放飞思维,提升能力—谈圆锥曲线的复习(浙江省东阳中学 楼方红)

论圆锥曲线的解题思路与技巧作者：陈天宇来源：《新教育时代·学生版》2018年第34期摘要：在高中数学学习过程中，圆锥曲线方面的内容十分重要，是基础知识，也是高考必考内容之一。

我们需要对其进行熟练掌握，深刻理解。

圆锥曲线将代数与几何进行完美融合，既有数的计算，又有形的美感，充分体现数形结合的思想，能很好地培养我们的数学思维能力和计算能力。

在解决方案上也十分丰富，各种解题思路在解决问题的过程中能够不断予以扩充。

对于圆锥曲线与平面向量、不等式、导数等知识相互融合的问题，往往题目灵活多变，这能够进一步考查同学们的解题思维，体现同学们在数学学习过程中对于数学的综合应用能力。

关键词：圆锥曲线解题思路技巧一、圆锥曲线的的重要价值圆锥曲线是高中平面解析几何的核心内容。

圆锥曲线的知识内容多，题目计算量大，对于同学们的解题能力的要求也非常高。

在高考中关于圆锥曲线方面的考点需要同学们在解题技能、知识及思维方面进行灵活运用。

其实，只要我们找出其中的内在规律，就会觉得圆锥曲线方面的题并不是十分的困难，这需要我们将数形结合的理念进行灵活运用，充分的运用方程的思想通过点差法、待定系数法等一系列方法进行方程式的求解，最终达到解决问题的目的。

圆锥曲线和直线相结合的问题是解析几何中常考的经典问题，也是近些年来高考的一个热点，在涉及这类问题时，需要结合直线与圆锥曲线的相关基本知识进行综合分析，并运用方程的思想、韦达定理等知识进行解答。

通过这些内容的考查，能够进一步提高同学们的数学解题能力。

二、圆锥曲线的常见题型及解题思路与技巧1.常见题型求圆锥曲线的方程、离心率、参数的范围、定点定值问题、面积与最值、中点弦问题、切线问题、轨迹方程、存在性问题、对称问题等等。

2.解题思路解决圆锥曲线的方程问题，可紧扣圆锥曲线的定义结合待定系数法去求；求离心率、参数的范围可利用方程的思想结合圆锥曲线的几何性质找出a，b，c的关系可得；直线过定点的问题，可采用赋值法、点斜式、解方程组法求解；面积与最值问题，常用到点到直线的距离公式、直线上两点间距离公式、韦达定理及重要不等式；中点弦问题，常用到点差法；切线问题，可适当设定直线方程形式（注意斜率不存在的情况）用待定系数法求解或利用导数去求解；轨迹方程的求解有直接法、定义法、几何法、相关点法、交轨法、参数法等等；存在性问题，可先特殊再一般；对称问题常用到点差法、△法、中点坐标公式、斜率之间的关系等。

方法 ①通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其 步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用 待定系数法设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有 实根，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、 直线、曲线或参数)不存在； ②反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
(2018届高三·山西四校联考)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的离心
率为
6 3
，以原点O为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆与直
线2x－ 2y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
解：由e＝ 36，得ac＝ 36，即c＝ 36a，①
由题意得，a＝
|6| 22＋－
22 ＝
这里提供一些探究性问题，供选用．
存在性问题
[例1]
(2017·广西陆川县模拟)已知椭圆D：x2＋
y2 b2
＝1的
左焦点为F，其左，右顶点为A，C，椭圆与y轴正半轴的交
点为B，△FBC的外接圆的圆心P(m，n)在直线x＋y＝0上．
(1)求椭圆D的方程；
(2)已知直线l：x＝－ 2 ，N是椭圆D上的动点，MN⊥
所以在x轴上存在定点E
73，0
，使得
―→ EA
2＋
―→ EA
―→ ·AB
为定值，
且定值为－59.
焦点弦及相关问题的探索 [例2] 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与 抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [思考问题] 本题有哪些解决方法？哪些是通法，哪些 可以解决类似的椭圆问题？ 提示：1.求交点坐标求弦长； 2．根据根与系数的关系求弦长； 3．根据求根公式求弦长； 4．利用抛物线定义求弦长； 5．数形结合等．

2019高考数学复习方法大全--圆锥曲线圆锥曲线，在高考中一直作为压轴大题的形式出现，其实圆锥曲线很简单，那么从哪些地方下手才能轻松学好圆锥曲线呢？本期超级学团的学霸老师的主题就是：圆锥曲线。

圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它是从圆锥上截出来的。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到了圆；把平面渐渐倾斜，得到了椭圆；当平面倾斜到和且仅和圆锥的一条母线平行时，得到了抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边，以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线。

在高中的学习中，平面解析几何研究的两个主要问题，一个是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；而另一个就是通过方程，研究平面曲线的性质．那么接下来，我们就就着这两个问题来说啦~1、曲线与方程首先第一个问题，我们想到的就是曲线与方程的这部分内容了。

在学习圆锥曲线这部分内容之前，我们最早接触到的就是曲线与方程这部分内容。

在这部分呢，我们要注意到的是几种常见求轨迹方程的方法。

在这里呢，简单的说一下，一共有四种方法：1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．2、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．3、相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．4、待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求(二)椭圆，双曲线，抛物线这部分就可以研究第二个问题了呢。

在椭圆，双曲线以及抛物线里，最最重要的就是他们的标准方程，因为我们可以从它们的标准方程中看到许多东西，包括顶点，焦点，图形的画法等等等等，所以这个呢是要求我们必须要会的。

课时作业(五十二)A [第52讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0经过的定点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．43．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(1，2) B ．(0，0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，4)4．已知椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标x 0的取值范围是________．能力提升5．若直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a ＝1有且只有一公共点，则( )A ．a ∈(0，1]，k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12B ．a ∈(0，1)，k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12C ．a ∈(0，1]，k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12D ．a ∈(0，1)，k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12 6．[2012·德化一中模拟] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，5)7．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C ．(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，12 8．过点P (－3，0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )A.916B.34C.169D ．16 9．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．4810．若A 为抛物线y ＝14x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B ，C 两点，则AB →·AC→等于________．11．[2012·江西六校联考] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．12．[2012·咸阳三模] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O ，F ，G ，且直线x ＝a 2c 与x 轴相交于点H ，则|FG ||OH |最大时椭圆的离心率为________．13．已知曲线x 2a －y 2b＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．14．(10分)[2012·西安质检] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P (4，0)是x 轴上一点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q .15．(13分)已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．难点突破16．(12分)[2012·佛山二模] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1(－3，0)，而且过点H ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线P A 1，P A 2分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．图K52－1课时作业(五十二)B [第52讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两个焦点的距离之积是m ，则m 的最大值是( )A ．25B ．34C ．9D ．162．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)3．在椭圆x 216＋y 24＝1中，以点(1，1)为中点的弦的斜率是( )A ．4B ．－4 C.14 D ．－144．[2012·济宁模拟] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交于不同两点，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)能力提升5．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞) B ．(4，＋∞) 6．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0，2]D ．(0，2)7．[2012·哈尔滨六中三模] 过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23 C ．1 D.438．[2012·黄冈模拟] 若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 9．已知双曲线x 29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58 10．[2012·日照二模] 过双曲线的左焦点F 1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C ，使AC →·BC →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．11．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．12．[2012·镇海模拟] 若点P 在曲线C 1：y 2＝8x 上，点Q 在曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则|PO ||PQ |的最大值是________．13．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A 点在x 轴上方，则|F A |的取值范围是________．14．(10分)[2012·北京西城区二模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．15．(13分)[2012·东北四校一模] 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t ，0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．难点突破 16．(12分)[2012·北京朝阳区二模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1，0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的坐标的取值范围．课时作业(五十二)A【基础热身】1．D [解析] 抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－116.2．B [解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0化为a (x ＋y )＋(x 2＋y 2)＝0，令x ＋y ＝0且x 2＋y 2＝0，得x ＝y ＝0，即圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0经过定点(0，0)．3．C [解析] 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝4⎝⎛⎭⎫x －122＋417，显然这个函数当x ＝12时取得最小值，此时y ＝1.4．－355<x 0<355[解析] 方法一：以c ＝5为半径，O 为圆心的圆为x 2＋y 2＝5，求得该圆与椭圆的交点横坐标为x ＝±35，易知当∠F 1PF 2为钝角时，对应点的横坐标满足条件－355<x 0<355.方法二：设P (x 0，y 0)，已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，|PF 1|＝a －ex 0＝3－53x 0，|PF 2|＝3＋53x 0，由余弦定理，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝59x 20－19－59x 20，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos ∠F 1PF 2＜0，即－1<59x 20－19－59x 20<0，解得－35<x 0<35.【能力提升】5．A [解析] 直线过定点(0，－1)知a ∈(0，1]，椭圆的左、右顶点是(±2，0)，结合图形可知k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12. 6．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于点(1，2)在上区域，故2>ba，所以e＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2< 5.又e >1，所以所求的范围是(1，5)．7．A [解析] 根据已知只能m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2，由于m >0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e <1.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB的斜率k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，OM 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，故k 1·k 2＝y 22－y 21x 22－x 21，根据双曲线方程y 2＝916(x 2－16)，故y 22－y 21＝916(x 21－x 22)，故k 1·k 2＝916.正确选项A. 9．B [解析] 设AB 的方程为x ＝my ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得16m 2y 2＋25y 2＝400⇒y 1，2＝±2016m 2＋25，S △ABF 1＝12c |y 1－y 2|＝32·22016m 2＋25≤3×4＝12. 10．－3 [解析] 抛物线方程为x 2＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0，1)，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则AB →·AC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3.11.263 [解析] 由已知得b a ＝3，此时b ＝3a 且双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以a 2＋e b ＝a 2＋23a ≥22a 3a＝263，等号当且仅当a ＝2时成立．12.12[解析] 根据已知O (0，0)，F (c ，0)，G (a ，0)，H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，所以|FG ||OH |＝a －c a 2c＝ac －c 2a 2＝e －e 2＝－⎝⎛⎭⎫e －122＋14≤14，所以当|FG ||OH |最大时e ＝12.13．2 [解析] 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1得，(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.14．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.又∵b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3.故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.① 设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2（x 2－x 1）y 2＋y 1.将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理，得 x ＝2x 1x 2－4（x 1＋x 2）x 1＋x 2－8.②由①得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3代入②整理，得x ＝1.∴直线AE 与x 轴相交于定点Q (1，0)．15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y '|x ＝t＝2t ，直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以x 1＋x 2＝yt （t 2－h ）1＋t2Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0. 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t （t 2－h ）2（1＋t 2）.设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意得x 3＝x 4，即有t 2＋(1＋h )t ＋1＝0，其中Δ2＝(1＋h )2－4≥0，∴h ≥1或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0，4－h 2<0，因此不等式Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0不成立，因此h ≥1.当h ＝1时，代入方程t 2＋(1＋h )t ＋1＝0得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0成立，因此h 的最小值为1.【难点突破】16．解：(1)方法一：由题意得a 2－b 2＝3，3a 2＋14b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.方法二：椭圆的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由椭圆的定义可得2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝72＋12＝4，所以a ＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.(2)方法一：由(1)可知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1.设圆G 的圆心为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－1，h ，则r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－1－x 0y 0＋12＋h 2＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1＋x 0y 0－12＋h 2，|OG 2|＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2，|OT |2＝|OG |2－r 2＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2－14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1＋x 0y 0－12－h 2＝x 201－y 20. 而x 204＋y 20＝1，所以x 20＝4(1－y 20)，所以|OT |2＝4（1－y 20）1－y 20＝4， 所以|OT |＝2，即线段OT 的长度为定值2.方法二：由(1)可知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1；则|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 0y 0－1·x 0y 0＋1＝⎪⎪⎪⎪x 20y 20－1，而x 204＋y 20＝1，所以x 20＝4(1－y 20)， 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪x 20y 20－1＝4，由切割线定理得|OT |2＝|OM |·|ON |＝4，所以|OT |＝2，即线段OT 的长度为定值2.课时作业(五十二)B【基础热身】1．A [解析] 设椭圆焦点为F 1，F 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝10，故m ＝|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25.2．D [解析] 原方程可变为x 22＋y 22k＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k >2，解得0<k <1，因而选D.3．D [解析] 设弦的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，作差得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14. 4．C [解析] 圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM |>4即可，而|FM |＝y 0＋2，∴y 0>2. 【能力提升】5．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.6．B [解析] 设点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝⎛⎭⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a )≥0.∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.选B.7．B [解析] 设M (x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，等号当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时成立． 8．B [解析] 因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 23－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值，为43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，选B.9．B [解析] 右焦点F 的坐标是(5，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m 2－9)y 2＋160my ＋162＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m16m 2－9，y 1y2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫160m 16m 2－92－4·16216m 2－9＝96（1＋m 2）|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t ，0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9，故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80（1＋m 2）|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，＋∞ [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，C (0，t )，由AC →·BC →＝0，得t 2＝b 4a 2－c 2≥0，e ≥5＋12.11．(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2) [解析] 消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且(26t )2－4(1－t 2)×(－8)>0，解得t 2<2且t 2≠1.12.477[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫t 28，t ，则|PO |＝⎝⎛⎭⎫t 282＋t 2，|PQ |＝t 28＋2－1＝t 28＋1.|PO ||PQ |＝⎝⎛⎭⎫t 282＋t 2t 28＋1＝t 2＋t 282⎝⎛⎭⎫1＋t 282 ＝m 2＋8m （1＋m ）2＝（1＋m ）2＋6（1＋m ）－7（1＋m ）2＝－7（1＋m ）2＋6（1＋m ）＋1 ＝－7⎝⎛⎭⎫11＋m －472＋167≤167＝477其中m ＝t 28>0.13.⎝⎛⎦⎤14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x＝32＋⎝⎛⎭⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.14．解：(1)依题意F (1，0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →， 所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.15．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．抛物线焦点坐标(2，0)，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 由韦达定理得y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4.①(NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA |＝|NB |⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得(y 1－y 2)[(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知 (m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4所以实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，14 【难点突破】16．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12， 整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得， (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k 2k 2＋1， 所以Q ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. 由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1. 令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k. 当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P ≤122＝24； 当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24. 综上所述，点P 纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24.。

第14讲“圆锥曲线”的复习要紧抓定义、方程与性质圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是历年高考重点考查的内容之一，复习时紧紧抓住椭圆、双曲线、抛物线的定义、图形、标准方程、几何性质，用代数方法系统研究圆锥曲线的其他重要性质，渗透研究圆锥曲线问题的基本方法．1．紧抓定义、方程与性质，熟练掌握基础知识．通过复习，要对椭圆、双曲线、抛物线的定义、图形、标准方程、几何性质，了然于胸．对于椭圆，搞清楚标准方程的代数特点：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，明确决定焦点位置的因素，清楚a，b，c，e的关系．对于双曲线，搞清楚标准方程的代数特点：mx2＋ny2＝1(mn<0)，明确决定焦点位置的因素，清楚a，b，c，e的关系，标准方程与渐近线方程的关系，渐近线方程与离心率e的关系．对于抛物线，能从标准方程中确定焦点位置(看一次项)，开口方向(看一次项系数符号)，焦点坐标，准线方程．2．能熟练地求圆锥曲线的标准方程．立足课本，梳理出求圆锥曲线标准方程的基本类型，会选择最适当的方法，熟练地利用定义、几何性质、待定系数法求圆锥曲线的标准方程，焦点位置不确定时，注意分类讨论，对有些问题能合理的避免分类讨论．3．立足椭圆，用代数方法研究性质，渗透基本方法，提高运算能力．解析几何问题的突出特点，一是运算量大，二是变形技巧强．要提高解决解析几何问题的能力，一要提高运算能力，二要掌握解决问题的基本方法．立足椭圆，对椭圆的一些性质，如椭圆上的点到中心、焦点的最大(小)距离，过焦点的弦长最大(小)值，椭圆上的点与两焦点所连线段夹角的最大值等，不要只记结论，要利用函数、方程思想动手解决，从问题解决的过程中体会函数、方程思想，设而不求的方法，提高运算与变形能力．例1 (1)求满足下列条件的椭圆的标准方程． ①经过点(3，0)，离心率e ＝63； ②经过两点P 1(13，13)，P 2(0，－12)．(2)求满足条件：渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(2，2)的双曲线的标准方程．解后反思求圆锥曲线的标准方程时，要根据条件灵活地选择定义、几何性质、待定系数法求解．焦点位置不确定时，注意分类讨论，但尽量避免分类讨论．例2 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62 解后反思1．由矩形的几何特征联想其性质，将几何关系转化为代数关系：|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，是解决问题的关键；2．与焦点三角形(椭圆、双曲线上的点与两焦点连接而成的三角形)有关的问题，往往要利用椭圆、双曲线的定义解决问题．例3 设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解后反思1．焦点三角形与椭圆、双曲线的定义紧密联系；2．弦长问题、弦中点问题是直线与圆锥曲线相交时的基本问题．弦长公式是两点间距离公式的变形．当直线与圆锥曲线相交时，让直线方程与圆锥曲线方程联立，得到关于x 或y 的二次方程，对交点坐标一般是设而不求，而是整体利用x 1＋x 2，x 1x 2(y 1＋y 2，y 1y 2)．3．不直接利用几何条件|P A |＝|PB |，而是联想几何性质：点P 在弦AB 的垂直平分线上，继而得到代数关系，给解决问题带来很大方便． 总结感悟1．求圆锥曲线的标准方程时，要根据条件灵活地选择定义、几何性质、待定系数法求解．焦点位置不确定时，注意分类讨论，但尽量避免分类讨论； 2．一般用设而不求的方法解决弦长问题、弦中点问题．直线与圆锥曲线的交点坐标是直线方程与圆锥曲线方程联立，得到关于x 或y 的二次方程的解，对交点坐标设而不求，利用根与系数的关系求解；3．由图形的几何特征联想几何性质，将几何关系转化为代数关系，是解决解析几何问题的重要手段． 【误区警示】对于弦中点问题，也可将所设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线方程，两式相减，就可得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，此法称为“点差法”，合理应用此法可简化有关计算，但需注意，在双曲线中应用此法，最后应检验所求得直线与曲线是否相交．A 级1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 32．(2016·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32 C.3 D ．23．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．35．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．86．设AB 是椭圆Г的长轴，点C 在Г上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则Г的两个焦点之间的距离为________．7. 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．B 级8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x9．已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等10．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M ，N 两点，自M ，N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1，N 1，则∠M 1FN 1等于( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°11．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 12．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．13.如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．第14讲 “圆锥曲线”的复习要紧抓定义、方程与性质题型分析例1 解 (1)①当椭圆的焦点在x 轴上时， 由椭圆性质知，a ＝3， 由c a ＝63，得c ＝6，故b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， 椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆性质知，b ＝3，由c a ＝63，即a 2－b 2a 2＝23，得a 2＝27，椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上，椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.②方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧（13）2a 2＋（13）2b 2＝1，（－12）2b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴方程无解．当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧（13）2a 2＋（13）2b 2＝1，（－12）2a 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设所求椭圆的方程为 Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，A ≠B )．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧A （13）2＋B （13）2＝1，B （－12）2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214＝1.(2)方法一 当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝2，且4a 2－4b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝12. 双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则ab ＝2，且4a 2－4b 2＝1，无解．综上，双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.方法二 依题意设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.例2 D [|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a .在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.] 例3 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设线段AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.线下作业1．B [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|（3）2＋（±1）2＝32.选B.] 2．A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin M sin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]3．A [∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 故选A.]4．C [e ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12×3p ×p 2＝3，可得p ＝2.]5．A [由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14，∵|AF |＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.]6.463解析 不妨设椭圆Г的标准方程为x 24＋y 2b 2＝1，于是可算得C (1，±1)，得b 2＝43，2c ＝463.7. 6解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 8．C [由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.]9．D [双曲线C 1：e 2＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ，∴C 1，C 2离心率相等．]10．C [如图，由抛物线的定义，得|MF |＝|MM 1|，|NF |＝|NN 1|.∴∠MFM 1＝∠MM 1F ，∠NFN 1＝∠NN 1F .设准线l 与x 轴的交点为F 1，∵MM 1∥FF 1∥NN 1，∴∠MM 1F ＝∠M 1FF 1，∠NN 1F ＝∠N 1FF 1.而∠MFM 1＋∠M 1FF 1＋∠NFN 1＋∠N 1FF 1＝180°， ∴2∠M 1FF 1＋2∠N 1FF 1＝180°，即∠M 1FN 1＝90°.]11．±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x .化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k .∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k . 由（x 0－1）2＋（y 0－0）2＝2得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4. ∴k ＝±1.12. 3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a ＝ 3.13．解 (1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP→＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )． 由已知得⎩⎨⎧x 236＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0,即得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是(32，52 3 )．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m ，0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15，由于－6≤x ≤6.∴当x ＝92时，d 取最小值15.。

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专题训练五—-圆锥曲线的标准方程与几何性质类型一、椭圆的标准方程与几何性质例1．（1） 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4,则椭圆的标准方程为________________． （2)已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆的方程是（ ） A. 2214x y += B. 22198x y += C 。

22143x y += D. 22189x y +=练习：1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程:（1）长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；例2、（1)P 为椭圆192522=+y x 上一点,21,F F 为左右焦点，若 6021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为 .(2)已知F 1、F 2是椭圆C ：错误!＋错误!＝1（a >b >0）的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点，且错误!⊥错误!。

若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.例3、（1）在椭圆C ：x2a 2＋错误!＝1(a 〉b >0)上，是椭圆的两个焦点,,且的三条边，,成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）A 。

长的2倍，则C的离心率为( )
（A） 2
（B） 3
（C）2
（D）3
【解析】选B.不妨设双曲线的焦点在x轴上(焦点在y轴上的离心
率与焦点在x轴上的离心率一样)，方程为
x2 a2
y b
(22 a＞1 0,b＞
0)，设F(c,0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，由l过点F且与对称轴垂
直，可得x1=x2=c,将其代入双曲线的方程得｜y1｜=｜y2｜
2
2
|BC|∶|AD|= 2 yB
2 yA
b 2.
a2
3 4
②t=0时,l不符合题意.t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO
b a2 t2 a a2 t2
与AN的斜率kAN相等，a即 t
b ，
t a
解得 ta2a b2b2 ，1 e2e2a
因为|t|<a，又0<e<1，所以1 e 2
e2
，1 解得
1.点P(x0,y0)和椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0)的关系：
（1）P(x0,y0)在椭圆内⇔
x
2 0
a2
y
2 0
b2
＜1.
（2）P(x0,y0)在椭圆上⇔
x
2 0
a2
y
2 0
b2
1
.
（3）P(x0,y0)在椭圆外⇔
x2 0y2 0＞1.a2 b2
2.性质中的不等关系： 对于椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等，在求 与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值，最小值 时，经常用到这些不等关系. 3.求椭圆的离心率问题的一般思路： 求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的 等式（或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率（或 离心率的范围）.