【详解】（1）,AC BC O =为AB 中点，OC AB ∴⊥， 平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ，平面MOC ⊥平面VAB ； （2）AC BC ⊥且2AC BC ==，O 分别为AB 的中点，11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=，OC ⊥平面VAB ，1333V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=， 33V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M .直线m 与l平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形.【★答案★】(1)221164x y +=；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）将点M 分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线m 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k MA +k MB =0，即可求得△MEF 为等腰三角形． 试题解析：（1）由直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ，则a=2b ，将()22,2M 代入椭圆方程：22221x y a b +=，解得：b 2=4，a 2=16，椭圆C 的方程为221164x y +=． （2）设直线m 为：12y x t =+，()()1122,,,A x y B x y 联立:22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x bx b ++-=于是22228,2xx b x x b =-+=-设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需0MA MB k k +=121222,2222MA MB y y k k x x --==--，()()()()121212222222MA MB x x b x x k k x x +-++=--， ()()2212284224282222b b b b x x -+--+=--，0=，所以MEF ∆为等腰三角形.点睛: 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键. 21.己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间;（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:（3）若2a =-，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=，证明:12512x x -+≥ 【★答案★】（1）(1,)+∞；（2）2；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为(1)102af =-=，所以2a =，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>由()0f x '<，得1x >，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于2ln 112x x a x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．再利用导数求函数2ln 1()12x x g x x x ++=+最大值，令()0g x '=根为0x ，()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．00max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++(1,2)∈，所以整数a 的最小值为2．（3）转化为关于12x x +的不等式即可：由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅，利用导数求左边函数最小值1，所以21212()()1x x x x +++≥，解得12512x x -+≥试题解析：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =， 1分 此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>2分由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． 4分 （2）方法一：令21()()(1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =--=-+-+， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+=-+='-．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立． 6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+=-'=， 令()0g x '=，得1x a =．所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a ∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． 8分 令1()ln 2h a a a =-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数．所以当2a ≥时，()0h a <． 所以整数a 的最小值为2． 10分方法二：（2）由()1f x ax ≤-恒成立，得21ln 12x ax x ax -+≤-在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． 6分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +-=+'-，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． 8分 因为11()2024h ln =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈． 所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． 10分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++= 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅13分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-=' 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ≥=， 15分所以21212()()1x x x x +++≥，因此12512x x -+≥成立． 16分 考点：利用导数求函数单调区间、函数最值（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为122{32x ty t=+=（t 为参数）.（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值. 【★答案★】（1）()2211x y -+=，24y x =（2）113【解析】试题分析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+便可得普通方程（2）根据直线参数方程的t 的几何意义可设四个交它们对应的参数分别为1234,,,t t t t .把122{32x ty t=+=代入24y x =，，1483t t +=，把122{32x ty t=+=，代入()2211x y -+=，得221321122t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20t t +=，23 1t t +=-， 而()()2143PQ RS t t t t -=---代入求解即可 试题解析：（1）因为cos,sinx yρθρθ==，由2cosρθ=得22cosρρθ=，所以曲线1C的直角坐标方程为()2211x y-+=，由2sin4cosρθθ=得22sin4cosρθρθ=，所以曲线2C的直角坐标方程为：24y x=.（2）不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t. 把122{32x ty t=+=代入24y x=，得234242t t⎛⎫=+⎪⎝⎭，即238320t t--=，则()()21843324480∆=--⨯⨯-=>，1483t t+=，把122{32x ty t=+=，代入()2211x y-+=，得221321122t t⎛⎫⎛⎫+-+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20t t+=，则210∆=>，231t t+=-，所以()()()21432314811133 PQ RS t t t t t t t t-=---=+-+=+=.点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中t 的几何意义，借助t 的意义来表示线段长会很方便.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x a x =--+.（1）当2a =时，求()1f x <-的解集；（2）当[1,3]x ∈时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【★答案★】(1)2{|2}3x x <<;(2)06a ≤≤. 【解析】【详解】分析：（1）通过讨论x 的范围，1x ≤-，11x -<≤和1x >三中情形，求出不等式的解集即可；（2）原不等式可化为23x a x -≤+，解绝对值不等式可得333x a x -≤≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立即可得结果.详解：（1）当2a =时，由()1f x <-可得2211x x --+<-，所以当1x ≤-时，不等式转化为31x -+<-，无解，当11x -<≤时，不等式转化为311x -+<-，解得213x <≤， 当1x >时，不等式转化为31x -<-，解得12x <<，综上可知，不等式()1f x <-的解集为2{|2}3x x <<. （2）当[]1,3x ∈时，()2f x ≤恒成立，即2213x a x x -≤++=+，故()323x x a x -+≤-≤+，即333x a x -≤≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以06a ≤≤.点睛：本题考查了绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。