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⾼⼀数学知识点总结_空间⼏何体的结构知识点⾼⼀数学怎么学? 学⽣学习期间，在课堂的时间占了⼀⼤部分。
因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)空间⼏何体的结构知识点1、静态的观点有两个平⾏的平⾯，其他的⾯是曲⾯;动态的观点：矩形绕其⼀边旋转形成的⾯围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。
2、定义：以矩形的⼀边所在直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的的曲⾯所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯叫做圆柱的底⾯;平⾏于圆柱轴的边旋转⽽成的⾯叫圆柱的侧⾯，圆柱的侧⾯⼜称圆柱的⾯。
⽆论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧⾯的母线。
表⽰：圆柱⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定：圆柱和棱柱统称为柱体。
3、静态观点：有⼀平⾯，其他的⾯是曲⾯;动态的观点：直⾓三⾓形绕其⼀直⾓旋转形成的⾯围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。
4、定义：以直⾓三⾓形的⼀条直⾓边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转⽽形成的⾯所围成的旋转体叫做圆锥。
旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯成为圆锥的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫圆锥的侧⾯，圆锥的侧⾯⼜称圆锥的⾯，⽆论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧⾯的母线。
表⽰：圆锥⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定：圆锥和棱锥统称为锥体。
5、定义：以半直⾓梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的曲⾯所围成的⼏何体叫圆台。
还可以看成⽤平⾏于圆锥底⾯的平⾯截这个圆锥，截⾯于底⾯之间的部分。
旋转轴叫圆台的轴。
垂直于旋转轴的边旋转⽽形成的圆⾯称为圆台的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫做圆台的侧⾯，⽆论转到什么位置，这条边都叫圆台侧⾯的母线。
表⽰：圆台⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定：圆台和棱台统称为台体。
6、定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转⼀周所形成的曲⾯称为球⾯，球⾯所围成的旋转体称为球体，简称为球。
空间几何体的结构一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征1、空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的和，而不考试其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体一般地，我们把由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点旋转体我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的备注：(1)多面体是由平面多边形围成的，这里的多边形包括它内部的平面部分．(2)多面体最少有四个面．(3)平面图形绕定直线旋转形成旋转体，这条定直线可以是平面图形的边，也可以不是，但定直线一定与平面图形在同一个平面内．Ex1、下列物体不能．．抽象成旋转体的是( )A．篮球B．日光灯管C．电线杆D．国家游泳馆水立方[解析]水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．答案：D2、棱柱定义一般地，有两个面互相，其余各面都是，并且每两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的叫做棱柱有关概念棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……备注：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形的几何体，却不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱．因为棱柱要求有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，而该图中有相邻四边形的公共边是不平行的．Ex2、下列几何体中，柱体有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：D3、棱锥 定义一般地，有一个面是 ，其余各面都是 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有 的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的 叫做棱锥的顶点；相邻侧面的 叫做棱锥的侧棱 。
空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
第8讲三视图，体积与表面积的计算[知识梳理]1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的表面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．柱、锥、台和球的表面积和体积3．常见几何体的侧面展开图及侧面积题型一空间几何体的三视图(高频考点题，多角度突破)考向一已知几何体，识别三视图1．(东北四市联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1C1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()考向二已知三视图，判断几何体的形状2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()考向三已知三视图中的两个视图，判断第三个视图3．(石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为()【针对补偿】1．(济南模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()2．(北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．32B．2 3 C．22D．23．(南昌一模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2[知识自测]1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π2．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π3．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为______．题型一 空间几何体的表面积与侧面积(基础拿分题，自主练透)(1)(课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______．【针对补偿】1．(全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )A．17π B．18π C．20π D．28π2．(黑龙江省大庆中学期中)一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为()A．6 3 B．8 C．8 3 D．12题型二空间几何体的体积(高频考点题，多角突破)考向一求以三视图为背景的几何体的体积1．(课标Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π考向二不规则几何体的体积3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23 B.33 C.43 D.32考向三 柱体与锥体的内接问题4．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827π C.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【针对补偿】3．(新课标全国Ⅱ卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.134．(山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______．题型三 球与几何体的切接问题 考向一 正方体(长方体)的外接球1．(天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．考向二 直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【针对补偿】5．(广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5πD.55π6[A 基础巩固练]1．(浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 2．(山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x 的值是( )A.7 B ．27 C ．4D ．53．(课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π45．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋125。
第八讲空间几何体的结构、三视图、直观图二、要点分析（一）空间几何体的结构1、棱柱的结构特征：有两个面互相，其余的各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫棱柱。
棱柱的两个底面是全等的多边形，其对应边互相平行，侧面都是平行四边形。
2、棱锥的结构特征：有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫棱锥。
3、棱台的结构特征：用一个平行于底面的平面去截，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫棱台。
4、圆柱的结构特征：以的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱。
圆柱的轴通过上下底面的圆心，并且垂直于底面；母线都相等，并且都等于圆柱的高；轴截面都是。
5、圆锥的结构特征：以的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的旋转体叫圆锥。
圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面；母线都相等；轴截面是。
6、圆台的结构特征：用平行于底面的平面去截，底面与截面之间的部分叫做圆台。
圆台的轴过两底面圆的圆心，并且垂直于底面：母线都相等；轴截面是。
7、球的结构特征：以的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
（二）空间几何体的三视图1、三视图的概念光线自物体的前面向后投射所得正投影称为，自上向下的正投影称为，自左向右的称为，用这三种视图刻画空间物体的结构，三种视图合称为。
2、三视图的画法规则（1）一般地，三种视图这样安排位置，正视图、侧视图、分别在左右两边，俯视图画在正视图的下边，这种顺序放置可以检查画三视图的注意事项（2）正视图与侧视图的高度保持平齐（简称高平齐）；正视图与俯视图的长应对正（简称长对正），俯视图与侧视图的宽度应相等（简称宽相等）。
（3）在画三视图时，被遮挡的线应用，不被遮挡的线应用。
（三）空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法是用斜投影作图中的一种最常用的画法，斜二测画法是指投影线与投影面斜交，有两轴方向（通常是水平轴与铅直轴）的线段长度不变，另一轴（通常是与水平轴斜交的轴）上的线段长度改变，通常取原来的一半，具体规则如下：1、在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠x Oz= ，且∠y O z= 。
2、画直观图时把它们画成对立的x'轴，y'轴，z'轴，它们相交于O'，并使∠x'O'y'= （或），∠x'O'z'= ，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平平面。
3、已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段。
4、已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度；平行于y轴的线段，长度变为原来的。
【例题分析】例1、根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称。
（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其余各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；（3）一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体；变式1、以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？例2、下列说法不正确的是（）A．正方体和长方体都是四棱柱B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱C．棱柱的侧棱都相等D．棱柱的侧面都是四边形变式2、下面说法中，正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体是棱锥例3、（10广州一模）如图，点O为正方体ABCD—A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影可能是（填出所有可能的图序号）AB CD A 1 B 1C 1D 1E GF 变式3、如右图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别系A A 1、D 1 C 1的中点，G 是正方形BCC 1 B 1 的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各面上的投影不可能是（ ）ABCD例4、画出如下所示物体的三视图。
变式4、（10广东）如图，△ABC 为正三角形，AA'//BB'//CC'，CC'⊥平面ABC 且3 AA'=32BB'= CC'=AB ，则多面体ABC-A'B'C'的正视图是（ ）例5、如右图所示是由几个小立方块所搭，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数。
请画出这个几何体的正视图和侧视图。
变式5、据下面的三视图，画出空间图形的直观图。
（3）ABCA B D C C BA' B'C'正视图 侧视图 俯视图俯视图侧视图 （1）正视图侧视图俯视图（2） 侧视图俯视图正视图 （3）例6、根据几何体的三视图画出对应的几何体。
变式6、（11全国）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（ ）（正视图） （俯视图）例7、已知一平面图形的直观图是底角等于45°，上底和腰均为1的等腰梯形，（如右图）求原图形的面积。
【巩固练习】1、将图1所示的三角形直线 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）2、如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1，2，3，4，5，6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1，2，3对面的数字是（ ）A ．4，5，6B ．6，4，5C ．5，4，6D ．5，6，4俯视图正视图 侧视图 （4）A B CD3、有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。
其中正确的是（ ） A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（1）（3） D ．（2）（4）4、下列命题中错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所过顶点和截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形5、由5个小立方块所塔成的几何体，其三视图分别为 （正视图）、 （侧视图）、（俯视图），则该几何体是（ ）6、如图，如下放置的四个几何体中，其正视图为矩形的为（ ）A B C D7、如图，如下放置的几何体中，其俯视图不是圆的是（ ）A B C D8、如图，如下放置的几何体（由完全相同的立方体拼成）中，其正视图和俯视图完全一样的是（ ）A B C D9、如图所示，用斜二测画法作△ABC 水平放置的直观图形得△A 1B 1C 1，其中A 1B 1= B 1C 1，A 1D 1是B 1C 1边上的中线，由图形可知在△ABC 中，下列四结论中正确的是（ ）A ．AB=BC=ACB ．AD ⊥BC C ．AC ＞AD ＞AB ＞BC D ．AC ＞AD=AB=BC10、如下图，已知正三角形的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为（ ）A ．243a B ．283a C ．286a D ．2166a11、添线补全下列三视图12、试作出下面几何体的三视图第九讲 空间几何体的表面积与体积一、知识要点（一）柱体、锥体、台体的表面积 1、多面体的表面积可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。
2、圆柱、圆台、圆锥的表面积其中r′、r 、 分别为圆台的上底面半径，下底面半径、母线长。
（二）柱体、锥体、台体的体积其中s 、s′是底面积，h 是高。
（三）球的表面积、体积S 球=4πR 2V 球=43πR 3其中R 为球的半径二、学法指导1、求几何体的表面积：求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出；对于长方形、直棱柱、正棱柱、正棱台借助展开图求表面积。
2、求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，一般要作出高后转化平面几何知识求出高。
在进行体积计算时，注意应用“等积变换”、“分割求和”、“接补求差”等解题思路。
三、例题分析例1、圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为 。
变式1、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中交于顶点A 的三条棱长AD=3，AA 1=4，AB=5，则从A 点沿长方体表面到C 点的最短距离为（ ） A ． B C ．D ．例2、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是（ ）A ．3︰2B ．2︰1C ．4︰3D ．5︰3变式2、圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为 。
例3、（10湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。
变式3、将一钢球放入底面半径为4cm 的圆柱形玻璃器中，水面上升9cm ，则钢球的半径为 。
例4、△ABC 的三边之长分别是AC=3，BC=4，AB=5，现以AB 所在的直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积。
变式4、（10浙江）若某几何体的三视图（单位：cm ）如下面所示，则此几何体的体积是 cm 3。
例5、圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等。
求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比。
例6、（11广东）如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．12183四、巩固练习1、（11上海）若圆锥的侧面积为2π，底面半径为π，则该圆锥的体积为 。
2、如图在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P-BCC 1B 1的体积为（ ） A ．38B ．316 C ．4 D ．163、将边长为a 的正方形卷成一个圆柱的侧面，那么所成圆柱的体积是（ ）俯视图 侧视图 俯视图图1图2图3 A ．π43a B ．π23a C ．π3a D ．π33a4、若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍5、若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．21 6、等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定 7、（09广东）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示。
