2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
1．两个重要向量
直线的
方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方
向向量有无数个
平面的
法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面
α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量
2.空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥αn⊥m⇔m·n＝0
l⊥αn∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m
α∥βn∥m⇔n＝λm
α⊥βn⊥m⇔n·m＝0
概念方法微思考
1．直线的方向向量如何确定？
提示l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB
→
及与AB
→
平行的非零向量均为直线l的方向向量．
2．如何确定平面的法向量？
提示设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪
⎨
⎪⎧n·a＝0，
n·b＝0.
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × )
(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 题组二 教材改编
2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2，2，5)，当v ＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β
解析 当v ＝(3，－2，2)时，
u ·v ＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0⇒α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ⇒α∥β.
3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．
答案 垂直
解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→
所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫1
2，0，1， AM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，－12，1＝0， ∴ON 与AM 垂直． 题组三 易错自纠
4．直线l 的方向向量a ＝(1，－3，5)，平面α的法向量n ＝(－1，3，－5)，则有( ) A ．l ∥α
B ．l ⊥α
