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三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CEAE FABCDE17-图O与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。
∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：×××上课时间：2014.××.××知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
秘籍三：构造三线合一自检自查必考点构造中位线解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
他位置的也要能看出一、构造三角形中位线☞考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．C ED B A【练1】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．E D CB A中考满分必做题【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． CE DB A【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．MN AB EF DC(N )M F EDCBA【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【练1】 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使D E D F =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．NMPFEDCBA【练2】 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA【练3】 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBA【练4】 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．EDMBCAEDMBCAMBCA2014年门头沟二模图24-1图24-2图24-3【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NM EDCBA【练1】（1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变 则在图2、图3两种情况下，DE BC 、还平行吗？它与ABC △三边又有怎样的数量关系？ 请你写出猜测，并给与证明．图1EDC BA图2BC E DAF ABCDE图3【点播】（模型）双垂直+角平分线=等腰三角形AEF ，可以让学生记住该模型FE DCBA【练2】已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．QPEF M N HC BA【例5】 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．Q P R O D CB A【练1】AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FA DE CB【例6】 如左下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且()12EF AB CD =-．FECDBA【练习2】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且D A D B =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。
与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。
为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。
下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。
1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。
当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。
这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。
2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。
这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。
3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。
4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。
5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。
以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。
利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。
当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。
通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。
第一节解题方法技巧等腰底中垂分1. 等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2. 有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在 ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是∠BAC的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。
例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。
求证：BF⊥FD.例2 如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AF⊥CD（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。
练习 1.如图，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（） 691216 B C D 55552.已知：如图，在等腰 ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MNA 上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3. 已知:如图，在等腰 ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作AE⊥DE,AF⊥DF,且AE=AF.求证：∠EDB=FDC第二节斜边中是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。
如图，在Rt ABC中，AB=2BC,作斜边AB的中线CD，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到 BCD为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。
例如图，在Rt ABC中，AB=AC,∠BAC=90︒,O为BC的中点。
（1）写出点O到 ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系：（不需证明）（2）如果点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN的形状，并证明你的结论。
初中数学必须掌握的几何辅助线技巧01几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，倍长中线得全等四边形平行四边形出现，对称中心等分点梯形问题巧转换，变为三角或平四平移腰，移对角，两腰延长作出高如果出现腰中点，细心连上中位线上述方法不奏效，过腰中点全等造证相似，比线段，添线平行成习惯等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦斜边上面作高线，比例中项一大片圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连切线长度的计算，勾股定理最方便要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连弦切角边切线弦，同弧对角等找完要想作个外接圆，各边作出中垂线还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦内外相切的两圆，经过切点公切线若是添上连心线，切点肯定在上面要作等角添个圆，证明题目少困难02由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自己试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180°。
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE。
专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。
思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。
解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。
又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。
在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。
因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。
结论得证。
总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。
变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。
解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。
因为EC为中线，所以AE＝BE。
在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。
所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。
又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。
因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。
在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。
解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。
因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。
初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。
【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。
【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。
【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。
【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。
【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。
【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。
中考压轴题——几何高频辅助线秘技学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容初中几何辅助线总结课型一对一/一对N教学目标1、归纳总结不同的几何题如何添加辅助性，包括三角形、四边形、圆；2、对于中点、角平分线如何作辅助线。
重、难点三角形、四边形、圆中如何添加辅助线，如何利用中点和角平分线。
课首沟通1、对于几何的辅助线有没有做过什么总结归纳？2、对于三角形、四边形、圆有什么常用的辅助线？知识导图课首小测1.（2014新疆中考）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．2.[单选题] （2015广东梅州中考）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（）A. 20°B. 25°C. 40D. 50°3.（2015广州中考）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为.4.已知，在△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。
5.[单选题] （2015内江中考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A.40°B.35°C.30°D.45°知识梳理几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
导学一：三角形知识点讲解 1：含有中点、中线的三角形在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
专题01 中点相关的辅助线问题1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<163．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（）A ．1＜AB ＜11B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜164．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B Ð的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．7．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 边的中点，且EAF DAE AF ∠=∠，交射线BC 于点F ，若133AF CF ==，，则BF 的长度为________9．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．（1）试说明：①AE=CF；②CG=GD；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．11．请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD 与AD之间的数量关系，并证明．12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．（1）如果，12AD BC =，求证：△ABC 是直角三角形．（2）如果，5AB =，13AC =，6AD =，求BC 的长．13．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．14．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．15．△ABC 中D 是BC 边上一点，连接AD ．（1）如图1，AD 是中线，则AB+AC 2AD （填>，<或=）；（2）如图2，AD 是角平分线，求证AB-AC >BD-CD ．16．在 ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．17．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为线段BC 的延长线上一点，且DB=DA ，BE ⊥AD 于点E ，取BE 的中点F ，连接AF ．(1)若15，3BE 的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD 的面积．(3)若∠BAC=∠DAF ，求证：2AF=AD ；19．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．21．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠== ，求DAC ∠的度数．专题01 中点相关的辅助线问题（解析版）1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①根据面积法可得ABE ACE S AB S AC ∆∆=，ABE ACE S BE S CE∆∆=，从而可得①正确；②由AD 是中线，无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故可判断②错误；③运用SAS 证明ADC MDB ∆≅∆得AC MB =，在AMB ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，运用SAS 证明AFN AFC ∆≅∆得NF CF =，在BNF ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．【解析】①过E 作EG AB ⊥于G ，EH AC ⊥于H ，过A 作AK BC ⊥于K，AE ∵是BAC ∠角平分线，EG AB ⊥，EH AC ⊥，EG EH ∴=，1212ABE ACE AB EG S AB S AC AC EH ∆∆⋅∴==⋅，AK BC ⊥ ，12ABE S BE AK ∆∴=⋅，12ACE S CE AK ∆=⋅1212ABE ACE BE AK S BE S CE CE AK ∆∆⋅∴==⋅，AB EB AC EC ∴=，故①正确；②180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒ 180()BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠+∠，AE ∵平分BAC ∠，1190()22BAE CAE BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒-∠+∠，AD 是中线，∴无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故②错误；③延长AD 到M 使DM AD =，连接BM，AD 是中线，BD CD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD ADC MDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC MDB SAS ∴∆≅∆，AC MB∴=在AMB ∆中，AB BM AM AB BM-<<+2AM AD DM AD =+= ，AC BM =，2AB AC AD AB AC∴-<<+11()()22AB AC AD AB AC ∴-<<+，故③正确；④在AB 上截取AN AC =，连接FN，AE ∵是角平分线，NAF CAF ∴∠=∠，在AFN ∆和AFC ∆中，AN AC NAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFN AFC SAS ∴∆≅∆，NF CF ∴=，在BNF ∆中，BF NF BN -<，BN AB AN AB AC =-=- ，BF CF AB AC ∴-<-，即AB CF AC BF +>+，故④正确；综上①③④正确．故选B ．【小结】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．2．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）A．3<AD<13B．1.5<AD<6.5C．2.5<AD<7.5D．10<AD<16【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【解析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，CD BDADC BDEAD DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．∵AB-BE＜AE＜AB+BE，∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．故选：B【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（）A．1＜AB＜11B．4＜AB＜13C．4＜AB＜16D．11＜AB＜16【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【解析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，∵AD＝5，∴AE＝5＋5＝10，∵10＋6＝16，10−6＝4，∴4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．4．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B Ð的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 度数．【解析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FE AEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ，∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．【小结】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．【分析】由“SAS ”可证△BDE ≌△CDA ，可得BE ＝AC ＝6，AE ＝2x ，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【解析】如图所示，AB ＝4，AC ＝6，延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接BE 、EC ，设AD ＝x，在△BDE 与△CDA 中，AD DE ADC BDE BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE ＝AC ＝6，AE ＝2x ，在△ABE 中，BE ﹣AB ＜AE ＜AB +BE ，即6﹣4＜2x ＜6+4，∴1＜x ＜5，【小结】考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．【分析】延长BE ，AD 交于Q ，已知8AB =，12BC =，则10CF ==，因为E 为CD 中点，即可得()QDE BCE AAS ∆∆≌，通过QNF BNC ∆∆∽，根据对应边成比例可得FN 、CN 的长；同理延长CF ，BA 交于点W ，即可求出CM 的长，即可得MN ．【解析】延长BE ，AD 交于Q ，∵四边形ABCD 为矩形，12BC =，∴90BAD ∠=︒，12AD BC ==，//AD BC ，∵F 为AD 中点，∴6DF AF ==，在Rt CDF ∆中，8CD AB ==，由勾股定理得：2210CF CD DF =+=，∵//AD BC ，Q EBC ∠=∠，E 为CD 中点，8CD =，∴4DE CE ==，在QDE ∆与BCE ∆中，DQE CBE DEQ CEB DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()QDE BCE AAS ∆∆≌，∴12DQ BC ==，即18QF DQ DF =+=，∵//AD BC ，∴QNF BNC ∆∆∽，∴32FN QF CN BC ==，∵CF 10=，∴365FN CF ==，245CN CF ==，延长CF ，BA 交于点W，∵F 为DA 中点，∴DF AF =，在AFW ∆与DFC ∆中，AWF DCF AFW DFC AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFW DFC AAS ∆∆≌，∴8AW CD ==，∴16BW BA AW =+=，10CF NF ==，∴20CW =，∵//AB CD ，∴CME WMA ∆∆∽，∴12CM CE WM AW ==，∴12033CM CW ==，∴MN FN CM CF =+-206103=+-83=，即MN 的长度为83．【小结】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型．7．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅ ，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【解析】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中，BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB EDC SAS ∴≅ ，7CE AB ∴==CE AC AE AC CE-<<+ 75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【小结】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 边的中点，且EAF DAE AF ∠=∠，交射线BC 于点F ，若133AF CF ==，，则BF 的长度为________【分析】延长AE 交BC 的延长线于点G ，分两种情况：点F 在线段BC 上和点F 在线段BC 的延长线上，分情况讨论即可．【解析】延长AE 交BC 的延长线于点G ，分两种情况：①如图∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//,AD BC AD BC =．,G DAE EAF D GCE ∠=∠=∠∠=∠ ，13GF AF ∴==，13310GC GF CF ∴=-=-=．点E 为CD 边的中点，DE CE ∴=，在ADE 和GCE 中，DAE G D GCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE GCE AAS ∴≅△△，10AD GC ∴==，10BC ∴=，7BF BC CF ∴=-=；②如图，同理可得13GF AF ==，ADE GCE ≅△△，16,16GC GF CF AD GC ∴=+===，16BC ∴=，19BF BC CF ∴=+=；综上所述，BF 的长度为7或19，故答案为：7或19．【小结】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨论是解题的关键．9．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．【分析】（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC 和△CGB 一组对应边、一组对应角相等，AC BC =，CAE BCG ∠=∠；然后利用同角的余角相等，证得ACE CBG ∠=∠；两角及其夹边对应相等()ASA 则两三角形全等．（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE 和△CAM 一组对应边、一组对应角相等，AC BC =，ACM CBE ∠=∠；然后利用同角的余角相等，证得BEC CMA ∠=∠；两角及其中一角的对边对应相等()AAS 则两三角形全等．【解析】（1）证明：∵点D 是AB 中点，AC=BC ，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG ，又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG ，在△AEC 和△CGB 中，CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE=CG ，（2）证明：∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC ，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAM （AAS ）．【小结】考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．10．已知，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的中线，若E 是线段CA 上任意一点，DF ⊥DE ，交直线BC 于F 点．G 为EF 的中点，连接CG 并延长交直线AB 于点H ．（1）试说明：①AE=CF ；②CG=GD ；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．【分析】（1）①由题意易得AD=DC=DB ，∠A=∠B=45°，CD ⊥AB ，进而可证△ADE ≌△CDF ，然后根据全等三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得11,22CG EF DG EF ==，进而问题得证；（2）由（1）可得AE=CF=6，由题意易得12DG CH =，则有EF=CH=10，然后根据勾股定理可求解．【解析】（1）①AE=CF ，理由如下：∵AC=BC ，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的中线，∴AD=DC=DB ，∠A=∠B=45°，CD ⊥AB ，∴∠A=∠BCD=45°，∵DF ⊥DE ，∴∠EDC+∠CDF=90°，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，②CG=GD ，理由如下：∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，EG=GF ，∴11,22CG EF DG EF ==，∴CG=GD ；（2）由（1）得：AE=CF=6，CG=GD ，12DG EF =，∴∠GCD=∠GDC ，∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，∴∠CHD=∠GDH ，∴GH=GD ，∴12DG CH =，∵CH=10，∴CH=EF=10，在Rt △CEF 中，222+=CF CE EF ，即222610CE +=，解得：CE=8，∴AC=AE+CE=14．【小结】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．11．请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB 与CD 不平行，试判断AB+CD 与AD 之间的数量关系；小雪同学的思路是：延长DM 至E 使DM=ME ，连接AE ，BE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD 与AD 之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM 平分∠BAD ，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD 与AD 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据条件作出图形，利用DM=EM 、BM=MC 便可得到是四边形BECE 是平行四边形，再结合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根据三角形三边关系求解．（2）增加AM 平分∠BAD ，便可以得到点A.B.E 必然共线，故（1）的结论不成立，通过（1）的分析，边可以证明其数量关系．【解析】（1） AB 与CD 不平行根据题意,延长DM 使DM=EM ，连接BE ，AE ，EC ，BD由于M 是BC 的中点，故BM=MC∴四边形BECE 是平行四边形∴CD=BE 又 EM=DM ，且∠AMD=90°∴AED 是等腰三角形∴AD=AB 在ABE △中，AB BE AE+>AB CD AD∴+>(2)若在原条件的基础上，增加AM 平分∠BAD则（1）的结论不成立关系为：AB CD AD+=证明：由于M 是BC 的中点，故BM=MC∴四边形BECE 是平行四边形∴CD=BE 又 EM=DM,且∠AMD=90°∴AED 是等腰三角形∴AD=AE 又 AM 平分∠BAD∴点A.B.E 必然共线∴AB CD AD +=【小结】本题比较综合，涉及到画图能力，平行四边形判定，等腰三角形性质应用，三角形三边关系等，解题的关键在于熟悉各个知识点的灵活运用．12．如图，在△ABC 中，AD 是BC边上的中线．（1）如果，12AD BC =，求证：△ABC 是直角三角形．（2）如果，5AB =，13AC =，6AD =，求BC 的长．【分析】（1）由于12AD BC =，所以AD BD DC ==，故有B BAD ∠=∠，C CAD ∠=∠，由三角形内角和定理即可求解；（2）延长AD 到E 使AD DE =，可得ABD ECD ≌，由勾股定理可得90E ∠=︒，再由勾股定理可求得CD 的长，同时即可求解．【解析】（1）∵12AD BC =，12BD CD BC ==，∴AD BD DC ==，∴B BAD ∠=∠，C CAD ∠=∠，∵180B BAD CAD C ︒∠+∠+∠+∠=，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒．（2）延长AD 到E 使AD DE =，连接CE，在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ECD SAS ≌△△，∴5AB CE ==，6AD DE ==，12AE =，在△AEC 中，13AC =，12AE =，5CE =，∴222AC AE CE =+，∴90E ∠=︒，由勾股定理得：CD ==，∴2BC CD ==．【小结】主要考查三角形全等，利用倍长中线作出辅助线，由勾股定理证明90E ∠=︒是本题的解题关键．13．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．【分析】延长AE 、BC 交于点M ，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．【解析】延长AE 、BC 交于点M，如下图所示∵点E 是DC 的中点，∴DE=CE ，∵//AP BC ∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中，156M DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△MCE ，∴AD=MC ，AE=ME∵AD BC AB+=∴MC ＋BC=AB ，∴BM=AB在△BAE 和△BME 中，AE ME BE BE BA BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△BME ，∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE BE⊥【小结】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．14．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD的距离．【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅ ，据全等性质得6BE CF ==【解析】如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CDF AAS ≅ ，∴6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．15．△ABC 中D 是BC 边上一点，连接AD ．（1）如图1，AD 是中线，则AB+AC 2AD （填>，<或=）；（2）如图2，AD 是角平分线，求证AB-AC >BD-CD．【分析】（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“SAS ”证明△CDE ≌△ADB ，再利用三角形的三边关系证明即可；（2）在AB 上截取AG=AC ，连接DG ，利用“SAS ”证明△ADC ≅△ADG ，再根据三角形三边关系即可证明AB-AC >BD-CD ．【解析】（1）如图，延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE，在△CDE 与△ADB 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDE ≌△ADB （SAS ），∴AB=CE ，∴AB+AC=AC+CE ＞AE=2AD ，即AB+AC ＞2AD ；（2）在AB 上截取AG=AC ，连接DG，∵AD 是角平分线，∴∠1=∠2，在△ADC 和△ADG 中，12AC AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≅△ADG(SAS)，∴DC=DG ，∴AB-AC =AB-AG=BG >BD-DG =BD-CD ．【小结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．16．在 ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE ＝CF ，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明△ADE ≌△BDM 得AE ＝BM ，DE ＝DM ，由垂直平分线的判定定理得EF ＝MF ，进而根据勾股定理得结论．【解析】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∵∠ACB ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝12BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF==；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDMAD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【小结】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．17．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B 、E 、D 三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明=EG CG ，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC ∠=︒，从而证明EG CG ⊥；（2）延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ，首先通过SAS 证明HFG CDG △≌△，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明//HF CD ，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明BEC FEH △≌△，从而可证明结论仍然成立；（3）连接AH ，首先根据题意确定当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE BF +有最小值就是AC 的长，最后利用勾股定理求解即可．【解析】（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由如下：如图1，连接BD ．∵正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，∴45EBF DBC ∠=∠=︒，∴B 、E 、D 三点共线．∵90DEF ∠=︒，G 为DF 的中点，90DCB ∠=︒，∴12EG DF CG DG ===．∴2EGF EDG ∠=∠，2CGF CDG ∠=∠．∴290EGF CGF EDC ∠+∠=∠=︒，即90EGC ∠=︒，∴EG CG ⊥．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ．∵GF GD =，HGF CGD ∠=∠，HG CG =，∴()HFG CDG SAS △≌△，∴HF CD =，GHF GCD ∠=∠，∴//HF CD ．∵ABCD 是正方形，∴HF BC =，⊥HF BC ．∵BEF 是等腰直角三角形，∴BE EF =，EBC HFE ∠=∠，∴()BEC FEH SAS △≌△，∴HE EC =，BEC FEH ∠=∠，∴90BEF HEC ︒∠=∠=，∴ECH ∆为等腰直角三角形．又∵CG GH =，∴=EG CG 且EG CG ⊥．（3）如下图，连接AH ，当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，∵//FH AB ，//AC BF ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴AH BF =，由（2）知CG GH =，∴2GE BF CH AH AC +=+=，即2GE BF +有最小值，就是AC 的长，由勾股定理得22222AC =+=．【小结】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为线段BC 的延长线上一点，且DB=DA ，BE ⊥AD 于点E ，取BE 的中点F ，连接AF ．(1)若15，AE=3，求BE 的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD 的面积．(3)若∠BAC=∠DAF ，求证：2AF=AD ；【分析】（1）在Rt △AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由∠D ＝45°可证得BE ＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，首先证明△AEF ≌△MFB ，再证明△ABM ≌△ACD 即可．【解析】（1）解：∵AB ＝AC ，AC 15，∴AB＝，∵BE⊥AD，AE，∴在Rt△AEB中，BE===；（2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°，∴∠EBD＝∠D＝45°，∴BE＝DE＝，∴AD＝AE+DE+=，∴11922ABDS AD BE=⋅=⨯=；（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，∵点F为BE的中点，∴EF＝BF，在△AEF和△MBF中，AF FMAFE BFMEF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△MBF（SAS），∴∠FAE＝∠FMB，∴AE∥MB，∴∠EAB+∠ABM＝180°，∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，又∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，∴∠ABM＝∠ACD．又∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，∴∠1＝∠2．在△ABM和△ACD中，12AB ACABM ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，又∵AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．19．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【解析】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GDCD BDB⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，又∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠EFA ，∵∠BFG ＝∠EFA ，∠G ＝∠CAD ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF ．【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．20．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.【解析】延长ED 至G ，使DG DE =，连结BG 、FG ，AD BD = ，ADE BDG ∠=∠，ADE BDG ∴∆≅∆，AE BG ∴=，A DBG ∠=∠，AC BG ∴ ，180C FBG ∴∠+∠=︒，90FBG ∴∠=︒，222BG BF GF ∴+=，又ED FD ⊥ ，ED GD =，EF GF ∴=，222AE BF EF ∴+=.【小结】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得△AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．【解析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC∴ADB EDC ∆∆≌，∴EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∵AB=2AD ，DE AD=∴AB=AE=EC∴△AEC 是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【小结】本题考查全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形。
平面几何添加辅助线口诀口决一遇中点，配中点，连点添边中位线口决二遇到一边有中线，只需将其一倍延，口决三遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换口决四遇到图中有等边，绕点旋转来变换口决一遇中点，配中点，连点添边中位线理论依据：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
使用方法：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于BC/2法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD∴∠A=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴DE=BC/2∴三角形的中位线定理成立.例题：经典例题1：在△ABC中，AB=2AC，AF= 四分之一AB，D、E分别为AB、BC的中点，EF与CA的延长线交于点G，求证：AF=AG．证明：取AC的中点M，连接EM，∵E，M，分别是BC，AC的中点，∴EM是△ABC的中位线，又∵EM=二分之一AB，AF=四分之一AB，∴AF=二分之一EM又∵EM∥AB，∴GA：GM=AF：EM=1:2即AG=AM=二分之一AC∵AC=二分之一AB∴AG=四分之一AB∵AF=四分之一AB∴AG=AF．经典例题2：已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．由已知BD=2AD，∴BO=BC．又E是OC中点，∴BE⊥AC．（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．∴EG=二分之一AB又∵EF是△OCD的中位线，∴EF=二分之一CD又AB=CD，∴EG=EF．练习：1：已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求：AE：AC的值2：如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：GE：CE，GD：AD，的值是多少3：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B 重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=四分之一DA ,并说明理由口决二遇到一边有中线，只需将其一倍延理论依据：全等三角形判定与性质或者平行四边形判定与性质使用方法：有中线时，一般作加倍中线构造全等三角形或者平行四边形，使分散的条件集中；例题：1.如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,易证ΔMCD≌ΔEBD,∴BE=CM.∵DE⊥DF, DM=DE,∴EF=MF.在ΔFCM中，∵CF+CM>MF.图1AB CME FD图2∴BE+CF>EF.说明：延长FD 到N,使DN=DF,连结BN 和NE 也可以.方法二:如图3，连结BF ，取BF 的中点M, 取EF 的中点H ，连结DM 、DH 、MH ，∴DM ，MH 为中位线. ∴DM=12CF ，MH=12BE.在Rt △EDF 中，H 为EF 的中点， ∴DH=12EF.在ΔDMH 中，MH+MD>DH, ∴BE+CF>EF.说明:连结CE ，取CE 的中点M, 取EF 的中点H ，连结DM 、MH 、DH也可以.2. 如图1，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中线AD=2。
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、夕卜离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
第一节等腰底中垂分解题方法技巧1.等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2.有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是BAC∠的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。
例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。
求证：BF FD⊥.例2 如图，AB=AE,ABC AED∠=∠,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AF CD⊥（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。
练习 1.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN AC⊥于点N，则MN等于（）A 65B95C125D1652.已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MN 上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3. 已知:如图，在等腰ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，过A 作,,AE DE AF DF ⊥⊥且AE=AF.求证：EDB FDC ∠=第二节 斜边中 是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。
如图，在Rt ABC 中，AB=2BC,作斜边AB 的中线CD ，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到BCD 为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。
例 如图，在Rt ABC 中，AB=AC,90BAC ∠=︒,O 为BC 的中点。
（1） 写出点O 到ABC 的三个顶点A,B,C 的距离的关系：（不需证明）（2） 如果点M,N 分别在线段AB,AC 上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN 的形状，并证明你的结论。
练习 1.如图，在ABC 中，BE,CF 分别为边AC,AB 的高，D 为BC 的中点，M 为EF 的中点。
求证： DM EF ⊥2.已知：ABCD 中，DE AB ⊥于E 交AC 于F,且AD=12FC.求证：3DAB ACD ∠=∠3.已知：ABC 中，2,B C AD BC ∠=∠⊥于D,M 为BC 的中点。
求证：DM=12AB第三节遇中线 可倍长解题方法技巧 1. 将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法如图，AD 为ABC 的中线，如延长AD 至E ，使DE=AD.连接BE,则ADC EDB ≅，再连接CE ，则四边形ABEC 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。
2. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形如图，E 为ABC 中线AD 上一点，如延长AD 至F 使DF=DE.连接BF,CF,则四边形BFCE 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。
3. 可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形如图，O 为AB 中点，若延长CO 至D 使OD=CO,则ACO BDO ≅(COB DOA ≅),四边形ADBC 为平行四边形。
例1 已知：如图，AD 为ABC 的中线，AE=EF.求证：BF=AC例2 已知：如图，在ABC 中，90C ∠=︒，M 为AB 的中点，P,Q 分别在AC,BC 上，且PM QM ⊥于M,求证：PQ 2=AP 2+BQ 2例3 已知：如图，ABC 的边BC 的中点为N,过A 的任一直线AD BD ⊥于D,CE AD⊥于E.求证：NE=ND.练习 1.已知：AD 为ABC 的中线，F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于E.求证：2AE AF ED FC=2.已知：在ABC 中，AD 为中线，并且90BAD ∠=︒,45DAC ∠=︒.求证：AB=2AD3.已知：如图，ABC 中，过AB 的中点F 作DE BC ⊥,垂足为E,交CA 的延长线于点D.若EF=3，BE=4,45C ∠=︒,求证：DF:FE 的值。
第四节 同中垂 构全等解题方法技巧有三角形中线时，可过中线所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形如图，AN 为的中线，若作BD AN ⊥的延长线于D ，作CE AN ⊥于E,则有BDN CEN ≅.例 已知：如图，在ABC 中，90,,BAC AB AC AD CD AF BD ∠=︒==⊥，于E 交BC 于F.求证：BF=2FC.练习 1.已知：如图，在ABC 中，BD=DC,BF 交AD,AC 于E,F,若AF=EF,求证：BE=AC.2.已知：如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，直线EG AD ⊥于点F,且交AB 于E,交AC 于G.求证：2+AB AC AD AE AG AF=第五节 两中点 中位线解题方法技巧在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。
通常有以下几种情况时作中位线。
1. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线如图，D,E,F 分别是ABC 的三边中点，连接DE,EF,FD ，利用三角形中位线性质得线段之间大小关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。
2. 有一边中点，并且已知或求证中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，构造三角形的中位线。
如图，在ABC 中，若2,B C AD BC ∠=∠⊥,E 为BC 边的中点，则取AC 边中点F,连接EF,DF,利用三角形中位线得到平行关系。
3. 连接圆心与弦的中点，构造三角形的中位线如图，C 为O 中弦AB 的中点，作直径AD ，连接OC,DB,则OC//BD 且OC=12BD ，从而为证题创造平行条件与线段的倍，半关系。
4. 有一腰中点，可另取另一腰中点，利用梯形中位线有关性质证明如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,F 为CD 的中点，取AB 的中点E,连接EF ，则EF//AD//BC,EF=12(AD+BC) 例1 已知：如图，E,F 分别为四边形ABCD 对角线的中点，AB>CD.求证：EF>12(AB-CD)例2 如图，在四边形ABCD 中，E,F 并分别是AD,BC 的中点，G,H 分别是对角线BD,AC 的中点。
求证：EF 与GH 互相平分。
例3 如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD,另一组对边AD ≠BC.分别取AD,BC 的中点M,N,连接MN ，则AB 与MN 的关系是（ ）A.AB=MNB.AB>MNC.AB<MND.上述三种情况都有可能练习 1.如图，四边形ABCD 为平行四边形，AD=a ，BE//AC,DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点。
（1） 求证：DF=FE(2)若AC=2CF ，60,ADC AC DC ∠=︒⊥，求BE 的长。
2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD,E,F 分别为BC,AD 的中点，BA,CD 的延长线分别交EF 的延长线于M,N.求证：BME CNE ∠=.3.已知：如图，五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠，F 为CD 的中点。
求证：BF=EF 。
第六节 腰中平 造全等解题方法技巧过梯形一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形的问题来解决 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如过E 作GF//AB 交BC 于F ，交AD 的延长线于G 。
////,AD BC ABFG AD BC GDC DCBDE EC DEG CEF DEG CEF DG CF∴∴∠=∠=∠=∠∴≅∴=四边形为平行四边形。
这样就把梯形ABCD 割补成平行四边形了，可利用平行四边形的性质证题。
例 已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,EF 为中位线。
求证：14S AEF S=梯形ABCD练习 1.已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,E 为DC 的中点求证：S ABE =12S 梯形ABCD2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,9045,14B C AD BC ∠=︒∠=︒==，，，E 为AB 的中点，EF//DC 交BC 于点F.求EF 的长。
第七节延顶中 有全等解题方法技巧 在梯形中，有一腰中点时，连接一顶点与此中点并延长与一底的延长线相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如连接AE ，并延长与BC 的延长线交于点N.//,,,AD BC N DANDE CE AED NECADE NCE AE EN AD CN∴∠=∠=∠=∠∴≅∴==这样相当于把梯形ABCD 割补成ABN ，可利用三角形的有关定理证题。
例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>DC,M 为AD 的中点，且BM CM ⊥。
求证：BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠且AB+CD=BC练习 已知：梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD+BC,M 为CD 的中点求证：BM 平分CBA ∠第八节 底中现 平腰见解题方法技巧有底的中点时，常过此点引两腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AD 的中点，如过E 作EF//AB,EN//CD,分别交BC 于F,N,则得到,ABFE ENCD EFN 和,这样可以利用平行四边形和三角形的有关性质证题。
例 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>CD,90A B ∠+∠=︒,E,F 分别是AB,CD 的中点 求证：1()2EF AB CD =-练习 1.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是AD,BC 的中点，且()12EF BC AD =-.求.B C ∠+∠2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,AB=DC,P,Q 分别为AD,BC 的中点。
求证：PQ BC ⊥第九节 对角线 顶中线解题方法技巧在梯形中，有对角线中点时，常把一顶点和对角线中点连接，并延长与一底相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AC 的中点，如连接DE,并延长交BC 于N.//,,AD BC DAC BCAAED NEC AE EC AED CEN DE NE AD CN∴∠=∠∠=∠=∴≅∴==例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,E,F 分别是AC,BD 的中点。
