25、玻尔兹曼方程-金属的电导过程

2
f
(k
,
t
)
(
dk
2 )3
(k
,
k
)
dk
(2
)3
[1
f
(k, t)] t
t时间内，dk内电子发生跃迁的总数目
nout
k
f
(k ,
t)[1
f
(k ,
t)](k ,k)
dk
(2 )3
[2
dk
(2 )3
t]
固体物理
固体物理学
t时间内，从其它状态跃迁到dk内的电子总数目
nin
k
f
(k, t)[1
f
(k,
t)[1
f
(k ,
t
)](k
,
k
)[
dk
(2
)3
]
a
f (k , t)[1 f (k, t)](k ,k)[ dk ]
k
(2 )3
f
(k , t) t
v(k
) r
f
(k , r , t)
dk dt
k
f
(k , r , t)
b
a
定态问题 —— 恒定电磁场或温度梯度时 f (k ,t) 0
f
(k
,
t
)](k
,
k
)
dk
(2 )3
[2
dk
(2
)3
t]
dk内电子数dn
2
f
(k
,
t)
dk
(2 )3
的变化
n nin nout
2
f
(k ,
t)
dk

确立了非平衡态分布函数f(k),就可以直接计算电流密度。 模型假设：
近平衡态假设：系统中每个宏观小、微观大的区域已达到平衡，但整 个系统仍处于非平衡态
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第 10 页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 11
考虑分布函数的变化 f (k, r, t)
在粒子数守恒条件下，分布函数的总变化率为
第6页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 7
实际上，在外场作用下，电子在k空间将以恒定的速度
k
eE
F m dv dk e(E 1 v B)
dt dt
c
沿－E（电场）方向漂移。如图实线
所示。显然对于非平衡分布函数有
f (k,T ) f (k,T ) (5)
它不再是k的对称函数，假定外场并 不影响能带结构，仍有
v(k) v(k)
（a）分布函数在外场下的变化 （b）费米球在外场下的漂移
第六章 自由电子论和电子的输运性质
第7页
§6.3 玻尔兹曼方程
Page 8
那么 2e
Je 2 3 v(k) f (k)dk 0 (6)
这时就有电流在晶体中流动。
除了点阵周期势对电子的散射外，下列因素是电阻产生的主要原因： 晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是温度的函数； 晶体中的缺陷和杂质对电子的无规律散射。
Page 6
得到
f0(k,T ) f0(k,T ) (3)
即分布函数对于k是对称的。如图虚线所示。
另外，由
v(k) v(k)
它对于k是反对称的，因此，由（2）式
Je
2e
2 3
v(k)
f
(k )dk
0

第七章 金属的电导理论 7.1 玻耳兹曼方程费米分布函数()f T 是系统处于统计平衡状态时，电子占据量子态的几率。

在恒定外场的作用下，电子达到一个新的定态统计分布。

这种定态统计分布也可以用一个与平衡时相似的分布函数()k f 来描述。

例如在恒定外电场中，单位体积在d k 中的电子数为：()38/2πk k d f (7.1.1) 它们的速度为()k υ，对电流密度的贡献为()()38/ 2πk k k d f q υ- (7.1.2) 积分后可得总的电流密度：()()⎰-=38/ 2πk k k j d f q υ (7.1.3) 由此，一旦确定了分布函数()k f ，就可以直接计算电流密度。

这种通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法，就是分布函数法。

在自由电子模型中，电子的输运过程与在外场力作用下产生的漂移和电子和声子的碰撞有关。

1 漂移项在存在恒定电场E 和磁场B 时，电子的状态改变为：()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇--=B k E k k E q q dt d 11 (7.1.4) 分布函数相应的变化，可以看成在k 空间流体密度()t f ,2k 和流速dt d /k 满足的连续性方程：()[]()()()⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇=∂ ∂∙∙∙dt d t f t f dt d dt d t f t f t k k k k k k k k k k ,2,2,2,2 (7.1.5) 代入运动方程可得上式右边第二项为零：()[]{}011=⨯∇∇-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇--∇⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙B k B k E k k k k E q E q q (7.1.6)因此，分布函数由电磁场引起的变化为：()()t f dtd t t f ,,k kk k ∇-=∂∂ ∙ (7.1.7) 这个结果可以从另一个角度考虑。

在()t t δ+到达k 的电子，在t 时刻必然在t dt d δ⎪⎭⎫⎝⎛-k k 位置，对比同一时刻在k 和t dt d δ⎪⎭⎫⎝⎛-k k 的分布函数值可得()t f ,k δ：()()()t t f dt d t f t t dt d f t f ,,, ,δδδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙k k k k k k k (7.1.8)因此 ()()t f dt d t t f d,,k k k k ∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∙ (7.1.9) 由于分布函数()t f ,k 的变化完全是由k 空间一点“漂移”到另一点的结果，因此分布函数()t f ,k 的这种变化，通常称为漂移项。

金属的导电性和导热性关系金属电导和导热系数（也叫热导）之间有数学关系，叫做魏德曼—弗兰兹定律（Wiedemann-Franz Law）：在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。

用公式表示即为：，其中为导热系数，为电导率，为一个不依赖于具体金属而与温度有关的常数。

之后洛伦兹（Lorenz）将这个公式推广为：,为热力学温度，为洛伦兹常数。

.当然，这个规律只是在温度较高的情况下成立，在温度较低时，就不再是常数了。

通常的金属材料可以这样来看待，原子核和内壳层电子组成的原子实（也可以简称为原子）因为它们之间的相互吸引作用（离子晶体是库伦作用、原子晶体是化学键作用，分子晶体是范德瓦耳斯力或氢键作用）按照规则排布（不考虑缺陷），不能随便运动（不然的话材料就散开，不再是固体了），最外层电子受原子核的束缚作用较小，可以在整个金属中自由运动（量子力学能带理论的结果）。

在通常的金属材料中（不考虑重费米子金属、半金属等复杂情况），起导电作用的是自由电子，在电场的作用下，自由电子会沿着电场的反方向运动（其实是一个费米球漂移，用玻尔兹曼方程描述，这里可以简单地这么理解），自由电子越多，受到的散射（受到晶格缺陷等障碍阻止其沿着电场方向运动，这些散射也是电阻产生的根源）越少，导电性就越好。

而在通常金属中起导热作用的有两个部分。

其一也是自由电子，热电子会在温度场下扩散（也用玻尔兹曼方程描述，把电场变成温度梯度场即可）。

简单地说就是温度高的自由电子会运动加快，它们会迅速向四处扩散，和冷电子（温度低的电子）通过碰撞交换能量，把热量传导开来。

同导电性一样，自由电子越多，受到的散射越少，电子的导热性就越好。

其二是晶格振动，在金属（其他晶体材料也是一样）中，原子实虽然不能自由运动，但它们可以在格点（晶体结构给他们规定的准确位置）周围作微小的集体振动（原子之间是有相互作用的，就相当于手拉着手，一个原子振动也会带动其他原子振动），形成格波（类似于集体舞），可以把它们看成一种准粒子（其实并不存在，但和粒子的作用一样）——声子。