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《数字信号处理》第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

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数字信号处理第七章 FIR数字滤波器设计

数字信号处理第七章 FIR数字滤波器设计
WR (e j ) FT[wR (n)] WRg ( )e j , (N 1) / 2
窗函数的几个参数:
旁瓣瓣的峰最值大值n相—对窗主函瓣数最的大幅值频的函衰数减W（g (dB)）的；最大旁
过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽
度；
阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带
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④ h(n)奇对称，N为偶数
• 相位特性:
• 频率特性:
N 3 2
Hg () 2hnsin n n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N 1
将 h(n) h(N 1 n) 代入式 H (z) h(n)zn 得到：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
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回到本节 7.2.3 典型窗函数介绍
1．矩形窗（Rectangle Window）
N 1
H e j Hg e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h(N n 1)e j(N n1) ] n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
e j 2h(n) cos(n ) n0
1
e
j
] N 1 2

数字信号处理讲义第7章滤波器的设计方法

数字信号处理讲义第7章滤波器的设计方法

第７章滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。

教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。

1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。

难点：1.冲激响应不变法，双线性变换法2.用窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法基本概念7.0.1 选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。

在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。

它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。

因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。

我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为∑∞-)(y))()()(n(nn=m*=xmhnhx将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ejω)是系统的频率响应函数。

可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。

如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。

因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。

数字信号处理习题答案西安电子第7章

数字信号处理习题答案西安电子第7章
求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相 位，
解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为
N 1
H (z) h(n)Z n
1
(1 0.9z 1 2.1z 2
0.9z 3 z 4 )
n0
10
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
所以其单位脉冲响应为
h(n) 1 1, 0, 9, 2.1, 0.9, 1
所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：
() π N 1 π 3
2
2
2
由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对
称。
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
2． 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度 为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为：
H2 (e j )
H (e j(0 ) )
2
H (e j(0 ) )
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ， 且H2(ejω)为 H(ejω)左右平移ω0， 所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计 带通滤波器的方法。
10
由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N－1－n) N=5
所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函 数H(ejω)为
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
N 1
H (e j ) H g ()e j () h(n)e jm n0 1 [1 0.9ej 2.1ej2 0.9ej3 ej4 ] 10
1 2π

有限脉冲响应数字滤波器的设计

有限脉冲响应数字滤波器的设计

切比雪夫最佳一致逼近准则
设希望设计的滤波器幅度特性为Hd(ω)，实际设计的滤波器幅度特性为Hg(ω)，其加权误差E(ω)用下式表示：
E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］ (7.4.3)
为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况，
凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)
01
式中
02
I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：
03
一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求。α参数可以控制窗的形状。一般α加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4<α<9。当α=5.44时，窗函数接近哈明窗。α=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为
图7.2.4 常用的窗函数
图7.2.5 常用窗函数的幅度特性 矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； 哈明窗；(e)布莱克曼窗
图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π) 矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； 哈明窗；(e)布莱克曼窗
汉宁(Hanning)窗——升余弦窗
图7.2.3 汉宁窗的幅度特性
4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗
(7.2.11)
其频域函数WHm (e jω)为
其幅度函数WHm(ω)为
当N>>1时，可近似表示为
(7.2.13)
1
其频域函数为
2
其幅度函数为
3
(7.2.14)
4
5.布莱克曼(Blackman)窗
(7.1.16)

有限脉冲响应数字滤波器设计实验报告

有限脉冲响应数字滤波器设计实验报告

成绩：《数字信号处理》作业与上机实验（第二章）班级：学号：姓名：任课老师：完成时间：信息与通信工程学院2014—2015学年第1 学期第7章有限脉冲响应数字滤波器设计1、教材p238：19.设信号x(t) = s(t) + v(t),其中v(t)是干扰，s(t)与v(t)的频谱不混叠，其幅度谱如题19图所示。

要求设计数字滤波器,将干扰滤除，指标是允许|s(f)|在0≤f≤15 kHz频率范围中幅度失真为±2%（δ1 = 0.02）;f > 20 kHz,衰减大于40 dB（δ2=0.01）;希望分别设计性价比最高的FIR和IIR两种滤波器进行滤除干扰。

请选择合适的滤波器类型和设计方法进行设计，最后比较两种滤波器的幅频特性、相频特性和阶数。

题19图(1)matlab代码：%基于双线性变换法直接设计IIR数字滤波器Fs=80000;fp=15000;fs=20000;rs=40;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Rp=-20*log10(1-0.02);As=40;[N1,wp1]=ellipord(wp/pi,ws/pi,Rp,As);[B,A]=ellip(N1,Rp,As,wp1);[Hk,wk1]=freqz(B,A,1000);mag=abs(Hk);pah=angle(Hk);%窗函数法设计FIR 数字滤波器 Bt=ws-wp;alph=0.5842*(rs-21)^0.4+0.07886*(rs-21); N=ceil((rs-8)/2.285/Bt); wc=(wp+ws)/2/pi;hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph)); M=1024;Hk=fft(hn,M); k=0:M/2-1;wk=(2*pi/M)*k;%画出各种比较结果图 figure(2);plot(wk/pi,20*log10(abs(Hk(k+1))),':','linewidth',2.5); hold onplot(wk1/pi,20*log10(mag),'linewidth',2); hold offlegend('FIR 滤波器','IIR 滤波器');axis([0,1,-80,5]);xlabel('w/\pi');ylabel('幅度/dB'); title('损耗函数'); figure(3)plot(wk/pi,angle(Hk(k+1))/pi,':','linewidth',2.5); hold onplot(wk1/pi,pah/pi,'linewidth',2); hold offlegend('FIR 滤波器','IIR 滤波器');xlabel('w/\pi');ylabel('相位/\pi'); title('相频特性曲线');(2)两种数字滤波器的损耗函数和相频特性的比较分别如图1、2所示：图1 损耗函数比较图 图2 相频特性比较图0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-70-60-50-40-30-20-100w/π幅度/d B损耗函数FIR 滤波器IIR 滤波器0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81w/π相位/π相频特性曲线FIR 滤波器IIR 滤波器(3)IIR数字滤波器阶数：N=5FIR数字滤波器阶数：N=36(4)运行结果分析：由图2及阶数可见，IIR阶数低得多，但相位特性存在非线性失真，FIR具有线性相位特性。

数字信号处理课程设计--有限冲击响应数字滤波器设计

数字信号处理课程设计--有限冲击响应数字滤波器设计

数字信号处理课程设计--有限冲击响应数字滤波器设计数字信号处理教程课程设计报告书设计题目：有限冲击响应数字滤波器设计姓名：金燕学号： 10058108班级：电信101班信息与电子工程学院 2012年12月24日数字信号处理课程设计——有限冲激响应数字滤波器设计一、实验目的：加深对数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。

二、实验原理：低通滤波器的常用指标：P P P for H Ω≤Ω+≤Ω≤-,1)(1δδπδ≤Ω≤Ω≤ΩS S for H ,)( 数字滤波器技术指标：通带边缘频率P ω，阻带边缘频率S ω ，通带最大衰减1δ，最小阻带衰减2δ 通带峰值起伏)1(log 201101αδ--=， 最小阻带衰减)(log 202102αδ-=。

数字滤波器有IIR 和FIR 两种类型，它们的特点和设计方法不同。

设计步骤：♦ 给定理想的频率响应函数及技术指标 ♦ 求出理想的单位抽样响应 ♦ 根据阻带衰减选择窗函数 ♦ 根据过渡带宽度确定N 值♦ 求所设计的FIR 滤波器的单位抽样响应 ♦ 计算频率响应，验算指标是否满足要求窗系数需要实现用窗函数blackman （N ）, hamming(N),hanning(N))(ΩH Pδ+1Pδ-1•sδS PP SPassband StopbandTransition bandΩFig 1 Typical magnitude specification for a digital LPFkais er(N)产生。

wd=boxcar(N);%数组wd返回N点矩形窗函数wd=triang(N);%数组wd返回N点三角窗函数wd=hanning(N);%数组wd返回N点汉宁窗函数wd=hamming(N);%数组wd返回N点汉明窗函数wd=blackman(N);%数组wd返回N点布莱克曼窗函数wd=kaiser(N,beta);%数组wd返回给定β值的N点凯泽窗函数以书上P343例7-1为例wn=hamming(33);%产生窗函数，N=33nn=[0:1:32];alfa=(33-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa+eps))./(pi*(nn-alfa+eps));%eps为一个非常小的数，防止出%现零为除数h=hd.*wn'; %hd为一个行向量，wn为一个列向量，需要转置[h1,w1]=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));%通过求对数得到以db为单位的幅度特性axis([0,1,-100,10]);grid;xlabel('归一化频率/pi');ylabel('幅度/dB');三、设计内容：（1） 设计FIR 低通滤波器，通带边界频率πω2.0=p ，阻带边界频率πω3.0=st ，阻带衰减2δ不小于50dB 。

数字信号处理——有限冲激响应数字滤波器设计

成绩数字信号处理实验报告实验名称：有限冲激响应数字滤波器设计实验班级：姓名：学号（后两位）：指导教师：实验日期：实验5 有限冲激响应数字滤波器设计一、实验目的：1、加深对数字滤波器的常用指标理解。

2、学习数字滤波器的设计方法。

二、实验原理：图1 FIR幅值函数低通滤波器的常用指标：（1）通带边缘频率；（2）阻带边缘频率；（3）通带起伏；（4）通带峰值起伏，（5）阻带起伏，最小阻带衰减。

三、预习要求1、在MATLAB中，熟悉函数fir1、kaiserord 、remezord、remez的使用；B = fir1(n,Wn,'high','noscale')设计滤波器；[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(f,a,dev)估计滤波器阶数；[n,fo,ao,w] = remezord (f,a,dev,fs)计算等波纹滤波器阶数n和加权函数w(ω)；B=remez(n,f,a)进行等波纹滤波器的设计。

2、阅读扩展练习中的实例，学习FIR滤波器的设计方法及其在MATLAB中的实现；3、给出FIR数字滤波器的冲激响应，绘出它们的幅度和相位频响曲线，讨论它们各自的实现形式和特点。

数字滤波器有IIR和FIR两种类型，它们的特点和设计方法不同。

四、实验内容：1、用凯塞窗设计一FIR低通滤波器，通带边界频率，阻带边界频率，阻带衰减不小于50dB。

解:首先由过渡带宽和阻带衰减来决定凯塞窗的N和π2.0=Ω-Ω=∆Ωps ，，上图给出了以上设计的频率特性，(a) 为N=30直接截取的频率特性(b)为凯塞窗设计的频率特性。

凯塞窗设计对应的MATLAB程序为：wn=kaiser(30,4.55); nn=[0:1:29];alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa))./(pi*(nn-alfa));h=hd.*wn;[h1,w1]=freqz(h,1);或者：b = fir1(29,0.4,kaiser(30,4.55));[h1,w1]=freqz(b,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));axis([0,1,-80,10]);grid;xlabel('归一化频率/π') ;ylabel('幅度/dB') ;还可以使用[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(f,a,dev)函数来估计滤波器阶数等，得到凯塞窗滤波器：fcuts = [0.3 0.5]; %归一化频率omega/pi mags = [1 0];devs = [0.05 10^(-2.5)];[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(fcuts,mags,devs); %计算出凯塞窗N ，beta 的值 hh = fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale'); freqz(hh);2、利用MATLAB 编程,分别用窗函数法和等波纹滤波器法设计两种FIR 数字滤波器，指标要求如下： 通带边缘频率：，通带峰值起伏：。

数字信号处理-7有限脉冲响应数字滤波器的设计共87页文档


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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
数字信号处理-7有限脉冲响 应数字滤波器的设计
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

7有限脉冲响应数字滤波器的设计

滤波器。
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
情况2： h(n)=h(N－n－1)，N为偶数
仿照情况1的推导方法得到:
N 1
M
H (ej ) Hg ()e j = h(n)e jn e j 2h(n) cos((n ))
即
d ()
d
也称这种情况为线性相位。
满足(7.1.3)式是第一类线性相位； 满足(7.1.4)式是第二类线性相位。 θ0=－π/2是第二类线性相位特性常用的情况。
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2. 线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足
线性相位时，对h(n)的约束条件。
n0
n0
M
Hg () 2h(n) cos[(n )] n0
（7.1.12）
幅度特性Hg(ω)分析：
式中， (N 1) / 2 N / 2 1/ 2 。因为Ｎ是偶数，所
以当 时
cos[(n
)]
cos
n
N 2
sin
n
N 2
0
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
因为cos［ω(n－τ)］
2) 第二类线性相位对h(n) 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 θ(ω)=－π/2－ωτ，可得:
N 1
H (e j ) h(n)e jn Hg ()e j(/ 2 ) n0 N 1 h(n)cos[(n )] 0 （7.1.9） n0
满足式（7.1.9）的一组解是：
函数h(n)cos[ω(n－τ)]关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称。 因为cos[ω(n－τ)]关于n=τ偶对称，如果取τ=(N－1)/2，则要

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计


IIR数字滤波器：
可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性
FIR数字滤波器：
可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1、线性相位条件
h(n)为单位取样响应，其频率响应：
H ( e ) h ( n )e
j n 0
N 1
j n
H ( )e j ( )
h(n) w(n)hd (n)
w(n)：窗函数
加窗截断产生因果可实现滤波器 逼近理想滤波器
要选择合适的形状和长度
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
n 有 wn 1(即完全不截断),则 W e j 是周期为 2 的周期脉冲串,因此H e . H e 这种解
如果对全部的
即零点既在实轴上，又在单位圆上
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
§7.2 窗函数设计法 1、设计原理（频率响应逼近理想滤波器特性）
因果可实现滤波器
H (e j ) h(n)e jn H d (e j )
n 0
N 1
理想非因果滤波器
1 hd (n ) 2



H d e j e j n d
N 1 N 1 2

n 0
1 n N21 n N21 h( n) [ z z ] 2
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
H (e ) H ( z )
j
j
z e j
je
j
N 1 N 1 2

n 0
N 1 h(n )sin[ (n )] 2
分析
n 使得 W e j 集中在 0 附近的一 个狭窄频带范围内,则除去H e 变化很突然的地方外, H H e 将与 e 很“相像”。
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N为奇数：
H ( z ) = ∑ h(n) z
−n
=
∑ h(n)[ z
−n
±z
− ( N −1− n )
N −1 − ] + h( )z 2
N −1 2
第一类线性相位
⎧ N / 2−1 −n − ( N −1− n ) ( )[ ], h n z z N为偶数 + ∑ ⎪ ⎪ n =0 H ( z ) = ⎨( N −1) −1 N −1 2 N −1 − 2 ⎪ −n − ( N −1− n ) ] + h( )z ， ⎪ ∑ h(n)[ z + z 2 ⎩ n =0
−n
+
n= N / 2 − ( N −1− n )
∑ h(n) z
N −1
−n
= =
N / 2 −1 n =0
∑ h(n) z
n =0
−n
±
N / 2 −1 n =0
∑ h( N − 1 − n) z
N / 2 −1
∑ h(n)[ z
N −1 n=0
−n
± z − ( N −1− n ) ]
( N −1) −1 2 n =0
ωi ，输出延迟都一致； 或者说，对于每个频率为 ωi 的复正弦信号，经过系统后的延迟均一致
满足第一类线性相位特点的时域序列：实序列且对(N-1)/2偶对称
θ (ω) = −τω
H ( z ) = ∑ h(n) z
n=0 N −1 −n
N −1 n =0
h(n) = h( N − n −1)
= ∑ h( N − 1 − n) z − n
§ 7.2 利用窗函数法设计FIR数字滤波器
理想FIR低通滤波器：
Hd (e jω ) = Hd (e jω ) e jθ (ω)
− jωα ⎧ e , ω ≤ ωc ⎪ =⎨ ωc < ω ≤ π ⎪ ⎩0,
|H(ejw)|
·
· -π · -π
ωc
0
· π
·
w
幅频响应
θ (ω )
0
− ωα
·
ωc
N −1
h(n) = h( N − n −1)
b. N为偶数
N = 2M
h(n) = h(2M − 1 − n)
M~2M+1
0~M-1
M −1
2 M −1 1 H g (ω ) = ∑ h( n) cos[( n − M + )ω ] + ∑ h(n) cos[(n − M + 1 )ω ] 2 n =0 2 n=M M −1 1 = 2 ∑ h(n) cos[(n − M + )ω ]
严格意义上的线性相位 广义意义上的线性相位
群时延/群延迟：
示例：
dθ (ω ) = −τ dω x(n) = ξ1(n) + ξ2 (n) + ξ3 (n)
ω1
ω2
ω3
ξ 1(n − τ )
ξ 2(n − τ )
ξ 1(n)
x(n)
ξ 2(n)
h( n)
ξ 3(n)
对于每个输入频率
ξ 3(n − τ )
z－1 z －1 z －1 z－1
N为奇数
x (n )
－1
h (0) y (n ) z－1 h (1)
－1
z－1 h (2)
－1
z －1
－1
h (N /2－1)
－1
z －1
N ＝偶数
x (n )
z －1
z －1
－1
h (0) y (n ) h (1)
－1
z－1 h (2)
－1
z －1
－1
z －1
N ＝奇数 h ((N －1)/2)
h(n) = −h(2M − n)
N −1 N −1 − n ), n = 1, " , 2 2
∑ c(n) sin ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n,
c(n) = 2h(
Hg (kπ) = 0 即 Hg (ω) 在 ω = kπ 处存在零点，
且关于这些点呈奇对称
H g (ω )
ω = 0, π , 2π 一个周期内：
π
0
2π
时域截短
时域截短的要求：
z截取长度为N点的时域序列； z截取过程中要保证线性相位；
N-1阶FIR网络 时域序列以中心点 为偶对称或奇对称
RN (n)
n =0
M −1 n =0
M −1
M
M+1~2M
+ h( M ) +
= h( M ) + 2 ∑ h(n) cos[(n − M )ω ]
n = M +1
∑ h(n) cos[( n − M )ω ]
2M
( N −1) / 2 N −1 N −1 m = M − n h( ) + 2 ∑ h( − m) cos ωm 2 2 m =1
m = N −1 − n
− ( N −1) N −1 m =0
m =0
−( N −1− m ) h ( m ) z ∑
N −1
=z
m h ( m ) z ∑ = z −( N −1) H (z −1)
1 1 H ( z ) = [ H ( z ) + H ( z )] = [ H ( z ) + z −( N −1) H ( z −1 )] 2 2
且关于这些点呈奇对称 在
ω =π 处呈偶对称
一个周期内： ω = 0, 2π
H g (ω )
0
π
2π
ω
三、线性相位FIR的零点分布 线性相位条件：
H ( z ) = ± z − ( N −1) H ( z −1 ) h(n) = ± h( N − 1 − n)
1
z3
Im(Z )
* z1
z1
z4
z2
n =0
m = M −n
M=
N 2
N 2
2 N /2 N 1 2 ∑ h( − m) cos[( − m)ω ] 2 2 m =1
1 = ∑ b ( n ) cos[( n − )ω ], 2 n =1
b(n) = 2h(
N − n) 2
N 1 H g (ω ) = ∑ b(n) cos[(n − )ω ], b(n) = 2h( − n), n = 1, ", N 2 2 2 n =1 1 1 cos( n − )(π − ω ) = − cos( n − )(π + ω ) 2 2 1 cos ω ( n − ) 或 H g (ω ) 对 ω = (2k + 1)π 均呈奇对称 2 一周期内： ω = π
· π
·
w
相频响应
1 ∞ 1 ω c − jωα jω n jω jω n hd ( n ) = H d ( e )e dω = e ⋅ e dω ∫ ∫ 2π − ∞ 2π −ω c sin[ ω c ( n − α )] ω c = = Sa[ω c ( n − α )] π (n − α ) π
2
N
H g (( 2 k + 1)π ) = 0
在 π 的奇数倍处存在一个零点
不能用于通带位于高频位置的滤波器设计——高通、带阻
H g (ω )
π
2π
ω
满足第二类线性相位特点的时域序列： 实序列且对(N-1)/2奇对称
a. N为奇数
H g (ω ) =
( N −1) / 2 n =1
N = 2M +1
1 1 H ( z ) = [ H ( z ) + H ( z )] = [ H ( z ) − z −( N −1) H ( z −1 )] 2 2
z =e
jω
=
N −1 ) ω N −1 2 n=0
z
−
N −1 2 N −1 n =0
2
∑ h(n)[ z
−( n −
N −1 ) 2
−z
n−
N −1 2
bi i x (n − i ) FIR: y (n ) = ∑ h
i=0
N −1
hn h b(n) = bn
h (n) ∗ x(n) b
N-1阶网络
h0
h1
h2
hN −3
hN −2
h N −1
sin[ ω c ( n − α )] ω c 理想FIR低通滤波器： hd ( n ) = = Sa [ω c ( n − α )] π π (n − α )
1 N −1 z −n − ( N −1) n = ∑ h(n)[ z + z z ]= 2 n =0 2
−
N −1 2 N −1 n =0
∑ h(n)[ z
−( n −
N −1 ) 2
+z
n−
N −1 2
]
z = e jω
H ( e jω ) = e
− j( N −1 ) ω N −1 2 n=0
ω
b. N为偶数
N = 2M
N /2
h(n) = −h(2M − 1 − n)
N N d (n) = 2h( − n), n = 1, " , 2 2
1 H g(ω ) = ∑ d (n) sin ω (n − ), 2 n =1
Hg (2kπ) = 0 即 Hg (ω) 在 ω = 2kπ 处存在零点，
cos( kπ − ω ) n = cos( kπ + ω ) n
cos ω n 对 ω = kπ 均呈偶对称
H g (ω ) 对 ω = kπ 呈偶对称