【数学】江苏省南通中学2015届高三第一学期期中考试

江苏省南通中学2015届高三数学上学期期中试题（含解析）本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份好试卷.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．【题文】1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()UA B = ．【知识点】集合及其运算A1【答案】{2，3} 【解析】{2,3}A U C =则()U A B ={2，3}【思路点拨】先求出补集再求结果。

【题文】2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ． 【知识点】命题及其关系A2【答案】2,20x R x x m ∀∈++> 【解析】“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是2,20x R x x m ∀∈++>。

【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。

【题文】3．若复数z1=a ﹣i ，z2=1+i （i 为虚数单位），且z1⋅z2为纯虚数，则实数a 的值为 ．【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】-1 【解析】12z z ⋅=(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数 所以 a+1 = 0 a = -1【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出a.【题文】4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ． 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案】-cos2【解析】=2由任意三角函数的定义：sin α=yr =-cos2【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。

【题文】5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】充分不必要【解析】1a >能推出(1)2a x +>在(1,)x ∈+∞成立，(1)2a x +>，(1,)x ∈+∞，a<1 也可能成立。

南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合U =幺，3, 5 9}, A =tl, 3, 9} , B = tl, 9}，则C u (AU B)=2 •若z z =9(其中z表示复数z的共轭复数)，则复数z的模为 __________________ •f(X)=旦“3 •已知函数x在xi处的导数为-2，则实数a的值是 __________________ •2 *4已知函数y=a n x ( a.式0, n^N )的图象在x = 1处的切线斜率为2a nJ+1(n >2,n^N*),且当n =1时，其图象经过(2,8 )，贝V a? = _____________________ .y = sin 2x —5 •要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数3的图象向右至少平移__________ 个单位.6•在平面直角坐标系xOy中，直线y =x b,b• R与曲线^~y2相切”的充要条件是a ??7•如图，Ni表示第i个学生的学号,的成绩依次为401、392、385、359、组数据是____________ •在厶ABC中，若tan A：tan B: tan C 2:3，则A =Gi表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生372、327、354、361、345、337,则打印出的第5正实数，则h的最大值是27其中（0,）为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为8二、解答题：本大题共6小题，共90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本题满分14分）f （x） =sin2x +2^3sin xcosx +sin（x + n）sin（x-兀）,R已知函数 4 4，.（1 ）求f（x）的最小正周期和值域；（0< X0<」）彳 / \ • c9.已知y=f（x）是R上的奇函数，且x 0时,2f（x）/,则不等式f（x -x）：：：f（0）集为10 •设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为11.已知平面向量a, b, c满足n二1, b =2 , a , b 的夹角等于3，且(a -c) (b —c) =0 ,则c的取值范围是12.在平面直角坐标系xOy中，过点0）、2 AX , 0）分别作x轴的垂线与抛物线X =2y分别交于点A1、A2，直线A A2与x轴交于点A（X3,0），这样就称为、X2确定了X3 .同样, 可由X2、X3确定X4 ,...若卄为=2 X2 =3 则X5 二13•定义：min{x, y}为实数X, y中较小的数.h = min 7a , 2b2已知a- 4b}，其中a, b均为14 •在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆2X2ay2=1 (a 1)上，则实数a的值为（2）若x =x°2为f（x）的一个零点，求sin2x0的值.16. (本题满分14分)如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C，且CC =a( 0：：： a .；：•叮3).a _ —(1 )若"T，求二面角C—BD-L的大小;(2 )当a变化时，线段CC •上是否总存在一点E,使得A C //平面BED?请说明理由.17. (本题满分15分)22 _y_在平面直角坐标系xOy中，设A、B是双曲线X __2 "上的两点，M(1,2)是线段AB 的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点.(1)求直线AB与CD的方程；(2)判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由.18. (本题满分15分)某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷.根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成.(假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同)(1)如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？(2)由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5天完成，在按(1 )分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？(天数精确到小数点后第3位)8076.782 95 : 6.786 絮：3.343 ^c^5：3.367(参考数据：119, 14 , 99,30119. (本题满分16分)已知函数f(x)的导函数f °)是二次函数，且f(x)=0的两根为二1 .若f(x)的极大值与极小值之和为0,f(—2)=2.(1)求函数f (x)的解析式；(2)若函数在开区间(山一9,9一m)上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围.(3)设函数f(x)二xg(x)，正实数a, b, c满足ag(b^bg(c) =cg(a) 0，证明：a 二b=c.20. (本题满分16分)4-0 -pfTn = 3其中p为常数•(1 )求p的值；(2)求证：数列3 '为等比数列；(3)证明：数列a n , ^3n 1, 2a n 2成等差数列，其中X、、均为整数”的充要条件是’x =1,且y二2设首项为1的正项数列4昇的前n项和为S n，数列‘為’的前n项和为T n，且试题n （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答•若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. （几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D , CD=2, DE 丄AB,垂足 为E ,且E 是0B 的中点，求BC 的长.（第21-A 题）B. （矩阵与变换）1 2已知矩阵-2 a的属于特征值b的一个特征向量为C. （极坐标与参数方程）x =2pt 2,在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，-2）在曲线y =2p t（ t 为参数，p 为正常数），求p的值.D. （不等式选讲）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分•请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .已知函数 伦）=2（15n （1+x ）-x 2-2x , x “P ）,求 f （x ）的最大值.11，求实数a、b 的值.设A, a 2,比均为正数，且a1 a2 a3 =1，求证: a 1 a 2 a 323. (1)已知 k 、n w N *，且 k < n ，求证： © = n C<7证明：对任意的正整数 n , P(x)二a °C 0(1—x)n+a i C n x(1—x)2+a 2d x 2(1—x)n，+ …+a n C ：x n是 关于x 的一次式.(2)设数列a。

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）一、填空题：1.i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ．2.设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则 = ▲ ．3.已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：()//k +a b c 考点：向量平行的坐标表示4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5.函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．7.已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 【答案】247- 【解析】试题分析：由题意得: 4cos 5α=，33sin 54αα=-，tan =-,22tan 24tan 2.1tan 7ααα==-- 考点：二倍角公式 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位.9.设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ．（填．充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10.已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝1()2x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲ 【答案】124【解析】试题分析：因为22+log 3(3,4)∈，所以2log 2422211(2+log 3)(3log 3)(log 24)()224f f f =+===考点：函数值11.在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113B A B C B D B A B C B D+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．【解析】试题分析：因为AB =DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为113BA BC BD BA BC BD+=，所以平行四边形ABCD为菱形，且120ABC∠=,因此sin120 3.ABCDS=考点：向量加法平行四边形法则12.给出下列四个命题（1）命题“x R∀∈，cos0x>”的否定是“x R∃∈，cos0x…”；（2）若2()21f x ax x=++只有一个零点，则1a=；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x，有()()f x f x-=，()()g x g x-=-，且当0x>时，()0f x'>，()0g x'>，则当0x<时，()()f xg x''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

2014-2015学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∪B=．2．（5分）下列四个图象中，是函数图象的是3．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y=0}，B={（x，y）|x+y+4=0}，则A∩B=．4．（5分）函数y=a x﹣2﹣1（a＞0，a≠1）过定点．5．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣a）=6，则f（a）=．6．（5分）若f（2x+1）=4x2+4x，则f（x）的解析式为．7．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有f（x）=（）x﹣x3，则当x＜0时f（x）=．9．（5分）如果二次函数y=3x2+2（a﹣1）x+b在区间（﹣∞，1）上是减函数，在区间[1，+∞）上是增函数，那么a的取值集合是．10．（5分）定义在R上的函数y=f（x）的值域为[1，2]，则y=f（x+1）﹣2的值域为．11．（5分）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+|a﹣1|存在零点x0∈（，2），则实数a的取值范围是．13．（5分）定义在区间[﹣2，2]上的奇函数f（x），它在（0，2]上的图象是一条如图所示线段（不含点（0，1）），则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞x的解集为．14．（5分）已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2+x+1，x∈R}．（1）求A，B；（2）求A∪B，A∩∁R B．16．（14分）已知函数h（x）=（m2﹣5m+1）x m+1为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g（x）=h（x）+在x∈[0，]的值域．17．（14分）函数g（x）=（1）若g（10000）=g（1），求a的值；（2）若g（x）是R上的增函数，求实数a的取值范围．18．（16分）在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？19．（16分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）令h（x）=x2f（x）+ax+b，若集合A={x|x=h（x）}，集合B={x|x=h[h（x）]}，若A=∅，求集合B．20．（16分）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N*，b，c∈R）（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范围．2014-2015学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．（5分）下列四个图象中，是函数图象的是（1）（3）（4）【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x=a至多有一个交点，图（2）中，当a＞0时，x=a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故（2）不是函数的图象，故答案为：（1），（3），（4）．3．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y=0}，B={（x，y）|x+y+4=0}，则A∩B={（﹣2，﹣2）}．．【解答】解：∵A={（x，y）|x﹣y=0}，B={（x，y）|x+y+4=0}，∴A∩B={（x，y）|x﹣y=0}∩{（x，y）|x+y+4=0}={（x，y）|}={（﹣2，﹣2）}．故答案为：{（﹣2，﹣2）}．4．（5分）函数y=a x﹣2﹣1（a＞0，a≠1）过定点（2，0）．【解答】解：∵x=2时，y=a x﹣2﹣1=a0﹣1=0，∴函数y=a x﹣2﹣1（a＞0，a≠1）过定点（2，0）．故答案为：（2，0）．5．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣a）=6，则f（a）=﹣4．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣a）+f（a）=2．∵f（﹣a）=6，∴f（a）=﹣4．故答案为：﹣4．6．（5分）若f（2x+1）=4x2+4x，则f（x）的解析式为f（x）=x2﹣1．【解答】解：∵f（2x+1）=4x2+4x=（2x+1）2﹣1，∴f（x）=x2﹣1，∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣1．故答案为：f（x）=x2﹣1．7．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=﹣2或16．【解答】解：∵f（x）=，f（a）=4，∴当a≤0时，f（a）=2﹣a=4，解得a=﹣2，当a＞0时，f（a）=log2a=4，a=16．故答案为：﹣2或16．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有f（x）=（）x﹣x3，则当x＜0时f（x）=﹣2x﹣x3．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0．∵当x＞0时有f（x）=（）x﹣x3，∴f（﹣x）==2x+x3．∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2x﹣x3．故答案为：﹣2x﹣x3．9．（5分）如果二次函数y=3x2+2（a﹣1）x+b在区间（﹣∞，1）上是减函数，在区间[1，+∞）上是增函数，那么a的取值集合是{﹣2} ．【解答】解：由题意得：对称轴x=﹣=1，解得：a=﹣2故答案为：{﹣2}．10．（5分）定义在R上的函数y=f（x）的值域为[1，2]，则y=f（x+1）﹣2的值域为[﹣1，0] ．【解答】解：∵函数y=f（x）的值域为[1，2]，将函数y=f（x）的图象向左平移1个单调，得到函数y=f（x+1）的图象，∴函数y=f（x+1）的值域为[1，2]，∴函数y=f（x+1）﹣2的值域为[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．11．（5分）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为函数的定义域为R所以，x2+5ax+4≠0，x∈R恒成立所以△=（5a）2﹣16＜0解得：所以实数a的取值范围是故答案为：12．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+|a﹣1|存在零点x0∈（，2），则实数a的取值范围是[0，2] ．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+|a﹣1|存在零点x0∈（，2），∴﹣|a﹣1|=x2﹣2x，令g（x）=x2﹣2x，x∈（，2），∴﹣1≤g（x）＜0，∴﹣1≤﹣|a﹣1|＜0，解得：a∈[0，2]故答案为：[0，2]，13．（5分）定义在区间[﹣2，2]上的奇函数f（x），它在（0，2]上的图象是一条如图所示线段（不含点（0，1）），则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞x的解集为[﹣2，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（x）﹣f（﹣x）＞x可化为f（x）+f（x）＞x，即f（x）＞x，由奇函数的图象关于原点对称，可作出函数f（x）的图象及y=x的图象，如图所示：由图象可求得，，由得，x=1；由得，x=﹣1，结合图象知f（x）＞x，即f（x）﹣f（﹣x）＞x的解集为[﹣2，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（0，1）．14．（5分）已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2} ．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2+x+1，x∈R}．（1）求A，B；（2）求A∪B，A∩∁R B．【解答】解：（1）由x（x﹣1）≥0，解得：x≤0或x≥1，∴A=（﹣∞，0]∪[1，+∞），由y=x2+x+1=+≥，得B=[，+∞）；（2）∵=（﹣∞，），∴A∪B=（﹣∞，0]∪[，+∞），A∩=A=（﹣∞，0]．16．（14分）已知函数h（x）=（m2﹣5m+1）x m+1为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g（x）=h（x）+在x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）∵函数h（x）=（m2﹣5m+1）x m+1为幂函数，∴m2﹣5m+1=1，∴m=5或m=0，当m=5时，h（x）=x6是偶函数，不满足题意，当m=0时，h（x）=x是奇函数，满足题意；∴m=0，（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣，令g′（x）=0，解得x=0，当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，∴函数g（x）在[0，]为减函数，∴g（）≤g（x）≤g（0）即≤g（x）≤1故函数g（x）的值域为[，1]17．（14分）函数g（x）=（1）若g（10000）=g（1），求a的值；（2）若g（x）是R上的增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵g（10000）=g（1），∴lg10000=（4﹣）﹣1；即4=4﹣﹣1；故a=﹣2；（2）∵g（x）是R上的增函数，∴，解得，≤a＜8．18．（16分）在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？【解答】解：由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=3000x﹣20x2﹣（500x+4000）=﹣20x2+2500x﹣4000，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000﹣[﹣20x2+2500x﹣4000]=2480﹣40x，（2），当x=62或x=63时P（x）的最大值为74120（元）∵MP（x）=2480﹣40x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为2440（元）∴P（x）与MP（x）没有相同的最大值19．（16分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）令h（x）=x2f（x）+ax+b，若集合A={x|x=h（x）}，集合B={x|x=h[h（x）]}，若A=∅，求集合B．【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），即=；解得，a=﹣1；（2）由（1）知，f（x）=，当x=±1时，f（x）=0，当x=2时，f（x）=；故E={0，}；而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣=lg2（lg2+lg5）+lg5﹣=lg2+lg5﹣=1﹣=，故λ∈E；（3）h（x）=（x2﹣1）+ax+b=x2+ax+b﹣1，若存在x，使h（x）≤x，则由h（x）=x2+ax+b﹣1（a，b∈R）开口向上，因此存在x，使h（x）＞x，于是f（x）=x有实根，∵A=∅，∴h（x）＞x，∴h[h（x）]＞h（x）＞x，于是h[h（x）]=x无实数根，即B=∅．20．（16分）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N*，b，c∈R）（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）n≥2，b=1，c=﹣1时，f n（x）=x n+x﹣1，∵•f n（1）=＜0，∴f n（x）在区间（）内存在零点，又+1＞0，∴f n（x）在区间（，1）上是单调递增函数，故f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）当n=2时，，对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等价于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，据此分类讨论如下：（1）当||＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；（2）当﹣1＜0，即0＜b≤2时，M==≤4恒成立；（3）当0＜﹣，即﹣2≤b≤0时，M==恒成立；综上知﹣2≤b≤2．。

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ． 2．设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则M⋂N = ▲ ．3．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值 为 ▲ ．4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5．函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．．7．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位。

9．设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ． （填．充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲11．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ． 12．给出下列四个命题（1）命题“x R ∀∈，cos 0x >”的否定是“x R ∃∈，cos 0x”；（2）若2()21f x ax x =++只有一个零点，则1a =；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x ，有()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>， 则当0x <时，()()f x g x ''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=．2．（5分）函数的定义域是．3．（5分）函数，则f（﹣1）=．4．（5分）求函数y=x﹣的值域为．5．（5分）求值：=．6．（5分）若函数f（x）=x2lga﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是．7．（5分）方程lgx=4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=．8．（5分）对a，b∈R，记max{a，b}=函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是．9．（5分）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=．10．（5分）函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，则=．11．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．12．（5分）函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=|log a|x﹣1||（a＞0，a≠1），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则+++=．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）设全集U={x|x≤5，且x∈N*}，集合A={x|x2﹣5x+q=0}，B={x|x2+px+12=0}，且（∁U A）∪B={1，4，3，5}，求实数p、q的值．16．（14分）已知集合A={x|y=}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．17．（15分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）18．（15分）已知定义在R上的函数f（x）=m﹣（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若f（x）是奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k 的范围．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N={0，1，2} ．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，∴x=1，即M={0，1}，则M∪N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}2．（5分）函数的定义域是（﹣3，2）．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6﹣x﹣x2＞0即x2+x﹣6＜0解得：﹣3＜x＜2故函数的定义域是（﹣3，2）故答案为：（﹣3，2）3．（5分）函数，则f（﹣1）=2．【解答】解：∵函数，则f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=f（2+3）=f（5）=5﹣3=2，故答案为2．4．（5分）求函数y=x﹣的值域为（﹣∞，] ．【解答】解：由1﹣2x≥0，得，∵为定义域上的减函数，∴y=x﹣在（﹣∞，]上为增函数，则函数y=x﹣的最大值为．∴函数y=x﹣的值域为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．5．（5分）求值：=19．【解答】解：原式=9﹣3×（﹣3）+=18+1=19，故答案为：19．6．（5分）若函数f（x）=x2lga﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，10）．【解答】解：∵函数f（x）=x2lga﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，∴lga≠0，且△=4﹣4lga＞0，即a≠1，lga＜1，∴0＜a＜10，且a≠1．故答案为：（0，1）∪（1，10）．7．（5分）方程lgx=4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=3．【解答】解：设函数f（x）=lgx+x﹣4，则函数f（x）单调递增，∵f（4）=lg4+4﹣4=lg4＞0，f（3）=lg3+3﹣4=lg3﹣1＜0，∴f（3）f（4）＜0，在区间（3，4）内函数f（x）存在零点，∵方程lgx=4﹣x的解在区间（k，k+1）（k∈Z），∴k=3，故答案为：3．8．（5分）对a，b∈R，记max{a，b}=函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是．【解答】解：由|x+1|≥|x﹣2|⇒（x+1）2≥（x﹣2）2⇒x≥，故f（x）=，其图象如右，则．故答案为：．9．（5分）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=．【解答】解析：令，即；设f（x）=xα，则，；所以，故答案为：．10．（5分）函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，则=3．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定义在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函数，∴a=2a﹣2，解得a=2，由f（x）=f（﹣x）得，a﹣2b=0，即b=1，则f（x）=2x2+1．故=．故答案为3．11．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．12．（5分）函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是（0，] ．【解答】解：[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则函数f（x）在R上递减，当x＜0时，y=a x，则0＜a＜1①当x≥0时，y=（a﹣3）x+4a，则a﹣3＜0②又a0≥（a﹣3）×0+4a③则由①②③，解得0＜a≤．故答案为：（0，]．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）==1﹣，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0得，f（t+a）＞f（t﹣1），又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（|t+a|）＞f（|t﹣1|），则|t+a|＞|t﹣1|，两边平方得，（2a+2）t+a2﹣1＞0，∵对任意实数t∈[，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0恒成立，∴对任意实数t∈[，2]，都有（2a+2）t+a2﹣1＞0恒成立，则，化简得，解得，a＞0或a＜﹣3，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．14．（5分）已知函数f（x）=|log a|x﹣1||（a＞0，a≠1），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x 1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则+++=2．【解答】解：不妨设a＞1，则令f（x）=|log a|x﹣1||=b＞0，则log a|x﹣1|=b或log a|x﹣1|=﹣b；故x1=﹣a b+1，x2=﹣a﹣b+1，x3=a﹣b+1，x4=a b+1，故+=，+=；故+++=+=+=2；故答案为：2．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）设全集U={x|x≤5，且x∈N*}，集合A={x|x2﹣5x+q=0}，B={x|x2+px+12=0}，且（∁U A）∪B={1，4，3，5}，求实数p、q的值．【解答】解：U={1，2，3，4，5}∵（C U A）∪B={1，4，3，5}，∴2∈A∵A={x|x2﹣5x+q=0}将2代入得4﹣10+q=0得q=6∴A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}C U A={1，4，5}∵（C U A）∪B={1，4，3，5}，∴3∈B∴9+3p+12=0解得p=﹣7p=﹣7，q=616．（14分）已知集合A={x|y=}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A=（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞），B=（﹣4，﹣3）∴A∩B=（﹣4，﹣3）（2）∵A∪C=A，∴C⊆A①C=∅，2m﹣1＜m+1，∴m＜2②C≠∅，则或．∴m≥6．综上，m＜2或m≥6．17．（15分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为（2分）由图二可得种植成本与时间的函数关系为．（4分）（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=（6分）当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5（10分）、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）18．（15分）已知定义在R上的函数f（x）=m﹣（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若f（x）是奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】解：（1）判断：函数f（x）在R上单调递增证明：设x1＜x2且x1，x2∈R则∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴即，∴m=1（3）由，∴D=（m﹣2，m）．∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（2）=15，f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1，∴4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=﹣2x+1；∴2a=﹣2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=﹣1，b=2，c=15，∴函数f（x）的表达式为f（x）=﹣x2+2x+15；（2）∵g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）=x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值﹣15；当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x=m时，函数g（x）取最小值﹣m2﹣15；当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值﹣4m ﹣11；∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k 的范围．【解答】解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数故当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数故∵b＜1∴a=1，b=0（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2﹣2x+1.．方程f（2x）﹣k•2x≥0化为，令，k≤t2﹣2t+1∵x∈[﹣1，1]∴记ϕ（t）=t2﹣2t+1∴φ（t）min=0∴k≤0（Ⅲ）方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）∵方程有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1记ϕ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k）则或∴k＞0．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

江苏省南通中学2007-2008学年度第一学期期中考试高三数学试卷（教师版）一．填空题（共50分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）： 1．已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则AB = {4} .2．函数23x y t =⋅+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是(,2]-∞-．3．定义一种运算：,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数()sin cos f x x x =⊗ 的值域为[-． 4．将函数πsin() ()6y x x R =+∈的图象上所有的点向左平移π4个单位，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为1sin()2π125y x =+．5．设,x y 为实数，且51i 12i 13i x y +=-- -，则x y +=4． 6．已知|a |=2，|b |=3，a 和b 的夹角为45°，求当向量λa + b 与a +λb 的夹角为锐角时，λ的取值范围是11λλλ<<>,或． 7．已知{}n a 前n 项和为2342n S n n =-，则{||}n a 的前n 项和n T =22423,7342294,7n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩．8．设动点坐标(,)x y 满足(1)(4)0,3x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩，则22x y +的最小值为 10 ．9．不等式10ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-.10．给出四个命题：（1）“,,a b c 成等比数列”是“函数f (x )=ax 2+bx +c )0(≠a 的图像与x 轴没有公共点”的充分不必要条件；（2）若{n a }成等比数列，n S 是前n 项和，则484128,,S S S S S --成等比数列；（3）ABC ∆中，若三边,,a b c 成等比数列，则公比q ∈；（4）若20x x m +-=没有实根，则0m ≤； （5）若等差数列{n a }的前n 项和为n S ，则三点10100110(10,),(100,),(110,)10100110S S S共线． 其中假．命题的序号为 （2） ． 二．选择题（共30分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）： 11．已知集合2112{|lg 0},{|222,}x M x x N x x Z -+===<<∈，则M N = （ B ）A ．{1,1}-B ．{1}-C ．{0}D ．{1,0}-12．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，*n N ∈），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则 （ B ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件13．在ABC ∆中，已知2222()sin(A B)()sin(A B)a b a b +-=-+，则A B C ∆的形状是（ D ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形14．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是 （ D ）A ．13BCD ．215．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ) = f (x ＋2)，当x ∈[3，5]时，f (x )=2－|x －4|，则（ D ）A ．(sin )(cos )66ππf f < B ．(sin1)(cos1)f f >C ．(cos )(sin )332π2πf f < D ．(cos 2)(sin 2)f f >16．若ππ()sin()sin()(0)44f x a x b x ab =++- ≠是偶函数，则点(,)a b 的轨迹方程 （ B ）A ．0(0)x y x -=≠B ． 0(0)x y x +=≠C ．20(0)x y x -=≠D ．20(0)x y x +=≠三、解答题（共80分，其中17、18、19每题12分，20题14分，21、22题每题15分，请将答案填写到答题卡相应位置）：17．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos ,sin )αα，π3π(,)22α∈．（1）若|AC||BC|=，求角α的值；（2）若1AC BC 2⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值．解：（1）22|AC ||BC |=，则22223)si (n cos (s n )s 3o i c αααα-+=+-，所以s in o s c αα=，因为π3π(,)22α∈，所以5π4α=；（2）3)cos sin (sin 3)13(sin c 1A os )C BC (cos 2αααααα-+-=-+=-=⋅， 所以，sin co 12s αα+=，因此23cos (sin 2s c )1i 4n os αααα=+-=-， 原式=22sin 2sin cos 2sin (sin cos 2sin sin sin )3c cos 1cos cos os 4ααααααααααααα++==++=-．18．设函数()214f x x x =+--．（1）求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的不等式2()37f x a a ≥--在[]0,5恒成立，试求a 的取值范围． 解：（1）15,21()33,425,4x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 作出其图像（如右图）所以，函数()f x 的值域是9[,)2-+∞（2）由图像可知，函数()f x 在[]0,5上的最小值为(0)3f =-， 由题意可知，2(0)37f a a ≥--，因此14a -≤≤． 19．已知C x ∈，且210x x ++=．（1）求 x ；（2）若x 的虚部大于0，求23200712342008S x x x x =++++⋅⋅⋅+． 解：（1）根据求根公式可得x = （2）由条件可知，ωx ==，且3ω1=，2320072320072008123420082320072008S x x x x xS x x x x x =++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++两式相减可得22007200820082008)1200811200820081112008ω12008ω1ω(1x S x x x x x x x x x x S =+++⋅⋅⋅+---=-=---=--∴==-====-20．设2224()(log )log 1f x a x b x =++，（,a b 为常数）．当0x >时，()()F x f x =，且()F x 为R 上的奇函数．（1）若1()02f =，且()f x 的最小值为0，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，2()1()log f x k g x x +-=在[]2,4上是单调函数，求k 的取值范围．解: （1）222()log log 1f x a x b x =++由1()02f =得10a b -+=, 得222()log (1)log 1f x a x a x =+++若0a =则2()log 1f x x =+无最小值.故0a ≠.欲使()f x 取最小值为0,只能使204(1)04a a a a >⎧⎪⎨-+=⎪⎩,得1a =,2b =.∴222()log 2log 1f x x x =++．得0x <则0x ->,∴222()()log ()2log ()1F x f x x x =-=-+-+， 又()()F x F x -=-,∴222()log ()2log ()1F x x x =-----， 又(0)0F =说明：本题也可以用分组求和.∴222222log 2log 1,0()0,0log ()2log ()1,x x x F x x x x x ⎧++>⎪-==⎨⎪-----<⎩ (2)2222log 2log 11()log x x k g x x+++-=22log 2log kx x =++.[2,4]x ∈. 得2log x t =.则2ky t t=++,[1,2]t ∈. ∴当0k ≤,1≤2时,y 为单调函数.综上,1k ≤或4k ≥.21．已知定义域为R 的二次函数()f x 的最小值为0且有(1)(1)f x f x +=-，直线()4(1)g x x =-被()f x的图像截得的弦长为{}n a 满足12a =，1()()()0N*n n n n a a g a f a n +-+= (∈).（1）函数()f x ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设13()()n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 的最值及相应的n ． 解：（1）设()2()(1)0f x a x a =->，则直线()4(1)g x x =-与()y f x =图象的两个交点为（1，0），416(1)a a+，，24()(0)a a +=> 21()(1)a f x x ∴==-，（2）2()(1),()4(1)n n n n f a a g a a =-=-21()4(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=· 1(1)(431)0n n n a a a +∴---=11214310n n n a a a a +=∴≠--=，，1131(1)114n n a a a +∴-=--=，数列{1}n a -是首项为1，公比为34的等比数列，11331()()144n n n n a a --∴-==+，（3）213(1)4(1)n n n b a a +=---1212133333[()]4()3{[()]()}4444n n n n ---=-=-令13()4n n b y u -==， 则2211133[()]3()2424y u u =--=--*n N ∈，u ∴的值分别为3927141664，，，……，经比较916距12最近，∴当3n =时，n b 有最小值是189256-，当1n =时，n b 有最大值是0.22．设定义在12[,]x x 上的函数()y f x =的图象为C ，C 的端点为点A 、B ，M 是C 上的任意一点，向量11OA (,)x y =，22OB (,)x y =，OM (,)x y =，若12(1)x x x λλ=+-，记向量ON OA (1)OB λλ=+-.现在定义“函数()y f x =在12[,]x x 上可在标准k 下线性近似”是指|MN |k ≤恒成立，其中k 是一个人为确定的正数. （1）证明：01λ≤≤；（2）请你给出一个标准k 的范围，使得[0，1]上的函数y=x 2与y=x 3中有且只有一个可在标准k 下线性近似.解：（1）由题意， x 1≤x ≤x 2即x 1≤λx 1+(1－λ) x 2≤x 2，∴ x 1－ x 2≤(x 1－ x 2)λ≤0， ∵ x 1－ x 2<0， ∴ 0≤λ≤1．（2）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B 、N 、A 三点在一条直线上，又由（1）的结论， N 在线段AB 上且与点M 的横坐标相同． 对于 [0，1]上的函数y=x 2，A(0，0)，B(1，1)， 则有|MN |= x －x 2 =211()42x --，故1|MN |[0,]4∈； 对于[0，1]上的函数y=x 3， 则有|MN |= x －x 3= g (x )， 在(0，1)上， g ′(x )= 1－3 x 2，可知在(0，1)上y = g (x )只有一个极大值点，所以函数y = g (x )在(0)上是增函数;在1)上是减函数，又g故|MN |∈[0， ]．经过比较，14，所以取k ∈[14)，则有函数y=x 2在[0，1]上可在标准k 下线性近似，函数y=x 3在[0，1]上不可在标准k 下线性近似．。

江苏省南通市市直中学2015届高三年级调研测试数学试题1． 已知集合A={－2，－1}，B={－1，2，3}，则A B = ▲ ．2． 若复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z = ▲ ．3． 抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．4． 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ▲ ． 5． 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．6． 某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为 ▲ ． 7． 如图所示的算法中，输出的结果是 ▲ ． 8． 若直线y x m=+与曲线ln y x =相切，则实数m 的值为 ▲ ．9． 如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，则三棱锥1M AB C-的体积为 ▲ ．10l 过点P （3，1），则当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线的方程为 ▲ ． ( 第7题 )(第9ABC A1B1C1M11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1324412a a a a S +=++=，，则数列{}n a 的公比q为 ▲ ．12．已知△ABC 中，∠C=90°，34CA CB ==，，D E 、分别为边C AC B 、上的点，且6BD CA ⋅=， 8AE C B⋅=，则AE BD ⋅= ▲ ． 13．已知函数23 1 ()x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+⎪⎩≤，，，1，若()f x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知00x y >>，，且满足18102y x x y +++=，则2x y +的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知在△ABC 中，sin()2sin()A B A B +=-． （1）若π6B =，求A ；（2）若tan 2A =，求tan B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA CD ⊥． （1）求证：直线//AB 平面PCD ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，海平面某区域内有A 、B 、C 三座小岛（视小岛为点），岛C 在A 的北偏东70°方向，岛B 在C 的南偏西40°方向，岛B 在A 的南偏东65°方向，且A 、B 两岛间的距离为3 n mile ．求A 、C 两岛间的距离．18．（本小题满分16分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=的离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是椭圆C 上任意一点，Q 为圆22:(2)1E x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．19．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 满足：11a =，2132a a a =+，且对于任意*n ∈N ，都有0n a >，2124n n n a a a ++=+． （1）求234,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分16分）已知函数()e xf x c =-，3211()(,,).32g x ax bx cx a b c =++∈R（1）若0ac <，求证：函数()y g x =有极值；（2）若0a b ==，且函数()y f x =与()y g x =的图象有两个相异交点，求证： 1.c >南通市市直中学高三年级调研测试 数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{2,1,2,3--}2．1i +3．(1,0)4．π5．23 6．150 7．11 8．1-9． 10．250x y --= 11．13 12．14-13．[1,2]- 14．18二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解:（1）由条件，得ππsin()2sin()66A A +=-．11cos cos )22A A A A +=-． …………………………………………3分化简，得 s i n3c o s A A =．tan A ∴……………………………………………………………………………6分 又(0,π)A ∈，π3A ∴=． ………………………………………………………………7分（2）sin()2sin()A B A B +=-，sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-． 化简，得 3c o s s i ns i n c AB A B =．…………………………………………………11分又 c o s c o s 0A B ≠， tan 3tan A B ∴=．又tan 2A =，2tan 3B ∴=．……………………………………………………………………………14分16． （1）证明:∵ABCD 为矩形，∴//AB CD ． ………………………………………………2分 又DC ⊂面PDC ，AB ⊄面PDC ，……………………………………………………4分 ∴//AB 面PDC ． ……………………………………………………………………7分（2）证明: ∵ABCD 为矩形, ∴CD AD ⊥, ……………………………………………9分 又PA ⊥CD,PAAD A =， PA AD ⊂，平面PAD ,∴CD ⊥平面PAD ． …………………………………………………………………11分 又CD ⊂面PDC ,∴面PAD ⊥面PCD ． ………………………………………14分17．解：由题意可知45,30CAB ACB ∠=∠=． …………………………………………………4分 则105ABC ∠=． …………………………………………………………………………6分 在三角形ABC 中，由正弦定理可得sin30sin105AB AC=． ………………………………………………………………………8分 ∴ 6sin105AC = 6sin(6045)=+6(sin60cos45cos60sin 45)=+6=3)2=． …………………………………………………………………12分答：A 、C 两岛间的距离为32 n mile ． …………………………………………14分18．解：（1）由题设知e =，∴2222222226293c a b a e a a a --=====． …………………………………………………3分 解得26a =．∴椭圆C 的方程为22162x y +=． ……………………………………………………6分（2）圆22:(2)1E x y +-=的圆心为(0,2)E ，点Q 在圆E 上， ∴1PQ EP EQ EP +=+≤（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）．……………………9分 设00(,)P x y 是椭圆C 上的任意一点， 则2200162x y +=，即220063x y =-．∴2222000=+(2)2(1)12EP x y y -=-++． ………………………………………………13分因为0y ⎡∈⎣，所以当01y =-时，2EP 取得最大值12，即1PQ ≤. 所以PQ的最大值为． …………………………………………………………16分19．解：（1）由条件，*212,4n n n n a a a ++∀∈=+N ， 令1n =，得22134a a a +=． …………………………………………………………2分又2132a a a =+，且11a =， 易求得233,5a a ==． ……………………………4分再令2n =，得23244a a a +=，求得47a =． …………………………………………6分（2）∵2124n n n a a a ++=+ (1)∴22134+++=+n n n a a a (2)由(1)-(2)得，2212213(4)(4)n n n n n n a a a a a a +++++-=+-+ 213n n n n a a a a +++=- ……………………………………………8分∴2211322n n n n n n a a a a a a ++++++=+∴11322()()n n n n n n a a a a a a ++++++=+ ∴21312n n n n n n a a a a a a +++++++=，∴数列21n n n a a a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列． ………………………12分 ∴21n n n a a a +++=1322.a a a += ∴212.n n n a a a +++=∴数列{}n a 为等差数列． ……………………………………………………………14分 又公差212d a a =-=， ∴21n a n =-．……………………………………………16分20．解：（1）由3211()32g x ax bx cx =++得2(),g x ax bx c '=++∵0ac <，∴2=40b ac ∆->且0a ≠． …………………………………………4分∴函数()g x '有两个零点，则可设为()=()()()g x a x x αβαβ'--<，∴若123x x x αβ<<<<，则1223()()0()()0g x g x g x g x ''''⋅<⋅<，．∴()g x 有极值． ……………………………………………………………………6分（2）由e x c cx -=，得e 0xcx c --=，记()e xh x cx c =--，则()e x h x c '=-，由函数()y f x =与()y g x =的图象有两个相异交点知函数()h x 有两互异零点…9分 若0()0,()c h x h x '⇒>≤单调递增，则()h x 最多1个零点，矛盾． …………11分 ∴0c >．此时，令()0h x '=，则ln x c =．列表： ∴min ()(ln )ln 0h x h c c c ==-<， ∴1c >．………………………………………16分）。

江苏省南通中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）1．（5分）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则z1•z2=．2．（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．4．（5分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为．5．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分又不必要）6．（5分）若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数，小前提：﹣3是整数．结论：﹣3是自然数．”这个推理显然错误则推理错误的是．（选填“大前提”、“小前提”或“结论”之一）7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=12，则实数a的值等于．8．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．9．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=．10．（5分）在△ABC中，点M是BC的中点，角A=120°，•=﹣2，则||的最小值为．11．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．12．（5分）如图为函数f（x）=的部分图象，ABCD是矩形，A、B在图象上，将此矩形（AB边在第一象限）绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．13．（5分）设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．16．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．17．（14分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣a•lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2mx+4（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求实数a与b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）当a=1时，若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．19．（16分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．20．（16分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{b m}①求数列{b m}的通项公式；②记c m=，数列{c m}的前m项和为T m，求所有使得等式=的正整数m，t．附加题：【选修4-2：矩阵与变换】21．已知M=，N=，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．【选做题】23．如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，2），P是动点，且△POM的三边所在直线的斜率满足k OM+k OP=k PM．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）点N在直线y=4x﹣1，过N作（1）中轨迹C的两切线，切点分别为A，B，若△ABN 是直角三角形，求点N的坐标．江苏省南通中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）1．（5分）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则z1•z2=﹣5．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．解答：解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，∴z2=﹣2+i．∴z1•z2=﹣（2+i）（2﹣i）=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．2．（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．考点：计数原理的应用．专题：计算题；概率与统计；排列组合．分析：求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．解答：解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是=．故答案为：．点评：本题考查甲被选中的概率，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为21．考点：伪代码．专题：计算题．分析：第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．解答：解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环故答案为：21点评：本题考查伪代码，考查学生的读图能力，考查学生的理解能力，属于基础题．4．（5分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为4．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：用样本容量乘以乙组城市数所占的比例，即得乙组中应抽取的城市数．解答：解：乙组城市数所占的比例为=，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×=4，故答案为4．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．5．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分又不必要）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：应用题．分析：当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N⊆M”为真命题；若N⊆M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立，从而可判断解答：解：当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N⊆M”为真命题若N⊆M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立∴a=1是N⊆M的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是准确利用集合之间的包含关系的应用．6．（5分）若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数，小前提：﹣3是整数．结论：﹣3是自然数．”这个推理显然错误则推理错误的是大前提．（选填“大前提”、“小前提”或“结论”之一）考点：进行简单的合情推理．专题：规律型；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误．解答：解：大前提：整数包含自然数与负整数．故大前提错误．故答案为：大前提．点评：本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=12，则实数a的值等于﹣3．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．解答：解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a，x1•x2=﹣3a2，又x2﹣x1=12因为（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1•x2，所以144=4a2+12a2=16a2，解得a=±3，因为a＜0，所以a=﹣3故答案为：﹣3点评：本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．8．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=﹣3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意易得最小值在点（，）处取到，代值解a验证可得．解答：解：不等式组所对应的可行域为两直线相交所称的角形区域，联立，可解得，故最小值在点（，）处取到，∴﹣a•=7，解得a=﹣3或5，经验证当a=5时，目标函数取最大值，不合题意故答案为：﹣3点评：本题考查简单线性规划，涉及分类讨论的思想，属中档题．10．（5分）在△ABC中，点M是BC的中点，角A=120°，•=﹣2，则||的最小值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义，求得bc=4，再由中点的向量表示，结合向量的平方即为模的平方，运用重要不等式c2+b2≥2bc，即可得到最小值．解答：解：设AB=c，AC=b，由•=﹣2，A=120°，即有bccos120°=﹣2，得bc=4，点M是BC的中点，则=（），=（+2）=（c2+b2﹣4）≥（2bc﹣4）=×（2×4﹣4）=1．当且仅当b=c=2取得最小值，且为1．则||的最小值为1．故答案为：1．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查中点向量的表示，考查重要不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，∴AB=2m≤12．∴AB的最大值为12．故答案为：12．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．12．（5分）如图为函数f（x）=的部分图象，ABCD是矩形，A、B在图象上，将此矩形（AB边在第一象限）绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：求导数，求出AB=|x A﹣x B|，可得旋转体的体积，即可求出旋转体的体积的最大值．解答：解：由题意得x=1为极大值点，且，设A、B的纵坐标为，则由得kx2﹣x+k=0，，x A•x B=1，所以AB=|x A﹣x B|==，所以=，当且仅当时取“=”，此时△＞0，故旋转体体积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查旋转体的体积的最大值，考查导数知识的运用，正确求旋转体的体积是关键．13．（5分）设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为3+2．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=﹣a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+2点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是a≥1或a．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：化简所求f（x）•f（1﹣x）≥1为+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），讨论对称轴和区间的关系，列出不等式，解出它们，求并集即可．解答：解：由于函数f（x）=﹣x，f（x）•f（1﹣x）≥1即为（﹣x）（﹣1+x）≥1，则+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），则上式即为+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），对称轴t=﹣a，若a，则区间（0，]为增，则f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，则区间（0，]为减，则f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a则有a；若0＜﹣a≤，则有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a∈∅．综上可得，a≥1或a．故答案为：a≥1或a．点评：本题考查函数的性质和运用，考查二次函数在闭区间上的单调性和运用，考查分类讨论的思想方法，以及恒成立问题的解决方法，属于中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．考点：任意角的三角函数的定义；单位圆与周期性．专题：三角函数的求值．分析：（1）求出A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），然后求解•，以及平行四边形OAQP的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可．（2）利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值．解答：解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP 是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sinθ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）点评：本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，三角函数的求值与化简．16．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC∥平面MFD；（Ⅱ）连接ED，设ED∩FC=O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；（Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．解答：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键．17．（14分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（I）作PN⊥AB，N为垂足，由sinθ=，sinα=，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．解答：解：（Ⅰ）如图，作PN⊥AB，N为垂足．sinθ=，sinα=，在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×=2（km），QN=PQcosθ=5.2×=4.8（km）．在Rt△PNM中，MN==1.5（km）．设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则t1==0.4（h），t2==（h）．由已知得：t2+=t1，=0.4，∴v1=．∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM==（km），MN=（km）．∴QM=QN﹣MN=4.8﹣（km）．∴t==．∵t′=，∴令t'=0得：cosα=．当cosα＜时，t'＞0；当cosα＞时，t'＜0．∵cosα在α∈（0，）上是减函数，∴当方位角α满足cosα=时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q．点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣a•lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2mx+4（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求实数a与b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）当a=1时，若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由求得a值，得到函数解析式，进一步求得f（2），由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）求出f（x）的定义域，再求出函数导函数，分a≤0，和a＞0讨论求得函数的单调区间；（Ⅲ）把对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）转化为x∈[1，2]时，f（x）min≥g（x）min．然后分m＜1，1≤m≤2，m＞2讨论求解m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣a•lnx，得，由，得a=2，∴，则f（2）=2﹣2ln2，即切点为（2，2﹣2ln2），代入方程yx+b得，b=﹣2ln2；（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）无减区间；②当a＞0时，由f′（x）＜0得，此时，f（x）减区间为；（Ⅲ）由题意可得x∈[1，2]时，f（x）min≥g（x）min．∵a=1时，，f（x）在x∈[1，2]为增函数，∴，g（x）=x2﹣2mx+4=（x﹣m）2+4﹣m2．①当m＜1时，g（x）在区间[1，2]上递增，∴，由，解得，舍去；②当1≤m≤2时，，解得或，∴；③当m＞2时，g（x）在区间[1，2]上递减，∴，由，解得，∴m＞2．综上，．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．19．（16分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M 的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证解答：解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，∴，（8分）故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）点评：本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且符号运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．20．（16分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{b m}①求数列{b m}的通项公式；②记c m=，数列{c m}的前m项和为T m，求所有使得等式=的正整数m，t．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的性质列方法求解a1=1，d=2，即可得出通项公式．（2）求解2n ﹣1＞2m，2n﹣1＜22m，得出2m﹣1＜n＜22m﹣1，即可得出项数b m（3）求出{c n}通项公式，前n项和，再代入求解即可．解答：解：（1）∵等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1，∴4a1﹣2d=0，a1=d﹣1，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1（2）∵a n=2n﹣1，∴2n﹣1＞2m，2n﹣1＜22m，∴2m﹣1＜n＜22m﹣1，即项数22m﹣1﹣2m﹣1，∴①∵c m=，∴C m=，∴c1=2，=，∴{c n}是等比数列，数列{c m}的前m项和为T m=即，∵所有使得等式=∴（4﹣t）2m=4+2t﹣1存在符合条件的正整数m=t=3，点评：本题综合考察了数列的性质，几何不等式等知识，运算思维量大，属于难题．附加题：【选修4-2：矩阵与变换】21．已知M=，N=，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．考点：矩阵与矩阵的乘法的意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：选作题；矩阵和变换．分析：先用矩阵的基本乘法算出MN对应的变换，然后根据变换的性质求出曲线方程即可．解答：解：由题设得．…4分设所求曲线F上任意一点的坐标为（x，y），y=sinx上任意一点的坐标为（x'，y'），则MN=，解得．…7分把代入y'=sinx'，化简得y=2sin2x．所以，曲线F的方程为y=2sin2x．…10分点评：本题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的求法．试题难易程度一般，考查知识点的综合运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．解答：解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，∴直线l的极坐标方程，（3分）曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，其普通方程是：y=x2（2分）（2）将代入y=x2得，3分∵点M（﹣1，0）在直线上，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2（2分）．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【选做题】23．如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）求出=（﹣1，1，﹣2），=（﹣3，﹣3，0），证明•=3﹣3+0=0，可得⊥，即可证明MN⊥AD；（2）求出平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求MN与平面PAD所成角的正弦值．解答：（1）证明：由题意，A（3，0，0），D（0，﹣3，0），M（1，0，2），N（0，1，0），则=（﹣1，1，﹣2），=（﹣3，﹣3，0）．∴•=3﹣3+0=0，∴⊥，∴MN⊥AD；（2）解：∵P（0，0，3），A（3，0，0），D（0，﹣3，0），∴=（3，0，﹣3），=（﹣3，﹣3，0），设平面PAD的法向量为=（x，y，z），则，∴可取=（1，﹣1，1），。