相量法 (Phasor method)
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8.《相量法》
电压、电流关系 瞬时值 有效值
相量图
I
功率 相量式 有功功率 无功功率
u
2U sin t
U
R
u
i 2I sin t u、 i 同相 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗
i 设
u iR
R
U IR
I R U
UI
则
0
L
u
di jX L uL 则 dt jL u
I I I L C R
1 I U jLI L C S jC 1 RI R IC jC
Page 27
8.4 电路定律的相量形式 电感元件VCR的相量形式
i(t) + uL (t) I
i(t )
L
u L(t ) L
di(t ) dt
2I cos(t i )
π ) 2
2 L I cos( t i
+
UL
jL
I I i
UL LI (i 2)
L uS + iL iC C
iR R
U S
j L +
I L
I C
I R
1/j C
R
时域电路
相量模型
Page 34
8.4 电路定律的相量形式
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
时域列写微分方程
UI
I jX U C
C sin(t 9 0)
C
U
0
I 2 XC
u落后i 90°
Page 30
8、相量法
如为正弦函数： 如为正弦函数：
•
•
i( t ) = 2I sin(ωt +ψ ) ⇔ I = I∠ψ
u( t ) = 2U sin(ωt +ψ ) ⇔ U = U∠ψ
如函数用最大值表示： 如函数用最大值表示：
•
•
同为 正弦 或 同为 余弦
在同一个电路中的正弦量形式要一致 在同一个电路中的正弦量形式要一致(identical) 正弦量形式要一致
§8. 2 正弦量的相量表示 Phasor Expression of Sinusoidal
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
相量
i = 2 Icos(ωt + ψ )
复函数
I = I∠ ψ
•
A( t ) = 2 Ie
j(ωt +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ )
u, i
u
0
i
ωt
ψu ψi ϕ
同相： 3. ϕ = 0， u与i同相： ， 与 同相 u, i
o 反相： 4. ϕ = ± π (± 180 ) ， u与i反相： ± 与 反相
u, i
0
ωt
u i
i 0
u
ωt
5. ϕ = ± 90°，u与i 正交 ° 与 u, i u i 0 规定： 规定： | ϕ | ≤ π (180°) °
ωt ψ
波形图
补充： 补充：小常识
Supplement: Common Sense
* 电网频率(Power network frequency)： 电网频率( ) 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz •有线通讯频率(wire communication 有线通讯频率( 有线通讯频率 frequency)：300 - 5000 Hz ： •无线通讯频率(Wireless communication)： 无线通讯频率( 无线通讯频率 ： 30 kHz - 3×104 MHz ×
•
•
i( t ) = 2I sin(ωt +ψ ) ⇔ I = I∠ψ
u( t ) = 2U sin(ωt +ψ ) ⇔ U = U∠ψ
如函数用最大值表示： 如函数用最大值表示：
•
•
同为 正弦 或 同为 余弦
在同一个电路中的正弦量形式要一致 在同一个电路中的正弦量形式要一致(identical) 正弦量形式要一致
§8. 2 正弦量的相量表示 Phasor Expression of Sinusoidal
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
相量
i = 2 Icos(ωt + ψ )
复函数
I = I∠ ψ
•
A( t ) = 2 Ie
j(ωt +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ )
u, i
u
0
i
ωt
ψu ψi ϕ
同相： 3. ϕ = 0， u与i同相： ， 与 同相 u, i
o 反相： 4. ϕ = ± π (± 180 ) ， u与i反相： ± 与 反相
u, i
0
ωt
u i
i 0
u
ωt
5. ϕ = ± 90°，u与i 正交 ° 与 u, i u i 0 规定： 规定： | ϕ | ≤ π (180°) °
ωt ψ
波形图
补充： 补充：小常识
Supplement: Common Sense
* 电网频率(Power network frequency)： 电网频率( ) 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz •有线通讯频率(wire communication 有线通讯频率( 有线通讯频率 frequency)：300 - 5000 Hz ： •无线通讯频率(Wireless communication)： 无线通讯频率( 无线通讯频率 ： 30 kHz - 3×104 MHz ×
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
第八章 相量法
+i _
5 0.2F
515 I
1 jX C j 6 j 5 6 10 0.2 10
A(t)包含了三要素：I、 、ω ，复常数只包含了I , 。称为从时域到频域的数学变换式。
正弦量的微分，积分运算
I i 2 I cos( t i ) I i
微分运算 积分运算
di d 2 I cos(t i ) dt dt di 2 I sin( t i ) dt 2 I cos( t i )
瞬时功率以2交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消
上 页 下 页
3. 电容元件VCR的相量形式
时域形式： i C( t )
+ u(t) -
I C
已知 u(t ) 2U cos( t u ) du( t ) 则 iC ( t ) C 2CU sin( t u ) dt π C 2CU cos( t u ) 2 U 相量形式： U
I dt
I j
相量积分
正弦电量（时 间函数）
变换
相量 （复数）
正弦量运算
相量运算 （复数运算)
所求正弦量
反变换
相量结果
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u落后i 90°
0
I 2 XC
例
i(t)
R L
i (t ) 2 I cos( t i )
+ u(t)
di 1 u ( t ) Ri L idt 解 C dt C I RI jLI 用相量运算： U jC
电路分析基础_第7章1
2 沿任一回路全部支路电压振幅(或
有效值)的代数和并不一定等于零，
即一般来说 n
Ukm 0
k 1
n
Uk 0
k 1
例6 求uS(t)和相应的相量，并画出相量 图。已知 u1(t ) 6 2 cos ωt V
u2 (t ) 8 2 cos(ωt 90 ) V
u3 (t ) 12 2 cos ωt V
(a) 电流i1超前于电流i2, (b) 电流i1滞后于电流i2
(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相 注意：角频率不同的两个正弦间的相 位差为
(t) (1t 1) (2t 2) (1 2)t (1 2)
是时间t的函数，不再等于初相之差。
例3 已知正弦电压u(t)和电流i1(t), i2(t)的表达式为 u(t) 311cos( t 180 ) V
1 T
T u2 (t)d t
0
1 T
T 0
U
2 m
cos2 ( t
)d
t
0.707Um
7-2 正弦量的相量表示法 复数
直角坐标形式：A=a1+ja2
三角形式： A =a (cos +jsin)
指数形式： A =a e j
极坐标形式： A =a
a1=acos a2=asin
a
a12 a22
arctg a2
2Ikejt ] 0
k 1
k 1
n Ikm 0 或
k 1
n Ik 0
k 1
相量形式的KCL定律：对于具有相同 频率的正弦电路中的任一节点，流出 该节点的全部支路电流相量的代数和 等于零。
注意：
1 流出节点的电流取”+”号，流入 节点的电流取”-”号。
8、相量法
热效应( 热效应(Heat Effect)相当 )
则有
∫
T
0
i R dt = I RT
交流 直流
2
2
I =
1 T
∫
T
0
i dt
2
当 i = I m cos
i
(ω t +ϕ) 时，可得
Im I = 2
有效值必须大写 有效值必须大写 如：U、I 、
注意
问题与讨论 (Questions and Discussions) 的电器， 的线路上? 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? 电器 最高耐压 =300V
o
u 2 ( t ) = 4 2 cos( 314 t + 62 o ) V
求
( 1)
u=u1+u2
& U 2 = 4∠60o V
= 9.67∠ 41.9 V
o
& 解 : U1 = 6∠30o V
= 7.196 + j 6.464
& & & U = U 1 + U 2 = 6∠ 30o + 4∠60o = 5.196 + j 3 + 2 + j 3.464
ωt
ϕu ϕi ϕ
同相： 3. ϕ = 0， u与i同相： ， 与 同相 u, i
o 反相： 4. ϕ = ± π (± 180 ) ， u与i反相： ± 与 反相
u, i
0
ωt
u i
i 0
u
ωt
5. ϕ = ± 90°，u与i 正交 ° 与 u, i u i 0
ωt
四、交流电的计算存在问题？ 交流电的计算存在问题？ 问题
相量法
I 1030 U 100cos( t 45) i5
2 cos( t 60) 560
i 1030 u 100cos45 j100sin45
22 Chapter8 相量法
1030 I
i 10 2 cos( t 30) u 100 2 cos( t 45)
I Aｍ I Bｍ ICｍ 0 ×
24
Chapter8 相量法
8.3 电路定律相量形式
例8.3 已知： i1 6 2 cos(t 30)A i2 8 2 cos(t 60)A 求：i 解： i = i1 + i2
I I I 1 2
630 5.196 j 3A I 1 8 60 4 j 6.928A I 2
*
F * a jb
F F 2 jb
Chapter8 相量法
FF * a 2 b 2
例8.1 547 10 25 ? 解
547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j 4.226) 12.47 j 0.569 12.48 2.61
i
i1
i2
相量图：
I 1
30 23.1 60
I I I 1 2
(5.196 j 3) (4 j 6.928) 9.296 j 3.928 10 23.1A
I
i 10 2 cos(t 23.1)A
+1
i
注意： 相量只包含正弦量的有效值（或幅值）和 初相位，因此相量只是表示正弦量，而不等 于正弦量。 用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化 成标准形式，再用相量表示。 标准形式： i I cos t m
电路相量法
电路相量法（Phasor Method）是一种用复数形式表示交流电路中电压、电流和功率的方法。
它基于欧姆定律和基尔霍夫定律，并使用复数运算来简化交流电路的分析。
在电路相量法中，电压和电流被表示为复数形式，即相量（phasor）。
相量由幅值和相位角组成，幅值表示电压或电流的大小，相位角表示电压或电流相对于参考点的相位差。
使用相量法进行交流电路分析的步骤如下：
将交流电路中的电压源、电流源和阻抗等元件转换为复数形式。
使用复数表示法计算电路中的电压和电流，将它们表示为相量。
使用欧姆定律和基尔霍夫定律，根据电压和电流的相量关系，建立方程组。
解方程组，得到电路中各元件的电压和电流的幅值和相位。
根据需要，计算功率和功率因数。
电路相量法的优点在于可以通过复数运算简化计算过程，避免了复杂的三相计算和相量之间的几何图形。
它在分析交流电路中的电压、电流和功率时非常有用，尤其在稳态分析和频域分析中广泛应用。
正弦量基础
u
0
t
T
7.1 正弦量
正弦交流电路
由同频正弦激励、线性电阻、线性电容和线性 电感组成的的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电路特点：各支路产生的电流、电压均为
和激励同频变化的正弦交流电。
7.1 正弦量
正弦交流电运用非常 广泛，主要原因有以下几点：
1、可以利用变压器升高或降低，这种变换方式 既灵活又经济。 2、正弦量经过加、减、求导、积分等数学运算 后，仍为正弦量，这在电工技术上有重大意义。 3、正弦量变化平滑，在正常情况下不会引起过 电压而破坏电器的绝缘设备。
Im
0
i
t
I m ：电流幅值（最大值）
特征量:
：角频率（弧度/秒） ：初相角
7.1 正弦量
正弦量三要素之一 —— 振幅(amplitude)
i I m cos t
Im
为正弦电流的最大值
最大值
电量名称必须大写,下标加 m。 如：Um、Im
7.1 正弦量
正弦量三要素之二 —— 角频率(angular frequency)
] I m cos(t )
7.3
相量法的基本概念
Re[ I m e
j( t )
] I m cos( t )
j t
Re[ I m e e ] I m cos( t )
旋转因子——同一个电路中， 每个正弦量所对应的复指数函 数中的旋转因子均相同
1 I 0.707A 2
幅度： 频率：
I m 1A
1000 rad/s 1000
f 2π 2π
159 Hz
初相位：
30
第8章_相量法
(3) 由于复数感抗的存在使电流滞后电压。
22
3、电容： i (t) + u(t) 时域模型 时域
u(t ) 2U sint
频域
U0 o U
I
C
du (t ) i(t ) C dt 2CU cost 2CU sin( t 90o )
jC U I
有效值关系 I=C U 相位关系 i 超前u 90°
jC U I
1 U j C 相量模型
+
I
U
1 U I j 1 I j C C
三个含义：
相量图
23
容抗： X C
定义
1 C
错误的写法 1 u C i
1 U C I
容抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
注 意
① Ψi 与参考方向的设定有关，不同则差180º 。 ②正弦量的一个重要性质： 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 正弦量 i 220 2 cos(314t 30 )A
定义： 随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦量。 i
u 在图示参考方向的前提下， +
i(t ) I m cos(t i )
5
注意： 方向是随时间在周期性的变化， 所以更要标定参考方向。
1、变化的快慢： ①频率f：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T： 变化一次所需的时间。单位：s ③角频率ω： 每秒变化的弧度数。单位：rad/s 2、大小及有效值： ①瞬时值： 小写，任一时刻的实际值。 ②最大值： 幅值，最大的瞬时值。峰峰值
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Chapter 8 相量法 （Phasor method）
相量 — 用于表示正弦量的复数。 相量法 — 复数分析法
概述 正弦量 正弦量的相量表示和相量的主要性质 电路定律的相量形式
1、正弦量 Am
f (t) = Amcos(t + )
振幅（有效值）、角频率、
0
和初相角三个要素。
T
2、复数几种表示形式
i 2I cos(t i )
U Ue ju U u I Ie ji I i
相量 vs
正弦量
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数（相量） --- 大写+ “.”
u、i U、I Um
U
R 1/jC I
代入元件的VAR，得:
RI
1
jC
I
jLI U s
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
I
Us
200
200
R j(L 1C)
1
j(3
1 2
1 3 2
)
1 j
200 2450
2 45 A
3
i 2 cos(3t 45 ) A
UR RI 2 45V
UC
1 jC
I
j1 2
电压、电流关系
瞬时值
有效值
设
u 2U cost
R则
U IR
i 2I cost
相量图
相量式
I U
u、 i 同相
U IR
i
设
i 2I cost
U
Lu
u L di dt
jX L jL
则
u
2IL
U IXL
X L L
cos(t 90)
U= LI 在正弦稳态下，电感电压除与电流的幅值有关外， 还与信号频率有关，成正比关系。
定义：XL= L ，则U= XLI 是一个与频率有关的量，
反映了电感电压与电流的幅值关系，具有类似于电阻的
性质，故称XL为感抗（单位：）
+j
u= i +90°
电感电压的相位超前电流相位90° 0
IL
U L
+1
iL iC iR
L diL 1 dt C
iCdt uS
R iR
1 C
iC dt
时域微分方程
相量模型
IL IC IR
jLIL
1
jC
IC
U S
RIR
1
jC
ICБайду номын сангаас
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
例8-4 在图示电路中，已知
R=1 ，L=1/2H，C=2/3F，
U 1 I
jC
—电容元件VCR的相量形式
U u
1
C
I i
90
U 1 I
C
U XCI
其中:
1
XC C
可见XC亦是一个与频率 有关的量，反映了电压与电流的
幅值关系，可称XC为容抗（单位：）
u= i 90°
电压的相位滞后电流相位90
+j
IC
0
U C
+1
5、相量模型
R、L、C 元件的相量关系分别为
R : U RI
L : U jLI jX L I
C:
U
1
jC
I jXC I
I
+
U
Z
令 U ZI —欧姆定律的相量形式
其中Z — 阻抗(单位： )，分别代表R，jL，1/jC
由此可建立相量形式的电路模型。
L
iR
+ iL
iC
uS -
1
C2 R
jL
IR
+ IL
U S
-
1
IC
12 R
jC
时域电路
练习3 （1） F1 4 j3 F2 2.78 j9.20 求F1 F2，F1 / F2
48.1216.32 0.5269.94 （2） F1 10 73 F2 5 180 求F1＋F2，-F1 F2
2.08 j9.56 7.92 j9.56
3、正弦量的相量表示
u 2U cos(t u )
2 45
2 135 V 2
UL
jLI
j
3 2
2 45 3 2 45 V 2
相量图为
U s 20
UR 2 45
UL
32 2
45
UC
2 135 2
U s U L U C U R
+j
U L
0
U C
U s
U R , I
+1
V1 例8-5 电路如图，已知电压表读
数为：V1：30V；V2：60V。求： +
+ us
us 2 2 cos3t 。求：i
R
Ci
+ uR + uC L
+ uL
解：这是一个正弦稳态电路，可用相量模型分析。
设 Us 20 且 I I
则相量模型如图所示:
KVL方程为：
U R U C U L U s
R 1/jC I
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
U R U C U L U s
1）代数形式： F = a + jb
其中: 实部 a= Re[F] 虚部 b= Im[F]
+j b
2）复数在复平面上可用向量表示 0
t
F a +1
3）三角形式
+j b
F
由图可见 a = |F| cos
b = |F| sin F= |F|（cos + jsin ）
0
a +1
|F| 为复数的模（值），为复数的辐角。
练习2 将下列复数化成代数形式
(1)F1 10 73 (2)F2 15112.6 (3)F3 1.252 (4)F4 10 90 (5)F5 5 180
(1)F1 2.92 j9.56 (2)F2 5.76 j13.85 (3)F3 0.74 j0.95 (4)F4 j10 (5)F5 5
4）指数形式
根据欧拉公式： e j cos j sin
三角形式变指数形式，即：F F e j
5）极坐标形式 F F
练习1 将下列复数化成极坐标形式
(1)F1 5 j5 (2)F2 4 j3 (3)F3 20 j40 (4)F4 j10 (5)F5 3
(1)F1 7.07 135 (2)F2 5143.13 (3)F3 44.7263.43 (4)F4 1090 (5)F5 3180
Us=？
us
R L V2
解：由相量模型可得相量图如下：
以 I 为参考相量
R
I
U L
U s
U R
由图可得：
U s +
+ U R jL U+ L
Us
U
2 R
U
2 L
302 602
I
67.08V
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i
R u u iR
复数 阻抗
4、电路定律的相量形式
n
m
Ik 0 —KCL的相量形式 Uk 0 —KVL的相量形式
k 1
k 1
U RI — 电阻元件VCR的相量形式
进而推出: Uu= RIi
U=RI 电阻的电压与电流的幅值（有效值）满足欧姆定律。
u=i 元件的电压、电流同相。
U jLI —电感元件VCR的相量形式 Uu= LIi +90°
相量 — 用于表示正弦量的复数。 相量法 — 复数分析法
概述 正弦量 正弦量的相量表示和相量的主要性质 电路定律的相量形式
1、正弦量 Am
f (t) = Amcos(t + )
振幅（有效值）、角频率、
0
和初相角三个要素。
T
2、复数几种表示形式
i 2I cos(t i )
U Ue ju U u I Ie ji I i
相量 vs
正弦量
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数（相量） --- 大写+ “.”
u、i U、I Um
U
R 1/jC I
代入元件的VAR，得:
RI
1
jC
I
jLI U s
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
I
Us
200
200
R j(L 1C)
1
j(3
1 2
1 3 2
)
1 j
200 2450
2 45 A
3
i 2 cos(3t 45 ) A
UR RI 2 45V
UC
1 jC
I
j1 2
电压、电流关系
瞬时值
有效值
设
u 2U cost
R则
U IR
i 2I cost
相量图
相量式
I U
u、 i 同相
U IR
i
设
i 2I cost
U
Lu
u L di dt
jX L jL
则
u
2IL
U IXL
X L L
cos(t 90)
U= LI 在正弦稳态下，电感电压除与电流的幅值有关外， 还与信号频率有关，成正比关系。
定义：XL= L ，则U= XLI 是一个与频率有关的量，
反映了电感电压与电流的幅值关系，具有类似于电阻的
性质，故称XL为感抗（单位：）
+j
u= i +90°
电感电压的相位超前电流相位90° 0
IL
U L
+1
iL iC iR
L diL 1 dt C
iCdt uS
R iR
1 C
iC dt
时域微分方程
相量模型
IL IC IR
jLIL
1
jC
IC
U S
RIR
1
jC
ICБайду номын сангаас
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
例8-4 在图示电路中，已知
R=1 ，L=1/2H，C=2/3F，
U 1 I
jC
—电容元件VCR的相量形式
U u
1
C
I i
90
U 1 I
C
U XCI
其中:
1
XC C
可见XC亦是一个与频率 有关的量，反映了电压与电流的
幅值关系，可称XC为容抗（单位：）
u= i 90°
电压的相位滞后电流相位90
+j
IC
0
U C
+1
5、相量模型
R、L、C 元件的相量关系分别为
R : U RI
L : U jLI jX L I
C:
U
1
jC
I jXC I
I
+
U
Z
令 U ZI —欧姆定律的相量形式
其中Z — 阻抗(单位： )，分别代表R，jL，1/jC
由此可建立相量形式的电路模型。
L
iR
+ iL
iC
uS -
1
C2 R
jL
IR
+ IL
U S
-
1
IC
12 R
jC
时域电路
练习3 （1） F1 4 j3 F2 2.78 j9.20 求F1 F2，F1 / F2
48.1216.32 0.5269.94 （2） F1 10 73 F2 5 180 求F1＋F2，-F1 F2
2.08 j9.56 7.92 j9.56
3、正弦量的相量表示
u 2U cos(t u )
2 45
2 135 V 2
UL
jLI
j
3 2
2 45 3 2 45 V 2
相量图为
U s 20
UR 2 45
UL
32 2
45
UC
2 135 2
U s U L U C U R
+j
U L
0
U C
U s
U R , I
+1
V1 例8-5 电路如图，已知电压表读
数为：V1：30V；V2：60V。求： +
+ us
us 2 2 cos3t 。求：i
R
Ci
+ uR + uC L
+ uL
解：这是一个正弦稳态电路，可用相量模型分析。
设 Us 20 且 I I
则相量模型如图所示:
KVL方程为：
U R U C U L U s
R 1/jC I
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
U R U C U L U s
1）代数形式： F = a + jb
其中: 实部 a= Re[F] 虚部 b= Im[F]
+j b
2）复数在复平面上可用向量表示 0
t
F a +1
3）三角形式
+j b
F
由图可见 a = |F| cos
b = |F| sin F= |F|（cos + jsin ）
0
a +1
|F| 为复数的模（值），为复数的辐角。
练习2 将下列复数化成代数形式
(1)F1 10 73 (2)F2 15112.6 (3)F3 1.252 (4)F4 10 90 (5)F5 5 180
(1)F1 2.92 j9.56 (2)F2 5.76 j13.85 (3)F3 0.74 j0.95 (4)F4 j10 (5)F5 5
4）指数形式
根据欧拉公式： e j cos j sin
三角形式变指数形式，即：F F e j
5）极坐标形式 F F
练习1 将下列复数化成极坐标形式
(1)F1 5 j5 (2)F2 4 j3 (3)F3 20 j40 (4)F4 j10 (5)F5 3
(1)F1 7.07 135 (2)F2 5143.13 (3)F3 44.7263.43 (4)F4 1090 (5)F5 3180
Us=？
us
R L V2
解：由相量模型可得相量图如下：
以 I 为参考相量
R
I
U L
U s
U R
由图可得：
U s +
+ U R jL U+ L
Us
U
2 R
U
2 L
302 602
I
67.08V
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i
R u u iR
复数 阻抗
4、电路定律的相量形式
n
m
Ik 0 —KCL的相量形式 Uk 0 —KVL的相量形式
k 1
k 1
U RI — 电阻元件VCR的相量形式
进而推出: Uu= RIi
U=RI 电阻的电压与电流的幅值（有效值）满足欧姆定律。
u=i 元件的电压、电流同相。
U jLI —电感元件VCR的相量形式 Uu= LIi +90°