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非线性条件下的最值问题求解策略浅析非线性条件下的最值问题是非常重要的数学研究课题，其中求解策略也是研究者们关注的一个重要分支。
非线性条件下的最值问题指的是在多变量函数f(x)或者f(x,y)的情况下，当给定多个约束条件，由此求得最小值或者最大值。
有关求解非线性条件最值问题的策略分为三类，分别是解析法、局部搜索法和全局搜索法。
首先，从解析法的角度对非线性条件下的最值问题进行求解。
解析法的优势在于只需要较少的计算量就能得到准确的解，但缺点是，由于本身的非线性特性，有许多情况下难以求出解析解。
尤其是出现了多个参数之间的复杂关系时，更加难以求出解析解，故解析法对非线性条件下的最值问题的求解效率也是较低的。
其次是通过局部搜索法来解决非线性条件下的最值问题。
局部搜索法的基本思想是，先选取一个初值，然后搜索“附近”的值，最终使得所搜索出来的值尽可能接近最值点。
其优势在于无需求解具体的极值公式，就可以对函数结构有一定的了解，但也存在一定的局限性，因为只能搜索附近的点，无法保证一定能够求出真正的最值点。
最后是全局搜索法，全局搜索法是局部搜索法和解析法的结合。
其求解方法主要是通过随机搜索、梯度下降法等方式，获得比较好的估计值，然后再对这个估计值进行优化，最终使得结果更加准确。
全局搜索法既可以保证准确性又可以节省计算时间，故这一求解方法被认为是非线性条件最值问题求解的一个有效方法。
综上所述，解析法是求解非线性条件下的最值问题的一种有效方法，但也存在一定的局限性；局部搜索法无需进行繁琐的求解步骤即可获得较好的解，但无法提供最优解；而全局搜索法不仅可以提供最优解，还可以缩短求解时间，并且求解结果更加准确。
因此，不断完善和发展各种求解策略是非线性条件下最值问题研究的一个重要分支，也是未来研究的方向之一。
非线性目标函数
非线性目标函数是指目标函数中存在非线性项的优化问题。
非线性目标函数在许多实际问题中是常见的，如经济学、物理学、工程学等领域。
非线性目标函数可以表示为：
$$
\text{minimize} \quad f(x)
$$
其中，$f(x)$是一个关于变量$x$的非线性函数。
优化问题的目标是找到使得目标函数取得最小值的变量$x$。
非线性目标函数在优化问题中具有许多挑战。
与线性目标函数不同，非线性目标函数的导数可能难以计算。
此外，非线性目标函数可能存在多个局部极小值点，而不是全局极小值点。
因此，寻找非线性目标函数的全局最小值通常是一个困难的问题。
为了解决非线性目标函数的优化问题，可以采用多种方法。
其中一种是使用迭代算法，如梯度下降法或牛顿法。
这些算法通过反复迭代更新变量$x$的值，以逐渐接近目标函数的最小值。
另一种方法是使用约束优化方法，将非线性目标函数的优化问题转化为带有约束条件的优化问题。
通过引入约束条件，可以限制变量$x$的取值范围，从而更容易找到全局最小值。
非线性目标函数的优化问题有许多重要的应用。
在经济学中，非线性目标函数可以用于描述市场供求关系、消费者行为等问题。
在物理学中，非线性目标函数可以用于描述物质的力学性
质、电磁场的行为等问题。
在工程学中，非线性目标函数可以用于优化设计问题、控制问题等。
总之，非线性目标函数是优化问题中常见的问题，解决这类问题的方法有很多。
通过使用适当的优化算法或约束优化方法，可以找到非线性目标函数的全局最小值，从而解决实际问题。
非线性目标函数的最值问题一、单选题1．若实数满足不等式组，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】D画出不等式组表示的平面区域如图2中阴影部分所示，的几何意义是阴影部分内的点到原点的距离的平方，显然，由可得，则，故的取值范围为．故选D．【点睛】2．已知变量满足，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C作可行域，P(4,3),因为表示可行域内点到定点A（-1，-1）距离的平方，所以的取值范围为,选C.【点睛】3．若变量x，y满足，则的最大值为A．2B．3C．D．【答案】C不等式组表示的可行域是以，，为顶点的三角形区域，由表示点到原点的距离，最大值必在顶点处取到，因为，，，所以的最大值为，故选C．4．已知实数满足条件，则的最大值是( )A．1B．2C．3D．4【答案】C由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），∵z=，如图所示，经过原点（0，0）与A的直线斜率最大为3，∴的最大值是3．5．已知实数，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C作出表示的可行域，如图，目标函数，可看作可行域内的点与的距离的平方，由图可知，点到直线距离的平方，就是作可行域内的点与的距离的平方的最小值，为，点到距离的平方，就是作可行域内的点与的距离的平方的最小值，为，所以的取值范围为，6．已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D由约束条件作出可行域如图，表示原点（，）到阴影区域的距离的平方，∴是原点（（，）到的距离的平方，则＝＝，x是原点（，）到点（，）的距离的平方，则＝＝，∴的取值范围是，故选：D．7．若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【、详解：画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，即，将形为，表示可行域内的点与连线的斜率，由图知最小，最大最大值为，故答案为.故选B.8．已知实数，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由题意得，目标函数，可看作可行域内的点与的距离的平方．结合图形可得，点到直线的距离的平方，就是可行域内的点与的距离的平方的最小值，且为，点 到 距离的平方，就是可行域内的点与 的距离的平方的最大值，为 ，所以 的取值范围为．故选C ．9．已知动点 满足：，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． －1 D ． －2 【答案】D根据指数函数的性质，由 可得 ，即 ， 动点 满足：， 该不等式组表示的平面区域如图：设 ， ， 表示以 为圆心的圆的半径，由图形可以看出，当圆与直线 相切时半径最小，则，，解得 ， 即 的最小值为 . 故选：D.10．若x ，y 满足 ，， ，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D．【答案】B画出目标函数可行域如上图所示，目标函数即为（x，y）点（0，-1）连线斜率的取值，所以在点B处取得最优解联立直线方程解得B（1，1）所以所以选B11．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。
非线性目标函数的最值问题非线性目标函数的最值问题是数学中的一个重要问题，在实际应用中有着广泛的应用。
所谓非线性目标函数，是指目标函数中含有非线性项的函数。
最值问题就是要求在给定条件下，求出目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
非线性目标函数的最值问题可以通过一些方法来求解，其中较为常见的方法有数值方法和优化方法。
数值方法是通过对目标函数进行数值逼近来求解最值问题。
常用的数值方法包括黄金分割法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法的基本思想都是通过不断逼近目标函数的最值点来求解问题，具体方法根据目标函数的性质和要求的精度而定。
优化方法是通过求解最优化问题来求解最值问题。
最优化问题是指寻找使得目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
常用的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
这些方法的基本思想是将目标函数设定为一个优化问题，并利用一些数学技巧和算法来求解问题。
对于非线性目标函数的最值问题进行求解时，需要注意问题的复杂性和求解的难度。
在实际应用中，非线性目标函数的最值问题往往包含大量变量和约束条件，求解过程中需要考虑多种因素和限制条件，因此需要采用一些高效的算法和方法来求解问题。
此外，近年来还出现了一些新的方法和算法来求解非线性目标函数的最值问题，如遗传算法、粒子群优化算法等。
这些算法具有较好的收敛性和全局搜索能力，能够有效地解决非线性目标函数的最值问题。
综上所述，非线性目标函数的最值问题是一个具有重要意义和广泛应用的数学问题，求解问题时可以采用数值方法和优化方法。
在实际应用中，需要根据问题的特点和要求选择合适的方法和算法，并注意解的可行性和精度的要求。
通过合理的方法选择和算法设计，可以有效地解决非线性目标函数的最值问题。
非线性目标函数最值问题学习目标1. 通过实例，能用平面区域表示二元一次不等式组。
2. 借助斜率公式及距离公式，类比体会非线性目标函数所表示的几何意义。
3. 通过启发、引导、小组讨论探究出目标函数的最优解。
学习重点借助斜率公式及距离公式，类比体会非线性目标函数所表示的几何意义，利用图解法求非线性目标函数的最优解。
学习难点通过类比、化归、数形结合、运动变化等方法探究非线性目标函数的最优解。
创设情境 提出问题1.求线性目标函数的最值的步骤：2.如何求形如22)()(b y a x z -+-=目标函数的最值?3.如何求形如ax b y z --=目标函数的最值? 探究发现 构建新知1.求形如22)()(b y a x z -+-=目标函数的最值：问题1：回忆两点之间距离公式——班级 姓名三年级数学组问题2：尝试说说目标函数的几何意义——2.求形如ax b y z --= 目标函数的最值： 问题3：回忆过两点直线的斜率公式——问题4：尝试说说目标函数的几何意义——[例1] 变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，（1）求可行域内的点),(y x 到原点的距离z 的表达式；（2）求z 的取值范围。
[例2] 变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，（1）求可行域内的点),(y x 与原点连线的斜率z 的表达式；（2）求z 的取值范围。
自我尝试 运用新知[变式1] 设点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，设22)3(y x z +-=，求z 的最小值。
未来的你 一定会感激现在拼命的自己！[变式2] 变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，设11++=x y z ，求z 的取值范围。
回顾反思 巩固深化1.本节课我学会了：2.变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，（1）设251022+-+=y y x z ，求z 的最小值；（2）设112++=x y z ，求z 的最值。
非线性规划求极值题目：非线性规划求极值目标函数min F(X) 或max F(X)X 自变量向量｛x1,x2,…xn｝约束条件c i<=gi(X) <= d i i=1,2,…ma j<=x j<=b j j=1,2,…n技术要求：使用VB6、VC6或Fortran任何一种语言编写算法，实现求解。
优化方法要求采用“牛顿法”、“共轭法”和“复合形法”。
在指定的计算精度，1000次以内必须完成迭代算法，计算耗时<100ms。
提供详细设计说明书，程序中应有相应注释。
费用：每一种算法费用1500元，三种算法费用共4500元项目内容描述：模块定义如下：（以VB6函数为例）Public Function OptimizeMethod(lngMode As Long, lngItMax As Long, _lngN As Long, sngG() As Single, sngH() As Single, _lngM As Long, strExpImplicit() As String, _strExpObject As String, _sngXX() As Single) As Long'函数返回值'*************************************************************'OptimizeMethod=0 计算完成，有解'OptimizeMethod=-1001 约束表达式有误'OptimizeMethod=-1002 目标函数表达式有误'OptimizeMethod=-1003 超过规定的迭代次数任不能求解'输入参数'*************************************************************'lngMode-------------极值模式lngMode = -1 求极小值；lngMode = 1 求极大值'lngItMax------------最大允许迭代次数'lngN----------------自变量个数'sngG()--------------显示约束最小值数组'sngH()--------------显示约束最大值数组'lngM----------------隐式约束条件个数'strExpImplicit()----隐式约束条件表达式数组，例如2*x1+3*x2^2-5*x4^3'strExpObject--------目标函数表达式，例如(x1+4*x2^2+x3+100*x4)/(x1^2+5*x3^3)'输出参数'*************************************************************'sngXX()--------------计算结果数组End Function注意：其它常数，例如反射因子、收敛参数在程序初始化时给定。
第2课时 求非线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.设x ,y 满足约束条件 - --若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为( ) A.B.C.D.4.由图形可知,目标函数在点(4,6)处取得最大值12,则2a+3b=6,从而有(2a+3b )= +2,当且仅当a=b=时,等号成立.故选A .2.若实数x ,y 满足 -则z=3x+2y 的最小值是( ) B.1 C. D.9 解析:题中不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.令t=x+2y ,则当直线y=- x+ t 经过原点O (0,0)时,t 取最小值,即t 有最小值为0,故z=3x+2y 有最30=1.3.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域上的一个动点,则的取值范围是 ( ) B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]表示的平面区域如图阴影部分所示.由数量积的坐标运算可得=-x+y.令-x+y=z,即y=x+z.易知目标函数y=x+z过点B(1,1)时,z min=0.目标函数y=x+z过点C(0,2)时,z max=2.的取值范围是[0,2].4.如图所示,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若点C是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是()A.--B.--C. D.-C,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.因为k BC=-,k AC=-,所以a∈--.5.已知x,y满足--且x-3y的最大值不小于6,则实数m的取值范围是()A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.-D.x-y+1=0与x+y-2=0交点为,所以m>.作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线x-3y=0,并平移,当直线x-3y=z过点A(m,2-m)时,x-3y取得最大值.x-3y的最大值不小于6,得m-3(2-m)≥6,解得m≥3.6.已知x,y满足约束条件--若使z=ax+y取得最大值的最优解有无数个,则实数a的取值构成的集合是()B.{-1,1}C.{-1,3}D.{-3,0,1}--表示的平面区域,如图所示.从图可知,当a=-1时,线段AC上的所有点都是z取得最大值的最优解;当a=3时,线段BC上的所z取得最大值的最优解;当a=0时,z取得最小值的最优解有无数个,不符合题意.A(1,1),B(4,2),C(-1,4),若动点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,且z=ax-y的最优解有无数个,则a 的值为.,说明直线y=ax-z与可行域边界所在的某条直线平行,又直线AB的斜率为--,直线BC的斜率为-=-,直线AC的斜率为---=-,故直线y=ax-z的斜率a的值为或-或-.-或-8.已知点P的坐标(x,y)满足则点P到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是..由图可知点B(2,2)到直线4x+3y+1=0的距离最大,由点到直线的距离公式得d==3.A={(x,y)|x+y≥2},集合B={(x,y)|2x+y≥2},当(x,y)∈A∩B时,求z=x+y的取值范围.x,y满足的不等式组为在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示.因为直线y=-x+z与直线x+y=2平行,所以当直线y=-x+z与x+y=2重合时,z取得最小值2,且z无最大值,故z的取值范围是[2,+∞).★10.已知变量x,y满足约束条件---若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,求a的取值范围.,作直线l:ax+y=0,过点(3,0)作l的平行线l',则直线l'介于直线x+2y-3=0与直线x=3之间,因此,-a<-,即a>.故a的取值范围为.★11.已知实数x,y满足不等式组--(1)求目标函数z=10x+30y(x,y∈Z)的最小值;z=ax+y(a<0)的最大值为-2,求a的取值范围.解:在平面直角坐标系中作出可行域,如图阴影部分所示.(1)由于x,y∈Z,故在可行域中通过打网格的方法找出各整点,发现当直线y=-x+经过点A(0,-2)时,目标函数取得最小值,z min=-60.(2)若a≤-1,则目标函数在A(0,-2)处取得最大值-2,符合题意;若-1<a<0,则目标函数无最大值.综上可知,a的取值范围是(-∞,-1].。
10月9日非线性目标函数的最值问题 高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★★☆典例在线已知实数x ，y 满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则（1）|24|z x y =+-的最大值为________________； （2）221025z x y y =+-+的最小值为________________；（3________________． 【参考答案】（1）21；（2）92；（3【试题解析】作出约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如下图中阴影部分所示：可求得顶点的坐标为()1,3A ，1(3)B ,，9(7)C ,． （1）易知可行域内各点均在直线240x y +-=的上方，故240x y +->，|24|z x y =+-表示点(,)x y 到直线240x y +-=将点9(7)C ,代入可得z 的最大值为21． （2）222210255()z x y y x y -+=++-=表示可行域内任一点()x y ,到定点(0,5)M 的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z（3()x y ,z【名师点睛】从历年高考题目来看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，也可能涉及非线性目标函数的最值问题，考查学生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力．对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键．常见的有三种类型：（1）形如22()()z x a y b =-+-的目标函数，可化为可行域内的点(,)x y 与点(,)a b 间的距离的平方的最值问题．（2）形如(0)ay b z ac cx d +=≠+的目标函数，由()()by ay b a a z d cx d c x c--+==⋅+--可将问题化为可行域内的点(,)x y 与点(,)d b c a --连线斜率的ac倍的范围或最值问题．特别地，yx表示点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率．（3）形如22(0)z Ax By C A B =+++≠的目标函数，由z =题化为可行域内的点(,)x y 到直线0Ax By C ++=倍的最值问题．学霸推荐1．（2016山东理）若变量x ，y 满足22390x y x y x ì+?ïïï-?íïï³ïïî，则22x y +的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．122．若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是_________________．3．设x 、y 满足约束条件220,3260,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则22b a +的最小值为_________________．1．【答案】C2．【答案】3【解析】122≤+y x 表示圆122=+y x 及其内部，易得直线630x y --=与圆相离， 故y x y x 36|36|--=--，当022≥-+y x 时，2263=24x y x y x y +-+---+， 如下图所示，可行域为小的弓形及其内部，目标函数42+-=y x z ， 则可知当53=x ，54=y 时，3min =z ． 当022<-+y x 时，2263=834x y x y x y +-+----， 如下图所示，可行域为大的弓形及其内部，目标函数y x z 438--=， 则可知当53=x ，54=y 时，3min =z ． 综上所述，|36||22|y x y x --+-+的最小值是3．故填3．144 3．【答案】25。
线性规划题型五线性规划中的非线性目标函数的最值问题一、求非线性目标函数的最值问题例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、，5已知x,y 满足||||4x y+≤，则22(3)(3)z x y=++-的最小值是.比值问题当目标函数形如y azx b-=-时,可把z看作是动点(,)P x y与定点(,)Q b a连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
例4. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 yx 的取值范围是（ ）.A.[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]与圆锥曲线综合的非线性规划的比值问题若方程，()0112=+++++b a x a x 的两根分别为椭圆与双曲线的离心率。
则ab的取值范围为（）()1,2--⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,2 ()()∞--∞-,12, ()⎪⎭⎫⎝⎛∞--∞-,212,1 X2X1与向量综合的可化为线性规划问题的非线性规划问题2011年6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx x x 2220 给定，若M （x ，y ）为D 上的动点，点A的坐标为，则z=OM ·OA 的最大值为 A ．3B ．4C ．D ．已知O 为最坐标原点,A(2,1),P(X,Y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y xAOP COS ∠•的最大值。
