苏教版立体几何习题含答案详解

参考答案（部分）第1课时 棱柱、棱锥、棱台1．A 2．D 3．B 4．5，9，3，6 5．4，4 ，三 6．不能，没有四个面的棱台，至少有5个面．7．略．8．（1）平行四边形（2）三角形9．可能是：三角形，四边形，五边形和六边形第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球1．C 2．C 3．B 4．C 5．不是，绕x 轴旋转一周所得的几何体，为圆柱内挖去一个圆锥，绕y 轴旋转一周所得的几何体为圆锥。

6．一个圆柱内挖去一个圆锥7．（1）矩形（2）扇形，扇环（3）不能8．一个圆柱加一个圆锥（2）直角三角形内接矩形第3课时 中心投影和平行投影1．C 2．左 3．略 4．3，左后最上方 5．略 6．略第4课时 直观图画法1．D 2． D3．26164．略 5．略 6．略 7．略 第5课时 平面的基本性质(1)1．A 2． C 3． B 4．B 5．1 6.略 7．略第6课时 平面的基本性质(2)1．B 2． A 3． B 4．C 5．D 6.略 7．略第7课时 空间两条直线的位置关系1．C 2． D 3． B 4．3 5．40°或140° 6.略 7略8．(1)略 (2) 略(3)AC=BD 且,AC ⊥BD第8课时 异面直线1．B 2．C 3．60° 4．相交或异面 5．①③ 6.提示:反证法 760°7．2个 8.一定异面 证略 9.不一定第９课时 直线和平面的位置关系1．B 2．Ｂ 3．平行 4．在平面ABB 1A 1中，过点Ｍ作GH//BB 1,GH 分别交AB, A 1 B 1于点E,G ，连接EH,GF ，则平面γ与次三棱柱表面的交线是GH,EH,GF,EF 5．证明：因为ＡＣ//ＢＤ，所以ＡＣ与ＢＤ可确定一个平面β，然后证四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，则ＡＣ＝ＢＤ 6.（１）证：ＥＦ／／ＧＨ，（２）略7．取ＢＤ中点Ｅ，连接ＡＥ，ＮＥ，证ＡＭＮＥ为平行四边形。

第10课时 直线平面垂直1．B 2．Ｂ 3．a ⊥b 4．D ＰＡＢ ，D ＰＡＤ ，D ＰＤＣ ，D ＰＢＣ5．ＢＤ１⊥ＡＣ，ＢＤ１⊥Ｂ１Ｃ，ＢＤ１⊥平面ＡＣＢ１6.证明：过Ｐ作ＰＧ⊥平面ＡＢＣ，Ｇ为垂足，连接ＡＧ，ＣＧ，ＢＧ，则ＰＧ⊥ＡＧ，ＰＧ⊥ＣＧ，ＰＧ⊥ＢＧ，∵ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ∴DＰＧＡ≌DＰＧＣ≌DＰＧＢ∴ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧ∴Ｇ与Ｏ重合∴ＰＯ⊥平面ＡＢＣ7．已知：一点Ａ和平面α求证：经过点Ａ和平面α垂直的直线只有一条证明：假使过点Ａ至少有平面α的两条垂线：ＡＢ，ＡＣ那么ＡＢ和ＡＣ是两条相交直线，它们确定一个平面β设β∩α＝a∴ＡＢ⊥α，ＡＣ⊥α∴在内有两条直线与a垂直，矛盾所以：经过点Ａ和平面α垂直的直线只有一条8.证明：∵b⊥平面α∴b与平面α相交设b∩α＝Ａ则a与A确定一个平面β设β∩α＝a′∵a//α∴a// a′又∵b⊥α∴b⊥a′∴b⊥a第11课时直线和平面垂直（２）4．ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ 5．①②③④⑤1．Ｄ 2．C 3．26.连接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ∵Ｏ为重心∴ＡＤ⊥ＢＣ而ＰＯ平面ＡＢＣ∴ＢＣ⊥ＰＡ7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD而BC⊥AB,CD⊥AD∴BC⊥PB,CD⊥PD∴D PBC, D PDC是Ｒt D。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省连云港高中数学苏教版必修二立体几何初步强化训练(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）11. 在三棱柱 中, 是等边三角形, 平面 ,则异面直线 和所成角的正弦值为（）A. B. C. D.2. 在三棱锥中，， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.43.《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，当圆周率π近似取3时，其体积V 的近似公式.现有一圆锥，其体积的近似公式， 侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ）A. B. C. D.4. 如图，在三棱柱中，平面 ． ， ， 分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）平行垂直直线在平面内相交且不垂直A. B. C. D. 充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件5. 已知a ，b 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，且 ，， 则“”是“”的（ ）A. B. C. D. 611.6481.4692.5512.46. 胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（）．A. B. C. D. 13π52π104π208π7. 在三棱柱中，侧棱平面ABC，，，，， P 为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的外接球的体积(单位：)是（）A. B. C. D.9. 正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.10. 已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（ ）A.B.C. D.若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线11. 下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 在四棱锥中，底面为正方形，且平面， 则直线与直线所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.13. 端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的体积等于 ．14. 已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为 ， ，则的值为 ．15. 已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 cm 2 ．16. 棱长为1的正四面体 内有一个内切球O ，M 为 中点，N 为中点，连接交球O 于P ，Q 两点，则球O 的表面积为 ，的长为 .17. 如图，在四棱锥中，底面 为正方形， 底面 ， 为 的中点， 为线段上的点，且．(1) 求证：平面平面；(2) 求点到平面的距离．18. 如图，已知三棱柱，平面，，，，是的中点，是线段上的动点.(1) 求证：平面平面；(2) 当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长度.19. 在△ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB为轴将三角形旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积与体积．20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，，分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线所成角的正弦值.21. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心.(1) 求圆柱的侧面积；(2) 求异面直线和所成的角的大小.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.20.21.(1)(2)。

第章立体几何初步
空间几何体
直观图画法
组基础巩固
．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线
段说法错误的是( )．原来垂直的线段仍垂直
．原来相交的线段仍相交．原来共点的线段仍共点
．原来平行的线段仍平行解析：根据斜二测画法可知，原来垂直的线段未必垂直．
答案：．建立坐标系，得到的两个正三角形的直观图不是全等三角形
的一组是( )
解析：由斜二测画法规则易知、、中的直观图全等．
答案：
．利用斜二测画法画边长为
的正方形的直观图，正确的是( )
解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于′轴的线段的长
度减半，故只有正确．
答案：．下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是( )
解析：根据直观图，平面图形的一边在′轴上，另一边与′轴平行，
故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．
答案：
．如图所示，△′′′是△的直观图，其中′′＝′′，那么△是( )
．直角三角形
．等腰三角形
．钝角三角形
．等腰直角三角形
解析：由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，
由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，
所以原三角形为直角三角形．
答案：
．利用斜二测画法得到的：
①
三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直
观图是梯形．以上结论，正确的是(填序号)．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省南京市高中数学苏教版 必修二立体几何初步强化训练(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知正方体的所有顶点都在球O 的表面上，若球 的体积为 ，则正方体 的体积为（）．A. B. C. D.2. 将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为 ，长为 ，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D.1233. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形， ， 则该棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 充分非必要条件必要非充分条件充要条件非充分非必要条件4. 已知 是空间中的三条直线，其中直线在平面 上，则“ 且 ”是“ 平面 ”的（ ）A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）寸2寸寸3寸A. B. C. D. 6. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.12347. 下面给出的命题中，正确的个数是（ ）①一个棱柱至少有5个面②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台A. B. C. D. 8.如图，在正三角形ABC 中， D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，G ，H ，I 分别为DE ，FC ，EF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥，则异面直线BG 与IH 所成的角为（）A. B. C. D.9. 如图，三棱锥中，平面平面ABC， ，，． 三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A. B. C. D.10.已知球， 过其球面上三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且 ，， 则球的表面积为（ ）A. B. C. D.11. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， 底面是正方形，是边长为2的正三角形，E ，F 分别是棱上的动点，则的最小值是（ ）A. B. C. D.2412. 正方体 的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为 ，AD ， ， 的中点，则过GH 且与EF 平行的平面截正方体所得的截面的面积为（ ）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 已知边长为2 的菱形ABCD 中，∠BAD=60°，沿对角边BD 折成二面角A ﹣BD ﹣C 为120°的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为 ．14. 在长方体 中，若 ， ，则异面直线 与 所成角的大小为 .15. 在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的半径R=16. 水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形 ． 点是斜边的中点，且 ， 则边的高为 .17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是矩形，平面 ， 分别是PB ､CD 的中点.(1) 证明：平面PAD ；(2) 若平面AEF ，求四棱锥的体积.18. 在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∠AA1B=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱长AA1=3．(1) 求此三棱柱的表面积；(2) 若，求三棱柱的体积．19. 已知中，，，，，E分别是AC，的中点，将沿翻折，得到如图所示的四棱锥，且，设F为的中点．(1) 证明：；(2) 求直线与平面所成角的的正弦值．20. 如图，在四棱锥中，底面是一个矩形，，，是等边三角形.(1) 证明：.(2) 求直线与平面所成角的正弦值.21. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，点在棱上，且 .(1) 证明：平面；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.答案及解析部分1.2.4.5.6.7.9.10.11.12.13.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二立体几何初步测试班级 姓名 学号 成绩一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个A 、棱台B 、棱锥C 、棱柱D 、都不对 2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是 A 、16 B 、16或64 C 、64 D 、都不对 3、下面表述正确的是A 、空间任意三点确定一个平面B 、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C 、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D 、不共线的四点确定一个平面 4、两条异面直线是指A 、在空间内不相交的两条直线B 、分别位于两个不同平面内的两条直线C 、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D 、不同在任一平面内的两条直线主视图 左视图 俯视图5、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定6、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0 B 、1 C 、2 D 、37、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A 、异面 B 、相交 C 、平行 D 、不确定 8、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α 9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为A 、7B 、6C 、5D 、310、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是A 、25πB 、50πC 、125πD 、都不对 11、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定12、若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭ A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 13、三条两两相交的直线可确定 个平面。

第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时 直线与平面垂直的判定 答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a ⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。

立体几何初步例1、如图，O A B '''是水平放置的OAB 的直观图，则OAB 的周长为（ ）A ．10213+B ．32C ．10D ．12【答案】A【分析】 根据斜二测画法得到OAB 为两直角边长分别为4和6的直角三角形，进而可得其周长.【详解】如图，根据斜二测画法得到OAB 为直角三角形，两直角边长分别为4和6，所以斜边长为2246213+=OAB 的周长为10213+故选：A ．例2、已知直线l ，两个不同的平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l α，l β//，则//αβC ．若αβ⊥，l α⊥，则l β//D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】A【分析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，根据面面垂直的判定定理可知，A 选项正确，对于B 选项，当//l α，l β//时，α和β可能相交，B 选项错误，对于C 选项，当αβ⊥，l α⊥时，l 可能含于β，C 选项错误，对于D 选项，当αβ⊥，//l α时，l 可能含于β，D 选项错误.故选：A例3、古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高．则球的表面积与圆柱的体积之比为（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:1D ．8:3【答案】C【分析】先求出球的表面积和圆柱的体积，再求其比值而得.【详解】依题意：球的直径为2，即球半径1R =，球的表面积244S R ππ==，圆柱底面圆半径1r R ==，高2h =，则圆柱体积22V r h ππ==，球的表面积与圆柱的体积之比:4:22:1S V ππ==.故选：C一、单选题1．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为α，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（ ）A 33sin 2α B 32α C ．12sin 2αD ．2sin 2α 【答案】B【分析】根据等腰三角形的边角关系，用SA 和OA 表示出AB 的一半，从而得出底面内切圆半径与侧棱长的比.【详解】设O 为正六棱锥S ABCDEF -底面内切圆的圆心，连接OA ，OB ，如图所示： 由题意可知3AOB π∠=，22SAB πα∠=-， OA AB ∴=，1cos()sin2222SA SA AB παα⋅-=⋅=， ∴2sin 2ABSA α=，设内切圆半径为r ，则tan 3132rAB π==3r AB =， ∴底面内切圆的半径与侧棱的比为33sin 223232sin AB r AB SA ααθ===． 故选：B2．下列说法正确的是（ ）A ．镜面是一个平面B ．一个平面长10 m ，宽5 mC ．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D ．所有的平面都是无限延展的【答案】D【分析】结合平面是无限延展的性质判断即可【详解】镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A 不正确；平面没有大小，所以选项B 和选项C 都不正确，故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质，属于基础题3．在圆柱12O O 内有一个球O ，球O 分别与圆柱12O O 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若122O O =，则圆柱12O O 的表面积为（ ）.A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π【答案】C【分析】依题意可求得圆柱的底面半径和高，进而可得圆柱的表面积.【详解】依题意可得圆柱的底面半径1r =，高2h =，所以圆柱的表面积222426S r h r πππππ=⋅+=+=.故选：C.4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】 根据线面关系的判定性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，平行同一平面的两条直线并不能判断此两条直线平行，故A 错误；对B ，直线垂直与平面，则垂直与平面内的任意一条直线，故B 正确；对C ，不确定n 直线是否在平面α内，所以C 错误；对D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或者//n α，而不是n α⊥，故D 错误.故选：B5．已知正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别为1111,,A D AB C D 的中点，则直线1,AG EF 所成角的余弦值为（ ）A 30B 30C 30D 15 【答案】C【分析】作图可知1//AG CF ，得出EFC ∠为直线1AG 与EF 所成角， 设AB =2求出EFC 的三边，结合余弦定理即可求出结果.【详解】如图所示，易知1//AG CF ，则EFC ∠为直线1AG 与EF 所成角. 不妨设AB =2，则5,6,3CF EF EC == 由余弦定理得30cos 256EFC ∠==⨯ 即直线1AG 与EF 30 故选：C .6．设α，β，γ为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①αγ⊥，βγ⊥，则//αβ②αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥③m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥④αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则m γ⊥ A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】D【分析】根据线面关系的定理性质，逐项分析判断即可得解.【详解】①中，α，β可以相交并垂直于γ，①错误②中，直线m 可能不在平面α内，②错误③中，垂直于互相垂直的两条直线的两个平面垂直，故③正确；④中，两个平面垂直于第三个平面，这两个平面的交线也垂直于第三个平面，故④正确， 故选：D二、多选题7．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆锥的表面积最小【答案】CD分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．【详解】对于A ，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，故A 错误；对于B ，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆锥的侧面积为222(2)5S R R R R ππ=+，故B 错误；对于C ，圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，球面面积为24S R π=，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C 正确；对于D ，圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=， 圆锥的表面积为)22222(2)51S R R R R R πππ=+=， 球的表面积为234S R π=，∴圆锥的表面积最小，故D 正确．故选：CD8．已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，n α⊥，则m ∥nB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若l αβ=，m ∥α，m ∥β，则m ∥l D ．若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥【答案】AC【分析】根据空间中的线线、线面、面面关系的判定可得选项.【详解】对于选项A ，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以选项A 正确；对于选项B ，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可平行或异面，不一定垂直，所以选对于选项C ，若l αβ=，//m α，//m β，可推出//m l ，则选项C 正确； 对于选项D ，若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m 与β不一定垂直，所以选项D 错误；故选：AC ．【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.9．在空间中，已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）A ．若//a b ，且，a α⊥，b β⊥，则//αβB ．若αβ⊥，且//a α，//b β，则a b ⊥C ．若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交D ．若a b ⊥，且//a α，b β//，则αβ⊥【答案】AC【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可【详解】若//a b ，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量平行，则//αβ成立，故A 正确； 若αβ⊥，且//a α，//b β，则a 与b 互相平行或相交或异面，故B 错误；若a ，b 相交，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量相交，则α，β相交成立，故C 正确；若a b ⊥，且//a α，//b β，则α与β平行或相交，故D 错误；故选：AC.【点睛】此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题三、填空题10．如图，四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，SD ∥底面ABCD ，则下列结论中正确的有______个．①AC ∥SB ；②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面ABCD 所成的角是∥SAD ；④AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角．【答案】4【分析】利用线面垂直的判定定理AC ⊥平面SBD ，进而可判定①正确．根据AB ⊥CD ，利用线面平行的判定定理可证②正确．根据线面所成角的定义可判定③正确．根据AB ⊥CD ，由异面直线所成角的定义可判定④正确．【详解】因为SD ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SD ．因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又BD ∩SD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SB ，故①正确．因为AB ⊥CD ，AB ⊥平面SCD ，CD ⊥平面SCD ，所以AB ⊥平面SCD ，故②正确．因为AD 是SA 在平面ABCD 内的射影，所以SA 与平面ABCD 所成的角是⊥SAD ．故③正确．因为AB ⊥CD ，所以AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角，故④正确．故答案为：4.11．如图，ABC A B C '''-是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA B B ''-的体积是________．【答案】23【分析】 本题可通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积得出结果.【详解】 1133CA B C ABC A B C V V ， 12133C AA B B ABCA B C C A B C V V V . 故答案为：23. 12．若∥AOB ＝135°，直线a ∥OA ，a 与OB 为异面直线，则a 和OB 所成的角的大小为______.【答案】45°【分析】由题意可得AOB ∠的补角为a 与OB 所成角，结合补角的概念即可.【详解】因为直线a //OA ，a 与OB 为异面直线，所以AOB ∠的补角为a 与OB 所成角，又135AOB ︒∠=,所以a 与OB 所成角的大小为18013545︒︒︒-=.故答案为：45︒四、解答题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．【答案】90°【分析】先平移后再解三角形即可.【详解】如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ⊥B 1D ，EF ⊥A 1C 1，⊥⊥GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)．⊥GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点，⊥GO ⊥A 1C 1．⊥异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．14．如图所示，已知长方体1111ABCD A BC D -的体积为V ，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，求三棱锥P CDQ 的体积．【答案】112V 【分析】本题可设AB a 、BC b =、1AA c =，则V abc =，然后根据13P CDQ CDQ V S PD △即可得出结果.【详解】设AB a ，BC b =，1AA c =，则V abc =，因为11122PD DD c ，1122CDQ S CD CB ab △， 所以11111133221212P CDQ CDQ V S PD ab c abc V △. 15．已知正三棱锥P ­ABC 的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．【答案】()24153cm 【分析】由题意作出草图，设O 为正三角形ABC 的中心，连结AO 并延长交BC 于D ，易知PO 是正三棱锥P ABC -的高，由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点，则PD BC ⊥，即PD 是三棱锥的斜高，再根据题意和勾股定理，可得棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．【详解】如图所示，设O 为正三角形ABC 的中心，连结PO ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结PD ，则PO 是正三棱锥P ABC -的高．由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点，又PB PC =，故PD BC ⊥，即PD 是三棱锥的斜高．由已知45APO ∠=︒，)23434cm 3AO ==， 所以)434622cm 33PA AO ==，所以46=3PB （cm ）． 所以222246215=23PD PB BD ⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭（cm ）．所以正三棱锥P ­ABC 的侧面积为：12153344152PBC S S ==⨯⨯=侧（2cm ）， 底面积：2134432S =⨯=底2cm ）． 故415434153S S S =+==表面积侧底（2cm ）． 16．长方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱11,AA CC 的中点.（1）求证：1//D E BF ；（2）求证：111B BF A ED ∠=∠.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先证明四边形11EMC D 为平行四边形，可得11//D E MC ，再证明四边形1MBFC 为平行四边形，得1//BF MC ，从而得1//D E BF ；（2）根据等角定理证明即可.【详解】证明：（1）如图，取1BB 的中点M ，连接1,EM C M .在矩形11ABB A 中，易得11//EM A B ，11EM A B =因为1111//A B C D ，1111A B C D =，所以11//EM C D ，11EM C D =所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC .在矩形11BCC B 中，易得1//MB C F ，1MB C F =.所以四边形1MBFC 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//D E BF .（2）因为1//D E BF ，11//BB EA ，又1B BF ∠与11A ED ∠的对应边方向相同，所以111B BF A ED ∠=∠.17．如图所示，在三棱柱ABC ­111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11AC 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；【分析】（1）由中点知GH 为中位线，即有11//GH B C ，结合三棱柱的性质可证//GH BC ，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有1,AG EB 平行且相等，即有1//A E GB ，结合线面平行的判定即可证1//A E 面BCHG .【详解】（1）⊥G ，H 分别是11A B ，11AC 的中点，⊥11//GH B C ，而11//B C BC ，⊥//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）⊥E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，⊥1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，⊥1//A E 面BCHG ，18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，22PB = 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）由菱形的性质有BD AC ⊥，勾股定理知PA AB ⊥，结合面面垂直的推论可得PA BD ⊥，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由PA ⊥面ABCD 即可计算P ACD V -，结合已知条件可求三棱锥P AMC -的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD 是菱形，且 2.AB AC ==⊥BD AC ⊥，又在⊥PAB 中2AB PA ==，22PB =90PAB ∠=︒，⊥PA AB ⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，面PAB 面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，⊥PA ⊥面ABCD ，而BD ⊂面ABCD ，有：PA BD ⊥，PAAC A =， ⊥BD ⊥平面PAC ；（2）由（1）知：PA ⊥面ABCD ，有1123||222sin 6036P ACD ACD V PA S -=⋅=⨯⨯⨯⨯︒=， 而——M PAC P AMC V V =，且——12P AC PAC D M V V =， ⊥—3P AMC V =【点睛】 本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.19．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.求证：//MN 平面PAD .【答案】证明见解析【分析】取PD 的中点E ，连接EA ，EN ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】证明：取PD 的中点E ，如图所示，连接EA ，EN .⊥E ，N 分别为PD ，PC 的中点，⊥//EN CD ，且12EN CD =. ⊥四边形ABCD 为平行四边形，M 为AB 的中点，⊥//AM CD 且12AM CD =，⊥,AM EN 平行且相等， ⊥四边形AMNE 为平行四边形，⊥//MN AE .又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，⊥//MN 平面PAD .【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.。

1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的倍．水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的242．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理(1)垂直90°90°(2)45°135°90°(4)不变一半作业设计1．①②⑤解析由斜二测画法的规则判断．2．直角梯形3．8解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ， 则直观图面积S ′＝24S ＝522． 6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22 解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22．10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°． (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．62a 2解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°，∴A ′O ′＝62a ． 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示，AO ＝2A ′O ′＝6a ，BC ＝B ′C ′＝a ， ∴S △ABC ＝12BC·AO ＝62a 2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。

（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交 （2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 . ?提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、、、、上. 或者，若在上，设,有. 故上有一点（的中点）满足条件.同理在、、、、上各有一点满足条件. 又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.（南通三模）已知正方体1C 的棱长为182，以1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。

记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ .αβαααβαβαβαβαβαβ1111ABCD A B C D -P 12PA PC +=P P 1AC P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P AB AP x =2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=AB P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P 1BB 2211112PA PC BP B P +=+++>1BB P 1DD P解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。

正方体1C 的棱长为218111==B A a ,由1C 各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C ，其棱长182211222===B A B A a ，由2C 各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C ,其棱长263222333===B A B A a ,如此类推：得到2,22,6654===a a a 。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二立体几何 本章测试1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为_______。

2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有____________。

3．若直线,a b 异面，直线,b c 异面，则,a c 的位置关系是____________。

4．正方体1111A B C D ABCD -中，所有各面的对角线中与1AB 成60︒角的异面直线的条数为______。

分别是____________________________。

5．两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是____________。

6．三条直线,,a b c ，有命题： ① 若//,//a b b c 则//a c ； ② 若,a b c b ⊥⊥,则//a c ； ③ 若//,a c c b ⊥,则b a ⊥；④ 若a 与b ， a 与c 都是异面直线, 则b 与c 也是异面直线. 其中正确的命题是（填序号）____________。

7．“a 、b 是异面直线”是指：①,,a b a b αβφ⊂⊂⋂=平面平面且； ②a b φ⋂=且,a b 不平行 ③,,a b αβαβφ⊂⊂⋂=且； ④,a b αα⊂⊄；⑤不存在平面α使,.a b αα⊂⊂且；上述说法中，正确的是（填序号）____________。

8．用一个平面去截正方体。

其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是___________条。

9．设平面,,,βαβα⊂⊂=⋂c b a 平面则直线b 和c 是异面的充要条件是10．在空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，设2BC AD a +=，则MN 与a的大小关系是____________。

11．若,,,E F G H 顺次为空间四边形ABCD 四条边,,,A B B C C D D A 的中点，且3,4E G F H ==，则22AC BD +＝____________。

2019-2020学年苏教版数学精品资料1.2.4 平面与平面的位置关系第1课时两平面平行的判定及性质【课时目标】1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．符号表示为：________________?a∥b．3．面面平行的其他性质：(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa?α?________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________．2．下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝23 3d，则直线a与α所成的角等于________．6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．①a∥cb∥c?a∥b；②a∥γb∥γ?a∥b；③α∥cβ∥c?α∥β；④α∥γβ∥γ?α∥β；⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD 的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．1．2．4平面与平面的位置关系第1课时两平面平行的判定及性质答案知识梳理1．两条相交直线a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β2．那么所得的两条交线平行α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b3．(1)另一个平面a∥β(2)相等(3)平行作业设计1．平行或异面2．23．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．4．④5．60°6．4∶25解析面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．7．②③⑤⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．8．24或24 5解析当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝24 5．9．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连结SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M为平行四边形，∴AN綊C1M＝12A1C1＝12AC，∴N为AC的中点．12．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．13．(1)证明(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．连结PF，FH，PH，有MN∥PF．又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD．同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD．(2)解由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，∴MG＝23 PH．又PH＝12AD，∴MG＝13AD．同理NG＝13AC，MN＝13CD．∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．。

第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q 在CD上，则PQ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________．二、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终水面EFGH平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α． 8．223a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3．9．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE ∶EB ＝m ∶n ．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二立体几何同步练习1．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）2．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为___________。

（写出所有正确结论的编号．．）3．一个长方体的长、宽、高分别为9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为_____________3cm4.在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到平面1ABC 的距离为_____________．(2)(1)5．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .6有一个各棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为_________________.7．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个8长为4a 的正方形纸片按照如图（1）中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱柱，设其体积为1V ，若将同样的正方形纸片按照如图（2）中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为2V ，则1V 和2V 的大小关系是（ ）A ．21V V >B ．21V V <C ．21V V =D ．21V V ≤9.如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝3，AA 14=，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长;A 1 C 1B1MN A C BP图1（II ）PC 和NC 的长;（III ）平面MNP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值。

§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面．(2)推论2 经过____________，有且只有一个平面．(3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线； ②一点和一直线；③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；(2)E 、C 、D 1、F 四点共面；(3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点 ⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或34．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。

（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交 （2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、、、、上. 或者，若在上，设,有. 故上有一点（的中点）满足条件.同理在、、、、上各有一点满足条件. 又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.（南通三模）已知正方体1C 的棱长为182，以1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。

记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ .解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。

正方体1C 的棱长为αβαααβαβαβαβαβαβ1111ABCD A B C D -P 12PA PC +=P P 1AC P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P AB AP x =2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=AB P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P 1BB 2211112PA PC BP B P +=+++>1BB P 1DD P 1A 1B2A2B 2A2B3A3B2A2B3A3B218111==B A a ,由1C 各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C ，其棱长182211222===B A B A a ，由2C 各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C ,其棱长263222333===B A B A a ,如此类推：得到2,22,6654===a a a 。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第二学期期末总复习1高一数学立体几何总复习练习一一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题：①若α∥β，β∥γ，则α∥γ, ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ，③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ．其中正确的命题有 .2.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，所有各面的对角线中与AB 1成60°角的异面直线的条数有 . 3．一条直线与平面a 成60°角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是 .4.半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．5.已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ；②若βα//,l l ⊥，则βα⊥；③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。

其中正确命题的序号是6．用“斜二测画法”作正三角形ABC 的水平放置的直观图得C B A '''∆，则C B A '''∆与ABC ∆ 的面积之比为 .7.用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是 cm 3．图1（俯视图） 图2（主视图）CBAPABCD（第13题）第7题图 第8题图8．知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V 。

9.以下四个命题：① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等；② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β；③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β；④ α、β为两相交平面，且α不垂直于β，α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的序号是10．已知一个正三棱锥P －ABC 的主视图 如图所示，若AC ＝BC ＝32，PC ＝6， 则此正三棱锥的全面积为________．第10题图11．如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中，∠ABB 1=900，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是 . 12．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 13．已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 cm 2．14.有一个各棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为_________________二、解答题（共90分）CDBB C1A1 11题图15．（本题满分14分）如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．ABCDEFGH16．（本题满分14分）一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.（I）求证：MN∥平面CDEF；（II）求多面体A—CDEF的体积.17. （本题满分15分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 为棱CC 1上的的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ； （3）求BDE A V _1。

2023年苏教版数学三维几何练习题及答案一. 选择题在以下各题中，只有一项符合题意，请选出正确答案。

1. 下列哪个选项是描述平行线关系的准确说法？A. 两条直线不相交B. 两条直线始终保持相同的距离C. 两条直线交于一点D. 两条直线相互垂直2. 对于三棱锥来说，下列哪个选项是正确的？A. 三个底面的边相等B. 三个侧面都是直角三角形C. 三个顶点都位于同一个平面上D. 底面是一个正三角形，侧面是正方形3. 如图所示，ABCD为一个四棱锥，E为底面AD的中点，连接EC。

若AB=BC=CD=10 cm，AC=15 cm，ED=8 cm，则EC的长度是多少？（图示四棱锥ABCD，底面是四边形，AC为斜高线，E为AD的中点，EC为一条边）A. 5 cmC. 8 cmD. 10 cm4. 在空间直角坐标系中，直线L通过点A(-2, 3, 4)并且与向量V(1, -1, 2)平行，那么直线L的方程是下列哪个选项？A. (x+2)/1 = (y-3)/(-1) = (z-4)/2B. (x-(-2))/1 = (y-3)/(-1) = (z-4)/2C. (x+2)/-1 = (y-3)/1 = (z-4)/2D. (x-(-2))/1 = (y-3)/1 = (z-4)/-2二. 填空题请根据题目要求，在空白处填入适当的数值或字母。

1. 若两条平行线的倾斜角分别为α和β，则α和β之间的关系是________。

2. 对于一个圆柱体来说，它的侧面积是_______。

3. 解方程组：2x + 3y - z = 14x - 2y + 3z = 7x - y + 2z = 0得到的解为x = _______，y = _______，z = _______。

请根据题目要求，进行相应的计算。

1. 若长方体的宽度为4 cm，高度为6 cm，体积为72 cm³，求其长度。

2. 已知空间中的三点A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(-1, 3, -2)，求△ABC的面积。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二立体几何综合小测试（解析版）一、填空题（每题5分，共70分）1.两条直线没有公共点，则这两条直线的位置关系是 . 答案：平行或异面2.直线,AB AD α⊂，,CB CD β⊂，点E AB ∈，点F BC ∈，点G CD ∈，点H DA ∈， 若直线EH直线FG =M ，则点M 在 上.答案：直线BD 上3.空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE :EB =AF :FD =1:4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则BD 与平面EFGH 的位置关系是 .答案：平行4．已知a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β； ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ；③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ； ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β. 其中正确的命题的序号是________________. 答案：①④5.已知直线,,a b c ，平面,,αβγ，并给出以下命题：①若//αβ，//βγ，则//αγ； ②若a ∥b ∥c ，且a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，则//αβγ； ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ；④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . 答案：①②④6．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角C AD B -- 时，在折成的图形中，△ABC 的形状为 . 答案：等边三角形7.已知,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若,l αββ⊥⊥，则//l α； ②若,//l l αβ⊥，则αβ⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则//l α；④若,//αβαγ⊥，则γβ⊥. 其中正确命题的序号是 . 答案：②④8.已知正四棱柱的底面边长是3cm ,侧面的对角线长是5 cm ，则这个正四棱柱的侧面积 为 .答案：48cm 29.已知,αβ表示平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实：①l α⊥； ②//l β；③αβ⊥.若以其中两个作为条件，另一个作为结论构成命题，其中正确命 题的个数是 个. 答案：3个10.长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，对角线长为l ，则下列结论正确的是 （所CDBB C1A 1 13题图有正确的序号都写上）.①l a b c <++；②2222l a b c =++；③3333l a b c <++；④3333.l a b c >++ 答案：①②④11.如图，M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行． 其中真命题的序号是 . 答案：②④12.如图所示,E ，F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D ，DD 2的中点,沿 SE ,SF ,EF 将其折成 一个几何体,使D 1,D ,D 2重合,记作D . 给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF ；②SE ⊥面DEF ； ③DF ⊥SE ； ④EF ⊥面SED . 其中成立的有: . 答案：①④13.如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中，∠ABB 1=900AB =4，BC =2，CC 1=1，DC 上有一动点P ， 则△APC 1周长的最小值是 . 答案：5（展开分析）SD 1DD 2 EFA 1C 1B 1D 1DCBA M14.如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除 外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．答案： 112t << （边界分析）二.解答题(本大题共6题，合计90分)15.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=a ，E ，F 分别是BC ，DC 的中点. 求异面直线AD 1与EF 所成角的大小.解：连接11B D ，则EF//11B D ，则异面直线AD 1与EF 所成角就是AD 1 和11B D 所成的角，在连接AB 1 ，已知三角形11AB D 是等边三角形，所以所求角是60。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省周口市高中数学苏教版 必修二立体几何初步强化训练(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知圆锥的侧面展图为一个半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为（）A. B. C.D.8π24π32 π48π2. 如图，在四面体P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=4，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan ∠APO=，则四面体P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 3. 在正四面体 中，异面直线 与 所成的角为 ，直线与平面所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D.4. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的四棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的高为 ， 其轴截面为等边三角形，则该四棱锥的体积等于（ ）A. B. C. D.5. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.4216. 用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，则原图形面积为（）A. B. C. D.π3π4π6π7. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.若，，则若，，则若，，则若，，则8. 已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（）A. B.C. D.与异面与相交与没有公共点9. 若直线平面，直线，则（）A. B. C. D.平面平面PDE 平面平面PBC 平面平面BCDE平面平面BCDE10. 已知菱形ABCD的边长为2，， E是AD的中点，沿BE 将折起至的位置，使，则下列结论中错误的是（）．A. B. C. D.20°70°20°或70°40°或140°11. 在空间四边形中，，，分别为，的中点，若与所成的角为40°，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.12. 如图所示，P 是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（）4，1， 1.5 4.5，， 2A. B. C. D.阅卷人二、填空得分13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．14. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为．15. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为．16. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为．17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，， Q为的中点，是边长为2的正三角形，．(1) 求证：平面底面；(2) 棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．18. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接 .(1) 求证：；(2) 求平面与平面的夹角的余弦值.19. 如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，OC是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.(1) 求该圆锥的体积；(2) 求异面直线PB与AC所成角的余弦值.20. 如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．(1) 设为中点，求证：平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值．21. 将三棱锥与拼接得到如图所示的多面体，其中，，，分别为，，，的中点， .(1) 当点在直线上时，证明：平面；(2) 若与均为面积为的等边三角形，求该多面体体积的最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 21 页 共 21 页。

§1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.1 空间几何体的表面积【课时目标】 1．进一步认识柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征，了解它们的有关概念．2．了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．3．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题．1．常见的几个特殊多面体的定义(1)__________________的棱柱叫做直棱柱． (2)正棱柱是指底面为____________的直棱柱．(3)如果一个棱锥的底面是____________，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱锥被______________的平面所截，______________之间的部分叫做正棱台． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积(1)直棱柱的侧面展开图是____________(矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h)，则S 直棱柱侧＝______；(2)正棱锥的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰三角形组成的图形(正棱锥底面周长为c ，斜高为h ′)，则S 正棱锥侧＝__________；(3)正棱台的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰梯形组成的图形，(正棱台的上、下底面周长分别为c ′，c ，斜高为h ′)，则有：S 正棱台侧＝____________．．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是____________、________和________．S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆锥侧＝12cl ＝πrlS 圆台侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l一、填空题1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为________．2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为__________．3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B ＝__________．4．三视图如图所示的几何体的表面积是__________．5．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．6．正六棱锥的高为4 cm ，底面最长的对角线为4 3 cm ，则它的侧面积为________ cm 2．7．底面是菱形的直棱柱，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．8．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2．9．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．二、解答题10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．11．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)12．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．能力提升13．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．§1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3．1 空间几何体的表面积答案知识梳理1．(1)侧棱和底面垂直 (2)正多边形 (3)正多边形 (4)平行于底面 截面和底面2．(1)一个矩形 ch (2)12ch ′ (3)12(c ＋c ′)h ′3．矩形 扇形 扇环 作业设计 1．8π解析 易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．2．1＋2π2π解析 设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π． 3．11∶8解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8． 4．7＋ 2解析 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2． 5．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 6．30 3解析 由题意知，底面边长为2 3 cm ， 侧棱长为l ＝16＋12＝27 cm ，斜高h ′＝28－3＝5 (cm )，∴S 侧＝6·12·23·5＝30 3 (cm 2)．7．160解析 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而l 21＝152－52，l 22＝92－52，而l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160．8．112解析 设底面边长、侧棱长分别为a 、l ，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2＋l 2＝92a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4l ＝7， ∴S 侧＝4·4·7＝112 (cm 2)． 9．(2＋2)a 2解析 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2 ＝(2＋2)a 2． 10．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连结OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ， 则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17，所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817． 11．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20， 同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2．12．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．13．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr(1．2－2r)＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r)＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米． (2)若灯笼底面半径为0．3米， 则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)． 制作灯笼的三视图如图．。