讲义26

第26讲追及问题根据“路程和＝速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=tS V差差例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v甲和v乙，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米例1、小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？【解析】典例分析知识梳理教学目标小明12分钟走的路程200米/分当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70×12=840(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短280-70=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分),爸爸追及的时间：840÷210=4 (分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12+4=16 (分钟)，此时离家的距离是：70×16=1120(米)例2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.【解析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟.例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）．（2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米：160÷2+340=420（千米）．例4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？【解析】已知二人出2分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：70×12= 840(米)，速度差为：110-70=40 (米/秒)，王芳追上李华的时间是：840 ÷40=21(分钟)例5、两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？【解析】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：9001009÷=(分钟)，甲9分钟走的路程：809720⨯=(米)，甲距目标还有：900720180-=(米)，相遇时间：180(10080)1÷+=(分钟)，共用时间：9+1=10 (分钟)．例6、龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁胜利了？为什么？500米终点起点【解析】（1） 乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40104÷=(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5001005÷=(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．（2）乌龟跑到终点还要40104÷=(分钟)，而小兔跑到终点还要100021005÷÷=(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001100⨯=(米)．例7、小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为2054÷=(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4624⨯=(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：205646÷⨯÷=(米/秒)，小红的速度为：6410+=(米/秒)例8、刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？【解析】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A ，B 两人同时从学校出发到韩丁家，A 每小时行10千米，下午1点到；B 每小时行15千米，上午11点到.B 到韩丁家时，A 距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B 从学校到韩丁家这段时间B 比A 多行的路程.因为B 比A 每小时多行15-10=5（千米），所以B 从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A ，B 是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．例9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。

倒装句和主谓一致词海拾贝之十四：以go为中心的短语：go across 度过，越过go after 追逐，追求，跟随go against 反对，不利于go ahead 前进，进展，继续go all about 鼓足干劲，全力以赴go along with… 和…一道走go back to 追溯至go beyond 超过，胜过go by 经过，过去go in for 喜欢,参加, 为…而努力go into 进入，参加，调查，从事，深入研究go off 走开，爆炸go on 继续，接下去go on to do 接着做(另一件事) go on doing 继续做(同一件事) go out 出去，熄灭，离开，下台go over 温习，检查，越过go through 履行，通过，经历，忍受go up 上升，上涨，攀登go wrong 出故障，走错路本讲的核心内容是倒装句，主谓一致一：什么是倒装句：它是一种语法手段，用于表示一定的句子结构或强调某一句子成分。

倒装句有两种：完全倒装和部分倒装。

将句子的主语和谓语完全颠倒过来, 称之为完全倒装．将谓语的一部分如助动词或情态动词倒装至主语之前。

如果句中的没有谓语,就用助动词或情态动词。

这种情况称之为部分倒装。

两种倒装句中以考部分倒装为主。

具体的考点如下：考点一：以否定词not, no, never, seldom, hardly, nowhere, little, not until, no sooner, not only．．．but also, by no means等开头的句子, 必须用部分倒装！典型例题1：I' ve tried very hard to improve my English．But by no means _____ with my progress．A．the teacher is not satisfiedB．is the teacher not satisfiedC．the teacher is satisfiedD．is the teacher satisfied解析: 含否定意义的by no means (决不) 位于句首, 要用部分倒装, 排除选项A和C; 因by no means本身就是否定, 句子要用肯定式, 排除B, 故答案是D。

2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲 排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。

乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。

排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。

排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。

排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。

【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

中学生26个不良行为讲义1.不注重仪容仪表。

有的同学留长发(男生)、染发、烫发、留怪发型奇装异服，戴饰品饰物，化妆(浓)等，与中学生身份极不相符，这也是我们校规校纪所严厉禁止的，中学生还是大学生，还没有参加社会工作社会动，更不是社会闲杂人员，所以，同们要自尊自重，注重仪容仪表，否则你就会受到校规处分，或者，你有可被社会不良分子盯上，从而拉上你上违法犯罪的道路。

2.违规带手机。

几乎全国所有的中学都禁止学生带手机，我们学校也是三五申明确禁止同学们带手机，但极少同学总是置校规校纪于不顾，或心存侥幸，违规带手机，有的同学利用手机络社会闲杂人员，吃喝玩乐、打架斗殴，有的同学利用手机上网，聊天传播不良信息、下载不健康视频，有的学上课时间接听手机，影响课堂秩人有的同学午晚休时间接听电话，影响他人休息，可以说，同学们带手机有百害而无一利，如果家中有急事，家长会亲自来校或给班主任打电话，如果同学有急事，可借用任何一个老师的手机，所以同学们何苦顶风而上，冒被学校查处，回家反省的风险。

3.乱起哄。

乱起哄是非常不文明、不道德和非常危险的不良行为，有的同学在课堂、考场、餐厅、宿舍等人员聚集场所乱起哄，有的同学见到男女生一起说话乱起哄，有的同学见到其他同学发生争执乱起哄，有的同学见到其他同学出丑乱起哄，有的同学见到老师查处违纪学生就乱起哄等，乱起哄，一方面体现个人的素质修养，另一方面极易引发严重事件，如打架斗殴等，这样的例子很多，本来两个同学因小事发生口角，争执几句就没事了，但由于个别同学的乱起哄，致使矛盾升级，引发打架，至打群架等事件。

两个发生口角的同学本不想事态扩大，但此时已无法控制局势，罪魁祸首就在于乱起哄的同学望同学们高度重视，引以为戒。

4.拉帮结伙。

这是极易引发打架斗殴，甚而引发违法犯罪的不良行为，有些同学因臭味相投，拉帮拉伙，有些同学因同学关系拉帮结伙，有些同学因老乡、亲戚关系拉帮结伙，有些同学因寻求保护拉帮拉伙，有些同学因有“同是涯沦落人”的不当同感而拉帮结伙，也有的同学被迫而临时加入团伙等等，同学们讲究团体协作，共同学习，相互帮助，共同进步，这是正当的，也是大力提倡的，但是，与上面所说的拉帮结伙在本质上是不一样的，团伙内部互相激励，互相影响，胆大妄为，不计后果，什么样的坏事也敢做。

第26課一、単語遅れる：(自动词)迟到,耽误;慢,晚;落后。

講義に送らないでください。

会社に遅れてはいけません。

返事が遅れました。

時計が5分遅れています。

流行（りゅうこう）に後れている。

その町はちょっと遅れています。

間に合う：(自动词)赶得到;足够。

赶得到的对象用に表示。

電車に間に合います。

今すぐ行っても間に合いませんよ。

約束時間に間にあわなくてもいいですか。

1000円あったら、間に合います。

つく：(自动词)電気が点いています。

電気が点きました。

つける：(他动词)電気をつけてください。

テレビをつけてもいいですか。

消える：(自动词)電気はもう消えましたよ。

文字が消えました。

消す：(他动词)私が電気を消しました。

この絵を消してもいいですか。

開く：(自动词)窓があいています。

開ける：(他动词)誰が窓を開けましたか。

閉まる：(自动词)ドアが閉まっている部屋多いですか。

閉める：(他动词)ドアを閉めた人は誰ですか。

都合:凑巧,顺利;方便,合适。

都合よく家にいました。

都合がよかったら、いっしょに来てください。

すみません、明日はちょっと都合が悪いですが。

ご都合はいかがですか。

調子：调子;情况。

調子を変える（かえる）/改变调子声の調子が高い。

/声调高車の調子がちょっとおかしいです。

調子に乗る/1)趁着劲头.2)得意忘形.夕食（ゆうしょく）=晩御飯昼食（ちゅうしょく）=昼ご飯朝食（ちょうしょく）=朝ご飯お風呂に入るシャワーを浴びるこうやって：この漢字はこうやって書きますよ。

そうやって：上の赤いボタンを押してください。

電気がそうやって点くんですよ。

ああやって：ああやって何がで見ますか。

どうやって：これはどうやって食べるんですか。

二、文法：１.……の（ん）ですの：形式体言，接在连体修饰（定语形式）后，起语法作用，最基本的语法作用是将用言或句子变为体言。

但也以加です的形式结束句子，增添语法意义。

本句型有１）说明事实、理由，２）强调必然结果、理由的含义。

知识浓缩一、观点1、几何形从物中抽象出来的各样形，包含立体形和平面形。

立体形：有些几何形的各个部分不都在同一平面内，它是立体形。

平面形：有些几何形的各个部分都在同一平面内，它是平面形。

2、生活中的立体形柱柱棱柱：三棱柱、四棱柱（方体、正方体）、五棱柱、⋯⋯生活中的立体形球(按名称分 )棱4、棱柱及其相关观点：棱：在棱柱中，任何相两个面的交，都叫做棱。

棱：相两个面的交叫做棱。

5、三物体的三指主、俯、左。

主：从正面看到的，叫做主。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上边看到的图，叫做俯视图。

8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段挨次首尾相连构成的关闭平面图形，叫做多边形。

弧：圆上 A、B 两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所构成的图形叫做扇形。

9、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都能够近似的看做线段。

线段有两个端点。

10、射线：将线段向一个方向无穷延长就形成了射线。

射线有一个端点。

11、直线：将线段向两个方向无穷延长就形成了直线。

直线没有端点。

12、线段的中点：点 M 把线段 AB 分红相等的两条相等的线段AM 与 BM ，点 M 叫做线段 AB 的中点。

9、角：有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的极点，这两条射线叫做这个角的边。

或：角也能够当作是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。

终边持续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

11、角的均分线从一个角的极点引出的一条射线，把这个角分红两个相等的角，这条射线叫做这个角的均分线。

12、平行线：在同一个平面内，不订交的两条直线叫做平行线。

平行用符“∥”表示，如“AB∥ CD”，读作“ AB 平行于 CD”。

注意：（1 ）平行线是无穷延长的，不论如何延长也不订交。

（2 ）当碰到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

统编版语文八年级上册第26课《诗词五首》讲义理解诗歌的思想内容（一）《饮酒·其五》这是一首五言古诗，主要表现隐居生活的情趣，写诗人于劳动之余，饮酒至醉之后，在晚霞的辉映之下，在山岚的笼罩之中，采菊东篱，遥望南山。

此诗表现了诗人悠闲自得的心境和对宁静自由的田园生活的热爱，对黑暗官场的鄙弃和厌恶，抒发宁静安详的心志和闲适自得的情趣，以及返回自然的人生理想。

此诗意境从虚静忘世，到物化忘我，再到得意忘言，层层推进，是陶渊明归隐后适意自然人生哲学和返璞归真诗歌风格最深邃、最充分的体现。

饮酒（其五）陶渊明结庐在人境，而无车马喧。

问君何能尔？心远地自偏。

采菊东篱下，悠然见南山。

山气日夕佳，飞鸟相与还。

此中有真意，欲辨已忘言。

译文将房屋建造在人来人往的地方，却不会受到世俗交往的喧扰。

问我为什么能这样，只要心中所想远离世俗，自然就会觉得所处地方僻静了。

在东篱之下采摘菊花，悠然间，那远处的南山映入眼帘。

傍晚时分南山景致甚佳，雾气峰间缭绕，飞鸟结伴而还。

这里面蕴含着人生的真正意义，想要分辨清楚，却已忘了怎样表达。

注释结庐：建造住宅，这里指居住的意思。

结，建造、构筑。

庐，简陋的房屋。

人境：喧嚣扰攘的尘世。

车马喧：指世俗交往的喧扰。

君：指作者自己。

何能尔：为什么能这样。

尔：如此、这样。

悠然：闲适淡泊的样子。

见：看见（读jiàn），动词。

南山：泛指山峰，一说指庐山。

山气：山间的云气。

日夕：傍晚。

相与：相交，结伴。

真意：从大自然里领会到的人生真谛。

相与还：结伴而归。

赏析此诗主要描摹诗人弃官归隐田园后的悠然自得心态，体现出陶渊明决心摒弃浑浊的世俗功名后回归自然，陶醉在自然界中，乃至步入“得意忘言"境界的人生态度和生命体验。

此诗以“心远”纲领全篇，并分三层揭示“心远"的内涵。

首四句写身居“人境”而精神超脱世俗的虚静忘世态。

中四句写静观周围景物而沉浸自然韵致的物化忘我心态。

最后两句又深进一层，写“心"在物我浑化中体验到了难以言传的生命真谛此诗意境从虚静忘世，到物化忘我，再到得意忘言，层层推进，是陶渊明归隐后适意自然人生哲学和返璞归真诗歌风格最深邃、最充分的体现。

第3单元增值税应纳税额计算的基本要素单元考点框架考点9：增值税的纳税人（★）1.根据纳税人的经营规模以及会计核算健全程度的不同，增值税的纳税人可以分为一般纳税人和小规模纳税人：经营规模具体情形纳税人类型年应征增值税销售额500万元及以下会计核算健全，能够提供准确税务资料可以成为一般纳税人不能满足上述条件小规模纳税人年应征增值税销售额超过500万元个体工商户以外的其他个人小规模纳税人一般情况应当向税务机关申请办理一般纳税人登记2.征税办法及发票使用一般纳税人小规模纳税人征税办法通常采用一般计税方法只能采用简易计税方法发票使用能否开具增值税专用发票可以依法开具增值税专用发票小规模纳税人（其他个人除外）发生增值税应税行为，需要开具增值税专用发票的，可以自愿使用增值税发票管理系统自行开具票面税额票面“金额”×税率票面“金额”×征收率3.扣缴义务人中华人民共和国境外单位或者个人在境内销售劳务，在境内未设有经营机构的，以其境内代理人为扣缴义务人；在境内没有代理人的，以购买方为增值税扣缴义务人。

【经典考题19·判断题】除个体工商户以外的其他个人不属于增值税一般纳税人。

（）【答案】√【经典考题20·判断题】境外的单位或者个人在境内销售劳务，在境内未设有经营机构也没有境内代理人的，以购买方为增值税扣缴义务人。

（）【答案】√考点10：增值税应纳税额的计算方法（总述）（★★★）1.一般计税方法当期应纳税额=当期销项税额-当期准予抵扣的进项税额当期销项税额=不含增值税销售额×适用税率=含增值税销售额÷（1+适用税率）×适用税率2.简易计税方法当期应纳税额=不含税销售额×征收率=含税销售额÷（1+征收率）×征收率3.进口环节增值税（1）进口非应税消费品应纳税额=组成计税价格×税率=（关税完税价格+关税税额）×税率（2）进口应税消费品应纳税额=组成计税价格×税率=（关税完税价格+关税税额+消费税税额）×税率4.扣缴计税方法境外单位或者个人在境内发生应税行为，在境内未设有经营机构的，扣缴义务人按照下列公式计算应扣缴税额：应扣缴税额=购买方支付的价款÷（1+税率）×税率考点11：增值税纳税义务发生时间（★★★）业务纳税义务发生时间基本规定纳税人发生应税行为，其纳税义务发生时间通常为收讫销售款项或者取得索取销售款项凭据的当天先开具发票的，为开具发票的当天“收讫销售款项或者取得索取销售款项凭据的当天”，按照销售结算方式的不同，具体为：采取直接收款方式销售货物不论货物是否发出，均为收到销售款或取得索取销售款凭据的当天采取托收承付和委托银行收款方式销售货物发出货物并办妥托收手续的当天采取赊销和分期收款方式销售货物书面合同约定的收款日期当天（无书面合同的或者书面合同没有约定收款日期的，为货物发出的当天）预收款采取预收货款方式销售货物货物发出的当天（但生产销售生产工期超过12个月的大型机械设备、船舶、飞机等货物，为收到预收款或书面合同约定的收款日期的当天）销售租赁服务采取预收款方式收到预收款的当天委托其他纳税人代销货物最早发生的下列时间之一：（1）收到代销单位的代销清单当天（2）收到全部或者部分货款当天（3）发出代销货物满180天的当天发生视同销售货物行为（委托他人代销货物、销售代销货物除外）货物移送的当天发生视同销售应税劳务、服务、无形资产或者不动产情形应税劳务、服务、无形资产转让完成的当天或者不动产权属变更的当天从事金融商品转让金融商品所有权转移的当天进口货物报关进口的当天【经典考题21·单选题】2018年9月5日，甲公司与乙超市签订一份房屋租赁合同，10月25日收到乙超市预付的一年房租，11月1日将房屋交付乙超市使用，11月5日向乙超市开具了发票。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(1)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，14AA =，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为（）A ．52+B ．222+C ．252+D ．132+3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足14AA AP =，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点，点Q 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，满足1//AQ 面EFP ，则点Q 的轨迹所构成的周长为（）A ．5373B ．237C ．7373D ．83734．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1//C P 平面1CD EF ，则P 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）A ．25+B ．225+C ．225+D ．2225+BBA．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为MP平面ABD表面上，且//二、填空题8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体则点P的轨迹长度为9．（2023春·四川绵阳内切球O的球面上的动点，2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题二、填空题3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π2．如图，正方形ABCD 的边长为2,E 为BC 的中点，将①四棱锥P AECD -的体积最大值为255AB=，上一动点，现将AED ．．．．【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(2)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+【答案】A【分析】由题意，动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设,AC BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得，SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO AC ⊥.又BD AC ⊥，SO BD O ⋂=，SO BD ⊂，平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE AC ⊥则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，即如图EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面//SBD 平面EFG ，又由面面平行的性质可得//EG SB ，//GF SD ，//EF BD ，又E 是边BC 的中点，故,,EG GF EF 分别为,,SBC SDC BCD 的中位线.由题意222,226BD SB SD ===+=，故()16622622EG EF GF ++=++=+.即动点P 的轨迹的周长为62+.故选：A2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱点，P 为正四棱柱表面上一点，且A ．52+B ．2因为11AC ⊂平面1B A 1111ED B D D ⋂=，则取1CC 中点F ，连接而11D C ⊥平面1BCC 又1,B F FE ⊂平面1B故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体P 是正方体表面上的动点，若1C P A ．25+B ．2【答案】B【分析】要满足1//C P 平面CD 中点G ，11A B 的中点H ，连结迹为三角形1C HG ，求出周长即可【详解】取1BB 的中点G ，A 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为因为,F H 为分别为11,AB A B 的中点，BB的中点A．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形【答案】B【分析】如图，取棱BC的中点必过D点，进而取A D中点F【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱的性质求解点P 轨迹即可求解6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为表面上，且//MP 平面1ABD ，则动点A ．22B ．【详解】E 、F 、G 、M 分别是1AA 、11A D 、1B C 1AD ，//EM AB ，所以//EF 平面1ABD 1ABD //平面EFGM ，故点P 的轨迹为矩形12G =，所以22MG =，所以1EFGM S =⨯【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题二、填空题【答案】10【分析】先推出BC ⊥,,EF CF AC ，推出BC 【详解】因为AB 是圆柱下底面圆又BC AD ⊥，AC AD 设过A 的母线与上底面的交点为因为⊥AE 平面ABC ，因为AE AC A = ，所以点D 在平面ACE 依题意得5AE =，OA 所以矩形AEFC 的面积为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥11,,DD BD D DD BD =⊂∩平面1BDD ，于是AC ⊥平面则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1,,AC AB A AC AB = 令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得13S 311【答案】3305π【分析】由题意画出图形，得BN ⊥平面DCP ，所以【详解】如图所示，在1BB 上取点P ，使得12BP PB =，连接112NC NB =Q ，CP BN∴⊥又DC ⊥平面11BCC B ，DC BN∴⊥又DC CP C Ç=Q ，DC ⊂平面DCP ，CP ⊂平面BN ∴⊥平面DCP又点M 是棱长为32的正方体1111ABCD A B C D -DCP 与球O 的截面圆周.2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题故选：C2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P －ABCD 的底面正方形边长为则动点Q 形成轨迹的周长为（A ．2π11根据等体积法得(143ABCD PAB S S +△∴11344423263PE ⎛⎫+⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭【详解】，取AD 的中点H ，连接EH ，则1//EH AA .1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以EH ⊥底面ABCD.EFH 为EF 与底面ABCD 所成的角，则60EFH ∠=︒．设正方体的棱长为a ，因为该正方体外接球的表面积为12π，22233π12π2a a ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，解得2a =，12AA a ===，从而23HF =，的轨迹为以H 为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD 区域内的部分，如图中，23HG HM ==，3AH AHG πAHG ∠=，【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体11ABCD A B C -则下面结论正确的有（）①若点E 满足1AE B C ⊥，则动点E 的轨迹是线段；②若点E 满足130EA C ∠=，则动点E 的轨迹是椭圆的一部分；若130EA C ∠= ，则E 在以1AC 为轴，母线所在直线为平面1BC 与圆锥的轴1AC 因为11//,A B CD 所以1A E 与CD 所成的角等于当E 为1BC 中点时，1B E tan EA B ∠二、填空题8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）则正方体表面到P 点距离为5的点的轨迹总长度为【答案】35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度【详解】以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，在平面11ABB A 和平面11ADD A 上轨迹是以圆心角为π2的两段弧，弧长为在平面1111D C B A 上的轨迹是以A 在平面ABCD 上的轨迹是以A 为圆心，因此，轨迹的总长度为352⎛+ ⎝故答案为：35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥到底面ABC 的距离为4，且三棱锥【答案】43π【分析】设ABC 直角边的边长为得出球心O 到底面ABC 的距离连接,,OD OG OH ,则有OG OH =2GH a =，5GD a =且GH GD ⊥设O 到平面DCHG 的距离为：d 则在三棱锥O DGH -中，有O GDH V -所以11113232GH GD d OG ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π【答案】D设三棱锥S ABC -外接球的球心为,,O SAC BAC 的中心分别为易知1OO ⊥平面2,SAC OO ⊥平面BAC ，且12,,,O O O①四棱锥P AECD -的体积最大值为255③,EP CD 与平面PAD 所成角的正弦值之比为④三棱锥P AED -的外接球半径有最小值A ．①③B ．②③【答案】C取PA中点为G，则，GF EC平行且相等，四边形所以，点F的轨迹与点G的轨迹完全相同，过,H G的轨迹是H以为圆心，55HG=中点F的轨迹长度为55π.②错误；由四边形ECFG是平行四边形知//ECAB=，上一动点，现将AED．．．．。