2019-2020学年湖北省恩施州巴东县九年级(上)期末数学试卷

湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程x2=0的解是（）A．x=0 B．无实数根C．1 D．x1= x2=02．已知二次函数y=－12x2，下列说法正确的是（）A．该抛物线的开口向上B．顶点坐标是（0，0）C．对称轴是x=－12D．当x＜0时，y随x的增大而减小3．下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．正方形B．等边三角形C．圆D．平行四边形4．正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为（）A．1 B．2 C．3 D．65．下列事件中，是必然事件的是（）A．射击运动员射击一次命中10环B．任意一个三角形的内角和360oC．掷一次骰子，向上一面的点数为6 D．水加热到100℃时，水沸腾6．已知点A(2，－3), 则它关于原点对称的点的坐标为（）A．（2，3）B．(－2,3) C．（－2，－3）D．（3，－2）7．抛物线y=－x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．48．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．180°C．240°D．300°9．为了估计鱼塘中的鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放入鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条有记号的鱼，那么估计鱼塘中的鱼的条数是（）条.A．a+b+n B．bnaC．anbD．bn10．某商品的价格为100元，连续两次降%x后的价格是81元，则x为（）A．9 B．10 C．19 D．811．如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0<x<10)，四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=x(10－x) B．y=12x(10－x) C．y=12x(10+x) D．y=12(10－x)212．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=－1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc ＞0；②b2﹣4ac＞0；③若点（－0.5，y1），（－2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空题13．已知下列抛物线：①y=x2，②y=－2x2+1，③y=94x2+2x－1，则开口最小的抛物线是______(填写序号).14．一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球，在每一个小球上书写一个汉字，这些汉字组成一句话：“知之为知之，不知为不知，是知也”.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次取出的小球都是“知”的概率是______.15．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是______.16．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=45°，,点D为AC上一动点，以BD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，则EF的最小值是______.三、解答题17．解方程.（1）用配方法解下列一元二次方程. x2－x－34=0.（2）两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.18．如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC=2∠1.（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）当∠1=30°，AB=4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积.19．把分别标有数字1，2，3，4的四个小球放入A袋内，把分别标有数字－1，－2，－2，－3，5的五个小球放入B袋内，所有的小球除了标有的数字不同外，其余完全相同.（1）学生甲从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为相反数的概率.（2）当B袋中标有5的小球的数字变为时，（1）中的概率为1 4 .20．如图所示，在每一个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点都在格点上.（1）请画出△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90o后的图形△A B′C′.（2）仅用直尺，过点A作出（1）中B′C′的垂线.说明基本画图的步骤，不要求证明（可根据需要补充网格）.21．（1）求证：无论p为何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0总有两个不相等的实数根. （2）若方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，试求p的值.22．已知AB为⊙O的直径.（1）如图a，点D为AC的中点，当弦BD=AC时，求∠A．（2）如图b，点D为AC的中点，当AB=6，点E为BD的中点时，求OE的长. （3）如图c，点D为AC上任意一点（不与A、C重合），若点C为AB的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明.23．以40m/s的速度将小球沿与地面成约45°角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，我们不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2.（1）请在给出的坐标系中画出函数图象.（2）观察图象，求出小球的飞行高度不低于15m的时间范围及小球飞行的最大高度.24．如图a，已知抛物线y=－12x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式.（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC 的形状.并证明你的结论.（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】直接开平方求解即可.【详解】x2=0，开方得，x1= x2=0.故选：D【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．B【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】∵y=－12x2，∴12a=-<，抛物线的开口向下，故选项A错误；顶点坐标是（0，0），故选项B正确；对称轴是x=0，故选项C错误；抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0）．3．D【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可．详解：正方形和圆既是中心对称图形，也是轴对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．由此可得，只有选项D符合题意，故选D．点睛：本题考查了中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．A【分析】先求出正六边形的边长，再利用正六边形的中心角为60°可判断由正六边形的一边和过边的端点的半径所组成的三角形为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解决问题．【详解】∵正六边形的周长为6，∴正六边形的边长为6÷6=1，又正六边形的中心角为360°÷6=60°，所以由正六边形的一边和过边的端点的半径所组成的三角形为等边三角形，所以它的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．5．D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，A选项错误；任意画一个三角形，其内角和为360°是不可能事件，B选项错误，掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，C选项错误；通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．B【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】点A（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3），故选：B．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．D【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，即可根据坐标求出两点间的距离．【详解】当y=0时，－x2+2x+3=0，解得（x+1）（x-3）=0，x1=-1，x2=3．与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）．则抛物线与x轴两交点间的距离为3-（-1）=4．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，令y=0，将函数转化为关于x的一元二次方程是解题的关键．8．B【详解】试题分析：设母线长为R ，底面半径为r ， ∴底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr 2=πrR ， ∴R=2r ， 设圆心角为n ，有180n R=2πr=πR ， ∴n=180°． 故选B ．考点：圆锥的计算 9．C 【分析】首先求出有记号的b 条鱼在a 条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】∵打捞a 条鱼，发现其中带标记的鱼有b 条， ∴有标记的鱼占b a ， ∵共有n 条鱼做上标记， ∴鱼塘中估计有n÷b a=anb（条）． 故选：C ． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 10．B 【解析】 【分析】第一次降价后的价格为100(1-x%)，第二次降价后的价格为100(1-x%)(1-x%). 【详解】由题意列出方程：100(1-x%)2=81 (1-x%)2=0.811-x%=±0.9 x=10或190 根据题意，舍弃x=190，则x=10， 故选择B. 【点睛】要理解本题中“连续两次降价”的含义是，第二次降价前的基础价格是第一次降价后的价格. 11．B 【分析】根据已知得出四边形ABCD 面积为y ，则BD=10-x ，进而求出y=12x(10－x). 【详解】设AC 的长度为x ， 则BD=20-x ， ∴y=12AC×BD=12x （10-x ）. 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是知道四边形ABCD 的面积=12AC×BD. 12．A 【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0）， ∴-2ba=-1，a+b+c=0， ∴b=2a ，c=-3a ， ∵a ＞0， ∴b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，∵抛物线与x轴有交点，∴b2-4ac＞0，故②正确；∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，-1.5＞-2，则y1＜y2；故③错误，故选：A.【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题13．③【分析】根据开口越小，二次项系数的绝对值越大进行判断即可.【详解】∵|94|＞｜2｜＞|1|,∴抛物线③的开口最小.故答案为：③.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的开口越小，二次项系数的绝对值越大是解题的关键．14．25 169【分析】首先根据题意画出表格图，然后由表格图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球都是“知”的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画出表格如下：（用“A”表示都是“知”，用“B”表示其他情况）共有169种等可能结果，其中两次摸出都是“知”的有25种，∴两次摸出都是“知”的概率是25 169，故答案为：25 169．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．长为6m,宽为4m【分析】设矩形的长为xm，则宽为（20÷2-x）m，根据面积=长×宽，列出方程求解即可．【详解】设矩形的长是x米，则宽是（10-x）米，根据题意得：x（10-x）=24，解得x1=4（不合题意舍去），x2=6，故矩形的长为6米，宽为4米．故答案为：长为6m,宽为4m.【点睛】此题主要考查了一元二次方程中长方形面积的应用，表示出矩形两边长，进而得出面积，再解方程是解决本题的关键．16．【分析】由垂线段的性质可知，当BD为△ABC的边AC上的高时，直径BD最短，此时线段EF=2EH=2OE•sin∠EOH=2OE•sin45°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径BD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠ABC=45°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．【详解】由垂线段的性质可知，当BD为△ABC的边BC上的高时，直径BD最短，如图，，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠BAC=60°，，∴BD=6，即此时圆的直径为6，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠ABC=45°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=3×2=2，由垂径定理可知．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候EF的值最小，难度不大，根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．17．（1）x1=32，x2=－12，见解析；（2）1.5，6.5【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤解方程x2－x－34=0即可；（2）设较小的数为x，则较大的数为（8-x），根据两个数的乘积=9.75为等量关系，列出方程求出符合题意的值，并求出这两个数．【详解】（1)：x2－x－34=0.方程两边同×4：4x2－4x－3=0 移项得：4x2－4x=3配方得：（2x－1)2=4∴2x－1=±2∴x1=32，x2=－12；(2) 设较小的数为x，则较大的数为（8-x），由题意，得x（8-x）=9.75，整理，得4x2-32x+39=0，解得x1=1.5，x2=6.5＞8-6.5（舍去），当x=1.5时，8-x=6.5．答：这两个数分别为1.5和6.5．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．18．（1）见解析；（2）－4 3π【分析】（1）连接OC，首先证明∠APC+∠AOC=180°，由PA是圆的切线可得∠OAP=90°，根据四边形内角和可得∠OCP=90°，从而得证；（2）【详解】（1）证明：连结OC.在圆O中，OA=OC，∴∠BOC=2∠1=∠APC∠BOC+∠AOC=180°∴∠APC+∠AOC=180°∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°又四边形内角和为360°，∴∠OCP=90°，OC为⊙O的半径∴PC为⊙O的切线.（2）∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线.∴PA=PC∵∠1=30°,∠APC=2∠1∴∠APC=60°，∠AOC=120°，∴△APC为等边三角形.连结OP，OC，则∠APO=∠CPO=30°∵AB=4∴OC=OA=2，在Rt △POA 中，PO=4，，∴S 四边形AOCP =2×12×2× S 扇形AOC =120360︒︒×π×4=43πS 阴影部分的面积43π. 【点睛】本题考查了切线的判定，以及扇形面积的计算．是基础题，难度不大．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 19．（1）15；（2）－1或－2或－3或－4 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字互为相反数的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）由概率为14，可得标有5的小球的数字变为－1或－2或－3或－4，继而可求得答案． 【详解】(1)解：采用列表法.表中打√的表示摸出的两球上的数字互为相反数从表中可以看出，可能出现的结果有20种，其中，两个数互为相反数的情况有4种， 所以：P(摸出两个小球上的数字互为相反数)=15. （2）当B 袋中标有5的小球的数字变为－1或－2或－3或－4时，（1）中的概率为14. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）作出B，C的对应点B′，C′即可；（2）D、E、M、N均为格点，作射线DE、MN，两射线相交于点G，连结GA，则直线GA 为所求线段B′C′的垂线【详解】（1）如图：（2) D、E、M、N均为格点，作射线DE、MN，两射线相交于点G，连结GA，则直线GA 为所求线段B′C′的垂线如图所示：【点睛】本题考查作图-旋转变换，作垂线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，21．（1）见解析；（2）0【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）将方程(x－2)(x－3)－p2=0化简为x2－5x+6－p2=0，其两根为正整数，求出两根，根据两根之积等于6－p2求解即可.【详解】(1)把方程(x－2)(x－3)－p2=0化为一般形式得：x2－5x+6－p2=0△=(－5)2－4×1×(6－p2)=4p2+1对于任意实数p，p2≥0∴△=4p2+1>0∴无论p为何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0总有两个不相等的实数根.（2）解：方程(x－2)(x－3)－p2=0化简得：x2－5x+6－p2=0设方程的两个实数根为a和b.则：a+b=5. 因为方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，所以，方程的根有下列两种情形：方程的两个实数根为1，4；此时ab=4方程的两个实数根为2，3; 此时ab=6∴当ab=4时，6－p2=4，解得：p=±;当ab=6 时，6－p2=6，解得：p=0;综上，方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，则p的值为0.【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．（1）30°；（2；（3）BD－CD【分析】（1）连接OC，由BD=AC证明AC DB，进一步证明C为DB的中点，从而可证∠A=1 2∠COB=12×13×180°=30°；（2）连结OD，BC，证明△DEF≌△BEC，分别OD，OF，BC，DF，AC以及EF的长，在Rt△OFE中运用勾股定理即可求得（3）连接BC，可证明∠BAC=∠BDC=45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，证明△ACD≌△BCF，根据BD=BF+DF可得结论.【详解】(1) 连结OC∵点D 为AC 的中点， ∴12AD DC AC == ∵BD=AC ∴AC DB = ∴1122DC AC DB ==，即点C 为DB 的中点. ∴AD DC BC == ∴∠A=12∠COB=12×13×180°=30°. (2）连结OD ，BC.∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠C=90ｏ∵点D 为AC 的中点，半径OD 所在的直线为⊙O 的对称轴 ∴点A 的对应点为C∴OD ⊥AC ，OD 平分AC,即：AF=CF ， ∵点E 为BD 的中点， ∴BE=DE ， 在△DEF 和△BEC 中90DE BE DFE C DF BEC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩∴△DEF ≌△BEC∴CE=EF, BC=DF ∵AO=BO, AF=CF∴OF=12BC=12DF ，又AB=6，∴OD=3∴OF=1, BC=DF=2在Rt△ABC中，AB=6，BC=2,由勾股定理求得，∵点F为AC的中点，点E为FC的中点∴，在Rt△OFE中，，OF=1,由勾股定理求得（3）BD、AD、CD之间的关系为：BD－CD连接BC，∵AB是直径，点C为AB的中点，∴∠ACB=90°,AC=BC，∴∠BAC=∠BDC=45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，∴△DCF是等腰直角三角形，∴CD=CF，CD，∵∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF，又AC=BC，CD=CF∴△ACD≌△BCF∴AD=BF∵BD=BF+DF∴CD，即BD－CD.【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．23．（1）见解析；（2）1≤t≤3，20m【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数的图象即可；（2）直接观察函数图象可得t的取值范围.【详解】（1）列表：描点，连线得，如下图（2）观察图象得，当1≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m.飞行的最大高度为:20m.【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了画二次函数的图象，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（1）y=－12x2+32x+2；（2）四边形BC′AC为矩形，见解析；（3）存在，（3，2）【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长度，利用勾股定理可求出AC、BC的长，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋转的性质即可找出四边形BC′AC为矩形；（3）假设存在这样的点D ，设D （x, －12x 2+32x+2），则有－12x 2+32x+2=2，求出x 的值再进行判断即可.【详解】（1）∵抛物线y=－12x 2+bx+c 经过点A(4，0) 、C(0，2)， ∴2144022b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得，322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：y=－12x 2+32x+2 （2）四边形BC′AC 为矩形.令y=0，则－12x 2+32x+2=0，解得11x =-，24x = ∴B （－1，0）∵A(4，0) 、C(0，2)，∴OB=1，OA=4，OC=2，由勾股定理求得：又AB=5，∴222BC AC AB +=∴△ABC 直角三角形，∠BCA=90°，∵△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°得到△BAC′，则A 、B 互为对应点，由旋转的性质可得：BC=AC'，AC=BC'∴四边形BC′AC 为平行四边形，又∠BCA=90°∴四边形BC′AC 为矩形.（3）设D （x, －12x 2+32x+2），则有－12x 2+32x+2=2， 解得，13x =，20x =（不符合题意，舍去），∴D （3，2）故存在点D ，使得以A 、B 、D 三点为顶点的三角形与△ABC 全等.点D 的坐标为（3，2）.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、矩形的判定、勾股定理、勾股定理逆定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用旋转的性质结合勾股定理的逆定理证出四边形BC′AC 为矩形．。

2019-2020学年上学期期末原创卷A 卷九年级数学·参考答案11．3- 12．（–5，–1） 13．22(2)3y x =-+14．3415．1216．8π3-17．【解析】（1）22410x x --=，2122x x -=， 212112x x -+=+，23(1)2x -=，（2分）12x -=±∴112x =+，21x =．（4分）（2）(1)220y y y -+-=，(1)2(1)0y y y -+-=， (1)(2)0y y -+=，（6分）10y -=或20y +=，∴11y =，22y =-．（8分）18．【解析】在△ABD 中，∠ABD =90°，∠BAD =18°，BA =10 m ，∵tan ∠BAD =BDBA， ∴BD =10×tan18°，∴CD =BD -BC =10×tan18°-0.5≈2.7（m ），（3分） 在△ABD 中，∠CDE =90°-∠BAD =72°， ∵CE ⊥ED ，∴sin ∠CDE =CECD， ∴CE =sin ∠CDE ×CD =sin72°×2.7≈2.6（m ），（6分） ∵2.6 m<2.7 m ，且CE ⊥AE ， ∴小亮说的对．答：小亮说的对，CE 为2.6 m ．（8分） 19．【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，因为线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ， ∴60DAE ∠=︒，AE AD =，∴BAD EAB BAD DAC ∠+∠=∠+∠， ∴EAB DAC ∠=∠，（2分）在EAB △和DAC △中，AB ACEAB DAC AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAB DAC △≌△， ∴AEB ADC ∠=∠．（4分）（2）如图，∵60DAE ∠=︒，AE AD =，∴EAD △为等边三角形． ∴60AED ∠=︒，（6分） ∵115AEB ADC ∠=∠=︒， ∴55BED ∠=︒．（8分）20．【解析】（1）设袋中的黄球个数为x 个，由题意得21212x =++，（2分）解得：1x =，∴袋中黄球的个数1个．（4分）（2）列表如下：（6分）由表可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸到球的颜色是红色与黄色的有4种：（红1，黄），（红2，黄），（黄，红1），（黄，红2）， 所以两次摸到球的颜色是红色与黄色的概率为：41123=．（8分） 21．【解析】（1）设反比例函数的解析式为(0)ky k x=≠，正比例函数的解析式为y k x '=． ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点(21)M --，， ∴12k-=-，12k '-=-．（2分） ∴2k =，12k'=．∴正比例函数的解析式为12y x =，反比例函数的解析式为2y x=．（4分）（2）当点Q 在直线MO 上运动时，假设在直线MO 上存在这一的点1()2Q x x ，，使得OBQ △与OAP △面积相等，则1(0)2B x ，．∵OBQ OAP S S =△△，∴11121222x x ⋅⋅=⨯⨯，解得2x =±．（6分） 当2x =时，112x =．当2x =-时，112x =-．故在直线MO 上存在这样的点(21)Q ，或(21)--，，使得OBQ △与OAP △面积相等．（8分） 22．【解析】（1）∵PA ，PC 分别与O 相切于点A 、点C ，∴PA PC =，OPA EPD ∠=∠，90OAP ∠=︒， ∴90OPA AOP ∠+∠=︒， ∵DE PO ⊥， ∴90OED ∠=︒，∴90DOE EDO ∠+∠=︒， ∵AOP DOE ∠=∠， ∴OPA EDO ∠=∠， ∴EPD EDO ∠=∠．（3分）（2）∵6PA PC ==，90OAP ∠=︒，3tan 4PA PDA AD ∠==， ∴483AD PA ==，∴10PD ==，∴4DC PD PC =-=， ∵PD 是O 的切线，∴2DC DB AD =⨯，∴22428DC BD AD ===，∴6AB AD BD =-=，∴3OA =，5OD AD OA =-=，∴OP = ∵DE PO ⊥，∴90E OAP ∠=︒=∠， ∵DOE AOP ∠=∠， ∴ODE OPA △∽△， ∴OE ODOA OP=，即3OE =解得：OE =．（7分） （3）作FG AB ⊥于G ，如图，则FG PA ∥， ∵PA ，PC 分别与O 相切于点A 、点C ，∴AC OP ⊥， ∴90OFA ∠=︒，∵90OAP ∠=︒，AOF POA ∠=∠， ∴AOF POA △∽△，∴OF OAOA OP=，即3OF =，解得：OF =， ∵FG PA ∥， ∴OFG OPA △∽△，∴OG FG OFOA PA OP==，即36OG FG == 解得：35OG =，65FG =， ∴185BG OG OB =+=，∴BF ==∴6sin FG ABF BF ∠===．（10分） 23．【解析】（1）2224()24b c b y x bx c x -=++=++，∵该抛物线的顶点坐标为(,)c b ，∴2244b c c b b⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：00c b =⎧⎨=⎩或36c b =⎧⎨=-⎩， ∴函数的解析式为2y x =或263y x x =-+．（4分）（2）①∵该函数在3y =-的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应， 即方程23x bx c -=++有两相等的实数根， ∴0∆=，∴24(3)0b c -+=， ∴24(3)0c b +=≥， ∴30c +≥， ∴3c ≥-，∴c 的最小值为3-．（7分）②由①得234b c =-，即二次函数解析式为2234b y x bx =++-，图象开口向上，对称轴为直线2bx =-， 当2bb -<，即0b >时， 在自变量x 的值满足3b x b ≤≤+的情况下，y 随x 的增大而增大，∴当x =b 时，y 的最小值为：22293344b by b b b =+⋅+-=-，∴29364b -=，解得，12b =-（舍去），22b =，∴二次函数的解析式为223y x x =+-．当32bb b ≤-≤+时，即20b -≤≤， ∴2bx =-，y 的最小值为：36y =-≠，∴不满足题意．（10分）24．【解析】（1）如图1，过点G 作GM ⊥CB 于M ，过点E 作EN ⊥CD 于点N ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且GM⊥BC，EN⊥CD，∴四边形DCMG是矩形，四边形ABMG是矩形，四边形AEND是矩形，四边形BCNE是矩形，∴GM=CD=AB，EN=AD=BC，（2分）∵EF⊥GH，∠BCD=90°，∴∠EFC+∠GHC=180°，且∠DFE+∠EFC=180°，∴∠EFN=∠GHC，且∠ENF=∠GMH=90°，∴△EFN∽△GHM，∴EF EN BC bGH GM AB a===．（4分）（2）如图2，连接BD交EF于点O，DE，BF，∵将矩形对折，使得B、D重叠，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AB∥CD，∴∠DFE=∠BEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DF=DE，且BE=DE，∴BE=DF，且AB∥CD，∴四边形DFBE是平行四边形，且DF=DE，∴四边形DFBE是菱形，∴BO=DO，EO=FO，BD⊥EF，∵DE2=AE2+AD2，∴DE2=9+（4-DE）2，∴DE=25 8，∵BD，∴DO=BO=52，∴OE=15 8，∴EF=2OE=154．（8分）（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC=90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E=∠F=90°，AE=BF，EF=AB=8，∵AD=AB，BC=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADE+∠CDF=90°，且∠ADE+∠EAD=90°，∴∠EAD=∠CDF，且∠E=∠F=90°，∴△ADE∽△DCF，（10分）∴12 CD CF DFAD DE AF===，∴AE=2DF，DE=2CF，∵DC2=CF2+DF2，∴16=CF2+（8-2CF）2，∴DE=4（不合题意舍去），DE=125，∴BF=BC+CF=325=AE，由（1）可知：DNAM=AEAB=45．（12分）。

湖北省十堰市2019-2020学年第一学期期末考试九年级数学试卷注意事项:1.本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟.2.答题前，考生将班级、姓名写在答题卡指定的位置.3.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只上交答题卡. 一、选择题（本题共10题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑.1.方程x2=2x的解为（）A. x= 2B. x = V2C. X1=2, X2= 0D. X1 =y[2,X2=02.下列关于反比例函数y =-2的说法不正确的是（）xA.其图象经过点（一2, 1）B.其图象位于第二、第四象限C.当x<0时，y随x增大而增大D.当x> — 1时，y> 23.下列说法中错误的是（）A.必然事件发生的概率为1B.不可能事件发生的概率为0C.随机事件发生的概率大于等于0、小于等于1D.概率很小的事件不可能发生4.如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（）5.如图，4ABC的边AC与。

相交于C、D两点，且经过圆心O,边AB与。

相切，切点为B. 已知/A=30° ,则/ C的大小是（）A. 30°B. 45°C, 60°D, 40°一........................ 4 , ， __ ____________ _ _6.如图，A、B两点在双曲线y=一上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1,则S1 + S2等于（）A. 6B. 5C. 4D. 37.甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是（）A. 1B. 1C. —D./3 6 18 278.如图，点O为4ABC的外心，点I为4ABC的内心，若/ BOC= 140° ,则/ BIC的度数为（（第8题图）（第9题图）（第10题图）（第18题图）9.二次函数y= ax2+bx + c （aw 。

2019-2020学年上学期期末原创卷B 卷九年级数学·参考答案11．412．（1，-1） 13．−2<x <0或x >31415．16 17．【解析】∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转50°后得到△A ′BC ′，∴50'CBC ∠=︒，△ABC ≌△A ′BC ′，（2分） ∵△ABC ≌△A ′BC ′， ∴30'A BC ABC ∠=∠='︒，∴80'A BC A BC BC'C ∠=∠+∠=''︒．（4分） ∵A ′C ′∥BC ，∴180A BC A ''∠+∠=︒，（6分） ∴18080100A ∠=︒-︒='︒， ∴100A A ∠='=∠︒．（8分） 18．【解析】（1）∵方程有两个实数根，22[2(1)]4(5)8160m m m ∆=-+-+=-≥，∴2m ≥．（4分）（2）由根与系数的关系，得：122(1)x x m +=+，2125=+x x m ，∵12(1)(1)28x x --=，1212()270x x x x -+-=，（6分）∴252(1)270m m +-+-=， ∴1264m m ==-，， ∵2m ≥，∴6m =．（8分）19．【解析】如图，作AB ⊥CF 于B ，由题意得：∠ACB =60°，AC =120米，则∠CAB =30°， ∴1602BC AC ==米，（2分）∴cos30AB AC ︒==∵，∴消防车的警报声对学校会造成影响，（4分）造成影响的路程为272=≈米，（6分） ∵600007243600÷≈秒， ∴对学校的影响时间为4秒．（8分）20．【解析】（1）如图，过C 作CM ⊥AB ，CN ⊥y 轴，垂足为M 、N ，∵CA =CB =5，AB =6， ∴AM =MB =3=CN ，在Rt △ACD 中，CD ，（2分） ∴AN =4，ON =OA -AN =8-4=4，∴C （3，4）代入y =kx得：k =12．（4分） （2）∵BC =BD =5， ∴AD =6-5=1，设OA =a ，则ON =a -4，C （3，a -4），D （1，a ）， ∵点C 、D 在反比例函数的图象上， ∴3（a -4）=1×a ，（6分） 解得：a =6，∴C （3，2）．（8分）21．【解析】（1）由题意，15010y x =-，010x ≤≤且x 为正整数．（4分）（2）设每星期的利润为w 元，则3()400w x y =+-()()1015010x x =+-()210 2.51562.5x =--+，（6分）∵x 为非负整数，∴当2x =或3时，利润最大为1560元，答：当售价为42元或43元时，每周的利润最大，最大利润为1560元．（8分） 22．【解析】（1）∵∠C =90°，AB =10，BC =6，∴8AC =．（2分）（2）由题意可知，当0≤t ≤2时，点P 在AB 上，当2<t ≤4时，点P 在BC 上（不包含B ）， ∴当0≤t ≤2时，BP =10–5t ，当2<t ≤4时，BP =3·（t –2）=3t –6．（4分） （3）分两种情况讨论：①当0≤t ≤2时，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，由题意得：AP =5t ，CQ =3t ，则AQ =8–3t ， ∵sin ∠PAE =35PE BC AP AB ==，∴PE =3t ， ∴2119(83)312222S AQ PE t t t t =?-?-+． ②当2<t ≤4时， ∵BP =3t –6， ∴CP =12–3t ， ∴2119(83)(123)3048222S AQ CP t t t t =?-?=-+， 综上所述：22912(02)293048(24)2t t t S t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（7分）（4）分四种情况讨论：①由题意可得，当PQ ⊥BC 时，t =0或t =4； ②当PQ ⊥AB 时，如图，∵AP =5t ，AQ =8–3t ， ∴4cos 5AP AC PAQAQ AB ?==， ∴54835t t =-，解得：3237t =； ③当PQ ⊥AC 时，如图，∵AP=5t，AQ=8–3t，∴4 cos5AQ ACPAQAP AB?==，∴834 55tt-=，解得：87t=；④当PQ∥AB时，易得△CPQ∽△CBA，如图，∵CP=12–3t，CQ=3t，∴CP CQCB CA=，即123368t t-=，解得：167t=，综上所述，当t=0或t=4或3237t=或87t=或167t=时，PQ与△ABC的一边平行或垂直．（10分）23．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD 是⊙O 的切线．（3分） （2）∵AD ⊥CD ，CD =2，AD =4．∴AC ==由（1）可知∠DCA =∠B ，∠D =∠ACB =90°， ∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB ==， ∴AB =5．（6分）（3）AC BC =，（8分）如图2，连接BE ，在AC 上截取AF =BC ，连接EF 、EB ．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ， ∴△ECB ≌△EFA ， ∴EF =EC ，∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形，∴FC =，∴AC AF FC BC =+=．（10分） 24．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∠DAF =∠DCE =∠ADC =90°， ∵DF =DE ，∴Rt △ADF ≌Rt △CDE ．（3分）（2）①如图，作NH ⊥AB 于H ．设FH =a ．∵Rt △ADF ≌Rt △CDE ， ∵∠ADF =∠CDE ， ∵∠ADF =∠EDF ，∴∠ADF =∠EDF =∠CDE =30°， ∴∠AFD =60°， ∵∠NHF =90°， ∴∠FNH =30°，∴HN ，∵∠NAH =45°，∠AHN =90°， ∴∠NAH =∠ANH =45°，∴HA =HN a ，∴AF =（）a ，AD AF =（）a ，∴S 2=12·AF ·NH =12·（a =32+a 2， ∵∠ADN =∠CDM ，AD =DC ，∠DAN =∠DCM =45°， ∴△ADN ≌△CDM ， ∴S △ADN =S △DCM ，∴S 1=S △ADC -2S △ADN =12[（a ]2-2×12（a =3a 2，∴22213236S S a +==．（8分） ②如图，作NH ⊥AB 于H ．∵∠FHN =∠FAD =90°， ∴HN ∥AD ， ∴∠ADF =∠HNF ，设tan ∠ADF =tan ∠FNH =k ，设NH =AH =b ，则FH =kb ， ∴AF =b +kb ，∴AD =1b bk kb k k ++=⋅， ∴S 2=12（1+k ）b 2，S 1=S △ADC -2S △ADN =211()2k b k +⋅-2×112k b b k +⋅⋅，（10分） ∵S 2=2S 1，∴12（1+k ）b 2=2·[211()2k b k +-2×112k b b k +⨯⋅] 整理得：k 2+2k -2=0，解得：k-1或1（舍弃）， ∴tan ∠ADF =k1．（12分）。

湖北省恩施州2019届九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．在﹣6、﹣2、0、3这四个数中，最小的数是（）2．点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）3．下列事件中，是必然事件的是（）4．下列根式中属于最简二次根式的是（）．．5．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）6．十年后，我班学生聚会，见面时相互间均握了一次手，好事者统计：一共握了780次．你认为这次聚会的同学有（）人．7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）8．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）9．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（）10．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）11．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（）12．如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，DE⊥AB，下列结论：①CF=DE；②弧AF=弧FE=弧EB；③AE=2CF；④四边形CDEF为正方形，其中正确的是（）二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．计算：=_________．14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．15．观察下列计算：=﹣1，=，=﹣，=…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：（+++…+）（+1）=_________．16．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是_________．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（10分）计算：（1）（﹣1）2002﹣|5|+（）﹣1+﹣（﹣1）0（2）先将+化简，然后选一个合适的x值代入化简后的式子求值．18．（10分）选用适当的方法解方程：（1）x2+2x﹣35=0（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．19．（9分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）以A2为旋转中心，把△A2B2C2顺时针旋转90°，得到△A2B3C3，并写出点C3的坐标．20．（8分）（2009•济南）有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．（1）写出k为负数的概率；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）21．（8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．22．（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2x=0（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．23．（9分）小明的爸爸下岗后，自谋职业，做起了经营水果的生意．一天，他先去批发市场，用100元购买甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，按每千克2.80元零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他按原零售价的5折售完剩余水果，请你帮小明的爸爸算这一天卖出水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚了，赚了多少？24．（10分）如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．（1）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是_________三角形；（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是_________三角形．参考答案20（1）k 为负数的概率为3；……………………4分 （2）图象经过二、三、四象限的概率为31；……………4分21. 解：直线BD 与相切．证明如下：如图，连接OD 、ED ．…………………1分 OA OD =，∴ A ADO ∠=∠．…………3分90C ∠=，∴ 90CBD CDB ∠+∠=．………5分 又CBD A ∠=∠，∴ 90ADO CDB ∠+∠=． ∴ 90ODB ∠=． ∴ 直线BD 与相切．………………………8分22（1）0)2(2≥-=∆k ，故原方程总有实数根。

州恩施市2020—2021学年九年级上期末调研数学试题含答案解析一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题3分，计45分）1．图案能分成两个全等形且是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列运动形式属于旋转的是（）A．钟表上钟摆的摆动 B．投篮过程中球的运动C．“神十”火箭升空的运动D．传动带上物体位置的变化3．一元二次方程x2+2x﹣3=0各项系数之和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣24．下列事件中发生的可能性为0的是（）A．今天宜昌市最高气温为80℃B．抛一枚平均硬币，落地后正面朝上C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）D．不透亮袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球5．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x=5 B．x2+4x=5 C．x2+2x=5 D．2x2﹣4x=56．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=（）7．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（）A．4 B．3 C．2 D．18．一元二次方程x2=1的情形是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根9．如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长为（）A．10 B．12 C．24 D．2610．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，OA=2，将△OAB绕点O逆时针旋转n°得到△OA′B′，则∠A′OB、OA′大小分别为（）A．n°，1 B．n°，2 C．n°﹣30°，1 D．n°﹣30°，211．一个多边形有五条对角线，则那个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．512．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），也在该二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．y1≤y213．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850发芽的频率0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率估量值是（）14．一个滑轮起重装置如图所示，假设绳索与滑轮之间没有滑动，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为54°，现在重物上升3πcm，滑轮的半径是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm15．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时刻t（秒）的函数关系式是y=9.8t﹣4.9t2，那么小球运动中的最大高度为（）A．9.8米B．4.9米C．1米D．0.6125米二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分）16．解方程：3x=x（x+1）17．如图4×4的正方形网格中，将△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，试用尺规作图法确定旋转中心A点（保留作图痕迹，标出A点）18．y随x变化的部分数值规律如下表：x ﹣1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0求二次函数y=ax2+bx+c的解析式．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O的半径为6，当圆心O与C 重合时，试判定⊙O与AB的位置关系．20．如图，点P、Q分别为矩形ABCD中AB、BC上两点，AB=18cm、AD=4cm，AP=2x，BQ=x，设△PBQ的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）求△PBQ的面积取值范畴．21．为了解本校留守学生的实际情形，老师对各班留守学生的人数进行了统计，发觉全校各班只有2个，3个，4个，5个，6 个共五种情形，据此制成了如下一幅不完整的条形统计图．初学统计的小冲随后据老师的条形图画出了如下扇形统计图，并标出数据20%．（1）你认为上述扇形统计图中标注的数据20%是否正确？说明你的理由．（2）某福利机构决定从只有2名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用树状图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自同一班级的概率．22．（10分）（2020秋•伍家岗区期末）并购重组已成为企业快速进展的重要举措．创办于2020年1月原始资产为5000万元/年均资产增长率为10%的某汽车制造企业与创办于2020年1月年资产增长率为x%的某地图导航企业在2020年1月资产、资源得以完美组合，数据统计资产达到7200万元．重组后估量新企业将以高出重组前地图导航企业年资产增长率5个百分点的速度进展，2021年1月资产有望达到10368万元．（1）用含x的代数式表示2021年1月新企业的资产；（2）求地图导航企业2020年1月的原始资产．23．（11分）（2020秋•伍家岗区期末）已知：如图1，点A在半圆O上运动（不与半圆的两个端点重合），以AC为对角线作矩形ABCD，使点D落在直径CE上，CE=5，将△ADC沿AC折叠，得到△AD′C．（1）求证：AD′是半圆的切线；（2）如图2，当AB与CD′的交点F恰好在半圆O上时，连接OA．①求证：四边形AOCF是菱形；②求四边形AOCF的面积；（3）如图3，CD′与半圆O交于点G，若AC=2，AD=2，求AD′+D′G值．24．（12分）（2020秋•伍家岗区期末）已知直线y=x﹣2t与抛物线y=a（x﹣t）2+k（a＞0，t≥0，a，t，k为已知数），在t=2时，直线刚好通过抛物线的顶点．（1）求k的值．（2）t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，专门当t大于正数m时，不管自变量x取何值，y=x﹣2t的值总小于y=a（x﹣t）2+k的值，试求a与m的关系式．（3）当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A，B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值？若有，要求出相应的t的取值；若没有，请说明理由．2020-2020学年湖北省恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题3分，计45分）1．图案能分成两个全等形且是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形；全等图形．【分析】依照全等图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是全等图形，也是中心对称图形．故正确；B、不是全等图形，也不是中心对称图形．故错误；C、是全等图形，不是中心对称图形．故错误；D、是全等图形，不是中心对称图形．故错误．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．下列运动形式属于旋转的是（）A．钟表上钟摆的摆动 B．投篮过程中球的运动C．“神十”火箭升空的运动D．传动带上物体位置的变化【考点】生活中的旋转现象．【分析】依照旋转的定义分别判定得出即可．【解答】解：A、钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；B、投篮过程中球的运动，也有平移，故此选项错误；C、“神十”火箭升空的运动，也有平移，故此选项错误；D、传动带上物体位置的变化，也有平移，故此选项错误．故选：A．【点评】此题要紧考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键．3．一元二次方程x2+2x﹣3=0各项系数之和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2【考点】一元二次方程的一样形式．【分析】在一样形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣3=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别为1，2，﹣3，∴1+2﹣3=0，故选，C．【点评】本题考查了一元二次方程的一样形式，把握一元二次方程的一样形式是解题的关键．4．下列事件中发生的可能性为0的是（）A．今天宜昌市最高气温为80℃B．抛一枚平均硬币，落地后正面朝上C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）D．不透亮袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球【考点】可能性的大小．【分析】依照事件发生的可能性既不是0，也不是100%的事件确实是可能发生也可能不发生的事件，即不确定事件，从而得出答案．【解答】解：A、今天宜昌市最高气温为80℃是不可能事件，可能性为0；B、抛一枚平均硬币，落地后正面朝上，是随机事件；C、路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）是必定事件，可能性为1；D、不透亮袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球是随机事件；故选A．【点评】此题考查了可能性的大小，解决本题需要正确明白得必定事件、不可能事件、随机事件的概念．必定事件发生的概率为1，即P（必定事件）=1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；假如A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1．5．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x=5 B．x2+4x=5 C．x2+2x=5 D．2x2﹣4x=5【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一样步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：A、因为本方程的一次项系数是﹣2，因此等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B、因为本方程的一次项系数是4，因此等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C、因为本方程的一次项系数是2，因此等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D、将该方程的二次项系数化为1x2﹣2x=，因此本方程的一次项系数是﹣2，因此等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；故选B．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】圆周角定理．【分析】依照在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．【解答】解：由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练把握圆周角定理的内容．7．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】概率公式．【分析】利用选中苹果的概率公式列出方程求解即可．【解答】解：依照概率公式=，解得：n=4．故选A．【点评】考查了概率的公式，用到的知识点为：概率等于所求情形数与总情形数之比．8．一元二次方程x2=1的情形是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值，代入公式判定出△的符号．【解答】解：x2=1，x2﹣1=0，∵△=b2﹣4ac=0﹣4×（﹣1）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题要紧考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，专门注意运算的正确性．9．如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长为（）A．10 B．12 C．24 D．26【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，再由勾股定理求出AD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，∴AD===12，∴AB=2AD=24．故选C．【点评】本题考查的是垂径定理，依照题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，OA=2，将△OAB绕点O逆时针旋转n°得到△OA′B′，则∠A′OB、OA′大小分别为（）A．n°，1 B．n°，2 C．n°﹣30°，1 D．n°﹣30°，2【考点】旋转的性质．【分析】依照旋转的性质得∠AOA′=n，OA′=OA=2，然后利用∠A′OB=∠AOA′﹣∠AOB求解．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转n°得到△OA′B′，∴∠AOA′=n，OA′=OA=2，∴∠A′OB=∠AOA′﹣∠AOB=n°﹣30°．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度．．11．一个多边形有五条对角线，则那个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】多边形的对角线．【分析】依照n边形的对角线公式进行运算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，则=5，整理得n2﹣3n﹣10=0，解得n1=5，n2=﹣2（舍去）．因此那个多边形的边数是5．故选：D．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），也在该二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【分析】利用点A和点B的坐标特点得到抛物线的对称轴为直线x=2，再加上抛物线过C 点，则可判定抛物线开口向上，然后通过比较点M和点N到直线x=2的距离远近得到y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7），∴抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向上，∵点M（﹣2，y1）比点N（﹣1，y2）离直线x=2要远，∴y1＞y2．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850发芽的频率0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率估量值是（）A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90【考点】利用频率估量概率．【分析】本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．关于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采纳多批次运算求平均数的方法．【解答】解：=（96+282+382+570+948+1912+2850）÷（100+300+400+600+1000+2000+3000）≈0.95，当n足够大时，发芽的频率逐步稳固于0.95，故用频率估量概率，绿豆发芽的概率估量值是0.95．故选B．【点评】考查利用频率估量概率，大量反复试验下频率稳固值即概率．用到的知识点为：频率=所求情形数与总情形数之比．14．一个滑轮起重装置如图所示，假设绳索与滑轮之间没有滑动，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为54°，现在重物上升3πcm，滑轮的半径是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【考点】弧长的运算．【分析】依照弧长公式求解即可．【解答】解：∵l=，∴r==10．故选B．【点评】本题考查了弧长的运算，解答本题的关键是把握弧长公式l=．15．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时刻t（秒）的函数关系式是y=9.8t﹣4.9t2，那么小球运动中的最大高度为（）A．9.8米B．4.9米C．1米D．0.6125米【考点】二次函数的应用．【分析】把抛物线解析式化成顶点式，即可解答．【解答】解：h=9.8t﹣4.9t2=4.9[﹣（t﹣1）2+1]当t=1时，函数的最大值为4.9米，这确实是小球运动最大高度．故选B．【点评】本题涉及二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分）16．解方程：3x=x（x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】第一移项，进一步利用提取公因式法分解因式求得方程的解即可．【解答】解：3x=x（x+1），3x﹣x（x+1）=0，x（3﹣x﹣1）=0，x（2﹣x）=0，x=0，2﹣x=0，x1=0，x2=2．【点评】此题考查利用因式分解法解一元二次方程，把握提取公因式法是解决本题的关键．17．如图4×4的正方形网格中，将△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，试用尺规作图法确定旋转中心A点（保留作图痕迹，标出A点）【考点】作图-旋转变换．【分析】利用关于点对称图形的性质得出对应点到旋转中心的距离相等，进而作出对应点连线的垂直平分线进而得出其交点．【解答】解：如图所示；A点即为所求．【点评】此题要紧考查了图形的旋转变换，利用关于点对称的图形性质得出是解题关键．18．y随x变化的部分数值规律如下表：x ﹣1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0求二次函数y=ax2+bx+c的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】依照待定系数法即可求得函数的解析式．立即表中的x与y的对应的3组值代入y=ax2+bx+c，然后解方程组即可．【解答】解：把（﹣1，0），（0，3），（3，0）代入y=ax2+bx+c，得：，解得：，因此二次函数y=ax2+bx+c的解析式为：y=﹣x2+2x+3．【点评】本题要紧考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是：正确解出三元一次方程组．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O的半径为6，当圆心O与C重合时，试判定⊙O与AB的位置关系．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作CD⊥AB于D，如图先利用勾股定理运算出AB=26，再利用面积法运算出CD=，当圆心O与C重合时，OD=，然后依照直线和圆的位置关系，通过比较OD 与半径的大小来确定⊙O与AB的位置关系．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠C=90°，AC=10，BC=24，∴AB==26，∵CD•AB=AC•BC，∴CD==，当圆心O与C重合时，∵OD=＞6，即圆心O到AB的距离大于圆的半径，∴AB与⊙O相离．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．20．如图，点P、Q分别为矩形ABCD中AB、BC上两点，AB=18cm、AD=4cm，AP=2x，BQ=x，设△PBQ的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）求△PBQ的面积取值范畴．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后依照三角形的面积公式列式整理即可得解；（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后依照二次函数的最值，从而确定三角形的面积的最值．【解答】解：（1）∵S△PBQ=PB•BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，∴y=（18﹣2x）x，即y=﹣x2+9x（0＜x≤4）；（2）由（1）知：y=﹣x2+9x，∴y=﹣（x﹣）2+，∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，=20，∴当x=4时，y最大值即△PBQ的取值范畴0＜x≤20．【点评】本题考查了矩形的性质及二次函数的应用，二次函数的最值问题，依照题意表示出PB、BQ的长度是解题的关键．21．为了解本校留守学生的实际情形，老师对各班留守学生的人数进行了统计，发觉全校各班只有2个，3个，4个，5个，6 个共五种情形，据此制成了如下一幅不完整的条形统计图．初学统计的小冲随后据老师的条形图画出了如下扇形统计图，并标出数据20%．（1）你认为上述扇形统计图中标注的数据20%是否正确？说明你的理由．（2）某福利机构决定从只有2名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用树状图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自同一班级的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）依照条形统计图与扇形统计的图的关系，即可求得答案；（2）第一依照题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两名留守学生来自同一班级的情形，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）不正确．理由：因为条形统计图不完整，不明白全校的班级个数，则不能求得扇形统计图中各部分的百分比；（2）从条形统计图中可知共有4个学生，分别用A1、A2表示一个班的两个学生，用B1、B2表示另一个班的两个学生，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两名留守学生来自同一班级的有4种情形，∴所选两名留守学生来自同一班级的概率为：=．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情形数与总情形数之比．22．（10分）（2020秋•伍家岗区期末）并购重组已成为企业快速进展的重要举措．创办于2020年1月原始资产为5000万元/年均资产增长率为10%的某汽车制造企业与创办于2020年1月年资产增长率为x%的某地图导航企业在2020年1月资产、资源得以完美组合，数据统计资产达到7200万元．重组后估量新企业将以高出重组前地图导航企业年资产增长率5个百分点的速度进展，2021年1月资产有望达到10368万元．（1）用含x的代数式表示2021年1月新企业的资产；（2）求地图导航企业2020年1月的原始资产．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）依照2020年1月资产和重组后估量新企业将以高出重组前地图导航企业年资产增长率5个百分点的速度进展，列出代数式即可；（2）依照（1）列出的代数式和2021年1月资产有望达到10368万元，列出方程，求出x 的值，再列式运算即可．【解答】解：（1）用含x的代数式表示2021年1月新企业的资产为：7200×[1+（x+5）%]；（2）依照题意得：7200×[1+（x+5）%]2=10368，解得：x=15则地图导航企业2020年1月的原始资产是：[7200﹣5000（1+10%）2]÷（1+15%）=1000（万元）．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读明白题目的意思，依照题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23．（11分）（2020秋•伍家岗区期末）已知：如图1，点A在半圆O上运动（不与半圆的两个端点重合），以AC为对角线作矩形ABCD，使点D落在直径CE上，CE=5，将△ADC沿AC折叠，得到△AD′C．（1）求证：AD′是半圆的切线；（2）如图2，当AB与CD′的交点F恰好在半圆O上时，连接OA．①求证：四边形AOCF是菱形；②求四边形AOCF的面积；（3）如图3，CD′与半圆O交于点G，若AC=2，AD=2，求AD′+D′G值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OA，由折叠的性质得出∠1=∠2，由矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠1+∠2+∠3=90°，即∠OAD′=90°，即可得出结论；（2）①由折叠的性质得出∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，由矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠3=∠4，由ASA证明△AFC≌△AOC，得出对应边相等AF=OA，得出AF=CF=OA=OC，即可得出结论；②由弦切角定理得出∠D′AF=∠1，证出∠3=∠4=30°，得出OD=OA=，得出AD=OD，菱形AOCF的面积=OC•AD，即可得出结果；（3）由折叠的性质得出AD′=AD=2，CD′=CD，由勾股定理求出CD，得出CD′，再由切割线定理求出D′G，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示：由折叠的性质得：∠1=∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠DCA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠DCA，即∠1+∠3=∠DCA，∴∠1+∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°，即∠OAD′=90°，∴AD′⊥OA，∴AD′是半圆的切线；（2）①证明：如图2所示：由折叠的性质得：∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AF=CF，∵OA=OC，∴∠2=∠4，∴∠3=∠4，在△AFC和△AOC中，，∴△AFC≌△AOC（ASA），∴AF=OA，∴AF=CF=OA=OC，∴四边形AOCF是菱形；②解：∵AD是半圆O的切线，∴∠D′AF=∠1，∴∠D′AF=∠3=∠4，∵四边形AOCF是菱形，∴OA∥CF，∴∠OAD′+∠D′=180°，∴∠OAD′=90°，∴∠3=∠4=30°，∵OA=OC=CE=，∴OD=OA=，∴AD=OD=，∴菱形AOCF的面积=OC•AD=×=；（3）解：由折叠的性质得：AD′=AD=2，CD′=CD，∵∠ADC=90°，∴CD===4，∴CD′=4，由切割线定理得：AD′2=D′G•CD′，即22=D′G×4，∴D′G=1，∴AD′+D′G=2+1=3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定方法、折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等知识；本题综合性强，难度较大，专门是（2）中，需要证明三角形全等和运用弦切角定理才能得出结果．24．（12分）（2020秋•伍家岗区期末）已知直线y=x﹣2t与抛物线y=a（x﹣t）2+k（a＞0，t≥0，a，t，k为已知数），在t=2时，直线刚好通过抛物线的顶点．（1）求k的值．（2）t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，专门当t大于正数m时，不管自变量x取何值，y=x﹣2t的值总小于y=a（x﹣t）2+k的值，试求a与m的关系式．（3）当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A，B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值？若有，要求出相应的t的取值；若没有，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的顶点式，能够得知抛物线的对称轴以及顶点坐标，将t=2代入直线，并将抛物线的顶点坐标代入直线中，即可求得k的值；（2）将y=x﹣2t代入y=a（x﹣t）2+k中，得到关于x的一元二次方程，由根的判别式即可得知t的取值范畴，从而得出m的值；（3）联立（2）中的关于x的一元二次方程，当两根之差最大时，线段AB长度最大，从而可得出线段AB的长度最大时t的值．【解答】解：（1）抛物线y=a（x﹣t）2+k的对称轴为x=t，顶点坐标为（t，k）．∵当t=2时，直线y=x﹣2t=x﹣4过点（2，k），∴k=2﹣4，即k=﹣2．（2）将y=x﹣2t代入y=a（x﹣t）2﹣2中，得：x﹣2t=a（x﹣t）2+k，即ax2﹣（2at+1）x+at2+2t﹣2=0，若要y=x﹣2t的值总小于y=a（x﹣t）2﹣2的值，则有△=（2at+1）2﹣4a（at2+2t﹣2）＜0，即4at＞8a+1，∵a＞0，∴t＞2+．∵当t大于正数m时，不管自变量x取何值，y=x﹣2t的值总小于y=a（x﹣t）2+k的值，∴m=2+．（3）过点A做x轴的平行线l，过点B作y轴的平行线交l于点C，则有BC⊥AC，如图所示，∵AB=，∠BAC为定值，∴当AC最大时，AB也最大．将y=x﹣2t代入y=a（x﹣t）2﹣2中，得：ax2﹣（2at+1）x+at2+2t﹣2=0，当0≤t＜m时，△＞0，即方程ax2﹣（2at+1）x+at2+2t﹣2=0有两个不相等的根，解得x1=，x2=，AC=x2﹣x1=．∵a为定值，∴当AB最大时，△=8a+1﹣4at最大，由△=8a+1﹣4at在0≤t＜m内的单调性可知，当t=0时，△最大．故当t=0时，线段AB的长度最大．∵直线AB的解析式为y=x﹣2t，直线AC∥x轴，∴tan∠BAC=1，∴∠BAC=45°．当a=0时，AC==，AB==．故a为定值时，线段AB的长度存在最大值，现在t的取值为0．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是：（1）找到抛物线的顶点坐标，代入直线解析式；（2）将y=x﹣2t代入y=a（x﹣t）2+k中，得到关于x的一元二次方程，令根的判别式小于0；（3）将y=x﹣2t代入y=a（x﹣t）2+k中，得到关于x的一元二次方程，表示出来两根，找两根之差最大．。

湖北省恩施州巴东县19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a=()A. 1B. −1C. 1或−1D. 2.对于二次函数y=x2−4x+7的图象，下列说法正确的是()A. 开口向下B. 对称轴是x=−2C. 顶点坐标是(2,3)D. 与x轴有两个交点3.在下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是()A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 菱形D. 正六边形4.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为()A. 3B. 3√2C. 3√3D. 65.下列事件为必然事件的是()A. 打开电视机，正在播放新闻B. 任意画一个三角形，其内角和是180°C. 买一张电影票，座位号是奇数号D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上6.在平面直角坐标系中，点P(−3,4)关于原点对称的点的坐标是()A. (3,4)B. (3,−4)C. (4,−3)D. (−3,4)7.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=4，则关于x的方程x2+mx=9的根为()A. 1，7B. −1，7C. −1，9D. 1，−98.若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为()A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°9.为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为()A. 300条B. 380条C. 400条D. 420条10.某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x的值为()A. 8B. 20C. 36D. 18011.如图所示，△ABC中，已知BC=16，高AD=10，动点Q由C点沿CB向B移动(不与点B重合).设CQ长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的函数关系式为()A. S=80−5xB. S=5xC. S=10xD. S=5x+8012.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴x=12，且经过点(2,0)，下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(−52,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1>y2，其中说法正确的是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在抛物线y=mx2与抛物线y=nx2中，若−m>n>0，则开口向上的抛物线是__________，开口较大的抛物线是_____________．14.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8.随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是______．15.矩形的周长为8√2，面积为1，则矩形的长和宽分别为_____．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是________．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.用配方法解一元二次方程x2−2x−5=0．18.如图，AB是⊙O的直径，点E是AD上的一点，∠DBC=∠BED(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AD=3，CD=1，求图中阴影部分的面积．19.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字−2、1、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同．(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为_____．(2)小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y=kx+b不经过第四象限的概率．20.如图所示，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为D，试确定顶点B，C的对应点E，F的位置以及旋转后的三角形．21.已知关于x的方程x2−4x+1−p2=0．(1)若p=2，求原方程的根；(2)求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根．22.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD=BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；(3)若F为GE中点，且DE=6，求⊙O的半径．23.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线时一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：m)之间具有函数关系y=−5x2+20x．(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？24.如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+34x+c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查一元二次方程根的意义，方程的根，必然能使方程左右值两相等，所以将x=0代入方程就得到关于a的一元二次方程，再用直接开平方法解这个方程就可得a=±1，注意根据一元二次方程的定义中二次项系数不等于零排除a≠1得出结论．解：由题意得a2−1=0a2=1∴a=±1又∵a−1≠0∴a≠1综上所得a=−1故选B．2.答案：C解析：本题考查了二次函数的性质，能够将二次函数的一般式转化为顶点式是解答本题的关键，难度不大．配方后确定对称轴、开口方向、顶点坐标后即可确定正确的选项．解：∵y=x2−4x+7=(x−2)2+3，∴对称轴为x=2，顶点坐标为(2,3)，∵a=1>0，∴开口向上，与x轴没有交点，故A、B错误，C正确，故选C．3.答案：B解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项错误．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：D解析：本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答此题要熟悉正多边形的边长、半径、边心距等概念，以及正六边形和正三角形的关系等概念．连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．解：边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，而正三角形的边长即为正六边形的外接圆半径，其长度为6cm．5.答案：B解析：本题主要考查了随机事件与必然事件的概念的知识，熟练掌握定义是解决本题的关键．依据随机事件与必然事件的定义，结合三角形内角和定理，对各选项逐一进行判断即可求解．解：∵A、C、D为不确定事件，即随机事件，故不符合题意，∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形。

数学试题第1页（共6页）数学试题第2页（共6页）绝密★启用前2019-2020学年上学期期末原创卷A 卷九年级数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：人教版九上全册、九下全册。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB tan ∠B =2，则AC 的长为A ．1B ．2CD ．3．如图，它是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则构成该几何体的小正方体的个数有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．对于反比例函数2y x=，下列说法中不正确的是A ．点(21)--，在它的图象上B ．它的图象在第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小5．若关于x 的一元二次方程2(2)410a x x ---=有实数根，则a 的取值范围为A ．2a ≥-B ．2a ≠C ．2a >-且2a ≠D ．2a ≥-且2a ≠6．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，若CD =2，AC =6，且△CDB ∽△CBA ，则BC 的值为A ．3B ．C ．6D ．127．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，半径OD ∥AC ，如果∠BOD =130°，那么∠B 的度数为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8．下列关于二次函数221y ax ax =-+（1a >）的图象与x 轴的交点的判断中，正确的是A ．没有交点B ．只有一个交点，且它位于y 轴右侧C ．有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D ．有两个交点，且它们均位于y 轴右侧9．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是数学试题第3页（共6页）数学试题第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A．12B．13C．14D．1510．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的个数为①AE⊥BF；②QB=QF；③FG=35AG；④sin∠BQP=45；⑤S四边形ECPG=3S△BGE．A．5B．4C．3D．2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若点(2,)A a与点(,1)B b关于原点O对称，则a b+=__________．12．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．13．将抛物线22y x=的图象先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到新的抛物线解析式为__________．14．如图，反比例函数y=kx的图象过点A（1，1），将其图象沿直线y=x平移到点B（2，2）处，过点B作BC⊥x轴于点C，交原图象于点D，则阴影部分（△ABD）的面积为__________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，tan∠FBD是__________．16．如图， O的半径OA长为4，BA与 O相切于点A，交半径OC的延长线于点B，BA长为AH⊥OC，垂足为H，则图中阴影部分面积为__________．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分8分）解方程：（1）22410x x--=；（2）(1)220y y y-+-=．18．（本小题满分8分）地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小刚认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）数学试题第5页（共6页）数学试题第6页（共6页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________19．（本小题满分8分）如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：AEB ADC ∠=∠；（2）连接DE ，若115ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．（本小题满分8分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到的球是红球的概率为12．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，利用树状图或表格求两次摸到球的颜色是红色与黄色的概率．21．（本小题满分8分）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点()2,1M --，且()1,2P --为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式．（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得OBQ △与OAP △的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，PA ，PC 分别与O 相切于点A 、点C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE PO ⊥交PO 的延长线于点E ．（1）求证：EPD EDO ∠=∠；（2）若6PC =，3tan 4PDA ∠=，求OE 的长；（3）在（2）的条件下，求sin ABF ∠的值．23．（本小题满分10分）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）．（1）若该抛物线的顶点坐标为(,)c b ，求二次函数的解析式；（2）若该函数在3y =-的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，①求c 的最小值；②当自变量x 的值满足3b x b ≤≤+的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为6，求此时二次函数的解析式．24．（本小题满分12分）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点E ，F 分别在AB ，DC 上，点G ，H 分别在AD ，BC 上且EF ⊥GH ，求EFGH的值．（2）如图2，矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，将矩形对折，使得B 、D 重叠，折痕为EF ，求EF 的长．（3）如图3，四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =AD =8，BC =CD =4，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM的值．。

2020-2021学年湖北恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．方程x2＝﹣x的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x1＝﹣1或x2＝0D．x1＝1或x2＝02．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠54．下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《十二在线》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣2x﹣1＝0必有实数根5．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点6．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，OC＝5，则MD的长为（）A．4B．2C．D．17．从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（）A．B．C．1D．8．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝350B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350D．（40﹣x）（70﹣x）＝24509．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（）A．3B．4C．D．10．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，10）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，10）11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，πC．，D．2，12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，计12分，不要求写解答过程，请把答案直接写在答题卷相应的位置上）13．在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为．14．如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2．15．二次函数y＝x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C 在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC 的面积为．16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2018次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、说理过程和演算步骤．）17．（8分）（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；（2）x2+2x﹣399＝0．18．（8分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．（1）在图中画出旋转后的图形；（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF＝45°，连接EF．①求证：△AMF≌△AEF；②若正方形的边长为6，AE＝3，则EF＝．19．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？20．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°，且⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）22．（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD＝∠CED．（1）求证：GC是⊙O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED＝30°，求CF的长．24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．2020-2021学年湖北恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．方程x2＝﹣x的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x1＝﹣1或x2＝0D．x1＝1或x2＝0【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程移项得：x2+x＝0，分解因式得：x（x+1）＝0，可得x＝0或x+1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1．故选：C．2．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；故选：A．3．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5．故选：C．4．下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《十二在线》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣2x﹣1＝0必有实数根【分析】根据必然事件的定义逐项进行分析即可做出判断，必然事件是一定会发生的事件．【解答】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，随机事件，故本选项错误；B、打开电视频道，正在播放《十二在线》，随机事件，故本选项错误；C、射击运动员射击一次，命中十环，随机事件，故本选项错误；D、因为在方程x2﹣2x﹣1＝0中△＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，故本选项正确．故选：D．5．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a＝﹣＜0∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选：B．6．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，OC＝5，则MD的长为（）A．4B．2C．D．1【分析】连接OA，利用垂径定理可求出AM的长，再由勾股定理即可求出OM的长，进而可求出MD的长．【解答】解：连接OA，∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，∴AM＝BM＝4，∵OC＝5，∴OA＝OD＝5，∴OM＝＝＝3．∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2．故选：B．7．从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（）A．B．C．1D．【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，∴该点在坐标轴上的概率为＝，故选：D．8．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝350B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350D．（40﹣x）（70﹣x）＝2450【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（40﹣2x），长为（70﹣3x）根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解．【解答】解：设路宽为x，（40﹣2x）（70﹣3x）＝（1﹣）×70×40，（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450．故选：B．9．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（）A．3B．4C．D．【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD＝5，CE＝4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB＝BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．【解答】解：如图1，连接OD、BD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，又∵AB＝BC，∴AD＝CD，又∵AO＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD＝5，CE＝4，∴DE＝，∵S△BCD＝BD•CD÷2＝BC•DE÷2，∴5BD＝3BC，∴，∵BD2+CD2＝BC2，∴，解得BC＝，∵AB＝BC，∴AB＝，∴⊙O的半径是；．故选：D．10．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，10）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，10）【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；（1）若把△CDB顺时针旋转90°，则点D′在x轴上，OD′＝2，所以D′（﹣2，0）；（2）若把△CDB逆时针旋转90°，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以D′（2，10），综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．故选：C．11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，πC．，D．2，【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：连接OB，∵OB＝4，∴BM＝2，∴OM＝2，＝＝π，故选：D．12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，∵对称轴为直线x＝1∴＝1，即b＝﹣2a，∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，计12分，不要求写解答过程，请把答案直接写在答题卷相应的位置上）13．在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为8．【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得x＝8，经检验：x＝8是原分式方程的解，故答案为8．14．如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是400πcm2．【分析】利用圆锥的侧面积公式可以直接求出面积．【解答】解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．故答案为：400π．15．二次函数y＝x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C 在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC 的面积为2．【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD＝BD，设BD＝t，则OD＝t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝1，则BD＝1，OD＝，然后根据菱形性质得BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2，再利用菱形面积公式计算即可．【解答】解：连结BC交OA于D，如图，∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA＝120°，∴∠OBD＝60°，∴OD＝BD，设BD＝t，则OD＝t，∴B（t，t），把B（t，t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝1，∴BD＝1，OD＝，∴BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2，∴菱形OBAC的面积＝×2×2＝2．故答案为2．16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2018次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是3028.5π．【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【解答】解：∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝BD＝5，转动一次A的路线长是：＝2π，转动第二次的路线长是：＝π，转动第三次的路线长是：＝π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π＝6π，∵2018÷4＝504…2，∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π+π＝3028.5π，故答案为：3028.5π．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、说理过程和演算步骤．）17．（8分）（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；（2）x2+2x﹣399＝0．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）分解因式得：[2（x+2）+3（x﹣3）][2（x+2）﹣3（x﹣3）]＝0，即（5x﹣5）（﹣x+13）＝0，可得5x﹣5＝0或﹣x+13＝0，解得：x1＝1，x2＝13；（2）方程整理得：x2+2x＝399，配方得：x2+2x+1＝400，即（x+1）2＝400，开方得：x+1＝±20，解得：x1＝﹣21，x2＝19．18．（8分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．（1）在图中画出旋转后的图形；（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF＝45°，连接EF．①求证：△AMF≌△AEF；②若正方形的边长为6，AE＝3，则EF＝5．【分析】（1）在CB的延长线上截取BM＝DE，则△ABM满足条件；（2））①由旋转性质得AM＝AE，∠MAE＝90°，则∠MAF＝∠EAF＝45°，则可根据“SAS”判断△AMF≌△AEF；②由△AMF≌△AEF得到EF＝MF，即ME＝BF+MB，加上BM＝DE，所以EF＝BF+DE，再利用勾股定理计算出DE＝3，则CE＝3，设EF＝x，则BF＝x﹣3，CF＝9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32＝x2，然后解方程求出x即可．【解答】（1）解：如图，△ABM为所作；（2）①证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，∴AM＝AE，∠MAE＝90°，又∵∠EAF＝45°，∴∠MAF＝45°，∴∠MAF＝∠EAF，在△AMF和△AEF中，∴△AMF≌△AEF；②解：∵△AMF≌△AEF，∴EF＝MF，即ME＝BF+MB，而BM＝DE，∴EF＝BF+DE，在Rt△ADE中，DE＝＝3，∴CE＝6﹣3＝3，设EF＝x，则BF＝x﹣3，∴CF＝6﹣（x﹣3）＝9﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，解EF＝5．故答案为5．19．（8分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）＝；（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形P（抽到的都是合格品）＝＝；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴＝0.95，解得：x＝16．20．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．…4分化简，得x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°，且⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB＝2OD＝2r，AB＝2AC＝3r，从而求得半径r的值，根据S阴影＝S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2．在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°．∴．∵∠B＝30°，OD⊥BC，∴OB＝2OD，∴AB＝3OD，∵AB＝2AC＝6，∴OD＝2，BD＝2，S△BOD＝×OD•BD＝2，∴所求图形面积为．22．（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，综上所述：y＝；（2）当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000，y＝﹣2（x﹣45）2+6050．∴a＝﹣2＜0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）①当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000≥4800，解得：20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；②当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000≥4800，解得：x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD＝∠CED．（1）求证：GC是⊙O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED＝30°，求CF的长．【分析】（1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE＝90°，DE＝OC，MC＝MD，得出∠CED+∠MDC＝90°，∠MDC＝∠MCD，证出∠GCD+∠MCD＝90°，即可得出结论；（2）由（1）得：DE＝OC＝AB，即可得出结果；（3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∴∠DCE＝90°，DE＝OC，MC＝MD，∴∠CED+∠MDC＝90°，∠MDC＝∠MCD，∵∠GCD＝∠CED，∴∠GCD+∠MCD＝90°，即GC⊥OC，∴GC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得：DE＝OC＝AB＝3；（3）解：∵∠DCE＝90°，∠CED＝30°，∴CE＝DE•cos∠CED＝3×＝，∴CF＝CE＝．24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．∵M（m，0），∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式y＝kx+b，∴解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E（﹣2，1），∴EM＝1，AM＝1，∴S＝AM×EM＝．（4）∵M（﹣2，0），抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ＝DC，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D（﹣1，4），∴DQ＝DC＝．∵FG＝2DQ，∴FG＝4．设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方且FG＝4，∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4．解得n＝﹣4或n＝1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．。

2020-2021学年恩施州巴东县九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.一元二次方程(x+1)2=16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=4，则另一个一元一次方程是()A. x−1=−4B. x−1=4C. x+1=−4D. x+1=42.抛物线y=10x2的顶点坐标是()A. (1,10)B. (0,10)C. (0,0)D. (5,5)3.下列所述图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是()A. 圆B. 菱形C. 平行四边形D. 正方形4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为()A. 8B. 10C. 12D. 155.口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球，6个白球，则下列说法不正确的是()A. 从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大B. 从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件C. 从中随机摸出5个球，可能都是红球D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球6.如图，在平面直角坐标系中，点P(−3,5)关于原点对称点P的坐标(m,n)，则m+n=()A. −2B. −8C. 2D. 87.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为()A. −1，3B. −2，3C. 1，3D. 3，48.已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是()A. 30°B. 60°C. 90°D. 180°9.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为()A. 30石B. 150石C. 300石D. 50石10.随着A市打造VR产业基地计划的推进，某企业推出以“红色文化”为载体的产品若2018年盈利60万元，计划到2020年盈利93.75万元，则该产品的年利润平均增长率为()A. 20%B. 25%C. 30%D. 34.5%11.把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x<5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为()A. y=24−xB. y=8x−24C. y=8xD. y=8x+2412.如图．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交于点B.且对称轴为x=1.则下面的四个结论：①当x>−1时，y>0；②一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=−1，x2=3；③当y<0时，x<−1；④抛物线上两点(x1,y1)，(x2,y2).当x1>x2>2时，y1>y2其中正确结论的个数是()A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知抛物线y=a(x−ℎ)2+k与x轴交于(−2,0)、(3,0)，则关于x的一元二次方程：a(x+ℎ+6)2+k=0的解为______．14.某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是______．15. 某公司2011年的营业额为100万元，计划2013年的营业额为121万元，则每年营业额的增长率为______．16. 如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为其半圆上任意一点(不含A 、B)，点Q 为另一半圆上一定点，若∠POA 为x 度，∠PQB 为y 度．则y 与x 的函数关系是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17. 解方程组：{x 2+y3=22x +3y =28．18. △ABC 在平面直角坐标系中如图：(1)画出将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°所得到的△A 1B 1C 1，并写出A 1点的坐标；(2)画出将△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2点的坐标；(3)求在旋转过程中线段OA 扫过的图形的面积．19. 下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．(1)甲和乙获胜的概率分别是多少？(2)这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．(3)如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？20.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5.若将△PAC绕点A顺时针旋转后，得到△P′AB．(1)求点P与点P′之间的距离；(2)∠APB的度数．21.已知关于x的方程x2+(m+1)x+(m−2)2=0有两个相等的实数根．求m的值和方程的根．⏜的中点，BC与EF交于22.如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于G，点C是AE⏜的中点，点F是ADB点H：(1)求证：FB=FH；(2)如图2，当点G为半径OA的中点时．求FB的值；CD=______时．弦EF恰好经过圆心O．(3)如图3，当CDBG23.如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD.已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米．(1)李师傅可否围出一个面积为750平方米的活动区域？如果可以，求出x的值；若不行，请说明理由；(2)当x为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？24.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A(−5,0)，交y轴于点B，过点B作BC⊥y轴交函数y=ax2+bx+c的图象于点C(−2,4)．(1)设函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积．(2)若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ.试探究：①是否存在这样的点P，使得PQ2=PA2+PC2？为什么？②是否存在这样的点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵(x+1)2=16，∴x+1=±4，∴x+1=4或x+1=−4，故选：C．根据直接开平方法可以解答本题．本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．2.答案：C解析：解：抛物线y=10x2的顶点坐标是(0,0)，故选C．根据题意直接写出y=10x2的顶点坐标．本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标公式，此题比较简单．3.答案：C解析：解：A.圆既是中心对称图形又是轴对称图形；B.菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；C.平行四边形是中心对称但不一定是轴对称图形；D.正方形既是中心对称图形又是轴对称图形．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：C解析：解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD=360°4=90°，∠AOF=360°3=120°，∴∠DOF=∠AOF−∠AOD=30°，∴n=360°30∘=12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中即可得到n的值．心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算360°30∘本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．5.答案：D解析：解：A、红球的数量多，从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大，故A不符合题意；B、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，故B不符合题意；C、从中随机摸出5个球，可能都是红球，故C不符合题意；D、从中随机摸出7个球，不可能都是白球，故D符合题意；故选：D．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：点(−3,5)关于原点对称点P的坐标为(3,−5)，则m=3，n=−5，所以m+n=3−5=−2．故选：A．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)可以直接写出答案．此题主要考查了关于原点对称的点坐标，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．7.答案：A解析：本题考查了抛物线的对称性及与x轴的交点问题，把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．利用抛物线的对称轴：x=1，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．解：抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为x1=−1，x2=3．故选A．8.答案：D解析：解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×3π=6πcm，扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=6π×180÷6π=180°．故选：D．根据弧长=圆锥底面周长=6π，圆心角=弧长×180÷母线长÷π计算．本题考查的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系．9.答案：B解析：解：根据题意得：=150(石)，1500×30300答：这批米内夹谷约为150石；故选：B．根据总体平均数约等于样本平均数列出算式，再进行计算即可得出答案．本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数．10.答案：B解析：设该产品的年平均增长率x，根据2018年的盈利额及2020年的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．解：设该产品的年平均增长率x，根据题意得：60(1+x)2=93.75，解得：x1=0.25=25%，x2=−1.25(不合题意，舍去)．答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是25%．故选：B．11.答案：D解析：解：变化后长方形的宽为(x+3)，长为28，因此面积y=8(x+3)=8x+24，故选：D．用代数式表示出变化后长方形的宽，然后根据面积公式即可得到答案．本题考查函数关系式，掌握长方形面积的计算方法是得出答案的前提，用代数式表示变化后长方形的长是解决问题的关键．12.答案：C解析：解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交于点B，且对称轴为x=1，∴图象与x轴的另一个交点为：(3,0)，故①当3>x>−1时，y>0；故此选项错误；②一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=−1，x2=3，正确；③当y<0时，x<−1或x>3；故此选项错误；④抛物线上两点(x1,y1)，(x2,y2).当x1>x2>2时，两点都在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故y1<y2，故此选项错误．故选：C．直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一交点，再利用图形分析即可．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用数形结合是解题关键．13.答案：x1=−9，x2=−4解析：解：∵抛物线y=a(x−ℎ)2+k与x轴交于(−2,0)、(3,0)，∴对称轴为直线：x=ℎ=−2+32=12．∴2ℎ+6=2×12+6=7，将抛物线y=a(x−ℎ)2+k向左平移(2ℎ+6)个单位长度后的函数解析式为y=a(x+ℎ+6)2+k，即抛物线y=a(x−ℎ)2+k向左平移7个单位长度后的函数解析式为y=a(x+ℎ+6)2+k，∵抛物线y=a(x−ℎ)2+k经过(−2,0)，(3,0)两点，∴当a(x+ℎ+6)2+k=0，对应的解是x1=−9，x2=−4，故答案为：x1=−9，x2=−4．将抛物线y=a(x−ℎ)2+k向左平移6个单位得到y=a(x+ℎ+6)2+k，然后根据抛物线y=a(x−ℎ)2+k经过(−2,0)，(3,0)两点，可以得到a(x+ℎ+6)2+k=0的解．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14.答案：2解析：解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，列方程可得x+2x+2x=10，解得x=2，故答案为：2．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.答案：10%解析：解：设平均每年营业额的增长率x，则可列方程：100×(1+x)2=121，解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意舍去)，故答案为：10%．等量关系为：2011年的利润×(1+增长率)2=2013年的利润，把相关数值代入即可列出方程．此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．x(0<x<180)16.答案：y=90−12解析：解：∵∠BOP=2∠Q=2y°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AOP+∠BOP=180°，∴x+2y=180，x，且0<x<180．∴y=90−12由圆周角定理，可得∠BOP=2∠Q=2y°，又由邻补角的定义，可得x+2y=180，继而求得答案．此题综合运用了圆周角定理及其推论．17.答案：解：原方程可化为：{3x +2y =12①2x +3y =28②，①×2−②×3得，−5y =−60，解得y =12， 代入①得，3x +24=12，解得x =−4， 故此方程组的解为：{x =−4y =12．解析：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．先把方程组中的两方程化为不含分母的方程，再用加减消元法求出x 、y 的值即可．18.答案：解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，A 1点的坐标为(−3,2)；(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，A 2点的坐标为(2,−3)； (3)∵OA =√22+32=√13，∠AOA 1=90°，∴线段OA 扫过的图形的面积为90⋅π⋅(√13)2360=134π.解析：(1)根据旋转的概念作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得； (2)根据轴对称的概念作出点A 、B 关于x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； (3)利用扇形的面积公式计算可得．本题主要考查作图−旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．19.答案：解：(1)列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色有16种结果，∴甲获胜的概率为1625，则乙获胜的概率为925；(2)不公平，因为1625≠925；(3)两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．解析：(1)根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得；(2)由(1)的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平．(3)只要使甲、乙获胜的概率相等即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．20.答案：解：(1)∵将△PAC绕点A顺时针旋转后，得到△P′AB．∴△PAC≌△P′AB，∴BP′=PC=5，AP′=AP=3，∠PAC=∠P′AB，∵∠PAC+∠BAP=60°，∴∠PAP′=60°．∴△APP′为等边三角形，∴PP′=AP=AP′=3；(2)∵PP′2+BP2=9+16=25=BP′2，∴△BPP′为直角三角形，∴∠BPP′=90°．∴∠APB=90°+60°=150°．解析：(1)由旋转的性质可得BP′=PC=5，AP′=AP=3，∠PAC=∠P′AB，可证△APP′为等边三角形，可得PP′=AP=AP′=3；(2)由勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，即可求解．本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．21.答案：解：∵关于x的方程x2+(m+1)x+(m−2)2=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(m+1)2−4×1×(m−2)2=−3m2+18m−15=0，∴m=1或5．当m=1时，方程是x2+2x+1=0，∴(x+1)2=0，解得x1=x2=−1；当m=5时，方程是x2+6x+9=0，∴(x+3)2=0，解得x1=x2=−3．解析：首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．22.答案：解：(1)证明：如图1，连结BE，⏜的中点，∵点F是ADB∴BF⏜=AF⏜，∴∠ABF=∠FEB，∵点C是AE⏜的中点，∴AC⏜=CE⏜，∴∠ABC=∠CBE，∴∠ABC+∠ABF=∠CBE+∠FEB，即∠FHB=∠FBH，∴FB=FH；(2)如图2，连结AC，OC，OF，∵点G为半径OA的中点，CD⊥OA，∴AC=OC，∵OA=OC，∴AC=OC=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠CAO=∠AOC=60°，设AG=OG=x，则OA=AC=OB=2x，∴CG=√AC2−AG2=√3x，∴CD=2CG=2√3x，∵AB是⊙O的直径，AF⏜=BF⏜，∴∠OFB=∠OBF=45°，∴BF=2√2x，∴BFCD =√2x2√3x=√63；(3)2√2−2．解析：本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理，圆的性质等，解题的关键是添加辅助线构造基本图形解题．(1)连结BE，证明∠FHB=∠FBH，即可得出结论；(2)连结AC，OC，OF，证明△OAC是等边三角形，可得∠CAO=∠AOC=60°，设AG=OG=x，则OA=AC=OB=2x，可求得FB，CD，则可求出FBCD；(3)设CG=a，可得OC=OB=√2a，求出BG=a+√2a，则结果可求出．解：(1)见答案；(2)见答案；(3)当弦EF恰好经过圆心O时，∵AC⏜=CE⏜，∴∠AOC=∠COE，∵点F是ADB⏜的中点，∴∠OFB=∠FBO=45°，∴∠FOB=∠AOE=90°，∴∠AOC=45°，∵CD⊥AB，∴∠GCO=∠COG=45°，∴OG=CG，设CG=a，∴OC=OB=√2a，∴BG=OG+OB=a+√2a.∴CDBG =a+√2a=2√2−2，故答案为：2√2−2．23.答案：解：(1)李师傅可以围出一个面积为750平方米的活动区域．由题意可知，AB=x，BC=80−2x，∴S=x(80−2x)=80x−2x2=750，解得：x1=15，x2=25；(2)∵S=−2x2+80x(15≤x<40)，∴x=−b2a =−802×(−2)=20，∴当x=20时，活动区的面积最大，最大知为：S=20×(80−20×2)=800．∴当x=20时，活动区的面积最大为800平方米．解析：(1)根据矩形的面积公式表示出S关于x的函数关系式，让其等于750，得关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值；(2)求得(1)中所得的二次函数关系式的对称轴，根据二次函数的性质可得答案．本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.答案：解：(1)由题意知B(0,4)，∵C(−2,4)，则抛物线对称轴为：x=−1，根据抛物线的对称性可知：D(3,0)．∴S△ABD=12×8×4=16．(2)①不存在这样的点P，使得PQ2=PA2+PC2．理由如下：∵AQ//PC，CQ//PA，∴四边形OAQC为平行四边形．∴PC=AQ．若PQ2=PA2+PC2，则PQ2=PA2+AQ2，∴∠PAQ=90°.∴∠APC=90°．若∠APC=90°，则当点P在线段OB上时，可得△PAO∽△CPB．∴POCB =AOPB．设OP=m，则m2=54−m，即m2−4m+10=0.这个方程没有实数根．而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时，∠APC=90°显然不可能成立．综上所述，可得：不存在这样的点P，使得PQ2=PA2+PC2．②连接AC交PQ于点M，如图所示．∵四边形PAQC为平行四边形，∴M为AC、PQ的中点．PQ取得最小值时，MP必定取得最小值．显然，当P为OB的中点时，由梯形中位线定理可得MP//CB，∴MP⊥y轴．此时MP取得最小值为：12×(2+5)=72．∴PQ的最小值为7．PQ取得最小值时，P(0,2)．解析：(1)首先利用二次函数对称性得出对称轴，进而得出D点坐标，即可得出三角形面积；(2)①首先得出四边形OAQC为平行四边形，若PQ2=PA2+PC2，则PQ2=PA2+AQ2，则∠PAQ=90°即∠APC=90°，进而得出△PAO∽△CPB，以及POCB =AOPB，得出这样的点不存在；②利用PQ取得最小值时，MP必定取得最小值，求出MP，的长，即可得出答案．。