矩阵及其运算测试题

考研数学三（矩阵及其运算）-试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设n维行向量αA=E-ααT，B=E+2αTα，则AB=（分数：2.00）A.0．B.E．√C.-E．D.E+αTα．解析：解析：AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E+2αTα-αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α．注意ααT，故AB=E．应选(B)．3.设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA *．B.A m A p =A p A m．C.A T A=AA T．√D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．解析：解析：因为AA * =A * A=｜A｜E， A m A p =A p A m =A m+p， (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A 2 -E，所以(A)、(B)、(D)均正确．而AA T，故(C)不正确．4.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.00）A.A+B．B.A -1 +B -1．C.A(A+B) -1 B．√D.(A+B) -1．解析：解析：(A -1 +B -1 ) -1 =(EA -1 +B -1 ) -1 =(B -1 BA -1 +B -1 ) -1 =[B -1 (BA -1 +AA -1 )] -1 =[B -1 (B+A)A -1 ] -1 =(A -1 ) -1 (B+A) -1 (B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B．故应选(C)．5.设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）或B=0．且B≠0．A｜=0或｜B｜=0．√A｜≠0且｜B｜≠0．解析：解析：A=≠0，但AB=0，所以(A)，(B)均不正确．又如AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可见(D)不正确．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．应选(C)．注意矩阵A≠0和行列式｜A｜≠0是两个不同的概念，不要混淆．6.设B=（分数：2.00）A.AP 1 P 2B.AP 1 P 3．√C.AP 3 P 1．D.AP 2 P 3．解析：解析：把矩阵A的第2列加至第1列，然后第1，3两列互换可得到矩阵B，表示矩阵A的第2列加至第1列，即AP 1，故应在(A)、(B)中选择．而P 3表示第1和3两列互换，所以选(B)．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.若 A 2 = 1，A 3 = 2．（分数：2.00）填空项1:__________________8.若 A * = 1，(A * ) * = 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：用定义．A 11 =-3，A 12 =6，A 13 =-3，A 21 =6，A 22 =-12， A 23 =6，A 31 =-3，A 32 =6， A 33 =-3，故因为r(A * )=1，A *的二阶子式全为0，故(A * ) * =0．9.设 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.设矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因B=(A+2E)(A+3E)，又=5B -1，故11.设A是n阶矩阵，满足A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2 -2A+E=0有 (A+2E). (4E-A)=E． (A+2E) -1．12.若(A * ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为(A * ) -113.若A -1(3A) * = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为(kA) * =k n-1 A *，故(3A) * =3 2 A *，又A * =｜A｜A -1，而从而(3A) * =9A *14.设x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4或-5）解析：解析：A不可逆｜A｜=0x=4或x=-5．15.设A，B均为3阶矩阵，且满足AB=2A+B，其中B-2E｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：由AB-2A-B+2E=2E，有A(B-2E)-(B-2E)=2E，则(A-E)(B-2E)=2E．于是｜A-E｜.｜B-2E｜=｜2E｜=8，而｜A-E｜=-4，所以｜B-2E｜=-2．16.设A 2 -BA=E，其中B= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于BA=A 2 -E，又A可逆，则有B=(A 2 -E)A -1 =A-A -1．故17.设XA=A T +X，其中X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由XA-X=A T有X(A-E)=A T，因为A可逆，知X与A-E均可逆．故X=A T (A-E) -118.已知X满足A * X=A -1 +2X，其中A *是A的伴随矩阵，则X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：左乘A并把AA *=｜A｜E代入得｜A｜X=E+2AX，移项得(｜A｜E-2A)X=E．故X=(｜A｜E-2A)-1．由｜A｜=4知X=(4E-2A) -1三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。

7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。

对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。

8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。

对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。

9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。

对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。

矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。

通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。

下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。

1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。

解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。

2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。

解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。

通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。

3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。

解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。

特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。

解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。

特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。

特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。

4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。

解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。

计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。

矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。

对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。

矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。

在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。

1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。

解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。

因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。

解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。

计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。

解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。

对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。

4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。

解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。

首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。

计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。

矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。

答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。

答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。

答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。

答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。

考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列命题中不正确的是A．如A是n阶矩阵，则(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)．B．如A，B均是n×1矩阵，则ATB=BTA．C．如A，B均是n阶矩阵，且AB=0，则(A+B)2=A2+B2．D．如A是n阶矩阵，则AmAk=AkAm．正确答案：C解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是A2一E，而(D)是因乘法有结合律，两乘积都是Am+k，故(A)，(D)都正确．关于(B)，由于ATB，BTA都是1×1矩阵，而1阶矩阵的转置仍是其自身，故ATB=(ATB)T=BTA亦正确．唯(C)中，从AB=0还不能保证必有BA=0，例如A=，则AB=，因此，(C)不正确．选(C)．知识模块：矩阵及其运算2．已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得B，再把B的第1列的一2倍加至第3列得C，则满足PA－1=C－1的矩阵P为A．B．C．D．正确答案：B解析：对矩阵A作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘A，故应选(B)．知识模块：矩阵及其运算3．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ=A．B．C．D．正确答案：A解析：对矩阵P作一次初等列变换：把第2列加至第1列，便可得到矩阵Q．若记E12(1)=，则Q=PE12(1)．那么QTAQ=[PE12(1)]TA[PE12(1)]=(1)(PTAP)E12(1)所以应选(A)．知识模块：矩阵及其运算4．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：由于kA=(kaij)，故行列式｜kA｜的代数余子式按定义为再根据伴随矩阵的定义知应选(B)．知识模块：矩阵及其运算5．设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，b可逆，那么知识模块：矩阵及其运算6．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有A．CBA=E．B．BCA=E．C．BAC=E．D．ACB=E．正确答案：B解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．知识模块：矩阵及其运算7．设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B—C=A．E．B．一E．C．A．正确答案：A解析：由B=E+AB(E一A)B=EB=(E—A)－1；C=A+CAC(E—A)=AC=A(E—A)－1(或C=AB)．那么B—C=(E一A)－1－A(E—A)－1=(E—A)(E 一A)－1=E(或B—C=B—AB=E)．故选(A)．知识模块：矩阵及其运算填空题8．设A，B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是__________．正确答案：AB=BA解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵．例如而AB对称AB=BTAT=BA．所以应填：AB=BA．知识模块：矩阵及其运算9．设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ=___________．正确答案：5解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以αTβ=1+6+(－2)=5．知识模块：矩阵及其运算10．设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________．正确答案：解析：由于A=αβT==2．所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βT α)βT=4αβT=4A= 知识模块：矩阵及其运算11．已知A=，则An=___________．正确答案：解析：由于A=λE+J，其中J=，而进而知J4=J5=…=0．于是知识模块：矩阵及其运算12．已知A=，则An=__________．正确答案：解析：对A分块为则B=3E+J，由于J3=J4=…=0，于是Bn=(3E+J)n=3nE+3n －2J2．而C=(3，－1)，C2=6C，…，Cn=6n－1C，所以知识模块：矩阵及其运算13．设A=，则A2013一2A2012=___________．解析：由于A2013一2A2012=(A一2E)A2012，而A一2E=试乘易见(A 一2E)A=0，从而A2013一2A2012=0．知识模块：矩阵及其运算14．已知PA=BP，其中P=，则A2012=__________．正确答案：E解析：因为矩阵P可逆，由PA=BP得A=P－1BP．那么A2=(P－1BP)(P－1BP)=P－1B(PP－1)BP=P－1B2P．归纳地A2012=P－1B2012P．因为，易见B2012=E．所以A2012=P－1EP=E．知识模块：矩阵及其运算15．已知2CA一2AB=C—B，其中A=，则C3=____________．正确答案：解析：由2CA一2AB=C－B得2CA一C=2AB—B．故有C(2A—E)=(2A—E)B．因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)－1．那么C3=(2A—E)B3(2A—E)－1 知识模块：矩阵及其运算16．已知A=，则An=___________．正确答案：解析：先求A的特征值与特征向量．由对λ=0，由(0E—A)x=0，解出α1=；对λ=6，由(6E—A)x=0，解出α2=令P=．而A=PAP－1，于是知识模块：矩阵及其运算17．=___________．正确答案：解析：E12=是初等矩阵，左乘A=所得E12A是A作初等行变换(1，2两行对换)，而E122011A表示A作了奇数次的1，2两行对换，相当于矩阵A作了一次1，2两行对换，故而右乘E13是作1，3两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即为所求．知识模块：矩阵及其运算18．设A=，(A－1)*是A－1的伴随矩阵，则(A－1)*=__________．正确答案：解析：因为A－1.(A－1)*=｜A－1｜E，有(A－1)*=｜A－1｜A=A．本题｜A｜=6，所以(A－1)*= 知识模块：矩阵及其运算19．已知n阶行列式｜A｜=，则｜A｜的第k行代数余子式的和Ak1+Ak2+…+Akn=___________．正确答案：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A*有密切的联系，而A*与A－1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A－1．由于又因A*=｜A｜A－1，那么可见Ak1+Ak2+…+Akn= 知识模块：矩阵及其运算20．(Ⅰ)已知A=，则(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，则A－1=____________．(Ⅲ)设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A 一2B，B=，则(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，则(E+A+A2)－1=____________．正确答案：解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有AB+2B=A+2E 一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E 一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A) =(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，故(B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E．知识模块：矩阵及其运算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。