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国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案第2章 矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D ）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A ）． A.B. －1C.D. 1⒊乘积矩阵中元素（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）． A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）．A. B. C. D.⒍下列结论正确的是（A ）． A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则a a ab b bc c c 1231231232=a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=000100002001001a a=a =12-121124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥c 23=A B ,n A BAB+=+---111()AB BA--=11()A B A B +=+---111()AB A B ---=111A B ,n k >0k ≠1A B A B +=+AB n A B =kA k A =-=-kA k A n ()A A -1A B ,n AB A B ,n AB A B ,n AB ≠0⒎矩阵的伴随矩阵为（C ）．A. B. C. D. ⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．A.B.C.D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）．A. B. C.D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. B.C.D.（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈ 7 。
⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 。
⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵。
⒋二阶矩阵 [151]。
⒌设，则 [6―35―18]。
⒍设均为3阶矩阵，且，则 72 。
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
（0931）《工程数学》作业2参考答案一、填空题：1.123147015-. 2．964.. 3．=AB BA . 4．ABC . 5．23. 6. 12二、选择题：1．B 2．B 3．A 4．B 5．B三、按要求解答：1．计算行列式xy x y y x y x x yx y+++.解：1232()()2()2()xy x y x y y x y y x y x c c c x y x yx x yxy x y xy++++++++++21312()00x y y x y r r xy r r x yx++-----2()x yx y x y x-=+--22332()()2()x y x xy y x y =+-+-=-+2．求矩阵A 的秩，并求它的一个最高阶非零子式，其中321312131370518---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 解：12323213113442213132131337051813441r r A r r -----⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=--−−−−→-- ⎪⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 213113442207119700001r r r r --⎛⎫- ⎪−−−−→--- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R =A ，且3212137075--=≠是A 的一个最高阶非零子式。
3．判断方程组是否有解?⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-=++=++-.02,12,0,14332131321321x x x x x x x x x x x解 利用初等变换法求增广矩阵(,)=B A b 的秩.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----021111020111141321r r↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0211110214130111 14131223r r r r r r -++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---030013201740011132r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0300174013200111232r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--03001113200111343r r +.3000110013200111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-因此()3,() 4.==r A r B 由于()(),≠r A r B 故原方程组无解.四、按要求计算：1．两射手彼此独立地向同一目标射击一次。
第二章1.1. 一鞋店大约每天卖出鞋30双，批发一次货的花费为300元，每双鞋每天的存储费用为0.1元。
问鞋店多少天批发一次货，进货量为多少？ 解：利用经济批量订货公式T =14(天), Q =420(双)1.2: 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r 。
在每个生产周期T 内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产。
设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品的贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最有生产周期。
讨论k>>r 和k ≈r 的情况。
解：总⎰+=+=TQT c c dt t q c c C 0212121)(，可得出：,)()(00r T T T r k Q -=-=k T T r 0=， kTrr k Q )(-=，212()2T r k r C c c k-∴=+平均12()(),2c c Tr k r C C T T T T k -==+=最优当rc c T r k 212≈>>时，，等价于标准EOQ （经济批量订货公式）；当,∞→≈T r k 时，故为无存贮。
2.1 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：• 项目1从第一年到第四年每年可以投资，并于次年回收本利115%；• 项目2第三年可以投资，到第五年回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元； • 项目3第二年可以投资，到第五年回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元； •项目4每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。
该部门现有资金10万元， 问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到五年后拥有的资金的本利总额为最大？ 解：假设⏹ 所有投资发生在年初；⏹ 所有收益发生在年末，可用于下一年度投资； ⏹ 没有其他资金来源，也没有其他投资和费用发生； ⏹ 题中所给定的收益率不受市场影响发生变化。
模型建立设yij 表示第i 年年初投资给项目j 的金额 Ai 表示第i 年未投资的金额 第五年末本利总额 约束条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==≥++≤+-++=++≤+++-++=++≤++++-+=+≤+++-=≤+4y ,3y ;4,3,2,1j ,5,4,3,2,1i ,0y y06.1y 15.1A y )y y (y 06.1y 15.1A A y 06.1y 15.1A y y )y y y (y 06.1y 15.1A A y 06.1y 15.1A y y y )y y y (y 06.1A A y 06.1A y y y )y y (10A 10y y 3223ij 44314544441342134342134441343231241123241123432312423211412141242321141111411 模型简化Lingo 程序max=1.4*y23+1.25*y32+1.15*y41+1.06*y54; y11+y14<=10;y11-0.06*y14+y21+y23+y24<=10;-0.15*y11-0.06*y14+y21+y23-0.06*y24+y31+y32+y34<=10;-0.15*y11-0.06*y14-0.15*y21+y23-0.06*y24+y31+y32-0.06*y34+y41+y44<=10;-0.15*y11-0.06*y14-0.15*y21+y23-0.06*y24-0.15*y31+y32-0.06*y34+y41-0.06*y44+y54<=10; y23<=3; y32<=4; end54413223y 06.1y 15.1y 25.1y 40.1f +++=23324154max 1.40 1.25 1.15 1.06f y y y y =+++1114111421232411142123243132341114212324313234414411142123243132100.06100.150.060.06100.150.060.150.060.06100.150.060.150.060.150.06y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y +≤-+++≤--++-+++≤---+-++-++≤---+--+-3441445423320.06100,1,2,3,4,5,1,2,3,4;3,4ijy y y y i j y y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+-+≤⎪⎪≥==≤≤⎩计算结果第一年：y11 =71698元，y14 = 28302元； 第二年：y23 = 30000元；第三年：y32 =40000元; y34=42453； 第四年：y41 =45000元; 其他为0；第五年末该部门拥有资金总额为143750元，盈利43.75%。
最新国家开放大学电大《工程数学》期末题库及答案
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《工程数学》题库及答案一
一、单项选择题（每小题3分．共15分）
试题答案及评分标准（供参考）
《工程数学》题库及答案二一、单项选择题（每小题3分，共15分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
三、计算题（每小题16分，共64分）
四、证明题（本题6分）
试题答案。
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x f C. 00021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.C. D(X-c)=D(X)-cD. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
第 1页 /共 1页工程数学(考试形式： 闭卷 考试时间: 2小时)考试作弊不授予学士学位方向： 姓名： ______ 学号： ______1. Find values of:(a) );3(Ln − (b) )i +(12.(10 points)2. Function is harmonic, find an analytic functionsuch that satisfying (0)0f = .(10 points)3. Evaluate each of the following integrals: (20 points) 22;(9)()z zz z z i −+∫(b) d23131(2)z z z z −=−∫ (d)d .4. Find the series representation for the function at .(10 points)5. Evaluate integral of , where . (10 points)6. Find a representation for the function in powers of .(10 points)7. Find the residue of function 6sin ()z z f z z−=at 0z =.(10 points)8. Find the inverse Laplace transform of function 225()(2)9s F s s +=++. (10 points)9. Evaluate integral along positively oriented circle . (10 points) 2(1)z z e z z z =−∫2(a)d ; 10||2()(1)(3)z z z i z z =+−−∫d (c); (,)(cos sin ),()x v x y e y y x y x y f z u iv =+++=+ arctan 0z z = 2sin 14112Cz z C z z π+=−∫d : 11ze z − 1:|-2|2z iCdz C z eiππ=−∫第 1页 /共 3页《工程数学》期末试题答案(B)1.(a) (5 points)1.(b) (5 points)2.(10 points) 3.(a) z=0为一级极点, z=1二级极点(5 points)(b) (5 points))2sin(ln )2[cos(ln 2 0 .,2,1,0 )],2sin(ln )2[cos(ln 2)]22sin(ln )22[cos(ln 2222ln )22(ln )22(ln ) 2ln2)(1(2Ln )1(1i k k i e k i k e e e e k k k i k i k i i i +=±±=+=+++====−−++−++++时，得其主值为其中L πππππππ),2,1,0(,)12(3ln )3(Arg 3ln )3(Ln L ±±=++=−+−=−k i k i 其中π,1)sin sin cos (+++=∂∂y y x y y e xv x ,1)cos sin (cos ++−=∂∂y x y y y e y v x,1)cos sin (cos ++−=∂∂=∂∂y x y y y e y v x u x 由),()sin cos (d ]1)cos sin (cos [ y g x y y y x e x y x y y y e u x x ++−=++−=∫得 , 得由y u xv ∂∂−=∂∂),()sin cos sin (1)sin sin cos (y g y y y y x e y y x y y e x x ′−++=+++,)( C y y g +−=故,)sin cos ( C y x y y y x e u x+−+−=于是,)1()1()1()(C z i ze C i iy i x e iye e xe iv u z f z iy x iy x +++=++++++=+= ,0)0( =f 由,0 =C 得.)1()( z i ze z f z ++=所求解析函数为z z z e z z f z z d )1(lim ]0),([Res 20−⋅=→,1)1(lim 20=−=→z e zz ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=→221)1()1(d d lim )!12(1]1),(Res[z z e z z z f z z ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=→z e z z z d d lim 10)1(lim 21=−=→z z e z z z z z e C z d )1(2∫−{}]1),(Res[]0),(Res[2z f z f i +=π.2i π=∫=+−22d ))(9(z z i z z z .592d )(9222ππ=−⋅=−−−=−==∫i z z z z i z i z z z第 2页 /共 3页(c)由于－i 与1在C 内部，(5 points) (d)2233131132|(2)8z z d idz i z z dz z ππ=−=−==−∫(5 points) 4.(10 points)5.(10 points)6.(10 points)2, 23 ,0 2 )2(132==−===−z z C z z z z 仅包含奇点和有两个奇点函数;2214sin 2d 114sin d 14sin 12112112i z zi z z z zz z z z z z πππππ=−⋅=+−=−−==+=+∫∫,1d arctan 02∫+=z z z z 因为1,)()1(11 022<⋅−=+∑∞=z z z n nn 且∫+=z z z z 021d arctan 所以∫∑∞=⋅−=z n n n z z 002d )()1(.1,12)1(012<+−=∑∞=+z n z n n ni,1,3)3)(1()(1)(10−∞−−+=点外，其他奇点为除被积函数z z i z z f 0]),(Res[]3),(Res[]1),(Res[]),(Res[ =∞+++−z f z f z f i z f 则∫−−+Cz z i z z )3)(1()(d 10]}1),(Res[]),(Res[{2z f i z f i +−=π]}),(Res[]3),(Res[{2∞+−=z f z f i π.)3(0)3(2121010i i i i +−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++−=ππ211)1(1)(z e z f z −=′−,)1(1)(2z z f −=,0)()()1( 2=−′−z f z f z 所以0)()32()()1(2=′−+′′−z f z z f z 0)(2)()54()()1(2=′+′′−+′′′−z f z f z z f z L L L ,13)0(,3)0(,)0()0(e f e f e f f =′′′=′′=′=).1(,!313!2313211<⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=−z z z z e e z L第 3页 /共 3页7.利用洛朗展开式(10 points) 8.(10 points)9．由)22(ππk iLnii e e i +−==可知被积函数11)(−=z e z f 以,...)2,1,0(),22(±±=+−=k k z k ππ为一阶极点，其中)42(),22(21ππππ+−=+−=−−z z 包含在ππ2||=−z 内部，由公式,...)2,1,0(|)'(1]),([Re 22++==−=+−k e i e z z f s k z z i z k k ππ，由留数定理，)(2]}),([Re ]),([Re {2)(12723212|2|ππππππ−−−−=−+=+=−∫ee i z zf s z z f s i i e z i z(10 points)223)2(1)2(2)(++++=s s s F )3sin 313cos 2(]}31[]3[2{]312[]3)2(1)2(2[)]([2221221222122211t t e s L s s L e s s L e s s L s F L tt t +=+++=++=++++=−−−−−−−−(0)(0)(0)0,P P P ′′′===(0)0.P ′′′≠3566sin 13!5!z z z z z z z z ⎡⎤⎛⎞−=−−+−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦L 16sin 1,0.5!z z c z −−⎡⎤∴==−⎢⎥⎣⎦Res。
工程数学试题及答案《工程数学试题及答案》1. 数列与级数问题：找出以下等差数列的通项公式，并计算前n项和。
1) 3, 6, 9, 12, ...2) 1, 5, 9, 13, ...答案：1) 通项公式为a_n = 3 + 3(n-1)，前n项和为S_n = n(6 + 3(n-1))/2。
2) 通项公式为a_n = 1 + 4(n-1)，前n项和为S_n = n(2 + 4(n-1))/2。
2. 三角函数问题：求解以下方程在给定区间内的所有解。
1) sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
2) cos(2x) = 0，其中0 ≤ x ≤ π。
答案：1) 解为x = π/6, 5π/6。
根据周期性，可加2πn得到无穷解。
2) 解为x = π/4, 3π/4。
根据周期性，可加πn得到无穷解。
3. 极限与连续性问题：计算以下极限。
1) lim(x→0) (3x^2 + 2x) / x。
2) lim(x→∞) (e^x + 2x) / e^x。
答案：1) 极限等于2。
2) 极限等于2。
4. 微分与积分问题：求以下函数的导数和不定积分。
1) f(x) = 3x^2 + 4x + 1。
2) g(x) = sin(x) + cos(x)。
答案：1) f'(x) = 6x + 4，∫f(x)dx = x^3 + 2x^2 + x + C。
2) g'(x) = cos(x) - sin(x)，∫g(x)dx = -cos(x) - sin(x) + C。
5. 偏导数与多重积分问题：计算以下偏导数和二重积分。
1) 求f(x, y) = x^3 + 2xy - y^2的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。
2) 计算∬(x^2 + y^2)dA，其中积分范围为R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}。
答案：1) ∂f/∂x = 3x^2 + 2y，∂f/∂y = 2x - 2y。
工程数学（本）04秋模拟试题（2）一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．若A B ,都是n 阶矩阵，则等式（ ）成立． A . A B A B +=+ B . AB AB =')(C . A B B A =D . ()()A B A B A B +-=-22 2．若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=743222301521A ，则秩（A ）=（ ）． A . 1 B . 2 C . 3 D . 43．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1551A ，那么A 的特征值是( ) ． A ．1，1B ．5，5C ．1，5D ．-4，6 4. 若A B ,满足（ ），则A 与B 是相互独立．A . )()()(B P A P AB P = B . )()()(A B P A P B P =C . )()()(B P A P B A P -=-D . )()()(B A P B P A P = 5．下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．A . 41414121 B .161814121C .1631614121 D . 81834121-6．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i iX X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A .∑=-312)(31i iXμ B .∑=31i i X C . X D .∑=-312)(31i iX X7．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．A ．χ2分布B ．t 分布C ．指数分布D ．正态分布二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设B A ,均为二阶可逆矩阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111O BA O．2．向量组352061240201⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,是线性 的． 3．若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ，则=)(AB P ． 4．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ． 5．设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i ix ．三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵A =--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥10011111，那么A A '可逆吗？若可逆，求逆矩阵()AA '-1． 2．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．3．用配方法将二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f --=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4．两台机器加工同样的零件，第一台的次品率是2％，第二台的次品率是1％，加工出来的零件放在一起。
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《工程数学》模拟试卷二
一．问答题（共5题，每题4分，共计20分）
1．叙述对称阵、可逆矩阵的定义。
答：定义1：满足条件(,1,2,,)ij ji a a i j n == 的方阵()ij n n a ⨯称为对称阵。
其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。
定义2：对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶方阵B ，使得AB ＝BA=E ，其中E 为n 阶单位阵，则称A 为可逆阵，称B 为A 的逆矩阵。
2．非齐次线性方程组的解的结构是什么？
答：如果非齐线性方程组有解，则只需求出它的一个解，称为非齐线性方程
组的特解，并求出其导出组的基础解系则其全部解可以表示
为
称为非齐线性方程组的通解 如果非齐线性方程组
的导出组只有零解，则该非齐线性方程组只有一个解，如果其导出组有无穷多个解，则它也有无穷多个解。
3．叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。
答：定义1：设两个m n 矩阵
A ＝，
B ＝ 则称m n 矩阵为矩阵A 与B 的和，记作A ＋B
定义2：以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA ，如果A ＝
，那么kA=
,即
kA=
4．试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。
答：定理1（全概率公式）设事件12,,,n A A A 构成完备事件组，且
()0(
1,2,,
i P A i n >= ，则对任意事件B ，有
1
()()(|)
n
i i i P B P A P B A ==∑. 特别地，当n=2时，全概率公式为 ()()(|)
()(|)
P B P A P B A P A P B A =+. 定理2（贝叶斯公式）设事件12,,,n A A A 构成完备事件组，()0(1,2,,)i P A i n >= ，则对任意事件B (()0)P B >，有
1
()(|)
(|)(1,2,,)
()(|)k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B
A ===
∑
5．试写出离散型随机变量的数学期望和方差的定义。
答：定义1: 设离散型随机变量的分布列为 {}i i P X x p ==，1,2,,i n = 则和式1n
i i i x p =⋅∑称为X 的数学期望。
记为
1
()i i i E X x p ∞
==⋅∑.
定义2： 设有随机变量X ，其数学期望为E （X ），如果2[(())]E X E X -存在，
则称它为随机变量X 的方差，记为()D X 或2
X σ，进而对于离散型随机变量有
k D P ∑2k k
（X）=(X -E(X))，X 为离散型随机变量。
二．填空题（共5题，每题4分，共计20分）
1．如果齐次线性方程组111122121122221122000
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数行列式||0D ≠，那么
它有 只有零 解．
2．设100020001A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，则1A -= 1
00100200
1⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
.
3．齐次线性方程组0=AX 总有 0 解；当它所含方程的个数小于未知量的个数
时，它一定有 非零 解.
4．设()0.8P B =，()0.6P AB =，则由条件概率知，(|)P A B ＝ 0.75 。
5．（均匀分布定义）若随机变量X 的密度函数为
()P x ＝ 1
,,0,a x b b a
⎧≤≤⎪
-⎨⎪⎩其他, ， 则称X 在区间[a,b]上服从均匀分布，记作~[,]X U a b 。
三．计算题（共8题，每题6分，共计48分）
1．计算行列式1112
2111
22111
2
2
．
2．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，求AB .
解：AB =231123111112011011-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦＝5611246101⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
||AB =5611
246101
--＝61156(1)
4624
-+-＝0
3．求矩阵253215
8543174204112
3A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦的秩.
解：253215
854317420411
2
3A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦→1
742025321411235
8
543-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦→1742
009521027156
3027156
3-⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥--⎢
⎥--⎣⎦
→1742009520000000000
0-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以，矩阵的秩为2
4．解线性方程组1231231
2331331590
x x x x x x x x x +-=⎧⎪
--=⎨⎪+-=⎩.
解：对增广矩阵施以初等行变换：
A = 113131311590-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦113104620461-⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦113104620003-⎡⎤
⎢⎥→--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
所以，原方程组无解。
5．设A ，B ，C 为三个事件，
1P(A)=P(B)=P(C)=4，()()0P AB P BC ==，1
()8
P AC =，求事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
6．一袋中有m 个白球，n 个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求： （1）在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率； （2）在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。
解：用A 表示“第一次取到白球”，B 表示“第二次取到白球”。
（1）袋中原有m+n 个球，其中m 个白球。
第一次取到白球后，袋中还有m+n-1球，其中m-1个为白球。
故
1(|)1
m P B A m n -=+-； （2）袋中原有m+n 个球，其中m 个白球，第一次取到黑球后，袋中还有m+n-1个球，其中m 个为白球。
故
(|)1
m P B A m n =+-.
7．设A ，B 是两个事件，已知()0.5P A =，()0.7P B =，()0.8P A B +=，试求：
()P A B -与()P B A -。
解：由于，则有
＝0.50.70.80.4
所以，0.50.40.1 0.70.4
0.3
8．设某仪器总长度X 为两个部件长度之和，即X=X 1+X 2，且已知它们的分布
求：（1）12()E X X +；（2）12()E X X ；（3）12()D X X +.
解：因为 EX 1=2×0.3+4×0.5+12×0.2=5 EX 2=6×0.4+7×0.6=6.6 故
（1）E (X 1+X 2)=E (X 1)+E(X 2)=5+6.6=11.6
（2）E (X 1X 2)=E (X 1)E(X 2)=5⨯6.6=33
（3）3
2
211111()[()](())k k k D X E X E X X E X P ==-=-∑
222(3)0.3(1)0.5(7)0.2
13
=-⋅+-⋅+⋅=
2
2
222221
()[()](())k k k D X E X E X X E X P ==-=-∑
22(0.6)0.4(0.4)0.60.24=-⋅+⋅=
12()D X X +=12()()130.2413.24D X D X +=+=
四．应用题（共2题，每题6分，共计12分）
1．试叙述有限元分析的基本步骤.
2．甲、乙两工人在一天的生产中，出现次品的数量分别为随机变量12,X X ，且分布列分别为：
若两人日产量相等，试问哪个工人的技术好？
解：仅从概率分布看，不好直接对哪位工人的生产技术更好一些作业评论，但由数学期望的概念，我们可以通过比较E （1X ），E （2X ）的大小来对工人的生产技术作业评判，依题意可得 3
10()k k E X x p =∑k ＝
00.41
0.32.023.=⨯+⨯+⨯+⨯= 3
20
()k k k E X y p ==∑
00.310.520.230
=⨯+⨯+⨯+⨯= 由于12()()E X E X >，故由此判定工人乙的技术更好一些。
显然，一天中乙生产
的次品数平均比甲少1
10。
