第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
课时目标
1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．
2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n 答案 B
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)
n ＋1
2
，则该数列的前4项依次为( )
A ．1,0,1,0
B ．0,1,0,1 C.12，0，1
2，0D ．2,0,2,0 答案 A
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1
]
B ．a n ＝1
2
[1－cos(n ·180°)]
C ．a n ＝sin 2
(n ·90°)
D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12
[1＋(－1)n －1
]
答案 D
解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项B ．第6项 C ．第7项D ．非任何一项 答案 C
解析 n 2
－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2
－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2
C ．a n ＝n (n ＋1)2
D ．a n ＝n 2
＋1
答案 C
解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.
6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *
)，那么a n ＋1－a n 等于( )
A.12n ＋1
B.12n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D
解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1
2n
∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1
2n ＋2
，
∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1
2n ＋2
.
二、填空题
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3n ＋1(n 为正奇数)
4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为
____________．
答案 4,7,10,15
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *
)，那么1120
是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵1n (n ＋2)＝1
120
，
∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．
答案 a n ＝2n ＋1
解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
答案 55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，61
64，… (4)32，1，710，9
17，… (5)0,1,0,1，…
解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1
表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面
的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *
)．
(2)数列变形为89(1－0.1)，8
9
(1－0.01)，
89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－110n (n ∈N *
)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24
，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第
1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24
－3
2
4，…，
∴a n ＝(－1)n ·2n
－32
n (n ∈N *
)．
(4)将数列统一为32，55，710，9
17
，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分
子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2
}，
可得分母的通项公式为c n ＝n 2
＋1，
∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1
(n ∈N *
)．
(5)a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)
或a n ＝1＋(－1)n
2
(n ∈N *
)
或a n ＝1＋cos n π2
(n ∈N *
)．
12．已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
9n 2
－9n ＋29n 2
－1；
