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九年级数学专题复习课件-与圆的切线有关的证明与计算 (共20张PPT)

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2020届中考数学总复习课件：微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明 (共21张PPT)

2020届中考数学总复习课件：微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明 (共21张PPT)
图 Z12－5
解：(1)如答图，连结 DN，ON. ∵⊙O 的半径为52，∴CD＝5. ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10， ∴BC＝ AB2－AC2＝8. ∵CD 为直径，∴∠CND＝90°，且 BD＝CD， ∴BN＝NC＝4； (2)证明：∵BN＝NC，OC＝OD，∴ON∥BD， ∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE 为⊙O 的切线．
【中考变形】 1．[2019·盐城]如图 Z12－5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. (1)若⊙O 的半径为52，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
图 Z12－2
解：(1)∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA，∴∠OAF＝90°， 又∵∠F＝30°，∴∠FOA＝60°， ∴∠ADB＝12∠FOA＝30°；
(2)∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝4，AB＝AC， ∴∠C＝30°，∴AC＝233EC＝833.
【中考预测】 [2018·郴州]如图 Z12－7，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB＝AD， AE 是⊙O 的弦，∠AEC＝30°. (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
图 Z12－7
解：(1)证明：如答图，连结 AO， ∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°， ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°， 根据三角形的内角和定理得∠BAD＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°， ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°， ∴OA⊥AD， ∵点 A 在⊙O 上，∴直线 AD 是⊙O 的切线；

人教版数学九年级上册切线的判定PPT精品课件

人教版数学九年级上册切线的判定PPT精品课件

2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
3.知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
.O
A
L
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何应用: ∵OA⊥L ,OA是半径 ∴L是⊙O的切线
注意 圆的切线有无数条．
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定课件
小练习
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。

2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张

2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张
见基本尺规作图3
考点 3 与圆有关的尺规作图
1. 过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段 2. 作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线
命题点 1 与切线有关的证明与计算 (必考)
1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D，连接AB，若 ∠B＝25°，则∠D的度数为( B ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50°
第4题解图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长 线上一点，且PA是⊙O的切线． (1)求证：AP＝AB； (2)若PD＝ 5 ，求⊙O的直径．
第5题图
(1)证明：如解图，连接OA. ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.(1分) ∴∠AOP＝60°.(2分) ∴∠ABP＝∠OAB＝30°.(3分) ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA. ∴∠OAP＝90°.(4分) ∴∠OPA＝90°－∠AOP＝30°. ∴∠OPA＝∠ABP. ∴AP＝AB；(5分)
第6题图
解：(1)DE ⊥CF . 理由：如解图，连接OC， ∵CF 与⊙O相切于点C，∴CF ⊥OC，∴∠OCF ＝90°， ∵OA＝OD，OC＝OC，AC＝CD，∴△AOC≌△DOC， ∴∠A＝∠1.(3分) ∵∠A＝∠2，∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD，∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，∴OC∥DE. ∵∠OCF ＝90°，∴∠DEF ＝∠OCF ＝90°， ∴DE ⊥CF ；(5分)
第3题图
解：如解图，连接AC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴∠ABC＝90°.(1分) ∴AC是⊙O的直径．(2分) 在Rt △ABC中， 根据勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝ 42＋32 ＝5.(3分) ∵CF 与⊙O相切于点C， ∴AC⊥CF ，即∠ACF＝90°.(4分) ∵∠CDE＝30°，∴∠CAE＝∠CDE＝30°.(5分) ∵在Rt △ACF中，tan ∠CAF＝ CF ， ∴CF ＝CA·tan30 °＝ 3＝5 3.(C6分A )

课件_人教版九年级上册数学_切线的判定PPT课件_优秀版

课件_人教版九年级上册数学_切线的判定PPT课件_优秀版

求证：BC是⊙O的切线;
A
D
O
B
E
C
回顾与反思
o
同学们, 学习完本节课之后,
你对切线的证明思路有什么体会，
谈谈你的看法,让大家分享 一下
A
l 你的思维成果!
（1）看公共点；（有且只有一个）
﹝ （2）证d=r
有明确公共点
无明确公共点
❖回顾总结
o
l
∴ AB为⊙o的切线； 垂直于这条半径的直线是圆的切线
❖ 复习回顾
❖ 1、已知⊙O的直径是10cm，点O到直线 的距离为d.
（1）若d=4cm,则l 与⊙O有两个公共点.
（2）若d=6cm,则 l与⊙O的位置关系 是相离 ·
（3）若 l 与⊙O相切，则d= 5 cm.
❖ 复习回顾
2.请同学们归纳一下直线与圆有哪几种的位置关系?
r ●O d
相离 ┐
r ●O d ┐
这三种位置关系可以按什么标准进行分类的?
根据作图直线l是⊙O的切线满足两个条件：
如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45º。
∴ ⊙o的半径是3
“作垂直,证半径”。
求证：DC是⊙O的切线
如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交⊙O于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°
∴直线AB是⊙O的切线
=3
证明：作OC⊥AB于点C
3、垂直于半径的直线是圆的切线。
∵ AB=8 ,OA=8
∴ OC是⊙o的半径
这三种位置关系可以按什么标准进行分类的?
根据作图直线l是⊙O的切线满足两个条件：
⌒⌒
证明：作OC ⊥ AB；
∴直线AB是⊙O的切线
3、垂直于半径的直线是圆的切线。

圆的切线(复习课)课件

圆的切线(复习课)课件
研究曲线的性质
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

人教版九年级数学上册中考复习之圆与切线PPT


∠COB=30°,以OC上点P为圆心，以3/2为半径的圆恰与OB相切于
点D
y
（1）求点P的坐标
C
B
（2）判断AC和⊙P的位置关系，并说
E
明理由。
G
D
O
A
x
总结：
基本思路
性质: .圆的切线垂直于过切点的半径。
连半径得垂直
圆与 切线
圆心到直线的距离d与半径r的关系 切线
d=r
经过半径外端并且垂 有交点，连半径证垂直 判定：直于这条半径的直线 无交点，作垂直证半径
y
N
Hale Waihona Puke PMOx
完成下列练习，并说明你的思路和依据，及所用到的知识点
1.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE 是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交 AE于点D，若∠AOC=80°，则∠ADB的度 数为＿50＿°。
圆的切线垂直于过切点的半径
2.如图，AB是⊙O的直径，OA=1， AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB 的延长线于点D，若BD= 则∠ACD=--1-1-2--.-5-°---
课堂检测
1。如图， ∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C， 若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也 相切时，圆心O移动的水平距离为( )
A
E OO
D
2。在平面直角坐标系中，点P在第一象 限，⊙P与X轴相切于点Q，与Y轴交于 M（0，2），N（0，8）两点，则点P的 坐标是---（---4-，---5-）-
A。相交 B。相切 C。相切或相交 D。相离 l
A A
注意：是圆心到直线l的距离（垂线段）d与半径r的数 量关系
5.(2016.南宁）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，BD是 角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半 径的圆经过点D，交BC于点E。

九年级数学人教版圆的切线复习PPT优秀课件

1 •直线和圆的位置关系有哪几种？什么叫直线和圆相切?2.我们学习过的切线的判定定理和性质定理分别是什么?切线的判定定理:过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1过切点且垂直于切线的直线必过推论2过圆心且垂直于切线的直线必过切点(1)(2)(3)(4)(5)(6)判断对错@和圆有公共点的直线是圆的切线。

（X ）经过半径的一个端点并且垂直于这条半径的直繰最的切线。

（X ）若一条直线与圆的直径垂直，则这条直线就是圆的切线。

111到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

（）与两条平行线都相切的圆的直径等于这两条平行线间的距离。

（x/）与等边三角形的两边相切的圆必定与第三边相切。

（7）过切点的直径垂直于切线。

例1:匕；1： Ull ^T/ AB x ZC=90°,以AC为直径巴G €交■斗边门卡DQE〃AB交BC于E 求证：DE是圆O的切线分析：要证DE是OO的切线，只要证明DE经过OO 的半径的外端并且垂直于这条半径•由于点D在OO上，因此连结OD，只要证明DE丄OD・证明：连结OD•••OE〃AB，AZ1 = Z2, Z3=Z4, 又V0A=0D,AZ1=Z3.••• Z2=Z4 在ZkOCE和AODE中OC=OD, Z2=Z4,OE=OE AAOCE^AODE ・••• ZC=Z90°••• ZODE=90°,即DE 丄0D・•••DE是00的切线。

C E例）2:已知：如图△ ABC中AD丄BC, AD=-yBC , E, F 分别是AB, AC的中点，AD与EF相交于H, 求证：以EF为直径的0 O于BC相切分析：要证BC与O O相切•因为并不知道BC过。

O上哪一点所以只.十□口能作圆心O到BC的垂线段OG然后证明OG 等于。

O的半径证明：作OG丄BC,垂足为GVE, F分别是ABj AC的中点••・EF〃BC, KEF=yBCo 是AD的中点，即HD=-iAD.VAD=-1BC.AAD=EF•••HD=-^EFVAD 丄BC，OG丄BC, EF/7BC,•••OG=HD=寺EF•••OG是G>0的半径。

人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)


知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.

圆单元复习之切线证明的常用方法 课件(共15张PPT)(2024)人教版初中数学九年级上册

求证：CD与⊙O相切.
••针课针对堂对训小训练结练
切线证 明的常 用方法
有交点,连半径,证垂直 无交点,作垂直,证半径
• 能力提升
体验中考1：如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆 的切线，过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D，连接BC. （1）连接DO，若BC//OD,求证：CD是半圆的切线； （2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC， 判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论.
演练2:如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DC⊥AC
于C，求证：DC是⊙O的切线
证明：连接OD ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD
又∵OA=OB ∴ ∠BAD=∠ODA
又∵AC⊥DC ∴OD⊥DC
又∵ OD是半径 ∴ DC为⊙O的切线。
∴ ∠CAD=∠ODA ∴ OD∥AC
能力提升
体验中考2：如图,在△ABC中,O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径
作圆，与BC相切于点C,过点A作AD⟂BO交BO的延长线于点D,且
∠AOD=∠BAD.
求证：AB为⊙O的切线.
A
E
B
D O C
求证：PB是⊙O的切线；
类型一：有交点，连半径，证垂直
证明：连接OB
∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA=∠OBC ∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90° ∴∠ABO+∠OBC=90° ∴∠PBA+∠OBA=90°即OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
演练1:如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE
证切线时辅助线的添加方法：
方法一： 条件：直线与圆的交点标明字母 方法：有交点，连半径，证垂直
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图Z12－4 证明：略．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，
证垂直”或者“作垂直，证半径”．
1．[2013· 牡丹江]如图Z12－5，点C是⊙O的直径AB
延长线上的一点，且有BO＝BD＝BC.
(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
图Z12－5
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC， ∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC， ∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； 变形1答图
∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过
切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得 到切线与半径垂直．
[2013· 天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，
∴EC＝EH.A
又∵∠C＝∠EHF＝90°，DE＝EF， ∴Rt△DCE≌Rt△FHE. ∴CD＝HF.
[2013· 防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC. (1)求证：AC是⊙O的切线；
在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝ 变形答图(2)
72°.
由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝ 18°.
如图Z12－3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过 点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F. (1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数； ︵ (3)若 AB＝6，求AD的长．
由AD⊥l，得∠ADC＝90°，
∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC. ∴∠BAC＝∠BAC＝∠ACO，
(2)如图(2)，连结BF. ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE ＝18°， ∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18° ＝108°.
(2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.
图Z12－7
解：(1)连结OA，OD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA. ∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE， ∴∠ODA＋∠OFD＝90°， ∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°. ∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC， ∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． 预测答图
(2)∵ BF＝ 8，DF＝ 40，⊙ O 的半径为 r， ∴ OF＝ BF－ OB＝ 8－ r. ∵在直角三角形 OFD 中， OD2＋ OF2＝ DF2， ∴ r2＋ (8－ r)2＝ ( 40)2， 解得 r＝ 6 或 r＝2(不合题意，舍去 )， ∴⊙ O 的半径 r＝6.
(3)连结OD，∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠BAC＝∠ODA＝54°， ∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°.
∵AB＝6， 1 ∴OA＝ AB＝3. 2 ︵ 72π ×3 6π ∴AD＝ ＝ . 180 5
预测答图(2)
二 与切线的判定有关的计算或证明
已知：如图Z12－4，A是圆⊙O外一点，AO的延长线 交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求 证：直线AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)
图Z12－3
解：(1)连结AE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
预测答图(1)
(2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC， 1 ∴∠ABC＝ (180°－∠BAC)＝63°. 2
∵BF是⊙O的切线， ∴∠ABF＝90°. ∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°.
专题提升（十二） 与圆的切线有关的证明与计算
一 与切线的性质有关的计算或证明
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点 P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长 1 ．(浙教版九下P42作业题第1(2)题) 为______
图Z12－1
【解析】 连接OC，因为PC为⊙O的切线，所以
AD⊥l于点D.
(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F
时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC. ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l， ∴∠OCD＝90°.
(2)解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2， ∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
2．[2014· 威海]如图Z12－6，在△ABC中，∠C＝
90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交 AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD＝HF.
图Z12－6
解：(1)证明：如图，连结OE.
∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠CBE. ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠CBE＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA＝∠C＝90°， 变形2答图
∴AC是⊙O的切线．
(2)如图，连结DE. ∵∠OBE＝∠CBE， ︵ ︵ ∴DE＝EF， ∴DE＝EF. ∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EH⊥AB，