高中数学课下能力提升二十一圆的一般方程北师大版必修2

§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。

2．2 圆的一般方程1．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径长等于D 2＋E 2－4F2．上述方程称为圆的一般方程．2．圆的一般方程与二元二次方程的关系比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出二元二次方程具有下列条件：(1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A ＝C ≠0； (2)没有xy 项，即B ＝0；(3)D 2＋E 2－4AF >0时，它才表示圆．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内任何一个圆的方程都是关于x ，y 的二元二次方程．( ) (2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．( ) (3)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的方程都表示圆．( ) (4)若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心坐标及半径分别为( ) A ．(2，0)，5 B ．(2，0)， 5 C ．(0，2)， 5 D ．(2，2)，5答案：B3．如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，54 4．求经过点A (6，5)，B (0，1)，且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程．解：设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧62＋52＋6D ＋5E ＋F ＝0，02＋12＋0×D ＋1×E ＋F ＝0，3·⎝⎛⎭⎫－D 2＋10·⎝⎛⎭⎫－E 2＋9＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧6D ＋5E ＋F ＝－61，E ＋F ＝－1，3D ＋10E ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－14，E ＝6，F ＝－7. 因此圆的方程是x 2＋y 2－14x ＋6y －7＝0.1．圆的一般方程的特点圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D ，E ，F 为常数)具有以下特点： (1)x 2，y 2的项的系数均为1. (2)没有xy 项． (3)D 2＋E 2－4F >0. 2．求轨迹方程的一般步骤 (1)建系：建立适当的直角坐标系．(2)设点：用(x ，y )表示轨迹(曲线)上任意一点M 的坐标． (3)列式：列出关于x ，y 的方程． (4)化简：把方程化为最简形式．(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．二元二次方程与圆的关系下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋2xy ＝0； (2)x 2＋y 2－4x ＝0；(3)2x 2＋2y 2－3x ＋4y ＋6＝0； (4)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ∈R )．[解] (1)因为方程x 2＋y 2＋2xy ＝0中含有xy 这样的项， 所以不能表示圆．(2)由方程可知D ＝－4，E ＝F ＝0，因为D 2＋E 2－4F ＝D 2＝16＞0， 所以方程表示圆． 因为－D 2＝2，－E2＝0，所以圆心为(2，0)， r ＝12D 2＋E 2－4F ＝2.(3)原方程可化为x 2＋y 2－32x ＋2y ＋3＝0，易知D ＝－32，E ＝2，F ＝3.因为D 2＋E 2－4F ＝94＋4－12＜0，所以方程不表示任何图形．(4)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋02－4×0＝4a 2，所以当a ≠0时，该方程表示的是以(－a ，0)为圆心，半径r ＝|a |的圆； 当a ＝0时，原方程为x 2＋y 2＝0，表示点(0，0)．判断二元二次方程表示圆的方法任何一个圆的方程都可化为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：(1)计算D 2＋E 2－4F ，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．(2)将该方程配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，根据圆的标准方程来判断．1.若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．解：(1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m ，1)， 半径r ＝1－5m .待定系数法求圆的一般方程求圆心在y ＝－x 上且过两点(2，0)，(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．[解] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－E 2＝D 2，22＋2D ＋F ＝0，（－4）2－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝6，F ＝8，所以圆的一般方程为x 2＋y 2－6x ＋6y ＋8＝0， 化为标准方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝10.在本例中“圆心在y ＝－x 上”改为“圆心在y ＝x 上”，其他条件不变，求圆的一般方程．解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧E 2＝D2，22＋2D ＋F ＝0，（－4）2－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝2，F ＝－8.所以，圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)用待定系数法求圆的方程的步骤①根据题意选择圆的方程的形式——标准方程或一般方程． ②根据条件列出关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程组． ③解出a ，b ，r (或D ，E ，F )，代入标准方程(或一般方程)． (2)对圆的一般方程和标准方程的选择①如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .②如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D ，E ，F .2.(1)已知A (2，－2)，B (5，3)，C (3，－1)，则△ABC 的外接圆的方程为________．(2)经过点(－1，3)，圆心在直线x －2y ＝0上，且半径等于13的圆的方程是________． 解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －2E ＋F ＝－8，5D ＋3E ＋F ＝－34，3D －E ＋F ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝8，E ＝－10，F ＝－44. 于是圆的方程为x 2＋y 2＋8x －10y －44＝0.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径等于12D 2＋E 2－4F ，依题意得⎩⎨⎧－D ＋3E ＋F ＝－10，－D 2＋2×E2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝125，E ＝65，F ＝－565.于是圆的方程是x 2＋y 2－4x －2y －8＝0或x 2＋y 2＋125x ＋65y －565＝0.答案：(1)x 2＋y 2＋8x －10y －44＝0(2)x 2＋y 2－4x －2y －8＝0或x 2＋y 2＋125x ＋65y －565＝0.与圆有关的动点轨迹问题已知△ABC 的边AB 长为2a ，若BC 的中线为定长m ，求顶点C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)[解] 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立坐标系，则A (－a ，0)，B (a ，0)， 设C (x ，y )，BC 中点为D (x 0，y 0)， 则x 0＝x ＋a 2，y 0＝y2，①因为|AD |＝m ，所以(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.②将①式代入②式整理得 (x ＋3a )2＋y 2＝4m 2. 因为C 不能在x 轴上，所以y ≠0，故所求轨迹方程为(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2(y ≠0)．(1)求轨迹方程的三种常用方法①直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．②定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． ③代入法：若动点P (x ，y )依赖于某圆上的一个动点Q (x 1，y 1)而运动，把x 1，y 1用x ，y 表示，再将Q 点的坐标代入到已知圆的方程中得P 点的轨迹方程．(2)①求出轨迹方程后应说出最后是什么样的图形；②要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形．3.已知线段AB 的端点B 的坐标是(5，3)，端点A 在圆(x －1)2＋y 2＝2上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(5，3)且M 是AB 的中点，所以x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋32，所以x 0＝2x －5，y 0＝2y －3.① 因为点A 在圆(x －1)2＋y 2＝2上运动， 所以点A 的坐标适合方程(x －1)2＋y 2＝2， 即(x 0－1)2＋y 20＝2.②把①代入②，得(2x －5－1)2＋(2y －3)2＝2，整理得(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫222.所以M 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫3，32为圆心，22为半径的圆．规范解答 圆的一般方程的应用(本题满分12分)已知方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0. (1)若此方程表示圆，求实数a 的取值范围；(2)求此方程表示的圆的面积最大时a 的值及此时圆的方程． [解] (1)由条件知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0.(2分)即3a 2＋4a －4<0，所以－2<a <23.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，23.(6分)(2)要使圆的面积最大，只需圆的半径最大即可， 由于r ＝12D 2＋E 2－4F ＝12－3a 2－4a ＋4＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋232＋163.(9分)因为－2<a <23，所以a ＝－23时，r 取得最大值，从而圆的面积取得最大值，此时圆的方程为x 2＋y 2－23x －43y －79＝0.(12分)(1)解题过程中处根据一般式确定出关于a 的不等式是解题的关键，也是失分点. (2)在求圆的面积的最大值时，将面积问题转化为求半径的函数问题，利用函数最值的求法求圆的面积最大时a 的值，如处，是又一失分点.1．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外 C ．圆上D ．圆上或圆外解析：选B.把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，(a －1)2>0(0<a <1)，所以点(0，0)在圆外．2．过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则PQ 中点的轨迹方程为( ) A ．x 2＋4y 2＝4 B ．4x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝14D ．x 2＋y 2＝4解析：选A.设中点为(x ，y )，则P (x ，2y )，代入x 2＋y 2＝4，得x 2＋4y 2＝4.3．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P ，Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________． 解析：圆心⎝⎛⎭⎫－12，3在直线上，代入kx －y ＋4＝0，得k ＝2. 答案：24．已知一曲线是与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离的比为定值12的点的轨迹，求出曲线的方程．解：在给定的平面直角坐标系中，设M (x ，y )是曲线上任意一点，点M 在曲线上的条件是|MO ||MA |＝12.由两点的距离公式，上式用坐标表示为x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12. 两边平方并化简，得曲线方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0， 将方程配方，得(x ＋1)2＋y 2＝4. 所以所求曲线方程为(x ＋1)2＋y 2＝4., [学生用书P129(单独成册)])[A 基础达标]1．方程2x 2＋2y 2＋4x ＋6y ＝1表示的几何图形是( ) A ．圆 B ．直线C ．点D ．不表示任何图形解析：选A.将方程2x 2＋2y 2＋4x ＋6y ＝1化为x 2＋y 2＋2x ＋3y －12＝0.则D ＝2，E ＝3，F＝－12.计算得D 2＋E 2－4F ＝22＋32－4×⎝⎛⎭⎫－12＝15>0.所以方程表示圆，故选A. 2．下列方程中表示圆的是( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2＝0 B ．x 2＋y 2－2xy ＋y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 D ．x 2＋2y 2－2x ＋4y －1＝0解析：选C.选项C 中的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．3．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选 C.将圆的一般方程配方得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝92，点在圆外，需⎝⎛⎭⎫a ＋1－122＋⎝⎛⎭⎫a －1＋122>92，解得a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．4．动点P 到点A (8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16 解析：选B.设P (x ，y )，根据题意有2（x －2）2＋y 2＝（x －8）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.5．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D.由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a ，2a )，半径为2，则有⎩⎨⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，|2a |>2，解得a >2.6．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心到直线x －y －2＝0的距离为________．解析：已知圆的圆心坐标为(1，1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|12＋12＝ 2.答案： 27．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，则x 2＋y 2的最大值等于________． 解析：依题意，点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0上，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，而x 2＋y 2表示点P 与原点O 距离的平方．由于已知圆的圆心为C (3，－4)，半径r ＝1，又|OC |＝5，所以点P 与原点O 距离的最大值为1＋5＝6，从而x 2＋y 2的最大值是36. 答案：368．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积是________．解析：将x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝5＋k 24，故圆心坐标是⎝⎛⎭⎫－k 2，－1.由题意知，直线x －y ＋1＝0过圆心，故－k2＋1＋1＝0，解得k ＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.答案：9π9．求经过两点A (4，2)，B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4，2)，B (－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10．设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285. [B 能力提升]11．若方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )>0，即－4<a <0.所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，在第四象限． 12．已知M (0，4)，N (－6，0)，若动点P 满足PM ⊥PN ，则动点P 的轨迹方程是________． 解析：由于PM ⊥PN ，所以动点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(不包括端点M ，N )，其圆心为线段MN 的中点(－3，2)，直径|MN |＝36＋16＝213，于是半径等于13，故轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6)．答案：(x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6)13．已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，求△ABC 面积的最小值．解：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32， 所以AB 边上的高的最小值为32－1. 又因为|AB |＝22＋22＝22，所以S △min ＝12×(22)×⎝⎛⎭⎫32－1 ＝3－ 2.14．(选做题)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解：(1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，所以r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1. (2)由第一问知r ＝ －7t 2＋6t ＋1＝ －7⎝⎛⎭⎫t －372＋167. 所以当t ＝37∈⎝⎛⎭⎫－17，1时， r max ＝477，此时圆的面积最大， 所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，所以8t2－6t<0，所以0<t<34.。

圆的方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________掌握圆的标准方程会求圆的标准方程； 圆的一般方程和代入法的掌握、应用．一、圆的标准方程1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径． 2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．3．圆心为(a ，b )半径为r (r >0)的圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r 的圆方程为x 2＋y 2＝r 2. 4．点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系．P 在圆外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2， P 在圆上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2， P 在圆内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.二、圆的一般方程1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F <0 时，方程没有实数解，它不表示任何图形．2．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是：A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0 .3．点P (x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的位置关系是： P 在圆内⇔x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F <0，P 在圆上⇔ x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F =0， P 在圆外⇔ x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F >0. 4．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)设点：写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)列式：用坐标(x ，y )表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0； (4)化简：化方程F (x ，y )＝0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一 圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x 2＋y 2＝2；(2)(x －3)2＋y 2＝4；(3)x 2＋(y －1)2＝9；(4)(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.解析：用圆的标准方程的公式解决． 答案：(1)圆心(0,0)，半径为 2.(2)圆心(3,0)，半径为2. (3)圆心(0,1)，半径为3.(4)圆心(－1，－2)，半径为22.练习1：已知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，试根据下列条件，分别写出a 、b 、r 应满足的条件：(1)圆心在x 轴上； (2)圆与y 轴相切；(3)圆过原点且与y 轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切． 答案：(1)b ＝0. (2)r ＝|a |(a ≠0)．(3)r ＝|a |(a ≠0，b ＝0)．(4)|a |＝|b |＝r (a ≠0，b ≠0)．练习2：已知圆C 的方程为()()225610x y -+-=，试判断点()()()6,9,3,3,5,3M N Q 是在圆上，圆内，还是在圆外？ 答案：∵()()22659610CM =-+-=∴点M 在圆上 ∵()()2235361310CN =-+-=>∴点N 在圆外 ∵()()225536310CQ =-+-=< ∴点Q 在圆内例2：(2014·辽宁大连第三中学高一期末测试)过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 2解析：解法一：点P (2,2)不在选项B 、C 、D 中的圆上，排除B 、C 、D ，故选A.解法二：设圆心坐标为(a ，a )，半径为R ，由题意得(a －2)2＋(a －2)2＝(a －4)2＋(a －2)2， 解得a ＝3. ∴R 2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2，故选A. 答案：A练习1：求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程． 答案：解法一：设圆心为(a ，b )∴⎩⎪⎨⎪⎧(a －10)2＋(b －5)2＝100 ①(a ＋4)2＋(b －7)2＝100 ② ①－②整理得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15，③将③代入①得a 2－6a ＋8＝0.∴a ＝2或a ＝4，则b ＝－1或b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100. 解法二：A 、B 的垂直平分线方程为y －6＝－10＋45－7(x －3)即y ＝7x －15.设圆心为(a ，b )，由于圆心在AB 的垂直平分线上， ∴b ＝7a －15，又∵(a －10)2＋(b －5)2＝100，②将①代入②可得a ＝2或a ＝4.(以下同解法一) 练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点()3,4C 上，半径半径是5； （3）圆心在直线538x y -=上，又圆与坐标轴相切答案：（1）229x y +=； （2）()()22345x y -+-=（3）设所求的方程为：()()222x a y b a -+-= 由题意知a b =，即a b =或a b =- 又∵圆心在直线538x y -=上，∴538a a -=或538a a += 解得：4a =或1a = ∴所求方程为()()224416x y -+-=或()()22111x y -++=练习3：求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．答案：设所求圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r25－a2＋3－b2＝r23－a2＋－1－b 2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1r 2＝5.故△ABC 的外接圆的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.类型二 圆的一般方程例3：m 是什么实数时，关于x 、y 的方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示一个圆？解析：形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F >0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．答案：由题意，得2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，即m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝－3或m ＝1.当m ＝1时，原方程化为2x 2＋2y 2＋3＝0. 不合题意舍去；当m ＝－3时，原方程化为14x 2＋14y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆． 练习1：已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．答案：(1)由题意，得D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，即4m 2＋4－4m 2－20m >0，解得m <15，故m 的取值范围为(－∞，15)．(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .练习2：220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 答案：C例4：已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)、B (－2，3)、C (4，－5)，求△ABC 的外接圆的一般方程． 解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)．∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，∴－1－13－－1·a ＝－1， ∴a ＝2.故b ＝－2.答案：设△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A 、B 、C 三点在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝04＋9－2D ＋3E ＋F ＝016＋25＋4D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－23.∴△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.练习1：求过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程． 答案：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为(－D 2，－E2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E22－D ＋E ＋F ＝010＋D ＋3E ＋F ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－2F ＝－2.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.练习2：ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程． 答案：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=由题意知()()()22222215502222055550D E F D E F D E F ⎧-+-++=⎪⎪-+---+=⎨⎪++++=⎪⎩解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求方程为2242200x y x y +---=例5：等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：利用等腰三角形性质两腰相等． 答案：设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式， 得x －42＋y －22＝4－32＋2－52，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.练习1：自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．答案：设AB 的中点P (x ，y )，B (x 1，y 1)，则有x 21＋y 21＝4，且x ＝x 1＋22，y ＝y 1＋02.∴x 1＝2x －2，y 1＝2y .∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，即(x －1)2＋y 2＝1.当A 、B 重合时，P 与A 点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．练习2：已知动点M 到定点()8,0的距离等于M 到()2,0的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是（ ）A ．2232x y += B ．2216x y +=C ．()22116x y -+=D ．()22116x y +-= 答案：B1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外答案：C2．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，4 答案：A3．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋y ＋14＝0的圆心坐标和半径分别是( )A ．(－1，12)；1B ．(1，－12)；1C ．(1，－12)；62D ．(－1，12)；62答案：B5．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <23答案： D6．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( )A.2π B ．2π C ．22π D ．4π答案：C7. 若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.答案：±28. 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________ 答案：在圆C 外部．9.求经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)的圆的标准方程．答案：由题意知，圆的半径r ＝|CP |＝5－82＋1＋32＝5， 圆心为点C (8，－3)．∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关答案：|PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 21＋t 22＝1，故点P 在圆上．C2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5答案：圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A. 3．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在 答案：A 4．(2014·广东广州市执信中学高一期末测试)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点在圆C 上，则实数a 等于( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20答案：B. 由题意知，直线2x ＋y －1＝0过圆C 的圆心(－2，－a 2)，∴2×(－2)－a2－1＝0，∴a＝－10.能力提升5．过点A (1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25B ．(x －1)2＋(y －3)2＝2C ．(x －5)2＋(y －5)2＝25D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 答案：A6．圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25上的点到原点的最大距离是( )A ．5－10B ．5＋10C.10 D ．10 答案：B7. 一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0上的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6答案：A8.经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________． 答案： (x ＋2)2＋y 2＝29.经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．答案： 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36， ③ ①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.10．圆C 通过不同三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，已知圆C 在点P 的切线的斜率为1，试求圆C 的方程．答案： 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－k ＋2F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为 x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1， ∴2k ＋12－0k ＋22－k ＝－1，即k ＝－3， 从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.课程顾问签字： 教学主管签字：。

课下能力提升(二十一) 圆的一般方程一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或02．已知圆C 的半径长为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝03．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2 4．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 等于( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定5．圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)二、填空题6．过点(－3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为________．7．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为________．8．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．三、解答题9．若点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．答案1．解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a ＝2或a ＝0. 2．解析：选D 设圆心为(a,0)，且a ＞0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0.3．解析：选B 圆的方程变为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d ＝|1－1－2|12＋－2＝2， ∴所求的最大值为1＋ 2.4．解析：选C 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，从而－m2＋3＝0，即m ＝6. 5．解析：选D 方程变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2， ∴r 2＝1－34k 2，当k ＝0时，r 有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)． 6．解析：由x 2＋y 2－2y ＝0，得x 2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(0,1)， ∴k ＝1－－0－－3＝33＝ 3.∴直线的倾斜角为60°. 答案：60°7．解析：依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32， 半径r ＝|AC |＝ －2＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522， 即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0.答案：x 2＋y 2＋4x －3y ＝08．解析：∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＋a －2－2a a －－4＜0，－2a 2－－＞0，即2a ＜2，a ＜1.答案：(－∞，1)9．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0.∴a ＝0或a ＝7.10．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D .令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴圆在y 轴的截距之和为y 1＋y 2＝－E .由题设x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2.∴D ＋E ＝－2.①又A (4,2)，B (－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③由①②③解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.。