湖北省武汉市江夏实验高级中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文(无答案)

2017-2018学年度第二学期高二年级数学（文科）期中考试试卷（卷面分值：150分，考试时间：120分钟）选择题（共17题，每小题5分，共85分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则A．¬p：∀x∈A,2x∉B B．¬p：∀x∉A,2x∉BC．¬p：∃x∉A,2x∈B D．¬p：∃x∈A,2x∉B设复数z满足z+i=3-i，则_x001F__x001F_-z=（）A. -1+2iB. 1-2iC. 3+2i D．3-2i下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞－b，则－a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a－c＞b－c设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23已知i为虚数单位，则复平面内表示复数z＝i3＋i的点在() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限若a>b>0，0<c<1，则（）A ．loga c<logb cB ．logc a<logc bC ．a c< b cD ．c a > c b 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )．A ．y ＝(12)xB ．y ＝1x C ．y ＝－x3 D ．y ＝log3(－x)为判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用独立性检验算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( ) A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系” B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系” C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系” D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系” 已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M∩N=＝ ( )．A ．{x|x>－1}B ．{x|x<1}C ．{x|－1<x<1}D ．∅设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x≤1，1－log2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（）．A ．y=11-x B ．y=cos x C ．y=ln(x+1) D ．y=2-x已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1-x ，x≤0ax ，x>0若4f(1)= f(-1)，则实数a 的值等于（） ．A ．1B ．2C ．3D ．4已知f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)=-x(1+x)，当x ＜0时，f(x)等于（）． A ．-x(1-x) B ．x(1-x) C ．-x(1+x) D ．x(1+x)若P(x,y)在椭圆⎩⎨⎧（为参数）上，则x+2y 的取值范围为（）A ．(-∞,22)B ．[22, +∞)C ．[-22,22]D ．(-∞, -22](2010山东卷理)函数xx x xe e y e e--+=-的图像大致为( ).若函数f(x)= 2x+12x-a 是奇函数，则使f(x)＞ cx3成立的x 的取值范围为（ ） A ．(-∞, -1) B ．(-1, 0) C ．(0, 1) D ．(1, +∞) 填空题（共4题，每5分，共20分） 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．命题“3mx2＋mx ＋1＞0恒成立”是真命题，则实数m 的取值范围是_______． 已知函数f(x)的定义域为[0,3]，则函数f(3x ＋6)的定义域是________．设函数f(x)=x3+3x2+1，已知a≠0，且f(x)- f(a)=(x-b)(x-a)2，x ∈R ，则实数a=，b = 。

2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。

湖北省武汉市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列说法中不正确的是（ ）A 、“x y =”是“||||x y =”的充分不必要条件B 、命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>C 、命题：“若,x y 都是偶数，则x y + 是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y + 不是偶数”D 、命题:p 所有有理数都是实数，:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 2、设函数2()()f x g x x =+，若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处曲线的斜率为（ ）A 、4B 、14-C 、2D 、12-3、如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过090）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）4、下列参数方程能与方程2y x =表示同一曲线的是（ ）A 、2(x tt y t=⎧⎨=⎩为参数) B 、2sin (sin x tt y t=⎧⎨=⎩为参数) C、x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数) D 、1cos 2(1cos 2tan t x t t y t-⎧=⎪+⎨⎪=⎩为参数)5、椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是（ ）A 、12B 、13C 、2D 、36、已知圆222:(1)(0)C x y r r -+=>，设条件:03p r <<，条件:q 圆C 上至多有2个点到直线30x -+=的距离为1，则p 是q 的（ ）条件.A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要7、已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围为（ ） A 、(0,1)(2,3) B 、(0,2)C 、(0,3)D 、(0,1][2,3)8、已知()f x a b ≠，则|()()|f a f b -与||a b -的大小关系为（ ） A 、|()()|||f a f b a b ->- B 、|()()|||f a f b a b -<- C 、|()()|||f a f b a b -=- D 、不确定9、设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()y f x =（ ） A 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,e 上都有零点 B 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,e 上都无零点 C 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，在区间()1,e 上无零点 D 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，在区间()1,e 上有零点10、已知圆221:(2)4C x y +-=，抛物线22:2(0)C y px p =>，1C 与2C 相交与,A B两点，且||AB =2C 的方程为（ ） A 、285y x =B 、2165y x = C 、2325y x =D 、2645y x =11、曲线112(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)和2216x y +=交于,A B 两点，则AB 中点坐标为（ ）A 、(3,3)-B、( C、3)-D、(3,12、若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不同实数根个数是（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6二、填空题（每小题5分，共20分）13、若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好在椭圆22221x y a b +=，则双曲线的离心率为 . 14、对任意实数(0)a a ≠和b ，不等式||||||(|1||2|)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，则实数x 的取值范围为 .15、已知函数3()31f x ax x =-+对任意[0,1]x ∈上总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是 .16、设函数2()(2)()10(2)ln x a e x f x x a x x -+≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩(e 是自然对数的底数),若(2)f 是函数()f x 的最小值，则a 的取值范围为 .三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17、用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α为多大时，容器的容积最大？18、设p ：实数a 满足不等式39a ≤，q ：函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点.（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且t ：2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值．19、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=-（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上所有点都在直线l 的右下方，求a 的取值范围.20、已知函数()|21|f x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若函数()()(1)g x f x f x =+- 的最小值为a 且(0,0)m n a m n +=>>，求2221m n m n+++的最小值.21、在平面直角坐标系中，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直于l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点000(,)(0)Q x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B两点，且1l 恰与以定点(4,0)M 为圆心的圆相切. 当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与AQM ∆面积的比.22、已知ln ()ln ,(0,],()xf x ax x x eg x x=-∈=，其中e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明1()()2f xg x >+恒成立； （2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.2016—2017下学期高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题 10 二、填空题13 14、15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦15、[4,)+∞ 16、[2,6]三、解答题17、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则222r h R +=，因此 222231111()(0)3333V r h R h h R h h h R ππππ==-=-<<解得3h R =。

湖北省武汉市部分重点中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）已知：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列为真的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q3．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．B．C．y=﹣1 D．y=﹣25．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．46．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）A．b＜﹣1或b＞2 B．b≤﹣2或b≥2 C．﹣1＜b＜2 D．﹣1≤b≤29．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3B．C．D．10．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个B．1个C．3个D．4个11．（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）12．（5分）（平）若二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）“若x≥0，则x2≥0”的否是．14．（5分）函数y=lnx﹣x的递增区间是．15．（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为．16．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．（10分）直线y=x﹣4与抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积．18．（12分）已知p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c 的最小值．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21．（12分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直线与椭圆交于M、N两点（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）求的取值范围．22．（12分）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0考点：的否定；全称．专题：简易逻辑．分析：根据全称的否定是特此即可得到结论．解答：解：∵为全称，∴的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．2．（5分）已知：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列为真的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：判定p，q的真假，利用复合的真假关系即可得到结论．解答：解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假，则p∧￢q，为真，故选：A．点评：本题主要考查复合的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：条件q：a2+a≥0，解得a≥0，或a≤﹣1，由于条件p：a≥0，所以p是q的充分不必要条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．B．C．y=﹣1 D．y=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将抛物线方程化为标准方程，由抛物线x2=2py的准线方程为y=﹣，计算即可得到所求准线方程．解答：解：抛物线y=x2即为x2=4y，由抛物线x2=2py的准线方程为y=﹣，可得x2=4y的准线方程为y=﹣1．故选：C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，属于基础题．5．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．解答：解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C点评：本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．解答：解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令x=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）A．b＜﹣1或b＞2 B．b≤﹣2或b≥2 C．﹣1＜b＜2 D．﹣1≤b≤2考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质．分析：三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．解答：解：∵已知y=x3+bx2+（b+2）x+3∴y′=x2+2bx+b+2，∵y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，则b的取值是﹣1≤b≤2．故选D．点评：本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题．9．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PM|≥|MF|，再求出|MF|的值即可．解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|==．即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．故选：B．点评：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个B．1个C．3个D．4个考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．解答：解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（x B）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．11．（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．解答：解：设F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵f（0）=1，∴不等式＜1等价为F（x）＜F（0），解得x＞0，故不等式的解集为（0，+∞）故选：B．点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．12．（5分）（平）若二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：轨迹方程；二次函数的性质．专题：综合题．分析：确定以线段PQ为直径的圆的圆心坐标，利用|CM|=|CQ|，及二次函数y=ax2+bx+c （ac≠0）图象的顶点坐标，化简，即可求得点（b，c）所在曲线．解答：解：由题意，以线段PQ为直径的圆的圆心坐标为C，则由|CM|=|CQ|，可得∵二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，∴∴b2﹣4ac=1∴b2+64a2=1，a=∴∴c2+4b2=4∴b2+=1∴点（b，c）所在曲线为椭圆故选B．点评：本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，解题的关键是建立等式|CM|=|CQ|，正确化简．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）“若x≥0，则x2≥0”的否是若x＜0，则x2＜0．考点：四种．专题：简易逻辑．分析：利用“否”的定义即可得出．解答：解：“若x≥0，则x2≥0”的否是：“若x＜0，则x2＜0”．故答案为：若x＜0，则x2＜0．点评：本题考查了“否”的定义，属于基础题．14．（5分）函数y=lnx﹣x的递增区间是（0，1]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），y′=﹣1=，由≥0得0＜x≤1，故函数的单调递增区间是（0，1]．填（0，1）也给满分故答案为：（0，1]点评：本题考查利用导数求函数的单调区间知识，属基础题．15．（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，﹣1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，，∵线段AB的中点坐标为（1，﹣1），∴=，∵直线的斜率为=，∴=，∵右焦点为F（3，0），∴a2﹣b2=9，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为：．故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x﹣•=；从而可得∈（a ﹣1，a+1）；从而求得．解答：解：f（x）=x2﹣lnx+1的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣•=；∵函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，∴f′（x）=2x﹣•=在区间（a﹣1，a+1）上有零点，而f′（x）=2x﹣•=的零点为；故∈（a﹣1，a+1）；故a﹣1＜＜a+1；解得，＜a＜；又∵a﹣1≥0，∴a≥1；故答案为：．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．（10分）直线y=x﹣4与抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线交x轴于C（4，0），知F（1，0），|FC|=3，则S△ABF=，联立方程组可解得y1，y2，从而得|y2﹣y1|，代入公式即可求得答案．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线交x轴于C（4，0），知F（1，0），|FC|=3，由得y2﹣4y﹣16=0，解得y=，|y2﹣y1|=4，S△ABF==．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．18．（12分）已知p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先解不等式分别求出¬p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．解答：解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B，即，∴0＜a≤3．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用，解题的关键是正确求解不等式．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c 的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|≤c，求出即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），∴f′（x）=3ax2+2bx﹣3．∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，﹣2）．∴，即，解得．∴f（x）=x3﹣3x．（2）令f′（x）=0，解得x=±1，列表如下：由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，且f（﹣1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=﹣2．又f（﹣2）═﹣2，f（2）=2．∴f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为2，﹣2．∴对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=|2﹣（﹣2）|=4≤c．即c得最小值为4．点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得即可得出．（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．直线AP 的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r．解答：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．由得7x2+16x+4=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．点E到直线PF的距离d==2．∴d=r．故以BD为直径的圆与直线PF相切．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直线与椭圆交于M、N两点（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）求的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意知，又a2=b2+c2．联立解出即可．（II）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x﹣4）．与椭圆方程联立可得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．由于△＞0，可得．设点M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系及其数量积运算可得=x1x2+y1y2=22﹣，即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意知，又a2=b2+c2．解得，故椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x﹣4）．由得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．，∴．设点M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣4）（x2﹣4）=k2[x1x2﹣4（x1+x2）+16]=，∴=x1x2+y1y2==22﹣，∵，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣e x，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣e x，x∈R．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，则，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：xh′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增极大值单调递减由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．∴．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。

江夏实验高中2017-2018学年度下学期高二期中考试英语试题考试时间：120分钟满分：150分 2018．4第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节：（共5小题；每小题l.5分，满分7.5分）听下面五段对话。

每段对话后有一小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Who does the man want to talk with?A. Tami.B. Dr. Maxwell.C. Ally Simpson.2. What will the woman probably do?A. Stay at home for lunch.B. Make a phone call to the airline.C. Leave for the airport before lunch.3. What does the man think of the book he’s reading now?A. Enjoyable.B. Interesting.C. Relaxing.4. When does the man hope to see the woman?A. This afternoon.B. Tomorrow afternoon.C. Tomorrow night.5. What did the man mean when he said No?A. He didn’t put any sugar in the coffee.B. He added some natural flavors instead.C. He didn’t think the coffee tasted delicious.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

2017-2018学年度第二学期中考试高二数学（文科）试题（答案）一、选择题：（每小题5分，共60分.12、解答：A3、解析：由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2x －2y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4.答案：D4、解析：直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 答案：C5、解答：C6、解析：B “至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a ，b 都不能被5整除”7、解答：A 8、【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 【答案】 D9、解析：选C 根据回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位10、解析：易知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．答案：B 11、【解析】 由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数． 【答案】 D12、解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋35sinφ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5， 5 ]，故选A. 答案：A二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 ， 14、11．8 15、 3 16、3n 2－3n ＋113、解答：由()z 1i i +=-得(1)11z 1(1)(1)22i i i i i i i ---===--++-，所以||z =14、解析：由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10， y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8， ∴a ^＝8－0．76×10＝0．4， ∴当x ＝15时，y ^＝0．76×15＋0．4＝11．8 (万元)．15、解析：因为C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，所以两圆圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.因为A 在曲线C 1上，B 在曲线C 2上，所以|AB |min ＝5－2＝3. 答案：3 16、解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.答案：3n 2－3n ＋1三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、解：解：复数221(2)z m m m i =-+--……2分(I)221020m m m ⎧-=⎨--≠⎩即1m =时，复数z 是纯虚数；……6分(II) 2211101220m m m m m -<<⎧-<⎧⇒⎨⎨-<<--<⎩⎩ 即-1<m<1时，复数z 表示的点位于第三象限。

湖北省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（三）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．“a＞0，b＞0”是“≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．函数f（x）=的图象是（）A．B．C．D．3．设双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．4．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f （x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点5．若函数，若a=f（3），b=f（4），c=f（5）则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠57．下列命题中的说法正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=λB．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不充分也不必要条件8．设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）9．已知f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x）与g（x）满足f′（x）=g′（x），则（）A．f（x）=g（x）B．f（x）﹣g（x）为常数函数C．f（x）=g（x）=0 D．f（x）+g（x）为常数函数10．设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．则y1y2等于（）A．﹣4p2B．4p2C．﹣2p2D．2p211．已知椭圆C的方程为+=1（m＞0），如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（）A．2 B．2C．8 D．212．已知函数f（x）=﹣x2+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是（）A．（0，1）∪（2，3）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，1]∪[2，3）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0．若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是．14．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=．15．已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．16．两个命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”；Q：“关于x的方程x2﹣x+a=0有两个不等的实数根”，如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则实数a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知f（x）=e x+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，e x＞x2；（Ⅲ）设F（x）=f（x）﹣e x++1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围．[选修4--5：不等式选讲]19．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+bx+c．（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．22．己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（Ⅲ）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．参考答案一、单项选择题1．解：若a＞0，b＞0，则≥2，故充分性成立，若a＜0，b＜0，满足，，满足≥2，但a＞0，b＞0不成立，故“a＞0，b＞0”是“≥2”的充分不必要条件，故选：A2．解：∵f（0）==﹣3，∴排除A，B；当x→+∞时，由指数爆炸知，f（x）=→0，故排除C，故选D．3．解：由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），∴AF的斜率为，∵=，∴B为线段FA的中点，∴OB⊥AF，∴•（﹣）=﹣1，∴e2﹣e﹣2=0，∵e＞1，∴e=2．故选：A．4．解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）∴F'（x0）=0，又由a＜x0＜b，得出当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，当x 0＜x ＜b 时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＞0， ∴x=x 0是F （x ）的极小值点 故选B ．5．解：∵，∴a=f （3）==ln，同理可得b=f （4）=ln ，c=f （5）=ln∵==，==∴＜又∵==，==∴＜由此可得，＜＜∵y=lnx 是定义在（0，+∞）上的增函数∴ln＜ln＜ln，即c ＜b ＜a故选B6．解：∵命题是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p 为∃x 0∈R ，2≠5，故选：D ．7．解：A ．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=λ，当≠时成立，否则不成立，故A 错误，B ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故B 错误，C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，故C 错误，D ．当a=0，b=0时，满足a ≠5且b ≠﹣5，但a+b=0，即充分性不成立， 当a=5，b=0时，满足a+b ≠0，但a ≠5不成立，即必要性不成立， 即“a ≠5且b ≠﹣5”是“a+b ≠0”的不充分也不必要条件，故D 正确 故选：D8．解：函数y=f （x ）=x+alnx 在区间（，e ）有极值点⇔y ′=0在区间（，e ）有零点．f′（x）=1+=．（x＞0）．∴，∴，解得．∴a取值范围为．故选：B．9．解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h′（x）=f′（x）﹣g′（x）=0，即h（x）=f（x）﹣g（x）是常数，故选：B10．解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．∴k O A•k OB=﹣1，∴x1x2+y1y2=0，∴则y1y2=﹣4p2故选A11．解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），∵直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x 轴，∴M的横坐标为，代入到直线方程得到M的纵坐标为，则M（，）把M的坐标代入椭圆方程得：+=1，化简得：（m2）2+8m2﹣128=0，即（m2﹣8）（m2+16）=0解得m2=8，m2=﹣16（舍去），∵m＞0，∴m=2．故选：B．12．解：∵f′（x）=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，∴f′（x）在[t，t+1]有解，∴=0在[t，t+1]有解，∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，令g（x）=x2﹣4x+3，∴g（t）g（t+1）≤0或，∴0＜t＜1，或2＜t＜3，故选：A．二、填空题13．解：函数的导数为f'（x）=3x2﹣3a，因为f（x）在x=﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）=0，即3﹣3a=0，解得a=1．所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f'（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1）=3（x﹣1）（x+1），当f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1．当f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．即函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=﹣3，要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m小于极大值，大于极小值，即﹣3＜m＜1，所以m的取值范围是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．14．解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=•3p=3p2所以3p2=12，又p＞0，所以p=2故答案为2．15．解：（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；x＞0，y＞0，x+y﹣m=0与椭圆方程联立，可得13x2﹣18mx+9m2﹣36=0，∴△=（﹣18m）2﹣52（9m2﹣36）=0，∵m＞0，∴m=．此时曲线C与椭圆有四个不同的交点故答案为：2，2＜m＜3或．16．解；∵对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”①a=0时，1＞0恒成立②a≠0时，由二次函数的性质可得，解可得0＜a＜4综上可得P：0≤a＜4∵关于x的方程x2﹣x+a=0有不等实数根∴△=1﹣4a＞0∴Q：a＜∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真如果p真q假，，∴如果p假q真，，∴a＜0所以实数a的取值范围为a＜0或，故答案为：（﹣∞，0）∪[，4）三、解答题17．解：（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，化为＜0，解得，∵a=2，∴；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3．∵p∧q为真，∴，解得1≤x＜2．∴实数x的取值范围是1≤x＜2．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，∴，解得3＜a．∴实数a的取值范围是3＜a．18．解（Ⅰ）由题意知，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为﹣1．由f（x）=e x+2ax，得f'（x）=e x+2a，∴f'（0）=1+2a=﹣1，得a=﹣1∴f（x）=e x﹣2x，f'（x）=e x﹣2令f'（x）=0，得x=ln2当x＜ln2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）的单调递增区间为（ln2，+∞），单调递减区间为（﹣∞，ln2）．（Ⅱ）令g（x）=e x﹣x2，则g'（x）=e x﹣2x由（Ⅰ）知，f（x）的极小值即最小值[f（x）]mi n=f（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴g'（x）=f（x）＞0，故g（x）在R上单调递增，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，即e x ＞x2．（Ⅲ）由题意知，，∵F （x ）在（1，3）上单调递减，∴F'（x ）=x 2+2mx ﹣2≤0在（1，3）恒成立， ∴F ′（x ）图象过点（0，﹣2）， ∴，，所以满足实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣）．19．解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）≥2|x+5|⇒|x ﹣1|≥|x+5| ⇔（2x+4）（x ﹣1﹣x ﹣5）≥0，解得：x ≤﹣2， ∴原不等式解集为{x|x ≤﹣2}；（Ⅱ）f （x ）=|x ﹣a|+|x+5|≥|x ﹣a ﹣（x+5）|=|a+5|， 若f （x ）≥8恒成立，只需：|a+5|≥8，解得：a ≥3或a ≤﹣13．20．解：（1）f ′（x ）=3x 2﹣x+b ，∵f （x ）在（﹣∞，+∞）是增函数， ∴f ′（x ）≥0恒成立，∴△=1﹣12b ≤0，解得b ≥．∵x ∈（﹣∞，+∞）时，只有b=时，f ′（）=0，∴b 的取值范围为[，+∞]．（2）由题意，x=1是方程3x 2﹣x+b=0的一个根，设另一根为x 0， 则∴∴f ′（x ）=3x 2﹣x ﹣2，），∵对x ∈[﹣1，2]时，f （x ）＜c 2恒成立，∴c 2＞2+c ，解得c ＜﹣1或c ＞2， 故c 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）21．解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q （x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…22．解：（Ⅰ）由题意：c=1，a=2，b2=a2﹣c2=3，所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：y=x﹣1．由得7x2﹣8x﹣8=0，，所以．（Ⅲ）当MN⊥x轴时，显然y0=0．当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则．所以，线段MN的垂直平分线方程为在上述方程中令x=0，得．当k＜0时，；当k＞0时，．所以，或．综上，y0的取值范围是．。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

2017-2018学年湖北省部分重点中学⾼⼆（下）期中数学试卷（⽂科）2017-2018学年湖北省部分重点中学⾼⼆（下）期中数学试卷（⽂科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.每⼩题四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．（5分）已知复数（i是虚数单位）是实数，则实数a=（）A．0B．﹣3C．3D．22．（5分）对下列三种图形，正确的表述为（）A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．（1）、（2）是流程图，（3）是结构图D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图3．（5分）已知函数f（x）=cosx，则f′（）=（）A．﹣B．C．D．﹣4．（5分）在复平⾯内，O是原点，，，表⽰的复数分别为﹣2+i，3+2i，1+5i，那么表⽰的复数为（）A．2+8i B．2﹣3i C．﹣4+4i D．4﹣4i5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不⾜”中有⼀道两⿏穿墙问题：“今有垣厚⼗尺，两⿏对穿，初⽇各⼀尺，⼤⿏⽇⾃倍，⼩⿏⽇⾃半，问⼏何⽇相逢？”现⽤程序框图描述，如图所⽰，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．36．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最⼤值等于（）A．2B．3C．6D．97．（5分）已知“整数对”按如下规律排⼀列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），…，则第2017个整数对为（）A．（62，2）B．（63，1）C．（1，64）D．（2，63）8．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数，，（）A．都⼤于6B．⾄少有⼀个不⼤于6C．都⼩于6D．⾄少有⼀个不⼩于69．（5分）在半径为r的半圆内作⼀内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形⾯积最⼤时，其上底长为（）A．B．r C．r D．r10．（5分）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线⽅程为（）A．9x﹣y﹣16=0B．9x+y﹣16=0C．6x﹣y﹣12=0D．6x+y﹣12=0 11．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象⼤致为（）A．B．C．D．12．（5分）定义R上的减函数f（x），其导函数f'（x）满⾜，则下列结论正确的是（）A．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0B．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0C．对于?x∈R，f（x）＜0D．对于?x∈R，f（x）＞0⼆、填空题：本⼤题4⼩题，每⼩题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，均不得分.13．（5分）设集合A={x|x4﹣1=0，x∈C}，z=2﹣3i，若x∈A，则|x﹣z|的最⼤值是．14．（5分）阅读程序框图（如图所⽰），回答问题：若a=50.6，b=0.65，c=log0.65，则输出的数是．15．（5分）已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最⼤时，该四棱锥的⾼为．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若⽅程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探索发现：任何⼀个三次函数都有“拐点”；任何⼀个三次函数都有对称中⼼，且“拐点”就是对称中⼼．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这⼀发现，计算f（）+f（）+…+f（）+f（）=．三、解答题：共6题，共70分.解答题应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z=bi（b∈R），是实数，i 是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表⽰的点在第⼀象限，求实数m的取值范围．18．（12分）请你设计⼀个包装盒，如图所⽰，ABCD 是边长为60cm的正⽅形硬纸⽚，切去阴影部分所⽰的四个全等的等腰直⾓三⾓形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成⼀个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直⾓三⾓形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm）．（1）若⼴告商要求包装盒侧⾯积S（cm2）最⼤，试问x应取何值？（2）若⼴告商要求包装盒容积V（cm3）最⼤，试问x应取何值？并求出此时包装盒的⾼与底⾯边长的⽐值．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1+，S3=9+3．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设b n=（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等⽐数列．20．（12分）如图所⽰，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对⾓线BD把△ABD折起，使点A在平⾯BCD上的射影E落在BC 上．（1）求证：平⾯ACD⊥平⾯ABC；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．21．（11分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意⼀点切线斜率的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中⼀条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．22．（13分）已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极⼩值；（Ⅲ）若⽅程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．2017-2018学年湖北省部分重点中学⾼⼆（下）期中数学试卷（⽂科）参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.每⼩题四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．（5分）已知复数（i是虚数单位）是实数，则实数a=（）A．0B．﹣3C．3D．2【分析】利⽤复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：复数==﹣3+ai（i是虚数单位）是实数，则实数a=0．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．2．（5分）对下列三种图形，正确的表述为（）A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．（1）、（2）是流程图，（3）是结构图D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图【分析】根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．【解答】解：（1）表⽰的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表⽰学习指数函数的⼀个流程，所以（2）是流程图．（3）表⽰的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选：C．【点评】本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．3．（5分）已知函数f（x）=cosx，则f′（）=（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】根据导数的运算法则，先求导，再求值．【解答】解：∵f′（x）=cosx﹣sinx，∴f′（）=﹣×0﹣×1=．故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算法则，属于基础题．4．（5分）在复平⾯内，O是原点，，，表⽰的复数分别为﹣2+i，3+2i，1+5i，那么表⽰的复数为（）A．2+8i B．2﹣3i C．﹣4+4i D．4﹣4i【分析】设B对应的复数为a+bi，则由题意可得1+5i=a+bi﹣（﹣2+i），利⽤复数相等的充要条件，求出a和b的值，即得点B对应的复数，⽤点C对应的复数减去点B对应的复数，即得表⽰的复数．【解答】解：设B对应的复数为a+bi，则由题意可得1+5i=a+bi﹣（﹣2+i）=a+2+（b﹣1）i，∴a+2=1，b﹣1=5，∴a=﹣1，b=6，故B对应的复数为﹣1+6i．那么表⽰的复数为3+2i﹣（﹣1+6i ）=4﹣4i，故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，复数代数形式的减法及其⼏何意义，求出B对应的复数为﹣1+6i，是解题的关键．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不⾜”中有⼀道两⿏穿墙问题：“今有垣厚⼗尺，两⿏对穿，初⽇各⼀尺，⼤⿏⽇⾃倍，⼩⿏⽇⾃半，问⼏何⽇相逢？”现⽤程序框图描述，如图所⽰，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．3【分析】模拟执⾏程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满⾜条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从⽽得解．【解答】解：模拟执⾏程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满⾜条件S≥10，执⾏循环体，n=2，a=，A=2，S=不满⾜条件S≥10，执⾏循环体，n=3，a=，A=4，S=不满⾜条件S≥10，执⾏循环体，n=4，a=，A=8，S=满⾜条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应⽤，模拟执⾏程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最⼤值等于（）A．2B．3C．6D．9【分析】求出导函数，利⽤函数在极值点处的导数值为0得到a，b满⾜的条件；利⽤基本不等式求出ab的最值；注意利⽤基本不等式求最值需注意：⼀正、⼆定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，⼜因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最⼤值等于9．故选：D．【点评】本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利⽤基本不等式求最值需注意：⼀正、⼆定、三相等．7．（5分）已知“整数对”按如下规律排⼀列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），…，则第2017个整数对为（）A．（62，2）B．（63，1）C．（1，64）D．（2，63）【分析】将整数对进⾏重新排列，寻找规律，进⾏求解即可．【解答】解：将整数对进⾏重新排列如图：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），…，每⼀⾏两个整数的和相等，则第n⾏的第⼀个数为（1，n），第n⾏有n个整数对，则前n⾏的整数对共有1+2+3+……+n=，当n=62时，=31×63=1953，当n=63时，=2016，则第2017个整数对位于第64⾏的第⼀个数为（1，64），故选：C．【点评】本题主要考查归纳推理的应⽤，根据具体寻找规律是解决本题的关键．考查学⽣的观察和推理能⼒．8．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数，，（）A．都⼤于6B．⾄少有⼀个不⼤于6C．都⼩于6D．⾄少有⼀个不⼩于6【分析】利⽤反证法，即可得出结论．【解答】解：设，，都⼩于6，则++＜18，利⽤基本不等式可得++≥2+2+2=8+4+6=18，这与假设所得结论⽭盾，故假设不成⽴，故下列三个数，，⾄少有⼀个不⼩于6，故选：D．【点评】本题考查反证法，考查进⾏简单的合情推理，正确运⽤反证法是关键．9．（5分）在半径为r的半圆内作⼀内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的。