云南省207年月普通高中学业水平考试(数学试卷)

云南省2017年7月普通高中学业水平考试数学试卷【考生注意】本试卷考试时间100分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)．球的表面积公式：S ＝4πR 2，体积公式：V ＝43πR 3，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式：V ＝S h ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13S h ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷(选择题共51分)一、选择题(本大题共17小题，每小题3分，共51分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂)1．已知集合A={1，2}，B={0，m ，3}，若A∩B={2}，则实数m =()A.－1B.0C.2D.32.已知θθ，135sin =是第二象限的角，则θcos 的值是()A.125 B.125- C.1312 D.1312-3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.12B.8C.532D.3324.函数x x x f 8)(2-=的定义域为()A.)8[]0(∞+-∞，， B.[0，8]C.)8()0(∞+-∞，，D.(0，8)5.2363log log -的值为()A.－1B.1C.－2D.26.若向量a =(5，m )，b =(n ，﹣1)，且a //b ，则m 与n 的关系是()A.05=-mn B.05=+mn C.05=-n m D.05=+n m 7.如果圆柱的底面半径为2，高为4，那么它的侧面积等于()A.24π B.20π C.16π D.12π8.运行下面的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出y 的值是()A.2B.1C.2或1D.－29.函数x x x f -=3)(的图象()A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y =x 对称D.关于y 轴对称10.已知31sin -=α，则cos2α的值是()A.97 B.97- C.92 D.92-11.统计中用相关系数r 来衡量两个变量x ，y 之间线性关系的强弱，下列关于r 的描述，错误的是()A.当r 为正时，表明变量x 和y 正相关B.当r 为负时，表明变量x 和y 负相关C.如果r ∈[0.75，1]，那么正相关很强D.如果r ∈[－1，－0.1]，那么负相关很强12.函数)22sin(2π+=x y 的最小正周期是()A.π B.2π C.4π D.2π13.某校高三年级甲、乙两名同学8次月考数学成绩用折线图表示如图，根据折线图，下列说法错误的是()A.每次考试，甲的成绩都比乙好B.甲同学的成绩依次递增C.总体来看，甲的成绩比乙优秀D.乙同学的成绩逐次递增14.函数x x y cos sin -=的最大值是()A.2 B.2 C.0 D.115.函数x e x f x +=)(的零点所在区间是()A.)12(--，B.)01(，-C.(0，1)D.(1，2)16.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度大于1的概率为()A.51 B.32 C.31 D.2117.如图是2002年在北京召开的的第24届国际数学家大会的会标，它源于我国古代数学家赵爽的“弦图”。

秘密★启用前【考试时间：4月6日15:00 - 17:00】2023年云南省第二次高中毕业生复习统一检测数学本试卷共8页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合U={0,1,2,3},S={0,3},T={2}, 则Cu(SUT)=A.{1}B.{0,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2 . 已知i 为虚数单位，则复在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具A.116 件B.110 件C.107 件D.106 件数学试卷·第1页(共8页)5134.若直线3x-4y-13=0 与圆(x-2)²+(y+3)²=36 交于A 、B 两点，则A |B|= A.2√37 B.12C.2√35D.2√33 5.在的二项展开式中，x² 的系数是 A. B.-35 C.D.-636. 如图，E 是正方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁ 的棱CC ₁ 上的点.若CC ₁=4EC ₁ , 则直线AE 与直线C ₁D ₁ 的夹角的正切值等于A.B.C.D.7.设x ₁、x ₂ 是关于x 的方程x²+( a-1)x+a+2 =0 的根.若-1 则实数a 的取值范围是C.(-2,1)D.(-2,-1)8.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降 低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益.为配合垃圾分 类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一、高二、高三年级 分别有2名、3名、3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要 求同年级同学排在一起，则不同的排法共有A.432 种B.420 种C.176 种D.72 种数学试卷 ·第2页(共8页)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

云南省2020年普通高中数学学业水平考试试卷[考生注意]：考试用时100分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.球的表面积公式：24S R π=,体积公式：343V R π=,其中R 表示球的体积. 柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.选择题（共51分）一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂。

1.已知集合S=｛1，2｝集合T=｛1，2，3｝则M ∩N= ( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}2.一个空间几何体的正视图与侧视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)、俯视图是一个半径为3的圆，那么这个几何体的体积为 ( ) A .π36 B . π27 C .π18 D . π93.在四边形ABCD 中，AB -AC 等于( ) A.BC B. BD C.DB D.CB4.52542log log +的值为( )A . 12 B . 2 C .2910 D . 10295.要得到函数)6sin(π+=x y 的图象，只需要将函数sin y x =的图象（ ）A. 向左平平移6π B. 向右平移6π C. 向左平移3πD. 向右平移3π6.一盒中装有除颜色外大小相同的红球5个和黑球4个，从中任意取出一个球，那么取出的球是红球的概率是（ ） A .91 B .95 C . 94 D .547..若运行图1所示的程序，则输出n 的值是（ ）A .61B . 51C . 41D . 31 8.=-000026sin 56cos 26cos 56sin （ ） A .21 B .23 C .21-D .23-9.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且2a =,3=c ,B cos =41,则b 等于（ ）A . 10 B .10C . 13D . 410.已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则P 到点N M 、的距离都大于2的概率为（ ） A . 12 B . 31 C .32 D .4311.过点)2,1(P ，且与直线032=+-y x 平行的直线的方程为（ ） A .02=-y xB . 012=+-y xC . 012=--y xD .02=+y x12.下列函数是偶函数的是( ) A .x y 2= B .x y ln = C .xy 3log = D .xy 4log =13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ,则y x Z 2+=的最大值是( )A . 6B .5C .4D . 2 14.等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若53=a ,则5s 的值为( ) A . 15 B .20 C .25 D .3015.某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况,现采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取200人的样本,则该样本中高三学生的人数为( )A . 60B .50C .40D .30 16.过点)3,3(p ,且与圆1)2()3(:22=-+-y x C 相切的直线方程为( ) A .0343=+-y x B .021-43=+y x C .3=x D .3=y 17.设21,x x 是常数,2017))(()(21---=x x x x x f ,43,x x 是)(x f 的零点.若4321x x x x <<，,则下列不等式,正确的是( )A .4231x x x x <<<B . 4321x x x x <<<C .4213x x x x <<<D .2431x x x x <<<非选择题（共49分）二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

云南省2015年7月普通高中学业水平考试数学试卷选择题（共51）一、选择题（本题共17个小题，每个小题3分，共51分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请在答题卡相应位置填涂。

） 1. 已知全集U R =，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ）A. {|1}x x ≤B. {|1}x x <C. {|2}x x <D. {|2}x x ≤ 2. 已知某几何体的直观图如右下图，该几何体的俯视图为（ B ）CBA3.已知向量a 与b 的夹角为60o，且||2a =，||2b =，则a b ⋅=（）A. 2B.2C. D.124.在下列函数中，为偶函数的是（ ）A. lg y x =B. 2y x = C. 3y x = D. 1y x =+ 5.已知圆22230xy x +--=的圆心坐标及半径分别为（ ）A. (10)-，B. (10)，C. (10)2，与D. (10)2-，与 6. 224log log 77+=（ ） A. －2 B. 2 C.12 D. 12- 7.如图1是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数依次为（ ）A. 87，86B. 83，85C. 88，85D. 82，868. 22cos 22.5sin22.5o o-=（ ）A.2B. 12C. 2-D. 12-0 32　3　7　88987图19.已知等差数列n a 中，14a =，26a =，则4S =（ ）A. 18B. 21C. 28D. 40 10.把十进制数34化为二进制数为（ ）A. 101000B. 100100C. 100001D. 10001011.某大学有A 、B 、C 三个不同的校区，其中A 校区有4000人，B 校区有3000人，C 校区有2000人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取900人参加一项活动，则A 、B 、C 校区分别抽取（ ） A. 400人、300人、200人 B. 350人、300人、250人 C. 250人、300人、350人 D. 200人、300人、400人 12.为了得到函数sin(3)6y x π=+的图象，只需要把函数()6y x π=+的图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短为原来的13倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的1倍，横坐标不变 16.如果二次函数2()3f x x mx m =+++有两个不同零点，那么实数m 的取值范围是（ ）A. (2)(6)-∞-+∞，，B. (26)-，C. (26)，D. [26]-，17.若(cos )cos3f x x =那么(sin 70)of 的值为（ ）A. B. C. 12- D. 12非选择题 （共49分）二、填空题 （本大题共5个小题，每小题4分共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上。

绝密⋆启用前普洱市2023—2024学年下学期高二年级期末统测试卷高二数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．考查范围：必修一、二；选择性必修一、二、三．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 （）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，若，则（ ）A ．3B ．－3C ．1D ．－13．已知数列的前项和，则（ ）A ．11B ．13C ．24D ．254．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（ ）A ．B ．4C ．D ．25．2024年春晚魔术师刘谦再次重返舞台，利用简单的模具扑克牌向观众再次展示了魔术的魅力与神奇．某魔术师在表演时将8张不同色号的扑克牌分给3名观众，每个观众被分到的扑克牌数目不少于2张，且3名观众中没有人被分到3张扑克牌，则不同的分配方法有（ ）A ．2520种B ．1260种C ．420种D ．210种6．函数在上的值域为（）A．B ．C ．D ．7．已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程{}()240,{1},A x x B x x A B =-≥=<=R ð∣∣{}2,2x x ≤-≥或∣{}2,1x x x ≤-≥或∣{}12x x ≤≤∣{}21x x -≤≤∣()()2,1,1,a b λ==-()a b a +⊥ λ={}n a n n S 1n =-78a a +=21y x =-221C x my -=:m 1412()22cos 3sin f x x x =+ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]3,4253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦251,8⎤+⎥⎦()f x 0x >()32f x x ax b -=++()f x 1x =-为，则（ ）A ：4B ．－4C ．2D ．－28．已知，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，点对应的复数为，则（ ）A．B ．C ．D ．10．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（）A ．事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．记为击中目标的次数，则11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ）A ．正八面体的内切球表面积为B ．正八面体的外接球体积为C ．若点为棱上的动点，则的最小值为30x y +=a b -=311,418,527a b c ===,,a b c a c b>>b a c>>c b a>>a b c >>()2,1z 5z =4z z +=5zz =121i 33z =-13X ()()24,39E X D X ==6SF E ABCD F --E ABCD F --8π3E ABCD F --8π3P EB AP CP +D ．若点为棱上的动点，则四棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．总体由编号为的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．781665720802631402144319971401983204923449368200362348696938718113．在中，内角的对边分别为，已知，若，则______，______．（第一空2分，第二空3分）14．已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，两点在的准线上的射影分别为，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截，则的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中．”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安．现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期（单位：天），按从小到大排序结果如下：939798101103104107108109110112116121124126已知这组样本数据的分位数、分位数分别为．（1）求；（2）在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间的稻株记为“高产稻株”，其余记为“低产稻株”．现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有株，求的分布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率）．6．（15分）已知数列满足，数列满足．（1）判断数列的单调性；（2）求数列的前项和．17．（15分）如图，在正三棱柱中，为的中点．Q AF E QBC -01,02,,19,20 ABC △,,A B C ,,a b c 4π4,a B ==()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-A =b =()220C y px p =>:F l F C ,M N ,M N C,A B MAF △NBF △y MN p 10%80%,a b ,a b (),a b X X {}{},n n a b 21,2nn n n n a b n a b -+=+={}n c 11n n nc a b =+{}n c {}n c n n S 111ABC A B C -P 1BC（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（17分）已知在曲线上，直线交曲线于两点．（1）当不在直线上时，试问（分别为的斜率）是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；（2）若为坐标原点，，求面积的最小值．19．（17分）已知函数，且的极值点为．（1）求；（2）证明：；（3）若函数有两个不同的零点，证明：．普洱市2023—2024学年下学期高二年级期末统测试卷高二数学参考答案及评分细则1．【答案】B【解析】，或，则．故选B ．2．【答案】B【解析】依题意，，故，解得．故选B ．3．【答案】C【解析】因为，所以．故选C ．1BC PA ⊥12,AA AB ==1AB 11PA C (),P x y 4C =y kx =C ,A B P AB PA PB k k ⋅,PA PB k k ,PA PB O OP AB ⊥PAB △()()212ln 0ag x x a x =-->()g x 0x 0x ()0222g x a+≤()g x 12,x x ()022121122g x x x +>+{}240{2A x x x x =-≥=≤-∣∣{}2},1x B x x ≥=≥R ∣ð(){}2,1A B x x x =≤-≥R 或ð∣()1,1a b λ+=+()210a b a λ+⋅=++= 3λ=-8649,25S S ==788624a a S S +=-=4．【答案】A【解析】由题设且，故，其中一条与，则．故选A ．5．【答案】B【解析】由题意可得仅有一种分配方式：，故不同的扑克牌分配方法有种可能．故选B ．6．【答案】B【解析】依题意，令，故．故当时，有最大值，当时，有最小值3，故所求值域为．故选B ．7．【答案】D【解析】的图象在处的切线方程为，则，当时，，，因为是奇函数，图象关于原点对称的图象在处及处的切线也关于原点对称，所以，即所以．故选D ．8．【答案】D 【解析】，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以．故选D ．9．【答案】BC （每选对1个得3分）2211y C x m-=:0m >1,a b ==y x =21y x =-2=14m =4,2,242238423C C C A 12602=！()22sin 3sin 2f x x x =-++sin x t =2232,y t t t ⎤=-++∈⎥⎦34t =y 2581t =y 253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 1x =-30x y +=()()13,13f f -=-=-'0x >()32f x x ax b =++()232f x x ax =+'()f x ()f x 1x =-1x =()()13,13f f =-=-'13,323,a b a ++=-⎧⎨+=-⎩3,1,2a b a b =-=--=-3453434341118119log 11,log 18,log 27,log 11log 18log 9log 16log log 91698a b c a b ⎛⎫⎛⎫===-=-=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4399log log 88<3433311911988log log log log log 0989881->-=>45454518279270log 18log 27log 16log 25log log 1625825a b b c ⎛⎫⎛⎫->-=-=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；542727log log 2525<4544492792725log log log log log 082582524->-=>0b c ->a b c >>【解析】因为点对应的复数为，所以，所以，故选项A 错误；因为，所以，则，故选项B 正确；因为，故选项C 正确；因为，故选项D 错误．故选BC ．10．【答案】BD （每选对1个得3分）【解析】对于A ：事件“至多击中一次”包含“恰击中一次”和“两次均未击中”，故A 错误；对于B ：事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B 正确；对于C ：事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；对于D ：依题意，所以，故D 正确．故选BD ．11．【答案】ACD （每选对一个得2分）【解析】设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，解得，故它的内切球表面积为，故A 正确；设该正八面体外接球的半径为，易知为正八面体外接球的直径，，故B 错误；当为的中点时，，此时取得最小值为C 正确；易知，因为平面平面，所以平面，所以D 正确．故选ACD ．12．【答案】01【解析】从随机数表的第一行的第5列和第6列数字开始由左到右选取的编号依次为，所以选出来的第5个个体的编号为01．13．（第一空2分，第二空3分）【解析】由以及正弦定理得，，所以()2,1z 2i z =+z ==2i z =+2i z =-2i 2i 4z z +=++-=()()22i 2i 4i 5zz =+-=-=()()112i 2i 21i 2i 2i 2i 555z --====-++-12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()()121142,2133339E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭r 111822sin60222323V r =⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯ r =28π4π3⨯=R EF 2R =R =P EB ,AP EB CP EB ⊥⊥AP CP +AF EC ∥AF ⊄,EBC EC ⊂EBC AF ∥EBC 112232E QBC Q EBC A EBC E ABC V V V V ----====⨯⨯⨯=三棱锥形三棱锥三棱锥三棱锥08,02,14,19,01()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-()()()a b a b c b c -+=-，所以，因为，所以．由正弦定理得．14．【解析】当点在第一象限时，由抛物线的定义可得，所以，所以，所以．如图，过点作于点，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率，与联立得，解得，所以，所以以为直径的圆的半径，圆心到轴的距离，所以弦长为，解得．当点在第三象限时，由对称性可得．综上，．15．解：（1）样本数据的个数．因为，故分位数为第2项数据，即．因为，故分位数为第12项与第13项数据的平均数，即．222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc+-==0πA <<π3A =sin sin a b A B ==b=M ,MA MF NB NF ==221sin 241sin 2MAF NBF MA MF AMF MFS S NF NB NF BNF ∠∠===△△2MF NF =2MA NB =N 1NN MA ⊥1N 1N A NB =11123N M AM MN ==111cos 3N M N MN MN∠==1sin N MN ∠=l 111sin tan cos N MN k N MN N MN ∠∠∠===2p l y x ⎫=-⎪⎭：22y px =22450x px p -+=,4M N p x p x ==94M N MN x x p p =++=MN 928MN r p ==y 528MN x x d p +====p =M p =p =15n =10% 1.5n ⨯=10%97a =80%12n ⨯=80%116121118.52b +==（2）因为区间，样本数据中共有10个数据位于该区间，故由题意，该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率为．随机变量的所有可能取值为，且．故的分布列为0123所以的数学期望．【评分细则】第二问首先由频率代表概率，少这一步的说明扣1分．16．解：（1）由题可得，又因为，所以数列单调递增．（2）由题意可得，①②①②得，故．【评分细则】1．第一问用其他方法比如作商法判断出单调性也可得满分；2．第二问若最终结果不是最简结果扣1分．17．（1）证明：取的中点，连接，又为的中点，所以，()(),97,118.5a b =102153P ==X 0,1,2,323,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()()320133112120C ,1C ,327339P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()232333214282C ,3C 339327P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X P1272949827X 2323EX =⨯=()11212n n nn n n n na b c n a b a b +=+==+⋅()()()112322122250n n n n n c c n n n ++-=+⋅-+⋅=⋅+>{}n c ()123123325272212nn n S c c c c n =++++=⨯+⨯+⨯+++⋅ ()()23123252212212,n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ -()()()2311622222122122nn n n S n n ++-=+⨯+++-+⋅=--⋅- ()12212n n S n +=+-⋅BC D ,AD PD P 1BC 1PD CC ∥又，所以，所以直线确定一个平面因为平面平面，所以又，所以，又，所以平面，又平面，所以．（2）解：由（1）可得平面平面平面，所以，以为原点，的方向分别为轴的正方向建系如图，则，所以设平面的法向量为，由得取，所以，设直线与平面所成的角为，则故直线与平面．【评分细则】1．第（1）问中可用空间向量法求解，若采用不同方法建系，酌情给分；11AA CC ∥1PD AA ∥1,PD AA 1AA PD 1AA ⊥,ABC BC ⊂ABC 1AA BC ⊥AB AC =AD BC ⊥1AA AD A = BC ⊥1AA PD 1PA ⊂1AA PD 1BC PA ⊥PD ⊥,ABC AD ⊂,ABC BD ⊂ABC ,PD AD PD BD ⊥⊥D ,,DB AD DP,,x y z ()()())()1110,3,0,0,3,2,0,0,1,2,2A A P B C --)()()1111,,0,3,1AB AC A P ===-11PA C (),,m x y z =1110,0,m AC m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 30,30,y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩x =1,3y z ==)m =1AB 11PA C θ111sin cos ,m AB AB m m AB θ⋅====1AB 11PA C2．第（2）问若采用几何法求解，酌情给分．18．解：（1）曲线，曲线为椭圆．设，由对称性可得，又，同理，．（2）若当时，联立则，设交椭圆的另一个交点为，则直线可设为，故．，当且仅当，即时等号成立，．面积的最小值是．C 42=>∴C 22143x y +=()()1122,,,A x y B x y 2121,x x y y =-=-()2211122111,,PA PBy y y y y y P x y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-222211111,31434x y x y ⎛⎫+=∴=- ⎪⎝⎭ 22314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22122131314434PA PBx x k k x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⋅==--10,42PAB k S ===△0k ≠22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234120,k x x +-==2AB x =-==OP AB ⊥ OP Q PQ 1y x k=-12PQ PQ ===21122PABS PO AB ∴==⋅=△22234347722k k k ++++≤=21k =1k =±()22121247772PAB k S k +∴≥=+△247PAB <∴△247【评分细则】如有其他解法酌情给分．19．（1）解：由，则所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以的极大值点，即．（2）证明：由题意，要证，只需证，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即，所以（3）证明：因为是的两个不同的零点，所以，两式相减并整理得．设，由（2）知，所以要证，只需证，即证设，下面就只需证，设，则，()212ln a g x x x=--()()232x a g x x '--==(x ∈()()0,g x g x '>)x ∞∈+()()0,g x g x '<x =()g x 0x =()ln 0ga a =->()0222g x a +≤1ln 10a a+-≥()()1ln 10h x x x x =+->()22111x h x x x x-=-='()0,1x ∈()()0,h x h x '<()1,x ∞∈+()()0,h x h x '>()()10h x h ≥=1ln 10x x +-≥()0222g x a+≤12,x x ()g x ()()1122221212ln 0,12ln 0a a g x x g x x x x =--==--=22212221212ln x x x a x x x -=210x x >>()0222g x a+≤()022121122g x x x +>+2221222221212111ln x x x x x x x x -+>22221221211ln 1x x x x x x ->+()211,x t x ∞=∈+()221ln 11t t t t ->>+()()221ln 11t S t t t t -=->+()()()()222222114011t t S t t t t t -=-=>++'所以在上单调递增，从而，所以成立，从而．【评分细则】如用其他解法酌情给分．()S t ()1,∞+()()10S t S >=()221ln 11t t t t ->>+()022121122g x x x +>+。

云南省（新教材）2021-2022学年高一春季学期期末普通高中学业水平考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．PQ A
B ^B ．PQ A
C ^C ．PQ BC ^
D ．1
1
PQ B C
^
三、解答题
27．为了解汽车通过某路段的时速情况，经随机抽样获得100辆汽车通过该路段雷达测速区的时速（单位：km/h ），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆
汽车时速的范围是[]30,80，数据分组为[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，
6．D
【分析】根据平面向量的坐标运算可得.
【详解】因为()1,1a =r ，()2,0b =r ，所以2(1,1)2(2,0)(5,1)a b +=+=r r .
故选：D 7．A
【分析】根据复数的运算律直接求解.【详解】()2i 12i i 2i 2i ×-=-=+，故选：A.8．D
【分析】根据一元二次不等式求解即可.【详解】不等式()()120x x --£的解集为[]1,2.故选:D.9．C
【分析】根据向量的加法，即可求得答案.
【详解】由题意AB BC AC +=uuu r uuu r uuu r
,
故这个人由A 地到C 地位移的结果为AC uuu r
，
故选：C 10．B
【分析】利用奇函数性质可得()()33f f -=-，将()3f 代入相应解析式计算即可.【详解】根据奇函数性质可知()()33f f -=-；而30>，所以()3321f =-=，所以()()331f f -=-=-.故选：B。

昆明市2023-2024学年高二期末质量检测数学（答案在最后）考试时间:7月4日8:30-10:30注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（）A.B.C.2D.2.已知向量()()1,2,1,3a b λλ=+=-，若a b ∥，则λ=（）A .6- B.5- C.4- D.3-3.已知命题:,20x p x ∃∈<R ，命题()2:0,,ln 0q x x ∞∀∈+>，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题4.已知函数()y f x =，x ∈R 且()03f =，()()()0.520.51f n f n =-，*n ∈N ，则()f x 的一个解析式为（）A.()32xf x =⋅ B.()132x f x -=⋅ C.()34xf x =⋅ D.()134x f x -=⋅5.某人连续投一枚骰子4次，记录向上的点数得到一组样本数据，若该组样本数据的平均数为2，则（）A.极差可能为5B.中位数可能为3C.方差可能为1D.众数可能为46.已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过C 上一点P 作圆()2222x y r -+=的两条切线，切点分别为,F A ，若PF PA ⊥，则p =（）A.12B.23C.1D.437.已知正四棱台的体积为143，上、下底面边长分别为积为（）A .20πB.25πC.36πD.50π8.函数()1cos22f x x =+，2π,3x t t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A.R t ∃∈，使得()f x 为偶函数B.R t ∃∈，使得曲线()y f x =为中心对称图形C.R t ∀∈，()f x 存在极值D.R t ∀∈，()f x 存在两个零点二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，{}n S 为等差数列，则（）A.1q = B.n nS na = C.{}n n a S +为等差数列D.{}n n a S 为等比数列10.已知函数()()()1f x x x x a =--，R a ∈，则下列说法正确的是（）A .若()36f =，则()11f '=-B.若()20f >，则2a <C.若()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的范围为0a >D.函数()f x 有两个极值点11.已知双曲线22:18y E x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在E 的右支上，则F 列说法正确的是（）A.若12PF F △的周长为24，则12PF F △的面积为48B.221212PF PF -≥C.120tan PF F ∠≤<D.若12F PF ∠为锐角，则点P 的纵坐标范围是()(),88,∞∞--⋃+三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()13,02,0x x f x f x x ⎧⎪≤=⎨->⎪⎩，则()3f =______.13.已知1sin cos ,tan 3tan 3αβαβ==，则()sin αβ+=______.14.甲、乙两人先后在装有m 颗黑球的1号盒子与装有n 颗白球的2号盒子（*,m n m <∈N ，*n ∈N ）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.例如:当1,2m n ==时，甲先手不论如何取球，乙后手取球均有必定获胜的策略．若8m n +=，且后手取球者有必定获胜的策略，则满足条件的一组数组(),m n 可以为______.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知222sin sin sin sin A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若1c =， ABC V的面积为4，求 ABC V 的周长.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，11,,,33AB AD CO AD AO AD PM PD ⊥⊥==.（1）证明://CM 平面PAB ;（2）若直线PO ⊥平面,1,2,ABCD OA AB OC OD OP =====，求平面PBC 与平面PCD 的夹角的大小.17.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2.（1）求E 的方程;（2）过点(作直线l 与椭圆E 相交于,A B两点，若7AB =，求直线l 的方程.18.如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为p ，传给位于对角线顶点同学的概率为q ，传球3次为一轮.（1）已知第一次由随机一名同学将球传出，若p q =，设事件A 为“一轮中每人各持一次球”.（i）求p 及事件A 的概率;（ii）设三轮传球中，事件A 发生的次数为X ，求X 的分布列与数学期望;（2）已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大?19.已知函数()y f x =的定义域为I ，设0x I ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x ，当1n ≥时，设曲线在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +，依次类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于'0x 的“N 数列”，已知()()2ln 1f x x x =-+.（1）若{}n x 是函数()y f x =关于01x =的“N 数列”，求1x 的值;（2）若()(){},n g x f x a '=是函数()y g x =关于034a =-的“N 数列”，记2log 21n nb a =+.（i ）证明:{}n b 是等比数列;（ii ）证明:()()12121sin ln log ,2,n n i b n n i ++=<-≥∈∑N .昆明市2023-2024学年高二期末质量检测数学考试时间:7月4日8:30-10:30注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算可得z ，再根据复数的几何意义可得复数的模.【详解】由i 1i z =-，得221i i i i 11i i i 1z --+====---，则z ==，故选：A.2.已知向量()()1,2,1,3a b λλ=+=-，若a b ∥，则λ=（）A.6-B.5- C.4- D.3-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示计算求解即可.【详解】因为向量()()1,2,1,3a b λλ=+=-，a b∥，所以()()31210λλ+--=，解得5λ=-.故选：B3.已知命题:,20x p x ∃∈<R ，命题()2:0,,ln 0q x x ∞∀∈+>，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】D 【解析】【分析】判断出命题p 、命题q 、命题q ⌝、命题p ⌝的真假可得答案.【详解】,20x x ∀∈>R ，所以命题:,20∃∈<x p x R 是假命题，p ⌝是真命题，当01x <≤时，201x <≤，所以2ln 0x <，所以命题()2:0,,ln 0q x x ∞∀∈+>是假命题，q ⌝是真命题，对于A ，p 和q 都是真命题，错误；对于B ，p ⌝和q 都是真命题，错误；对于C ，p 和q ⌝都是真命题，错误对于D ，p ⌝和q ⌝都是真命题，正确.故选：D.4.已知函数()y f x =，x ∈R 且()03f =，()()()0.520.51f n f n =-，*n ∈N ，则()f x 的一个解析式为（）A.()32xf x =⋅ B.()132x f x -=⋅ C.()34xf x =⋅ D.()134x f x -=⋅【答案】C 【解析】【分析】根据各解析式分别代入即可.【详解】A 选项：()32xf x =⋅，()03f =成立，()0.50.532n f n =⋅，()()()0.510.5132n f n --=⋅，则()()()0.50.50.50.50.5322320.51n n f n f n -⋅===⋅-，A 选项错误；B 选项：()132x f x -=⋅，()302f =，B 选项错误；C 选项：()34xf x =⋅，()03f =成立，()0.50.534n f n =⋅，()()()0.510.5134n f n --=⋅，则()()()0.50.50.50.50.53442340.51n n f n f n -⋅===⋅-，C 选项正确；D 选项：()134x f x -=⋅，()304f =，D 选项错误；故选：C.5.某人连续投一枚骰子4次，记录向上的点数得到一组样本数据，若该组样本数据的平均数为2，则（）A.极差可能为5B.中位数可能为3C.方差可能为1D.众数可能为4【答案】C 【解析】【分析】根据平均数的公式可得12348x x x x +++=，且123416x x x x ≤≤≤≤≤，再根据各个数据特征值的概念及公式分别判断即可.【详解】根据平均数的公式可得12348x x x x +++=，且123416x x x x ≤≤≤≤≤，A 选项：若极差为5，则11x =，46x =，此时231x x +=不成立，A 选项错误；B 选项：若中位数为3，则2332x x +=，即236x x +=，且33x ≥，此时142x x +=与43x x ≥不符，B 选项错误；C 选项：当121x x ==，343x x ==时，方差为()()()()22221234222214x x x x -+-+-+-=，C 选项正确；D 选项：若众数为4，则数据中至少有两个为4，此时12348x x x x +++>，不成立，D 选项错误；故选：C.6.已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过C 上一点P 作圆()2222x y r -+=的两条切线，切点分别为,F A ，若PF PA ⊥，则p =（）A.12B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的知识可以知道点F ，然后再利用切线和垂直即可求解.【详解】由题意易得(,0)2pF ，过C 上一点P 作圆()2222x y r -+=的两条切线，切点分别为,F A ，且PFPA ⊥，(,)2p P r ∴且22pr +=，将点(,)2pP r 代入抛物线方程可得22r p =，即r p =，322p ∴=，解得43p =.故选：D.7.已知正四棱台的体积为143，上、下底面边长分别为积为（）A.20πB.25πC.36πD.50π【答案】A 【解析】【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D -中，AB =11A B =，体积为143，故(14128133h h =+⇒=则4BD ==，112B D ==，连接BD 、AC 相交于点E ，11B D 、11A C 相交于点F ，设外接球的球心为O ，若O 在台体外，设O 到底面ABCD 的距离为h ，则半径为R ===1h =，若O 在台体内，O 到底面ABCD 的距离为h ，则半径为R ===，解得1h =-，舍去，综上所述，1h =，故5R =24π20πR =.故选：A.8.函数()1cos22f x x =+，2π,3x t t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A.R t ∃∈，使得()f x 为偶函数B.R t ∃∈，使得曲线()y f x =为中心对称图形C.R t ∀∈，()f x 存在极值D.R t ∀∈，()f x 存在两个零点【答案】D 【解析】【分析】利用余弦型函数的性质分别判断各选项即可得解.【详解】A ：当π3t =-时，ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，关于坐标原点对称，此时()()()11cos 2cos 222f x x x f x -=+-=+=，A 正确；B ：()1cos22f x x =+，令π2π2x k =+，k ∈Z ，解得ππ42k x =+，k ∈Z ，即函数()1cos22f x x =+的对称中心为ππ,042k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，即当2πππ2342k t t ⎛⎫++=⋅+ ⎪⎝⎭，即ππ122k t =-+，k ∈Z 时，曲线()y f x =为中心对称图形，B 正确；C ：因为()1cos22f x x =+的最小正周期为2ππ2T ==，2π2ππ3322T t t +-=>=，所以函数R t ∀∈，()f x 存在极值，C 正确；D ：取π6t =-，则ππ,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，又()1cos22f x x =+，由余弦函数的性质可知，()f x 在π,06⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又π1πcos 1623f ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()130cos022f =+=，π11cosπ222f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，D 错误；故选：D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，{}n S 为等差数列，则（）A.1q =B.n nS na = C.{}n n a S +为等差数列 D.{}n n a S 为等比数列【答案】ABC 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及公式可判断.【详解】由已知{}n S 为等差数列，则当2n ≥时，1n n n S S a --=为定值，即n a 为常数，此时数列{}n a 为常数列，又数列{}n a 为等比数列，则10a ≠，且1q =，1n a a =，A 选项正确；此时1n S na =，B 选项正确；()1111n n a S a na n a +=+=+，111n n S na a --+=，2n ≥，()()111n n n n a S a S a ---+=+，即{}n n a S +为等差数列，C 选项正确；21n n a S na =，()21211111n n n n na a na S S n a n --==--，2n ≥，不为定值，所以{}n n a S 不为等比数列，D 选项错误；故选：ABC.10.已知函数()()()1f x x x x a =--，R a ∈，则下列说法正确的是（）A.若()36f =，则()11f '=-B.若()20f >，则2a <C.若()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的范围为0a >D.函数()f x 有两个极值点【答案】ABD【解析】【分析】根据求导根据函数值与导数值直接可判断A 选项，根据函数值情况解不等式可判断B 选项，求导根据函数的单调性可判断D 选项，并可列不等式，解不等式判断C 选项.【详解】由()()()()3211f x x x x a x a x ax =--=-++，则()()2321f x x a x a =-++'，A 选项：由()()32331331866f a a a =-+⋅+=-=，解得2a =，()2362f x x x '=-+，()13621f =-+=-'，A 选项正确；B 选项：()()()()22212220f a a =--=->，解得2a <，B 选项正确；C 选项，D 选项：()()2321f x x a x a =-++'，由()()2221Δ2143414302a a a a a ⎛⎫⎡⎤=-+-⨯=-+=-+> ⎪⎣⎦⎝⎭，所以令()()23210f x x a x a =-++>'，解得13a x +<或13a x ++>，所以函数()f x 的单调递增区间为11,3a ∞⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭和11,3a ∞⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1133a a ⎛+-++ ⎪ ⎪⎝⎭，，则函数函数()f x 有两个极值点，D 选项正确；又函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则11133a +≤，解得1a ≥，或103a ++≤，无解，综上1a ≥，C 选项错误.故选：ABD.11.已知双曲线22:18y E x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在E 的右支上，则F 列说法正确的是（）A.若12PF F △的周长为24，则12PF F △的面积为48B.221212PF PF -≥C.120tan PF F ∠≤<D.若12F PF ∠为锐角，则点P 的纵坐标范围是()(),88,∞∞--⋃+【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线定义结合周长可得110PF =，1226F F c ==，即可由直角三角形求解面积，判断A ，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B ，根据渐近线斜率即可求解C ，利用向量的坐标运算即可求解D.【详解】22:18y E x -=可得1,3a b c ===，由于点P 在E 的右支上，故1222PF PF a -==，对于A ，若12PF F △的周长为24，则12222222248PF PF c PF c PF ++=++=⇒=，进而110PF =，1226F F c ==，故2221122PF F F PF =+，故12PF F △的面积为12211682422F F PF =⨯⨯=，A 错误，对于B ，由于22PF c a ≥-=，当P 在右顶点时等号取到，故()()2212122222224412PF PF a PF PF a a PF PF -=+=+=+≥，故B 正确，对于C ，由于双曲线一三象限的渐近线方程为y =，故12tan PF F k ∠<=渐近线又当P 在右顶点时，12tan 0PF F ∠=，故120tan PF F ∠≤<，C 正确，对于D ，设()(,)0P x y x >，()()213,0,3,0F F -，则()()123,,3,PF x y PF x y =---=-- ，则()()22222123399108y PF PF x x y x y y ⋅=---+=+-=-++> ，解得264893y y >⇒>或83y <-，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是，将问题化为120PF PF ⋅> ，从而得解.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()13,02,0x x f x f x x ⎧⎪≤=⎨->⎪⎩，则()3f =______.【答案】1-【解析】【分析】根据分段函数的性质直接求函数值.【详解】由分段函数可知()()()()1331111f f f ==-=-=-，故答案为：1-.13.已知1sin cos ,tan 3tan 3αβαβ==，则()sin αβ+=______.【答案】49【解析】【分析】利用商数关系由tan 3tan αβ=求出sin cos βα，再由两角和的正弦展开式计算可得答案.【详解】因为tan 3tan αβ=，所以1sin cos 3sin cos 3αββα==，所以1sin cos 9βα=，则()114sin sin cos sin cos 399αβαββα+=+=+=.故答案为：49.14.甲、乙两人先后在装有m 颗黑球的1号盒子与装有n 颗白球的2号盒子（*,m n m <∈N ，*n ∈N ）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.例如:当1,2m n ==时，甲先手不论如何取球，乙后手取球均有必定获胜的策略．若8m n +=，且后手取球者有必定获胜的策略，则满足条件的一组数组(),m n 可以为______.【答案】(3,5)【解析】【分析】分()1,7、()2,6、()3,5进行讨论，若甲有必胜策略则不符合，重点在于得出当甲或乙取完后盒中情况为()1,2或()2,1时，此人必胜.【详解】由8m n +=，m n <，则(),m n 可能有以下三种情况：①()1,7，甲可先手在2号盒子中取5颗球，此时盒中情况为()1,2，则乙必不可能全部取完，乙后手取球后可能为()1,1、()0,1、()0,2或()1,0，这时无论何种情况甲都可全部取完，故甲有必定获胜的策略，不符；②()2,6，甲可先手在2号盒子中取4颗球，此时盒中情况为()2,1，同①，甲有必定获胜的策略，不符；③()3,5，甲先手后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则乙可全部取完，乙必胜，若两盒中球数不一样，则一定是以下两种情况之一：（i）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球；（ii）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球；无论为哪种情况，乙都可将其取为()1,2或()2,1，由①知，此时乙必胜，故满足条件的一组数组(),m n 只有(3,5).故答案为：(3,5).【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到谁能将盒中情况变为()1,2或()2,1，则必胜.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若1c =， ABC V 的面积为4，求 ABC V 的周长.【答案】（1）π6C =（22+【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理可得角C ；（2）根据余弦定理，结合三角形面积，可得a b +，进而可得周长.【小问1详解】因为222sin sin sin sin A B C A B +=+，由正弦定理得222a b c +=+，由余弦定理得222cos 222a b c C ab ab +-===，又()0,πC ∈，则π6C =；【小问2详解】由已知4111sin 222ABC S ab C ab ==⋅= ，即ab =又222a b c +=+，即()222134a b c ab +=++=+++，所以1a b +=+所以 ABC V 的周长为 112a b c ++=+=+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，11,,,33AB AD CO AD AO AD PM PD ⊥⊥== .（1）证明://CM 平面PAB ;（2）若直线PO ⊥平面,1,2,ABCD OA AB OC OD OP =====，求平面PBC 与平面PCD 的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）连接OM ．分别证明//OM 平面PAB ，CO ∥平面PAB ，即可证明平面MOC ∥平面PAB ，根据面面平行的性质，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】因为13PM PD = ，所以13PM PD =，连接OM ．因为13AO AD = ，所以13AO AD =，在PAD 中，DO DM OA MP=，所以OM PA ∥，OM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，故//OM 平面PAB ，又在四边形ABCD 中，,AB AD CO AD ⊥⊥，所以AB CO ∥，OC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，故CO ∥平面PAB ，因为,,CO OM O CO OM =⊂ 平面MOC ，所以平面MOC ∥平面PAB ，又CM ⊂平面MOC ，所以CM ∥平面PAB ．【小问2详解】在PAO 中，1AO OP ==，，因为PO ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，OD ⊂平面ABCD ，所以PO OD ⊥，即,,PO OD OC 两两垂直．以,,OC OD OB 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．则(0,1,0),(1,1,0),2),(2,0,0),(0,2,0)A B P C D --，(1,1,0),(2,0,2),(2,2,0)BC PC DC ===- ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z = ，则1111110,220n BC x y n PC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，可取1(1,2)n =- 为平面PBC 的一个法向量，设平面PCD 的法向量()2222,,n x y z = ，则222222220220n DC x y n PC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，可取22)n = 为平面PCD 的一个法向量，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅== ，12,[0,π]n n ∈ ，所以12π,3n n = ，所以平面PBC 与平面PCD 的夹角的大小为π3．17.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22.（1）求E 的方程;（2）过点(3作直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，若827AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）33y 33y x =+【解析】【分析】（1）由题意得221212b b a =⎧-=，求出,a b ，从而可求出椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，不合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程y kx =，设()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出k ，从而可求出直线方程.【小问1详解】依题意：12b =⎧=，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以E 的方程为2212x y +=．【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，||2AB =，与题意不符，舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y得：222(2x kx ++=，整理得：()222140k x +++=，()()222Δ)16211610k k =-+=->，则(,1)(1,)k ∈-∞-+∞ ，121222434,2121x x x x k k -+==++，则24182217AB k ====+，即)221k =+，则421732570k k --=，即()()22171930k k +-=，解得k =k =则直线l的方程为yy =+．18.如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为p ，传给位于对角线顶点同学的概率为q ，传球3次为一轮.（1）已知第一次由随机一名同学将球传出，若p q =，设事件A 为“一轮中每人各持一次球”.（i）求p 及事件A 的概率;（ii）设三轮传球中，事件A 发生的次数为X ，求X 的分布列与数学期望;（2）已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大?【答案】（1）（i）13p =，29；（ii）分布列见解析，2()3E X =.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）球传出后，可能给相邻两个的概率都为p ，给对角线的概率为q ，则21p q +=，结合p q =，解出即可.（ii）由条件可得2~(3,9X B ，运用二项分布的概率公式和期望公式求解概率即可．（2）将乙丙两次持球的概率求出来后，用作差法比较大小即可．【小问1详解】（i）由题意，球传出后，可能给相邻两个的概率都为p ，给对角线的概率为q ，则21p q +=，当,p q =解得13p q ==．则()3113212C C 39P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（ii）由条件可得X 的取值有0,1,2,3，且23,9X B ~⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0303273430C 99729P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121327981C =99243P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212327282C =99243P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()30332783C =99729P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X0123P 34372998243282438729从而22()393E X =⨯=．【小问2详解】322232222(2,)22)(P p pq p p q P q qp q p q =+=+=+=+乙丙，又22(2)(),21P P p q p q p q -=+-+=乙丙，当13p q ==，则P P =乙丙，乙、丙两人两次持球的可能性一样大；当p q >，即1132p <<时，P P >乙丙，乙两次持球的可能性更大；当p q <，即103p <<时，P P <乙丙，丙两次持球的可能性更大．19.已知函数()y f x =的定义域为I ，设0x I ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x ，当1n ≥时，设曲线在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +，依次类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于'0x 的“N 数列”，已知()()2ln 1f x x x =-+.（1）若{}n x 是函数()y f x =关于01x =的“N 数列”，求1x 的值;（2）若()(){},n g x f x a '=是函数()y g x =关于034a =-的“N 数列”，记2log 21n n b a =+.（i ）证明:{}n b 是等比数列;（ii ）证明:()()12121sin ln log ,2,n n i b n n i ++=<-≥∈∑N .【答案】（1）2ln 213-（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“N 数列”的定义，求出函数导数，进而求出切线方程，即可求得答案；（2）（i ）根据“N 数列”的含义，结合等比数列定义，即可证明结论；（ii ）求出2nn b =-，即可将原不等式转化为121sin ln(1),,2,n i n n n i +=<+≥∈∑N ，结合[]12ln(1)ln ln(1)n i n i i +=+=--∑，转化为证1sin ln ln(1),2,3,,i i i n i<--= ，由此可结合不等式结构特征，构造函数，利用导数判断函数单调性进行证明即可.【小问1详解】由题意知，1()2,(1)2ln 21f x f x '=-=-+，所以13(1)2112f '=-=+，曲线()2ln(1)f x x x =-+在点(1,(1))f 处的切线处的斜率为32，所以曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为3(2ln 2)(1)2y x --=-，令0y =，解得2ln 213x -=，所以12ln 213x -=．【小问2详解】（i ）证明：21211()()2,()11(1)x g x f x g x x x x +''==-==+++，则在()(),n n a g a 处的切线斜率为()()211n n a a g '=+，所以在()(),n n a g a 处的切线方程为()()221111n n n n a y x a a a +-=-++，令0y =，解得()()21211221n n n n n n a a a a a a +=-++=---，所以()()212121n n a a +-+=+，所以1212log 212log 212n n n n b a a b ++=+=+=，即1120212,2log 212log 22n n b b a b +==+==-所以{}n b 是以首项为2-，公比为2的等比数列．（ii ）由（i ）可知，数列{}n b 的通项公式2nn b =-，则()21log 1n b n +-=+，要证()()12121sin ln log ,2,n n i b n n i ++=<-≥∈∑N ，即证：121sin ln(1),,2,n i n n n i +=<+≥∈∑N ．当2n =时，1sin 1ln 32<<成立；因为[]12ln(1)ln ln(1)n i n i i +=+=--∑，即证：[]11221sin ln ln(1)n n i i i i i ++==<--∑∑，即证：1sin ln ln(1),2,3,,i i i ni <--= 构造函数()sin ,[0,)u x x x x =-∈+∞，则()1cos 0u x x '=-≥故()u x 在[0,)+∞单调递增，对任意(0,),()(0)0x u x u ∈+∞>=，即sin x x >，取10x i =>，则有11sin i i<，故只需证：111ln ln(1)ln ln ln 11i i i i ii i i -⎛⎫<--==-=-- ⎪-⎝⎭，即需证：111ln 111i i i ⎛⎫⎛⎫-<-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()1ln ,(0,1)v x x x x =--∈，则11()10x v x x x-'=-=<，故()v x 在(01),单调递减，则()(1)0v x v >=，即对任意(0,1),1ln t t t ∈->，取11(0,1)t i =-∈，即有11ln 111i i ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，()1*2121sin ln(1)ln log ,2,n n i n b n n i ++=<+=≥∈∑N ．【点睛】难点点睛：本题考查了导数和数列知识的综合问题，难度较大，解答的难点在于数列不等式的证明，解答时要能结合数列不等式的结构特征，不断的构造函数，结合导数判断单调性进行证明.。

2024年云南省学业水平考试数学试题（黑卷）一、单选题1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．若一辆汽车前进50米记作50+米，则后退15米可记作（ ） A ．15-米B ．0米C ．15米D ．65米2．据2024年3月1日《人民网》报道，2023年通过新建、改扩建新增公办学位4892000个，保障小学一年级新生人学，将数据4892000用科学记数法可表示为（ ） A ．70.489210⨯B ．64.89210⨯C ．54.89210⨯D ．548.9210⨯3．如图，直线c 与直线a ，b 都相交，若a b P ，158∠=︒，则2∠=（ ）A ．32︒B ．42︒C ．48︒D ．58︒4．下列计算正确的是（ ） A ．2222x x -= B ．824x x x ÷= C ．()2242x y x y =D ．339x x x ⋅=5．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知4722x y x y +=⎧⎨-=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则代数式x y +的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．97．下列常见的几何体中，主视图是圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．按一定规律排列的多项式：2a b +，312a b +，413a b +，514a b +，615a b +，…，第n 个多项式是（ ） A ．11n a b n++B ．1n a b n +C ．11n a b n -+D ．11n a b n+-9．为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取7株，在同等实验条件下，测得它们的光合作用速率（单位：21μmol m s --⋅⋅）分别为24，22，20，16，19，27，25．这组数据的中位数为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．2310．如图，在66⨯的正方形网格中，ABC V 的顶点都在小正方形的顶点上，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．1B ．45C ．35D ．3411．为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ．()245120x -= B ．()220145x-=C ．()245120x +=D ．()220145x +=12．如图，AB 为O e 的直径，C ，D 是O e 上的两点，连接AC ，AD ，CD ，若50BAC ∠=︒，则D ∠=（ ）A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒13．函数32y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x >C ．2x <D ．2x ≤14．如图，在ABC V 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若2BE =，3BC =，则AEDABCS S =△△（ ）A ．23B ．49C ．13D ．2915．估计） A ．5和6之间B ．4和5之间C ．3和4之间D ．2和3之间二、填空题16．分解因式：x 2+2x +1= 17．若反比例函数5k y x-=的图象位于第一、三象限，则实数k 的值可能为（写出一个即可）． 18．如图是某校随机调查部分学生对篮球、乒乓球、足球羽毛球四类运动项目喜爱情况的统计图．已知此次参加调查的学生中喜爱乒乓球的学生有200人，则该校参加此次调查的学生共有人．19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中记载了这样一个问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其大意为：“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”请你根据所学知识计算米堆的体积为立方尺．（注：如图，米堆为一个圆锥的四分之一）．三、解答题20．计算：()()1313.14π24sin 6023-⎛⎫--⨯-︒+ ⎪⎝⎭．21．如图，A ，B ，C ，D 四点依次在同一条直线上，AB CD =，EC FB =，AE DF =．求证：AEC DFB △△≌．22．2024年政府工作报告中指出“大力发展绿色低碳经济，推进能源结构绿色转型”，某租车公司为响应国家“绿色低碳”的号召，决定采购A 型和B 型两款国产新能源汽车．已知每辆A 型新能源汽车进价是每辆B 型新能源汽车进价的1.5倍，现公司用1500万元购进A 型新能源汽车的数量比用1300万元购进B 型新能源汽车的数量少30辆．求两种型号新能源汽车的进价分别是多少万元？23．丽江市以打造“一滴水经过丽江”中国最佳研学旅游目的地为目标，不断整合名人故居和文化遗产、遗迹及丰富的自然、生态资源等研学游资源，目前已形成了生物多样性研学旅、非遗研学之旅、红色研学之旅、冰川研学之旅（分别记为A ，B ，C ，D ）等经典旅游线路．甲、乙两名同学想在这4个旅游线路中随机选择一个为暑假出行做准备，假设这两名同学选择的旅游线路不受任何因素影响，且每一个线路被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x ，乙同学的选择为y ．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(),x y 所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两名同学选择同一个旅游线路的概率P ．24．如图，若将四边形ABCD 沿AC 折叠，则点B 与点D 重合，过点B 作BE CD P 交AC 于点E ，连接DE ．(1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)连接BD ，若四边形BCDE 的周长为14，面积为132，求BD CE +的值． 25．云南的生活是美好中国带露珠的花朵，其中“云花”的年产量就高达180亿枝．已知某经销商购买甲种“云花”的费用y （元）与重量x （千克）之间的关系如图所示．购买乙种“云花”的价格为42元/千克．(1)求y 与x 之间的函数解析式（解析式也称表达式）；(2)该经销商计划一次性购进甲、乙两种“云花”共100千克，且要求甲种“云花”不少于60千克，但又不超过85千克．请你帮该经销商设计一种方案，应如何分配甲、乙两种“云花”的购买量，才能使经销商花费总金额和w （元）最少？最少花费多少元？26．在平面直角坐标系中，已知点P 为抛物线()22214y x kx k =---++（k 为常数）的顶点，()5,A a c -，()23,B k c -+为该抛物线上异于点P 的两点．(1)求点P 的坐标（用含k 的代数式表示）；(2)设ABP V 的面积为S ，求满足8S =的所有k 的值．27．如图，ABC V 内接于O e ，AB AC =，延长BC 至点D ，连接AD 交O e 于点E ，连接BE ，CE ，F 是边AD 上一点，满足ECF EBC ∠=∠．(1)判断直线CF 与O e 的位置关系，并证明你的结论； (2)若3AB AC ==，6AD =，求BD CD ⋅的值； (3)求证：2AB BE CE >+．。