高中数学大一轮复习讲义23函数的奇偶性与周期性

2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析 由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3.答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B.答案 B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f (|x |)为偶函数；②f (x )＋f (－x )为非奇非偶函数；③f (x )－f (－x )为奇函数；④[f (x )]2为偶函数．其中正确判断的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 对于①，用－x 代替x ，得f (|－x |)＝f (|x |)，所以①正确；对于②，用－x 代替x ，得f (－x )＋f (x )＝f (x )＋f (－x )，所以②错误；对于③，用－x 代替x ，得f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]，所以③正确；易知④错误． 答案 B4．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知 f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3. 答案：A6．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110解析] 由f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )知该函数为周期函数，周期为6，所以f (107.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6×18－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又f (x )为偶函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－1－10＝110. 答案：B7． 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2009)＋f (2011)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算解析 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4， ∴f (2009)＝f (1)，f (2011)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2009)＋f (2011)＝0. 答案：C 二、填空题8．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析 ∵f (x ＋5)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故f (3)－f (4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案 －19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析 由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10． 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案 －811．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 013)＝________.解析 法一 当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－14；当x ＝2，y ＝1时，f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝14；当x ＝3，y＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－14；….∴f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 013)＝f (3＋335×6)＝f (3)＝－12.法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ，∴f (2 013)＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×2 013＝－12.答案 －1212．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④ 三、解答题13．对任意实数x ，给定区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z)，设函数f (x )表示实数x 与x 的给定区间内整数之差的绝对值．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，求出函数f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z)时，写出用绝对值符号表示的f (x )的解析式，并说明理由；(3)判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f (x )＝|x |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z)时，k 为给定区间内的整数，故f (x )＝|x －k |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z)．(3)对任意x ∈R ，函数f (x )都存在，且存在k ∈Z ，满足k －12≤x ≤k ＋12，f (x )＝|x －k |，由k －12≤x ≤k ＋12，得－k －12≤－x ≤－k ＋12，此时－k 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k －12，－k ＋12内的整数，因此f (－x )＝|－x －(－k )|＝|－x ＋k |＝|x －k |＝f (x )，即函数f (x )为偶函数． 14．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明 令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ， 则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数．(2)解 任取x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，所以f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.所以f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.15.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1，(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．解析 (1)证明 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数． (2) 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x－1，x ∈[1,2]．(3) ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1又f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.16.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间． 解析 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)， 单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．。