线性代数习题测验集(带答案)
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《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………( A )A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵,则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(,)9,0,3(-,)3,2,1(,)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-,)4,5,2,4(-,)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵,r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求(1)32AB A -,(2).T B A6、解(1). A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭(2). 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+,证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ,证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -)=3E ,于是,A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆,且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解:D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14.11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16.在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ,则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ,则128.若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2.在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3.四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4.若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06.行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7.行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128.如果D a a a M21 22 23 ,则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329.已知某5 阶行列式的值为5,将其第一行与第 5 行交换并转置,再用 2 乘所有元素,则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110.行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111.n 阶行列式.1 1 112.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.1 2 3 413.设行列式5 6 7 8D ,A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式,4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14.已知c b a bD , D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ,A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式,则15.设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ,A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016.已知行列式D 1 0 3 0 ,D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317.齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318.若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解,则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2.xyxyxyxyxyxy1.;x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3.解方程0x 1 1 0 ;4.a1a2x an21;1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n);1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2;8.a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011.D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1.设abcd 1,证明:021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12. a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3. 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4.2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15.设a, b, c两两不等,证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B二.填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三.计算题3 y3 1.(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ; 2. 2(x ) ;n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( ) 。
线性代数试题及答案解析一、选择题(每题4分,共40分)1. 矩阵A和矩阵B相乘,得到的结果矩阵的行列数为()。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案:D解析:矩阵乘法中,结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关,则下列说法正确的是()。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案:D解析:线性相关意味着存在不全为零的系数,使得这些系数乘以对应的向量和为零向量,因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A,下列说法不正确的是()。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案:D解析:方阵的行列式可以是正数、负数或0,因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等,当且仅当()。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案:A解析:两个矩阵相等,必须满足它们具有相同的行数和列数,并且对应元素相等。
5. 向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是()。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案:C解析:向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解,即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是()。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案:A解析:矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是()。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案:D解析:矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间中,线性无关的向量集合的最小维度是:A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案:D2. 矩阵A的行列式为0,这意味着:A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案:B3. 线性变换T: R^3 → R^3,由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示,其特征值是:A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案:D4. 矩阵A与矩阵B相乘,结果矩阵的秩最多是:A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案:D5. 给定两个向量v1和v2,它们的点积v1·v2 > 0,这意味着:A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案:C6. 对于任意矩阵A,下列哪个矩阵总是存在的:A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案:C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是:A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案:D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是:A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案:A9. 一个矩阵的迹(trace)是:A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案:B10. 矩阵的范数有很多种,其中最常见的是:A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案:D二、简答题(每题10分,共20分)1. 请解释什么是基(Basis)以及它在向量空间中的作用是什么?答:基是向量空间中的一组线性无关的向量,它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .. .. . ..16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の,请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于( )A. m+n B。
—(m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是Aの伴随矩阵,则A *中位于(1,2)の元素是( )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( )A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关,则秩(A T)等于( )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A。
有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs和不全为0の数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r,则A中()A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
线性代数考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设A为3阶方阵,且|A|=2,则|-2A|=()A. -4B. -8C. 4D. 82. 设向量α=(1,2,3),β=(4,5,6),则向量α与β的点积为()A. 32B. 14C. 22D. 43. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}\],则矩阵A的秩为()A. 1B. 2C. 3D. 04. 设A为3阶方阵,且A的行列式为0,则A()A. 可逆B. 不可逆C. 有逆矩阵D. 没有逆矩阵5. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\],B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}\],则AB-BA=()A. \[\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}-2 & 0\\-2 & 0\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}2 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}\]二、填空题(每题5分,共20分)6. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\],B=\[\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}\],则AB=()。
7. 设向量α=(1,2,3),β=(2,3,4),则向量α与β的叉积为()。
线性代数考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 矩阵A的行列式为0,则矩阵A是:A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案:B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关,则:A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn,使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn,使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案:A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵,则:A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案:C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示,则:A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案:B5. 若矩阵A和B合同,则:A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案:B二、填空题(每题3分,共15分)1. 若矩阵A的特征值为λ,则矩阵A^T的特征值为______。
答案:λ2. 若矩阵A可逆,则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案:1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关,则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案:24. 矩阵A的秩为r,则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数试题(完整试题与详细答案)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( )A .-2B .-1C .1D .22.设A 为2阶矩阵,若A 3=3,则=A 2( ) A .21 B .1 C .34 D .23.设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =,则=-1C ( ) A .AB B .BA C .11--B AD .11--A B4.已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ,则=-1*)(A ( ) A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5.向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是( ) A .s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B .s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C .s ααα,,,21 全是非零向量D .s ααα,,,21 全是零向量6.设A 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是( )A .n r =)(AB .m r =)(AC .n r <)(AD .m r <)(A 7.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( ) A .A B .AE - C .A E -- D .A E -2 8.下列矩阵中不是..初等矩阵的为( )A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019.4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为( ) A .1B .2C .3D .410.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ,则二次型Ax x T 的规范形为( )A .232221z z z ++ B .232221z z z ---C .232221z z z --D .232221z z z -+二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4.001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211 a a a a a a a a a D ,则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8.若a a a a a 22211211,则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若2235001011110403D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6.行列式100002000010n n .7.行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D 333231232221131211,则 323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321D ,j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式,则44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321D ,j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式,则4241A A ,4443A A .16.已知行列式nn D10301002112531 ,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a33332222; 2.yxyx x y x y y x y x ;3.解方程0011011101110 x x xx ; 4.111111321321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x;5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 ); 6. bn b b)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b321222111111111; 8.xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x; 10.211200000210001210001211.aa a a a a aa a D110001100011000110001.四、证明题1.设1 abcd ,证明:011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a .3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a .4.nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ; 2. )(233y x ; 3. 1,0,2 x ; 4.11)(n k kax5.)111()1(00nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
(a)22AA (b)))((22B A B A B A (c)AB A A B A 2)((d)T T T B A AB )( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时,B=C 。
(a) AB =BA (b) 0 A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则 kA ( )。
(a) A k (b)A k (c) A k n (d)A k n4.设A 为n 阶方阵,且0 A ,则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合(c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ,B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。
(a) 111)( B A B A (b) B A AB T )((c) B A B A T 11)( (d) 111)( B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。
(a) (a) 1* A A (b) A A * (c) 1* n AA (d) 1* n AA7. 设A 为3阶方阵,行列式1 A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式*12)2(A A ( )。
(a) 827(b) 278 (c) 827 (d) 2788. 设A ,B 为n 阶方矩阵,22B A ,则下列各式成立的是( )。
(a) B A (b) B A (c) B A (d) 22B A 9. 设A ,B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。
(a) B A B A (b) BA AB (c) BA AB (d) 22B A 10.设A 为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是( )。
(a )T A A 22 (b) 112)2( A A(c) 111])[(])[( T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(1111.如果333231232221331332123111333231232221131211333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ,则 A ( )。
(a ) 103010001 (b) 100010301 (c) 101010300 (d)130010001 12.已知113022131A ,则( )。
(a )A A T (b) *1A A(c ) 113202311010100001A (d )113202311010100001A13.设I C B A ,,,为同阶方阵,I 为单位矩阵,若I ABC ,则( )。
(a )I ACB (b )I CAB (c )I CBA (d )I BAC 14.设A 为n 阶方阵,且0|| A ,则( )。
(a )A 经列初等变换可变为单位阵I(b )由BA AX ,可得B X(c )当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时,有B A 1(d )以上(a )、(b )、(c )都不对 15.设A 为n m 阶矩阵,秩n m r A )(,则( )。
(a )A 中r 阶子式不全为零 (b )A 中阶数小于r 的子式全为零(c )A 经行初等变换可化为000r I (d )A 为满秩矩阵 16.设A 为n m 矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,AC B ,则( )。