高中数学必修一(人教A版) 1-3-2-1 函数的奇偶性(第1课时)函数奇偶性的概念 课件

(2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这 一点与函数的单调性不同，函数的单调性是局部性质，而奇 偶性是整体性质，只有对函数定义域内的每一个值 x 都有 f(－ x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，才能说 f(x)是奇函数或偶函数．
(3)函数按奇偶性分类：①有的函数为偶函数；②有的函 数为奇函数；③有的函数既是奇函数又是偶函数，如 f(x)＝0； ④有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如 y＝ x(x≥0)．
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
[答案] －x＋1
[解析] x>0 时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
3 奇(偶)函数图象的对称性 学法指导：由函数奇偶性的对称性质，找到函数的最 高、低点与 x 轴 y 轴的交点作出对称．

2.函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同,函数的奇偶性也是函数的整体性质. (2)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来 否定一个函数为奇函数. (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其 中定义域D是关于原点对称的非空集合. (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非 偶函数.
所以f(-x)=f(x)，即
所以a=0，又因为 a1xx所2b以b1a=x1xb，2 ，
所以f(x)=
f
(1) 2
b 1 1
4， 5
1
1 x
2
.
4
【方法技巧】利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关 于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即 可求解.
2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果 又是什么?
【解析】由于f(x)为偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y 轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示,
由图象知,当x∈(-5,-2)时,f(x)<0;当x∈(2,5)时,f(x)<0,所以使 f(x)<0的x的取值集合为(-5,-2)∪(2,5).
2.函数的奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称 的区间内单调性相反.
【题型探究】
类型一 函数奇偶性的判断
【典例】1.(2015·南宁高一检测)函数f(x)=|x|+1是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

1、图象关于y轴成轴对称
一个函数不是奇函数就是偶函数，这个说法是否正确，理由是什么？
1、图象关于y轴成轴对称 1、图象关于y轴成轴对称
-3 -2 -1 0 1 2 3
1、图象关于y轴成轴对称
1、图象关于y轴成轴对称
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)。
一个函数不是奇函数就是偶函数，这个说法是否 定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=-f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)。
4、快速判断函数奇偶性的技巧
4、快速判断函数奇偶性的技巧
4、快速判断函数奇偶性的技巧
相加时，奇+奇=奇，偶+偶=偶
3、判断函数的奇偶性的两种方法
2、判断函数的奇偶性 1、利用函数的奇偶性求解析式
4、快速判断函数奇偶性的技巧
相加时，奇+奇=奇，偶+偶=偶
3、判断函数的奇偶性的两种方法
4、快速判断函数奇偶性的技巧 请分别举例说明这四类函数 请分别举例说明这四类函数
4、快速判断函数奇偶性的技巧
2、定义域关于原点对称
奇函数 定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=-f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
1、利用函数的奇偶性求解析式 2、定义域关于原点对称
2、定义域关于原点对称
1、图象关于y轴成轴对称
偶函数
非奇非偶函数 奇函数

解：偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点 P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图为 补充后的图象，易知f(2)>f(3)．
点评：利用函数的奇偶性作图，其根据是奇函 数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈ [0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数 值y<0的x的取值集合为________．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作 出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
要点阐释
1．函数奇偶性定义的理解 (1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函 数在定义域上的对称性，单调性是反应函数在某一 区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的 整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同， 从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部” 性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义 域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]， 才能说f(x)是奇(偶)函数．
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
解析：图象关于原点或y轴对称的函数具有奇 偶性．选项A，D中的图形关于原点或y轴均不对称， 故排除；选项C中的图形虽然关于坐标原点对称， 但是过(0，－1)和(0,1)两点，这说明当x＝0时，y＝ ±1，不符合函数的概念，不是函数的图象，故排 除；选项B中图形关于y轴对称，是偶函数．故选B.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1， 则f(－2)－f(－3)＝________.
解析：函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)， 则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.