北邮函授考试离散数学期末考试复习题

..一、填空2．A ，B ，C 表示三个会合，文图中暗影部分的会合表达式为 (B⊕C)-AA C4．公式(PR)(SR)P的主合取范式为(PSR) ( PS R)。

5．若解说I 的论域D 仅包括一个元素，则 xP(x) xP(x) 在I 下真值为 1 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图以下，则 R^2={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)}。

//备注： 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1R 1 0 1 0 R 20 0 0 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 07．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图以下，则R={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)}U{(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)}。

备注：偏序知足自反性，反对称性，传达性8．图 的补图为 。

//补图:给定一个图G,又G 中全部结点和全部能使 G 成为完整图的增添边构成的图,成为补图. 自补图:一个图假如同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d}，A 上二元运算以下：* a b c da abcd b b c d a ccdabd d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为a,b,c,d，它们的逆元分别为a,b,c,d 。

//备注：二元运算为 x*y=max{x,y}，x,y A 。

10．以下图所示的偏序集中，是格的为 c。

//（注：什么是格？即随意两个元素有最小上界 和最大 下界的偏序）二、选择题 1、以下是真命题的有（ C 、D ）A ．{a} {{a}}；B ．{{}} { ,{}}；C ．{{}, }； D ．{} {{ }}。

2、以下会合中相等的有（ B 、C ）A ．{4，3} ；B ．{ ，3，4}；C ．{4， ，3，3}；D ．{3，4}。

;....3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。

广东技术师范学院模拟试题科 目：离散数学考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级： 姓名： 学号：一．填空题（每小题2分，共10分）1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是__ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y) __________。

2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =__{2}__，=A _{4,5}____，=B A __ {1,3,4,5} _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==，则=-)()(B A ρρ__ {{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} __________，=-)()(A B ρρ_____Φ_______。

4. 在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有 _1___ 有逆元。

5．如果连通平面图G 有n 个顶点，e 条边，则G 有___e+2-n ____个面。

二．选择题（每小题2分，共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 3. 在图>=<E V G ,中,结点总度数与边数的关系是( ) (A)E v i 2)deg(= (B) E v i =)deg((C)∑∈=Vv iE v 2)deg((D) ∑∈=Vv iE v )deg(4. 设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( ) (A))1(-n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(-n n5. 无向图G 是欧拉图,当且仅当( )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。

离散数学期末考试题及答案1.选择题（每题3分，共30分）1. 下列命题中，属于复合命题的是：A. 3是一个奇数，且2是一个偶数B. 如果2是一个素数，那么4也是一个素数C. 不是所有奇数都是素数D. 存在一个整数x，使得x>5且x是一个偶数答案：D2. 已知命题p：草地是绿的，命题q：天空是蓝的。

下列表述可以表示p ∧ ¬q 的是：A. 草地是绿的，天空是蓝的B. 草地不是绿的，天空是蓝的C. 草地是绿的，天空不是蓝的D. 草地不是绿的，天空不是蓝的答案：B3. 设命题p表示“这个数是偶数”，q表示“这个数大于10”。

那么“这个数既是偶数又大于10”可以表示为：A. p ∧ qB. p ∨ qC. ¬p ∧ qD. ¬p ∨ q答案：A4. 下列以下列集合的方式描述，其中哪个是空集∅：A. {x | 0 ≤ x ≤ 1}B. {x | x是一个自然数，x > 10}C. {x | x是一个正偶数，x < 2}D. {x | x是一个负整数，x < -1}答案：C5. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，C = {a, c, e}。

则(A ∪ B) ∩ C等于：A. {a, b, c, d, e}B. {a, c, e}C. {c}D. 空集∅答案：B6. 假设U是全集，A、B、C是U的子集。

则(A ∪ B) ∩ C 的补集是：A. A ∩ B ∩ C的补集B. (A ∪ B) ∩ C的补集C. A ∪ (B ∩ C)的补集D. (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)的补集答案：D7. 若关系R为集合A到集合B的一种映射，且|A| = 7，|B| = 4，则R包含的有序对数目为：A. 4B. 7C. 11D. 28答案：D8. 设A={1,2,3}，B={4,5,6}，则从A到B的映射总数为：A. 3B. 9C. 6D. 18答案：C9. 设A={a,b,c,d,e}，则集合A的幂集的元素个数是：A. 2B. 5C. 10D. 32答案：D10. 若f：A→B为满射且g：B→C为单射，则(g ∘ f)：A→C为：A. 双射B. 满射C. 单射D. 非单射且非满射答案：A2.简答题（每题10分，共20分）1. 请简要解释什么是关系R的自反性、对称性和传递性。

北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA =ο （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .~1~2ρρο7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆ο8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρο则B ___________________.填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

答案：R(x,y) 21．图论的创始人是谁？
答案：瑞士数学家 L.Euler(欧拉) 22．两个图同构是指其中一个图近经过哪些变换可以变为另一个图？
答案：1.挪动点的位置； 2.伸缩边的长短。
23. 什么是孤立点和悬挂点？ 答案：孤立点：在任意图 G(V,E)中，度数为 0 的结点。
悬挂点：在任意图 G(V,E)中，度数为 1 的结点。 24.域和环相比增加了哪些要求？ 答案：域：设(F,+,•)是环，若(F-{0},•)是阿贝尔群，则称(F,+,•)是域。 25.阿贝尔群具有哪些特点？比普通群增加了什么？ 答案：阿贝尔群：设(G,•)是群，若其运算•是可交换的，则称(G,•)为阿贝尔群。 二、填空题 1．鸽笼原理是指什么？ 答：n+1 只或更多的鸽子飞进 n 个笼子时，一定有一个笼子里面至少有 2 只鸽子。 2．哪位挪威数学家和法国数学家先后为群的研究做出了杰出的贡献？ 答案：挪威数学家 Niels Henrik Abel （尼尔斯· 亨利克·阿贝尔）和法国数学家 Évariste Galois（埃瓦里斯特•伽罗瓦） 为群的研究做出了杰出的贡献。 3．单独一个节点 v 构成的序列 v 到 v 的长度为多少的路？叫做什么？ 答案：单独一个节点 v 构成的序列 v 到 v 的长度为 0 的路叫做平凡路 4．命题公式(p→q)→r 的析取范式与合取范式各为什么？
7．设 A, 是一个偏序集，如果 A 中任意两个元素都有上确界和下确界，则称 A, 是一个格。 答：正确。也称(A, )为偏序格。
8．命题公式 P Q 的逆反式是 Q P 。
答：正确。左边= P Q P Q Q P Q P =右边
9．图
是弱连通图。
答：正确。该图为强连通图且属于弱连通图。

离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。

2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____；=A _____；=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==；则=-)()(B A ρρ__ __________；=-)()(A B ρρ_____ ______。

二．选择题（每小题2分；共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=；A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 三．计算题（共43分）1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。

（6分）2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ；求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵；并画出R ；)(),(),(R t R s R r 的关系图。

（10分）5. 试判断),(≤z 是否为格？说明理由。

（5分）（注：什么是格？Z 是整数；格：任两个元素；有最小上界和最大下界的偏序）四．证明题（共37分）1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。

（10分）2. 设R 是实数集；b a b a f R R R f +=→⨯),(,:；ab b a g R R R g =→⨯),(,:。

求证：g f 和都是满射；但不是单射。

（10分）一；1； _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2； {2} {4；5} {1；3；4；5}3； {{c}；{a ；c}；{b ；c}；{a ；b ；c}} Φ_ 二；B D三；解：主合取方式：p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式：p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四；1；证明：编号 公式 依据 （1） （¬B∨C ）∧¬C 前提 （2） ¬B∨C ；¬C （1） （3） ¬B （2） （4） A →B （3） （5） ¬A （3）（4） （6） ¬（¬A∧D ） 前提 （7） A ∨¬D （6） （8）¬D （5）（6）2；证明：要证f 是满射；即∀y ∈R ；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使f （x1；x2）=y ；而f （x1；x2）=x1+x2；可取x1=0；x2=y ；即证得；再证g 是满射；即∀y ∈R ；；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使g （x1；x2）=y ；而g （x1；x2）=x1x2；可取x1=1；x2=y ；即证得；最后证f 不是单射；f （x1；x2）=f （x2；x1）取x1≠x2；即证得；同理：g （x1；x2）=g （x2；x1）；取x1≠x2；即证得。

离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x)证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))x A(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))（P∧(Q∨R)）∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D，(C∨D)E，E(A∧B)，(A∧B)(R∨S)R∨S 证明：(1) (C∨D) E P(2) E(A∧B) P(3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2)，I(4) (A∧B)(R∨S) P(5) (C∨D)(R∨S) T(3)(4)，I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系？A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案：D2. 有限自动机的英文缩写是什么？A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案：A3. 布尔代数中，德摩根定律是指什么？A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案：B4. 在命题逻辑中，以下哪个符号表示蕴含？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C5. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案：A6. 以下哪个选项是正确的递归定义？A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案：A7. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 有向图的边有方向，无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向，无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交，无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环，无向图不可以有环答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个公式是矛盾的？A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案：A9. 以下哪个是图的同义术语？A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案：A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的？A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，_________ 表示一个命题是真的，而 _________ 表示一个命题是假的。

离散数学期末试卷一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个是真值？–[ ] A. $P \\vee \\sim P$–[ ] B. $P \\wedge \\sim P$–[ ] C. $P \\rightarrow \\sim P$–[ ] D. $P \\leftrightarrow \\sim P$2.下列哪个式子是永真式？–[ ] A. $(P \\rightarrow Q) \\wedge (Q \\rightarrow P)$–[ ] B. $(P \\rightarrow Q) \\vee (Q\\rightarrow P)$–[ ] C. $(P \\wedge \\sim P) \\vee (Q \\wedge \\sim Q)$–[ ] D. $(P \\rightarrow Q) \\rightarrow (Q \\rightarrow P)$3.下列集合中的哪个是无穷集合？–[ ] A. $\\{1, 2, 3\\}$–[ ] B. $\\{1, 2, 3, ...\\}$–[ ] C. $\\{\\emptyset\\}$–[ ] D. $\\{\\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}\\}$4.对于集合$A = \\{1, 2, 3\\}$和$B = \\{3, 4, 5\\}$，下面哪个选项是$A \\cap B$？–[ ] A. $\\{1, 2\\}$–[ ] B. $\\{2, 4\\}$–[ ] C. $\\{3\\}$–[ ] D. $\\{1, 3\\}$5.对于集合$A = \\{1, 2, 3\\}$和$B = \\{3, 4, 5\\}$，下面哪个选项是$A \\cup B$？–[ ] A. $\\{1, 2, 4, 5\\}$–[ ] B. $\\{\\emptyset\\}$–[ ] C. $\\{1, 2, 3, 4, 5\\}$–[ ] D. $\\{1, 3\\}$6.哪个选项是集合$A = \\{2, 4, 6, 8, 10\\}$的幂集？–[ ] A. $\\{2, 4, 6, 8, 10\\}$–[ ] B. $\\{2, 4, 6, 8, 10, \\{\\}\\}$–[ ] C. $\\{\\{2\\}, \\{4\\}, \\{6\\}, \\{8\\},\\{10\\}, \\{2, 4\\}, \\{2, 6\\}, \\{2, 8\\}, \\{2, 10\\}, \\{4, 6\\}, \\{4, 8\\}, \\{4, 10\\}, \\{6, 8\\}, \\{6,10\\}, \\{8, 10\\}, \\{2, 4, 6\\}, \\{2, 4, 8\\}, \\{2, 4, 10\\}, \\{2, 6, 8\\}, \\{2, 6, 10\\}, \\{2, 8, 10\\}, \\{4, 6, 8\\}, \\{4, 6, 10\\}, \\{4, 8, 10\\}, \\{6, 8, 10\\},\\{2, 4, 6, 8\\}, \\{2, 4, 6, 10\\}, \\{2, 4, 8, 10\\}, \\{2, 6, 8, 10\\}, \\{4, 6, 8, 10\\}, \\{2, 4, 6, 8, 10\\}\\}$–[ ] D. $\\{\\{\\}, \\{2\\}, \\{4\\}, \\{6\\},\\{8\\}, \\{10\\}, \\{2, 4\\}, \\{2, 6\\}, \\{2, 8\\},\\{2, 10\\}, \\{4, 6\\}, \\{4, 8\\}, \\{4, 10\\}, \\{6,8\\}, \\{6, 10\\}, \\{8, 10\\}, \\{2, 4, 6\\}, \\{2, 4,8\\}, \\{2, 4, 10\\}, \\{2, 6, 8\\}, \\{2, 6, 10\\}, \\{2, 8, 10\\}, \\{4, 6, 8\\}, \\{4, 6, 10\\}, \\{4, 8, 10\\},\\{6, 8, 10\\}, \\{2, 4, 6, 8\\}, \\{2, 4, 6, 10\\}, \\{2, 4, 8, 10\\}, \\{2, 6, 8, 10\\}, \\{4, 6, 8, 10\\}, \\{2, 4, 6, 8, 10\\}\\}$7.下列哪个命题是正确的？–[ ] A. 如果x>10，则x>5–[ ] B. 如果x>5，则x>10–[ ] C. 如果x>10，则x<5–[ ] D. 如果x<5，则x>108.哪个选项是命题$P: (P \\rightarrow Q) \\wedgeP$的否定？–[ ] A. $\\sim P \\rightarrow (\\sim Q \\vee \\sim P)$–[ ] B. $(P \\rightarrow \\sim Q) \\vee P$–[ ] C. $(P \\rightarrow Q) \\wedge \\sim P$–[ ] D. $Q \\rightarrow P$9.对于命题$P: (x > 5) \\wedge (y < 10)$，下列哪个选项是x与$Q: (x < 2) \\vee (y > 8)$的合取式？–[ ] A. $(x > 5) \\wedge (y < 10) \\vee (x < 2) \\vee (y > 8)$–[ ] B. $(x > 5) \\vee (y < 10) \\wedge (x < 2) \\vee (y > 8)$–[ ] C. $(x > 5) \\vee (y < 10) \\vee (x < 2) \\wedge (y > 8)$–[ ] D. $(x > 5) \\vee (x < 2) \\vee (y < 10) \\vee (y > 8)$10.下列哪个命题是等价的？–[ ] A. $P \\rightarrow Q$–[ ] B. $\\sim P \\vee Q$–[ ] C. $\\sim Q \\rightarrow \\sim P$–[ ] D. $P \\wedge \\sim Q$二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1.集合$\\{x | x > 0\\}$的基数是\\\\\\。

试卷一答案： 一、填空 20% （每小题 2 分） 1、{0，1，2，3， 4，6}； 2、( B C ) A ；3、1； 4、(P S R ) (P S R ) ； 5、1；6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；7、{<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} IA ；8、
图，则
e
k ( v 2) k 2 ， 由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。 （11 分）
四、逻辑推演 16%
用 CP 规则证明下题（每小题 8 分） 1、 A B C D, D E F A F 2、 x ( P ( x ) Q ( x )) xP ( x ) xQ ( x )
R { a, b , c, d | a, b S S , c, d S S , a d b c} 则由 R 产 生
的 S S 上一个划分共有（ ）个分块。
A．4；
B．5；
C．6；
D．9 。
5、设 S { 1, 2, 3 } ，S 上关系 R 的关系图为
M t ( R ) M R M R 2 M R3 M R 4
1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > ,

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。

离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 乘法答案：D2. 命题逻辑中，以下哪个命题不是基本的逻辑连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 等于（=）答案：D3. 在图论中，一个图的度数之和等于边数的几倍？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 以下哪个是布尔代数的基本定理？A. 德摩根定律B. 布尔代数的分配律C. 布尔代数的结合律D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合答案：C6. 在关系数据库中，以下哪个操作不是基本的数据库操作？A. 选择B. 投影C. 连接D. 排序答案：D7. 以下哪个是有限自动机的组成部分？A. 状态B. 转移C. 输入符号D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p → q) ∧ (q → p)D. (p → q) ∧ (¬p → ¬q)答案：D9. 以下哪个是归纳法证明的基本步骤？A. 基础步骤B. 归纳步骤C. 反证法D. 所有选项都是答案：B10. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索（DFS）B. 广度优先搜索（BFS）C. Dijkstra算法D. 所有选项都是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的德摩根定律。

答案：德摩根定律是命题逻辑中描述否定命题的两个重要定律。

它们分别是：- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q2. 解释什么是图的连通分量，并给出一个例子。

答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。

冑散数学试题(B卷篆亲U一、证明题(10分)1)(「P/\ J Q/\R) ) V (Q/\R) V (PAR)oRiW：左端n(-P/\-QAR) V((QVP) AR)<^>((_PA-fi)AR))V( (QVP) AR)o(-1(PVQ)AR)V((QVP)AR)o(-WQ)V(QVP))ARoJGVQ)\/(P\/Q))ARoTAR(l^)62)3x (A(X)T B(X))O V X A(X)^3X B(X):3X(A(X)T B(X))U3X(-A(X) VB(x))<^x-A(x) V2xB(x)<^=>-iVxA(x) \/3}£(x)oVxA (x)—>3xB (x)二、求命题公式(PV(QAR))^(PAQAR)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明：(PV(QAR))^(PAQAR)<»-(PV(QAR))V(PAQAR))O (^PA(-nQV^R)) V(PAQAR)o JP/\「Q)v (-PA^R)) V (PAQAR)o(「P/\「QAR)v (-nPA-QA^R) V (-nP AQ A-R)) V (-.PA-nQ A^R)) V (PAQAR)<=>moVmi VmzVmT^M O VM^VM B VM G三、推理证明题(10分)1) CVD, (CVD)T「E, 「E T(A/\「B), (AA-nB)-^(RVS)=>RVS证明：(1) (CVD)T「E P(2)「E T(A/UB) P(3) (CVD)^(AA-nB) T(l)(2), I(4) (AA^B)^(RVS) p(5) (CVD)T(RVS) T⑶⑷，I(6) CVD p(7) RVS T(5), I2) Vx(P(x)TQ(y) AR(x)), 3xP (x) =>Q (y) A 3x (P (x) A R (x))证明(l)3xP(x) P(2)P(a)(3)Vx(P(x)TQ(y)AR(x))(4)P(a)^Q(y) AR(a)(5)Q(y) AR(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a) AR(a)(9)3x(P(x)AR(x))(10)Q(y) A3x(P(x) AR(x)) T ⑴,ESPT(3), UST⑵⑷，IT(5), IT(5), IT(2) (7), IT(8), EGT(6) (9), I四、某班有25需学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学复习注意事项：1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。

2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结.把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。

检验一下主要内容的掌握情况。

3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做,检验一下第一遍与第二遍复习情况,要认真理解，注意做题思路与方法。

离散数学综合练习题一、选择题1．下列句子中，（）是命题。

A．2是常数。

B．这朵花多好看呀！C．请把门关上！D．下午有会吗?2．令p: 今天下雪了，q：路滑，r：他迟到了。

则命题“下雪路滑,他迟到了”可符号化为（）。

A. p q r∨→∧→B。

p q rC。

p q r∨↔∧∧ D. p q r3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑"可符号化为（)。

A.p q∧⌝ B.p q∧C。

p q→⌝∨⌝ D. p q4．设()Q x：x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。

P x:x是鸟，()A. ()(()())Q x⌝∀∧())x P x⌝∀→B。

()(()x P x Q xC。

()(()())⌝∃∧())x P xQ x⌝∃→ D. ()(()x P x Q x5.设()L x y：x大于等于y；命题“所有整数的绝对值大于等f x:x的绝对值,(,)P x：x是整数，()于0”可符号化为（）。

A。

(()((),0))x P x L f x∀→∀∧B。

(()((),0))x P x L f xC. ()((),0)∀→xP x L f xxP x L f x∀∧D。

()((),0)6。

设()G x：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（)。

F x:x是人，()A．(()())⌝∃→⌝x F x G x∀∧B．(()())x F x G xC．(()())⌝∃∧⌝x F x G x⌝∃∧D．(()())x F x G x7.下列命题公式不是永真式的是（）。

离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，表示两个集合A和B的并集的符号是：A. ∩B. ∪C. ⊂D. ⊆2. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题，当P为真，Q为假时？A. ¬PB. P ∧ QC. P ∨ QD. P → Q3. 如果函数f: A → B是一个单射，那么它不能是：A. 满射B. 双射C. 恒等函数D. 逆函数4. 在图论中，一个图G是连通的，当且仅当：A. G是无向图B. G是简单图C. G是完全图D. 对于任意两个顶点，都存在一条路径5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合二、简答题（每题10分，共30分）6. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。

7. 描述什么是有向图和无向图的区别。

8. 什么是等价关系，它有哪些性质？三、计算题（每题15分，共30分）9. 给定集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b, c}，定义函数f: A → B，其中f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = a。

判断f是否是单射、满射或双射，并给出理由。

10. 计算以下命题逻辑表达式的真值表：(P ∧ Q) → (¬P ∨ R)，其中P、Q、R是命题变量。

四、证明题（每题20分，共20分）11. 证明：如果一个图G是连通的，那么它的任意子图也是连通的。

答案一、选择题1. B2. C3. A4. D5. D二、简答题6. 二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的元素相关联。

例如，如果A是人名的集合，B是年龄的集合，关系R可以是“比...年长”，那么(Alice, 30) ∈ R表示Alice比30岁年长。

7. 有向图由顶点和有向边组成，每条边都有一个方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。

无向图由顶点和无向边组成，边没有方向。

离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集. （错）（2） {0}是空集. （错）（3）{a}e {{a},a}（对）（4）设集合A = {1,2,{1,2}},则{{1,2}}匸2".（对）（5）如果Au B f则A或agB.（错）解Au B则= 即ae A且awB,所以A且aG B（6）如果AU B = B,则AuB. （对）（7）设集合A = {a]9a2,a3} f B = {b},b2.b3],贝!）AxB = {< a},h x >.< a2.b2 >.< a3.h3 >}（错）（8 ）设集合A = {0,1},贝9 p = {< ^0 >,< ^,1 >,< {0},0 >,< {0},l >}是2A至U A 的关系. （对）解2—{0,{0},{1},小, 2A X A={< 0,0 >,< 0,1 >,<{0},0 >,<{0},1 >,<{1},0 >,<{1},1 >,< A,0 >,< A,1 >}（9）关系的复合运算满足交换律. （错）（10）pop = p是集合A上的关系p具有传递性的充分必要条件.（错）（11）设Q是集合A上的传递关系，则0也是人上的传递关系. （对）（12）集合A上的对称关系必不是反对称的.（错）（13）设卩,/?2为集合A上的等价关系，则p、cp?也是集合A上的等价关系（对）（14）设。

是集合A上的等价关系，则当<a,b>w p时，[a]p =[h]p（对）（15）设卩，°2为集合人上的等价关系，则Q】°Q2=Q I°Q2（错）二、单项选择题（1）设7?为实数集合，下列集合中哪一个不是空集（A ）A. [x\x2 - I = 0,X XG R]B. {x|x2 + 9 = 0,M XG R]C. [x\x =兀 +1,且兀w R}D. [r| x2 = R](2)设A,B为集合，若A\B =(f),则一定有A. B =(/)B> B ^(/)C・ A c B D. Aq B(3)下列各式中不正确的是(C )A. 0 匸0B. 0w{©}C. 0 u 0D. 0w{0,{0}}(4)设A = {a y{a}},则下列各式中错误的是(B )A. {a}e 2AB. {a}^2AC. {{a}}e 2AD. {{«}}c2A(5)设A = {1,2}, B = {a, /?, c}, C = {c, d}f则Ax(BAC)为(B )A.{< c,l >, < 2, c >}B. {< l,c >, < 2,c >}C. {< 1, c >, v c2 >}D. {< c,l >, < c,2 >}(6)设A 二{0,b}, B = {1, ft, 3}，则AU B 的恒等关系为(A )A.{< 0,0 >, < 1,1 >,< b.b >, < 3,3 >}B. {< 0,0 >, < 1,1 >,< 3,3 >}C. {< 0,0 >,</?,/?>,< 3,3 >}D. {< 0,1 >, < l.b >,</?,3 >, < 3,0 >}(7)设A二{a,b,c}上的二元关系如下，则具有传递性的为(D )A.p、= {< a.c >, < c.a >,< a.b >,<b.a >}B.p2二{v Q,C >, V C,d >}C.p y- {< a.b >, < c,c>,< b.a >,< b.c >}D.p4={< a, a >}(8)设。