数学实验教程实验9(级数)
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关于幂级数的数学实验
§1 幂级数
关于幂级数的数学实验 一、 二、 结论：
f ( x) = sin x 与 f ( x) = sin( x + x0 ) 的图象
一般函数与多项式函数图象
在一定条件下，不同的函数都可以用多项式函数来近似。
进一步： 在一定条件下，可用幂级数来表示函数。
一 幂级数的收敛区间 1. 幂级数 (1)
lim | an | = ρ 和 lim n→∞
n n→∞
| an+1 | =ρ | an |
求收敛半径. 可用直比法 在例2)中, 令
( x 1) 2 n an ( x) = n 32 n
则
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) = = ( x 1) 2 → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n
对每个
∑ u ( x)
n
设
区间I上一致收敛:
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
lim n | an | = ρ = +∞ 故收敛半径为: R = 0 收敛域为: {0}
n→∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
令
∞
y = ( x 1) 2 则
(3)
∞ ( x 1) 2 n yn ∑ n 32n = ∑ n 32n n =1 n =1
对幂数(3)
1 n 1 2n an+1 (n + 1) 32( n+1) n 32 n 1 3 = = = → (n → ∞) 2( n +1) n +1 2 1 an (n + 1) 3 9 3 32 n n 32 n
关于幂级数的数学实验 一、 二、 结论：
f ( x) = sin x 与 f ( x) = sin( x + x0 ) 的图象
一般函数与多项式函数图象
在一定条件下，不同的函数都可以用多项式函数来近似。
进一步： 在一定条件下，可用幂级数来表示函数。
一 幂级数的收敛区间 1. 幂级数 (1)
lim | an | = ρ 和 lim n→∞
n n→∞
| an+1 | =ρ | an |
求收敛半径. 可用直比法 在例2)中, 令
( x 1) 2 n an ( x) = n 32 n
则
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) = = ( x 1) 2 → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n
对每个
∑ u ( x)
n
设
区间I上一致收敛:
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
lim n | an | = ρ = +∞ 故收敛半径为: R = 0 收敛域为: {0}
n→∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
令
∞
y = ( x 1) 2 则
(3)
∞ ( x 1) 2 n yn ∑ n 32n = ∑ n 32n n =1 n =1
对幂数(3)
1 n 1 2n an+1 (n + 1) 32( n+1) n 32 n 1 3 = = = → (n → ∞) 2( n +1) n +1 2 1 an (n + 1) 3 9 3 32 n n 32 n
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
无穷级数实验报告总结
一、实验目的本次实验旨在通过实际操作，加深对无穷级数概念的理解，掌握判断无穷级数敛散性的方法，并学会利用无穷级数解决实际问题。
二、实验内容1. 几何级数的敛散性首先，我们研究了几何级数的敛散性。
实验中，我们选取了不同的公比q，观察级数的前几项，发现当q的绝对值大于1时，级数发散；当q的绝对值小于1时，级数收敛；当q等于-1时，级数呈现周期性变化，但整体上仍然是收敛的。
此外，我们还讨论了当q等于1时，级数发散的情况。
2. 判断级数敛散性的方法接着，我们学习了利用定义判断级数敛散性的方法。
首先，写出级数的部分和数列，然后求出部分和数列的通项。
最后，求出部分和数列的极限。
如果极限存在且为常数，则级数收敛；否则，级数发散。
3. 无穷级数在实际问题中的应用为了更好地理解无穷级数，我们探讨了无穷级数在实际问题中的应用。
例如，利用无穷级数求解积分、求解微分方程等。
通过实际操作，我们发现无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值。
三、实验结果与分析1. 几何级数的敛散性实验结果表明，几何级数的敛散性与其公比q的绝对值有密切关系。
当q的绝对值大于1时，级数发散；当q的绝对值小于1时，级数收敛；当q等于-1时，级数收敛，但呈现周期性变化。
2. 判断级数敛散性的方法实验结果表明，通过定义判断级数敛散性的方法简单易行。
只需求出部分和数列的极限，即可判断级数的敛散性。
3. 无穷级数在实际问题中的应用实验结果表明，无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值。
通过无穷级数，我们可以求解一些难以直接求解的积分和微分方程。
四、实验结论1. 几何级数的敛散性与其公比q的绝对值有密切关系，掌握了这一规律，我们可以快速判断几何级数的敛散性。
2. 利用定义判断级数敛散性的方法简单易行，对于一般级数，我们可以通过求部分和数列的极限来判断其敛散性。
3. 无穷级数在解决实际问题中具有很高的实用价值，掌握无穷级数的相关知识，有助于我们解决一些实际问题。
实验九常微分方程与级数
例:求函数y=sin(x)在x=0点处的5阶taylor展开式及在 处的6阶taylor展开式. 解：输入命令： >>syms x; >>taylor(sin(x)) 结果：ans = x-1/6*x^3+1/120*x^5 >>taylor(sin(x),pi/3,7) 结果：ans =1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/6*pi-1/4*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^2-1/12*(x-1/3*pi)^3+1/48*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^4+1/240*(x-1/3*pi)^5-1/1440*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^6
入命令: >>dsolve('D2y=x+Dy', 'y(0)=1', 'Dy(0)=0', 'x') 结果: ans = -1/2*x^2+exp(x)-x
用Matlab求已知函数的泰勒展开式 求已知函数的泰勒展开式用命令taylor,其几种调用格式为: taylor(函数f(x)) 求f(x)在x=0点的5次taylor多项式. taylor(函数f(x),n) 求f(x)在x=0点的n-1次taylor多项式. taylor(函数f(x),a,n) 求f(x)在x=a点的n-1次taylor多项式.
实验九 常微分方程与级数
CLICK HERE TO ADD A TITLE
实验目的: 1.掌握用Matlab命令dsolve求解微分方程. 2.学习Matlab泰勒级数展开命令taylor. 3.加强对幂级数和函数概念的理解. 4.如何用Matlab判断数项级数的敛散性.
一.用Matlab命令dsolve求解微分方程 一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为 微分方程.微分方程在Matlab中输入时应注意: 应输入Dy, 应输入D2y, 应输入D3y等等. 1.Matlab求解微分方程的命令是dsolve,调用格式: dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的解析解,表示为t的函数,把y 当作t的函数求解,这是系统默认的. 2.dsolve(‘微分方程’,’x’) 给出微分方程的解析解,表示为x的函数.
入命令: >>dsolve('D2y=x+Dy', 'y(0)=1', 'Dy(0)=0', 'x') 结果: ans = -1/2*x^2+exp(x)-x
用Matlab求已知函数的泰勒展开式 求已知函数的泰勒展开式用命令taylor,其几种调用格式为: taylor(函数f(x)) 求f(x)在x=0点的5次taylor多项式. taylor(函数f(x),n) 求f(x)在x=0点的n-1次taylor多项式. taylor(函数f(x),a,n) 求f(x)在x=a点的n-1次taylor多项式.
实验九 常微分方程与级数
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实验目的: 1.掌握用Matlab命令dsolve求解微分方程. 2.学习Matlab泰勒级数展开命令taylor. 3.加强对幂级数和函数概念的理解. 4.如何用Matlab判断数项级数的敛散性.
一.用Matlab命令dsolve求解微分方程 一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为 微分方程.微分方程在Matlab中输入时应注意: 应输入Dy, 应输入D2y, 应输入D3y等等. 1.Matlab求解微分方程的命令是dsolve,调用格式: dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的解析解,表示为t的函数,把y 当作t的函数求解,这是系统默认的. 2.dsolve(‘微分方程’,’x’) 给出微分方程的解析解,表示为x的函数.
实验 数列与级数
实验3 数列与级数级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。
远在公元前三世纪，古希腊人Archimedes 就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。
本实验的目的是通过计算机发现数列的规律、极限状态的性质。
所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字1a ,2a ,... ,n a , (1)而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式∑∞=1n n a= 1a +2a + (2)数列与级数有密不可分的关系。
给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列 1S , 2S ,…其中n S = 1a +2a +…+n a , n = 1,2 ,… .反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数∑∞=1n n b这里1b = 1a ,1--=n n n a a b ,n = 2 ,3 ,… 。
并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限。
因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。
给定的数列{n a } ,人们最关心的问题是：1． 数列n a 有什么规律与性质？2． 当n →∞时，数列n a 的极限是什么？3． 极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？4． 如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？5． 如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。
本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。
我们以Fibonacci 数列为例来探讨上述问题。
3.1 Fibonacci 数列给定如下的数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……其递推关系式由n n n F F F +=++12, 1=n ，2，…， 11=F ,12=F (3)给出，该数列被称为Fibonacci 数列。
Fibonacci 数列经常以著名的养兔问题提出来。
某人养了一对兔子（公母各一只）。
一月后，这对兔子生了一对小兔。
泰勒数学实验报告
一、实验目的1. 理解泰勒级数的概念和性质。
2. 掌握泰勒级数展开的方法。
3. 通过实验验证泰勒级数展开的准确性和适用范围。
二、实验原理泰勒级数是函数在某一点附近展开的一种方法，它将函数表示为幂级数的形式。
对于可导函数，在其定义域内，存在任意阶导数，可以通过泰勒级数展开来近似表示该函数。
泰勒级数的展开公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，a为展开点，R_n(x)为余项。
三、实验内容1. 实验一：泰勒级数展开的验证（1）选择一个函数，如f(x) = e^x，在x=0处进行泰勒级数展开。
（2）根据泰勒级数展开公式，计算f(x)在x=0处的各阶导数值。
（3）将计算得到的各阶导数值代入泰勒级数展开公式，得到e^x的泰勒级数。
（4）使用计算器或编程软件，计算e^x的泰勒级数在x=0附近的近似值，并与实际值进行比较。
2. 实验二：泰勒级数展开的误差分析（1）选择一个函数，如f(x) = sin(x)，在x=0处进行泰勒级数展开。
（2）根据泰勒级数展开公式，计算f(x)在x=0处的各阶导数值。
（3）将计算得到的各阶导数值代入泰勒级数展开公式，得到sin(x)的泰勒级数。
（4）计算sin(x)的泰勒级数在x=0附近的近似值，并与实际值进行比较。
（5）分析泰勒级数展开的误差，讨论误差产生的原因。
3. 实验三：泰勒级数展开的应用（1）选择一个函数，如f(x) = ln(x)，在x=1处进行泰勒级数展开。
（2）根据泰勒级数展开公式，计算f(x)在x=1处的各阶导数值。
（3）将计算得到的各阶导数值代入泰勒级数展开公式，得到ln(x)的泰勒级数。
（4）使用泰勒级数展开的近似值计算ln(1.01)和ln(1.02)。
高等数学实用教程第九章
求
1
n1
n
n
1
1 2n
的和。
解 根据性质1和例9.1.2、例9.1.3的结论，得
1
n1
1
n
n
1
1 2n
n1
1
nn 1
n1
1 n 2
1
2 1
1
2
2
性质2 将级数去掉、添加或改变有限项，不会改变级数的敛散性 。如果是收敛级数，级数的和可能会改变。
性质3 收敛级数加括号后所构成的级数仍收敛于原来的和。
n1 n
n n
散。另外，如果通项的极限不等于0，级数一定是发散的，这
就是下面的推论。
推论
如果
lim
n
an
0，则级数 an
发散。
例 9.1.7 考察级数的敛散性。
n
(1) n1 2n 3
n 1 n
(2) n1
n
解
(1)通项 un
n 2n 3
，因为
lim
n
un
1 2
0
，所以原级数发散。
(2)通项
无界，因此调和级数 1 发散。 n1 n
例 9.1.6 [调和级数的另一种证明思路]雅各布 ·伯努利 (JakobBernoulli,1654-1705)证明调和级数发散的方法。
首先
1 n 1
1 n2
1 n2
n2 n
1 n2
1
1 n
所以
1 n
1 n 1
1 n2
1 n2
1
这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大 于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使 它大于任何给定的量，从而整个级数的和必是无穷。
无穷级数实验报告
一、实验目的1. 理解无穷级数的概念及其在数学和工程中的应用。
2. 掌握MATLAB软件在求解无穷级数中的应用。
3. 通过实际操作，加深对无穷级数收敛性、收敛域的理解。
二、实验原理无穷级数是数学中一种重要的数学工具，它将无限多个数按照一定的规律排列起来，形成一种表达形式。
在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
无穷级数分为收敛级数和发散级数，其中收敛级数是指当项数无限增加时，级数的和趋于某一固定值。
傅里叶级数是无穷级数的一种，它将周期函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶级数，我们可以了解周期函数的频谱特性以及各个频率分量对函数形状的贡献程度。
三、实验内容1. 实验一：求解e的近似值（1）原理：利用e的泰勒级数展开式 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...，通过计算前n项的和来逼近e的值。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项泰勒级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。
2. 实验二：求解π的近似值（1）原理：利用π的莱布尼茨级数展开式π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...，通过计算前n项的和来逼近π的值。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项莱布尼茨级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。
3. 实验三：求解无穷级数收敛性（1）原理：判断无穷级数的收敛性，可以通过比值法则、根值法则等方法。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算级数的通项；b. 利用比值法则或根值法则，判断级数的收敛性；c. 分析级数的收敛域。
四、实验结果与分析1. 实验一：计算e的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，e的近似值为2.71828，与实际值相差很小。
随着n的增加，近似值越来越接近实际值。
2. 实验二：计算π的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，π的近似值为3.14159，与实际值相差很小。
高等数学数学实验报告无穷级数
高等数学数学实验报告实验人员：院（系） _电子科学与工程学院_ 学号_06211623_ 姓名_吴晓锋_ 实验地点：计算机中心机房实验一一、实验题目观察∑∞=1!n n n n 的部分和序列的变化趋势，并求和二、实验目的和意义学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。
三、计算公式∑∞=1!n n n n四、程序设计（1）逼近（2）求和五、程序运行结果N[Sum[n!/n n,{n,Infinity}],50]Output= 1.87985386217525853349六、结果的讨论和分析通过利用mathematics可以直观的看出逼近图像，利用Table命令可以生成部分和的序列的数据点，同时控制点的疏密程度以利于观测。
利于软件求部分和十分快速，精确，不失为一种求和的好方法。
实验二一、实验题目观察函数,0()1,0x xf xxππ--≤<⎧=⎨≤<⎩展成的Fourier级数的部分和逼近()f x的情况。
二、实验目的和意义本实验的目的是用Mathematica显示级数部分和的变化趋势；学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算；展示Fourier级数对周期函数的逼近情况。
三、计算公式⎰=ππ-f(x )dx π1a ⎰=ππ-nx dx x )cos (f π1n a ⎰=ππ-nx dx x )sin (f π1n b四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析如初值对结果的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改进；整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出现的问题及其处理等广泛的问题，以此扩大 知识面和对实验环节的认识。
大学九年级高等数学实验教学设计教案
大学九年级高等数学实验教学设计教案一、教学目标通过本实验教学，使学生能够：1. 理解和掌握高等数学中与实验相关的基本概念、原理以及实验技术；2. 学会运用实验方法和数学工具，解决实际问题；3. 培养创新意识和实验精神，提高数学实践能力。
二、教学内容1. 实验一：微分中值定理的验证2. 实验二：积分的应用3. 实验三：二元函数的偏导数计算4. 实验四：线性方程组解法的实验研究5. 实验五：常微分方程初值问题的数值解三、教学方法1. 实验指导：针对每个实验，提供详细的实验指导，并说明实验步骤和要求。
2. 实验操作：学生按照实验指导进行实验操作，记录实验数据。
3. 数据处理：学生根据实验数据进行数据处理，求解问题并得出结论。
4. 结果分析：学生分析实验结果，探讨实验中出现的现象和问题。
5. 思考提问：通过问题的提问，引导学生深入思考实验现象背后的数学原理和规律。
四、实验一：微分中值定理的验证1. 实验目的：验证微分中值定理的成立条件及定理的应用。
2. 实验器材：实验材料，测量工具等。
3. 实验步骤：a. 准备实验材料和测量工具；b. 选择适当的实验条件，进行实验操作；c. 记录实验数据，并进行数据处理；d. 分析实验结果，验证微分中值定理；e. 总结实验结果，归纳定理的应用条件和方法。
五、实验二：积分的应用1. 实验目的：通过实验探究积分的基本性质及其应用。
2. 实验器材：实验材料，计算工具等。
3. 实验步骤：a. 准备实验材料和计算工具；b. 选择适当的实验条件，进行实验操作；c. 记录实验数据，并进行数据处理；d. 运用积分的概念和方法，求解实际问题；e. 总结实验结果，归纳积分的应用规律。
六、实验三：二元函数的偏导数计算1. 实验目的：通过实验学习二元函数的偏导数计算方法。
2. 实验器材：实验材料，计算工具等。
3. 实验步骤：a. 准备实验材料和计算工具；b. 选择适当的实验条件，进行实验操作；c. 记录实验数据，并进行数据处理；d. 计算二元函数的偏导数，并验证计算结果；e. 总结实验结果，归纳二元函数偏导数的计算方法。
大学数学实验报告----数列与级数
数学实验报告实验四数列与级数学院：数学与信息科学学院班级：09级数学（4）班姓名：***学号：***实验四数列与级数单调性以及增加速度；用直线去拟合数据n,log F n，猜测通项公式满足F n cr n，并进行尝试，带入差分方程，从中解出特征根；开始产生的数列最后都落于421中。
FibShow n_Integer:Modulet,i,For i1,i n,i,AppendTo t,i,Fibonacci i;ListPlot t,PlotJoined TrueFibShow20FibFit n_Integer:Modulet,i,For i1,i n,i,AppendTo t,i,Log Fibonacci i;Fit t,1,x,xFibFit2000FibPlay n_Integer:Modulet,i,For i1,i n,i,AppendTo t,Mod Fibonacci i,n;ListPlay t,PlayRange0,n,SampleRate5 FibPlay1000（1）所有航班的航程有限；（2）所有航班的保持高度航程有限；（3）对所有n, E(n)有限；（4）对所有n, O(n)有限。
3n+1问题可以推广到负数。
迄今发现了三个不同的循环：-1→-2→-1，-5→-14→-7→-20→-10→-5，-17→-50→-25→-74→-37→-110→-55→-164→-82→-41→-122→-61→-182→-91→-272→-136→-68→-34→-17，实验的结果和结果分析练习1、分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图，Fibonacci数列是否单调增？是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？N=20N=50N=100N=200N=500练习2、分别取N=2000，5000，10000，用直线去拟合数据n,log F n，n=1,2,…,N,由此求数列F的近似表示。
数学实验 Mathematic实验九 无穷级数讲解
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称无穷级数所属课程名称数学实验实验类型微积分实验实验日期2011.11.16班级学号姓名成绩fx=Normal[Series[Exp[x]，{x，0，3}]]Plot[fx，{x，-3，3}]则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使用强制求值命令Evaluate，改成输入Plot[Evaluate[fx]，{x，-3，3}]便可以得到函数的图形5.作散点图命令ListPlot.ListPlot[Table[j^2，{j，16}]，PlotStyle PointSize[0.012]] 6.用符号“／；”定义分段函数.符号“／；”用于定义某种规则，“／；”后面是条件，例如输入Clear[g，gf]；g[x_]:=x/；0x<1g[x_]:=-x/；-1x<0g[x_]:=g[x-2]/；x 1gf=Plot[g[x]，{x，-1，6}]用which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到，用“…(表达式)/；…(条件)”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用which定义的分段函数可以求导，但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数，如：Mod[x，1]，Abs[x]，Floor[x]和Unitstep[x].其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求ListPlot[vals，PlotStyle PointSize[0.012]] Sum[a[n]，{n，1，Infinity}]2.求幂级数的收敛域.例9.4 求24(3)1n nnxn∞=-+∑收敛域与和函数.Clear[a]；a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)；stepone=a[n+1]/a[n]//Simplifysteptwo=Limit[stepone，n Infinity]ydd=Solve[steptwo1，x]zdd=Solve[steptwo-1，x]Simplify[a[n]/.x(49/16)]Simplify[a[n]/.x(47/16)]Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)，{n，0，Infinity}] 3.函数的幂级数展开.例9.5 求cos x的6阶麦克劳林展开式.Series[Cos[x]，{x，0，6}]例9.6 求ln x在1x=处的6阶泰勒展开式.Series[Log[x]，{x，1，6}]例9.7 求arctan x的5阶麦克劳林展开式.ser1=Series[ArcTan[x]，{x，0，5}]；poly=Normal[ser1]Plot[Evaluate[{ArcTan[x]，poly}]，{x ，-3/2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}，AspectRatio 1]例9.8 求22(1)(1)x x e --+在1x =处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似多项式.Clear[f]；f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2]； poly2=Normal[Series[f[x]，{x ，1，8}]] Plot[Evaluate[{f[x]，poly2}]，{x ，-1.5，1.5}，PlotRange {-2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}]例9.9 求函数x sin 在0=x 处的3，5，7，…，9l 阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察.Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!，{j ，0，k}]，Sin[x]}，{x ，-40，40}，PlotStyle {RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]，{k ，1，45}] 4.傅里叶级数.例9.10 设()f x 是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为1,01(),10x f x x x ≤<⎧=⎨--≤<⎩求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项，作出()f x 和它的近似三角级数的图形.Clear[f ，a ，b ，fs ，L]； f[x_]:=1/；0x<1 f[x_]:=-x/；-1x<0 f[x_]:=f[x-2]/；1x gf=Plot[f[x]，{x ，-1，5}] Clear[L ，a ，b ，fs ，f1，f2]； L=1；a[n_]:=(Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/Lb[n_]:=(Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/Lfs[k_，x_]:=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L] fourier[n_，x_]:=a[0]/2+Sum[fs[k ，x]，{k ，1，n}] f1=fourier[5，x]//N f2=fourier[10，x]//NPlot[Evaluate[{f[x]，f1}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]Plot[Evaluate[{f[x]，f2}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]设)(x g 是以2Pi 为周期的周期函数，它在],[ππ-的表达式是1,0()1,0x g x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，将)(x g 展开成傅里叶级数. Clear[g]；g[x_]:=-1/；-Pi x<0 g[x_]:=1/；0x<Pi g[x_]:=g[x-2Pi]/；Pi xPlot[g[x]，{x ，-Pi ，5Pi}，PlotStyle {RGBColor[0，1，0]}]； Clear[b2，fourier2，tu ，tu2，toshow]；b2[n_]:=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x]，{x ，0，Pi}]/Pi ； fourier2[n_，x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x]，{k ，1，n}]； tu[n_]:=Plot[{g[x]，Evaluate[fourier2[n ，x]]}，{x ，-Pi ，5Pi}， PlotStyle{RGBColor[0，1，0]，RGBColor[1，0.3，0.5]}，DisplayFunctionIdentity]；tu2=Table[tu[n]，{n ，1，30，5}]； toshow=Partition[tu2，2]； Show[GraphicsArray[toshow]]【实验结论】（结果）1.用Mathematica 求无穷级数的和；2.求幂级数的收敛域；3.展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数.附录1：源程序1Sum k2^k,k,1,Infinity2Sum12k1^2,k,1,Infinity 283Sum12k^2,k,1,Infinity 2244Sum1^k1k,k,1,Infinity Log2Clear a;a n_x1^2n15^n; stepone a n1a n Simplify11x25steptwo Limit stepone,n Infinity11x25ydd Solve steptwo1,xzdd Solve steptwo1,xx15,x15x15,x15x15,x15Simplify a n.x1Sqrt5Sin kkSimplify a n.x1Sqrt5Sin kkSum x1^2n15^n,n,0,Infinity 51x62x x2Series1x Log1x,x,0,6Log2Log x Log x2O x7Series ArcSin x,x,0,6x x363x540O x7Clear f;f x_x x^21;Series f x,x,0,5Series f x,x,0,10p1Normal Series f x,x,0,5p2Normal Series f x,x,0,10p3Plot Evaluate f x,p1,p2,x,3,3,PlotRange2,32, PlotStyle Dashing0.01,GrayLevel0x x3x5O x6x x3x5x7x9O x11x x3x5x x3x5x7x9GraphicsClear f,a,b,fs,L;f x_:1x^2;12x12 f x_:f x1;x12gf Plot f x,x,1,5GraphicsL12;a n_:Integrate x Cos n Pi x L,x,L,0Integrate Cos n Pi x l,x,0,LLb n_:Integrate x Sin n Pi x L,x,L,0Integrate Sin n Pi x l,x,0,L L fs k_,x_:a k Cos k Pi x L b k Sin k Pi x Lfourier n_,x_:a02Sum fs k,x,k,1,6f1fourier5,x Nf2fourier10,x N0.625 2.Cos 6.28319x0.05066060.31831l Sin 1.5708l0.31831l Cos12.5664x Sin 3.14159l2.Cos18.8496x0.005628950.106103l Sin 4.71239l0.159155l Cos25.1327x Sin 6.28319l2.Cos31.4159x0.002026420.063662l Sin 7.85398l0.106103l Cos37.6991x Sin 9.42478l2.0.07957750.31831l0.31831l Cos 1.5708lSin 6.28319x2.0.03978870.159155l0.159155l Cos3.14159lSin12.5664x2.0.02652580.106103l0.106103l Cos 4.71239lSin18.8496x2.0.01989440.0795775l0.0795775l Cos 6.28319lSin25.1327x2.0.01591550.063662l0.063662l Cos 7.85398lSin31.4159x2.0.01326290.0530516l0.0530516l Cos 9.42478lSin37.6991x0.625 2.Cos 6.28319x0.05066060.31831l Sin 1.5708l0.31831l Cos12.5664x Sin 3.14159l2.Cos18.8496x0.005628950.106103l Sin 4.71239l0.159155l Cos25.1327x Sin 6.28319l2.Cos31.4159x0.002026420.063662l Sin 7.85398l0.106103l Cos37.6991x Sin 9.42478l2.0.07957750.31831l0.31831l Cos 1.5708lSin 6.28319x2.0.03978870.159155l0.159155l Cos3.14159lSin12.5664x2.0.02652580.106103l0.106103l Cos 4.71239lSin18.8496x2.0.01989440.0795775l0.0795775l Cos 6.28319lSin25.1327x2.0.01591550.063662l0.063662l Cos 7.85398lSin31.4159x2.0.01326290.0530516l0.0530516l Cos 9.42478lSin37.6991xPlot Evaluate f x,f1,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot Evaluate f x,f2,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598.Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.629911.General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsPlot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598.Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.629911.General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsClear f,a,b,fs,L;f x_:1;0x1f x_:2x;1x2 f x_:f x2;x2 gf Plot f x,x,1,5GraphicsL1;a n_:Integrate x Cos n Pi x L,x,L,0Integrate Cos n Pi x l,x,0,LLb n_:Integrate x Sin n Pi x L,x,L,0Integrate Sin n Pi x l,x,0,L L fs k_,x_:a k Cos k Pi x L b k Sin k Pi x Lfourier n_,x_:a02Sum fs k,x,k,1,8f1fourier5,x Nf2fourier10,x N0.75Cos 3.14159x0.2026420.31831l Sin 3.14159l0.159155l Cos 6.28319x Sin 6.28319lCos9.42478x0.02251580.106103l Sin 9.42478l0.0795775l Cos12.5664x Sin 12.5664lCos15.708x0.008105690.063662l Sin 15.708l0.0530516l Cos18.8496x Sin 18.8496lCos21.9911x0.004135560.0454728l Sin 21.9911l0.0397887l Cos25.1327x Sin 25.1327l0.318310.31831l0.31831l Cos 3.14159lSin 3.14159x0.1591550.159155l0.159155l Cos 6.28319lSin 6.28319x0.1061030.106103l0.106103l Cos 9.42478lSin9.42478x0.07957750.0795775l0.0795775l Cos 12.5664lSin12.5664x0.0636620.063662l0.063662l Cos 15.708lSin15.708x0.05305160.0530516l0.0530516l Cos 18.8496lSin18.8496x0.04547280.0454728l0.0454728l Cos 21.9911lSin21.9911x0.03978870.0397887l0.0397887l Cos 25.1327lSin25.1327x0.75Cos 3.14159x0.2026420.31831l Sin 3.14159l0.159155l Cos 6.28319x Sin 6.28319lCos9.42478x0.02251580.106103l Sin 9.42478l0.0795775l Cos12.5664x Sin 12.5664lCos15.708x0.008105690.063662l Sin 15.708l0.0530516l Cos18.8496x Sin 18.8496lCos21.9911x0.004135560.0454728l Sin 21.9911l0.0397887l Cos25.1327x Sin 25.1327l0.318310.31831l0.31831l Cos 3.14159lSin 3.14159x0.1591550.159155l0.159155l Cos 6.28319lSin 6.28319x0.1061030.106103l0.106103l Cos 9.42478lSin9.42478x0.07957750.0795775l0.0795775l Cos 12.5664lSin12.5664x0.0636620.063662l0.063662l Cos 15.708lSin15.708x0.05305160.0530516l0.0530516l Cos 18.8496lSin18.8496x0.04547280.0454728l0.0454728l Cos 21.9911lSin21.9911x0.03978870.0397887l0.0397887l Cos 25.1327lSin25.1327xPlot Evaluate f x,f1,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot Evaluate f x,f2,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598. Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.491147. General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsPlot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598. Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.491147. General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during thisGraphicsClear a;a n_Sin k k;vals Table a k,k,1,50;ListPlot vals,PlotStyle PointSize0.015Graphics附录2：实验报告填写说明1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
高等数学数学实验报告(两篇)2024
引言概述:高等数学数学实验报告（二）旨在对高等数学的相关实验进行探究与研究。
本次实验报告共分为五个大点，每个大点讨论了不同的实验内容。
在每个大点下，我们进一步细分了五到九个小点，对实验过程、数据收集、数据分析等进行了详细描述。
通过本次实验，我们可以更好地理解高等数学的概念和应用。
正文内容:一、微分方程实验1.利用欧拉法求解微分方程a.介绍欧拉法的原理和步骤b.详细阐述欧拉法在实际问题中的应用c.给出具体的实例，展示欧拉法的计算步骤2.应用微分方程建立模型求解实际问题a.介绍微分方程模型的建立方法b.给出一个具体的实际问题，使用微分方程建立模型c.详细阐述模型求解步骤和结果分析3.使用MATLAB求解微分方程a.MATLAB求解微分方程的基本语法和函数b.给出一个具体的微分方程问题，在MATLAB中进行求解c.分析结果的准确性和稳定性二、级数实验1.了解级数的概念和性质a.简要介绍级数的定义和基本概念b.阐述级数收敛和发散的判别法c.讨论级数的性质和重要定理2.使用级数展开函数a.介绍级数展开函数的原理和步骤b.给出一个函数，使用级数展开进行近似计算c.分析级数近似计算的精确度和效果3.级数的收敛性与运算a.讨论级数收敛性的判别法b.介绍级数的运算性质和求和法则c.给出具体的例题，进行级数的运算和求和三、多元函数极值与最值实验1.多元函数的极值点求解a.介绍多元函数的极值点的定义和求解方法b.给出一个多元函数的实例，详细阐述求解过程c.分析极值点对应的函数值和意义2.多元函数的条件极值与最值a.讨论多元函数的条件极值的判定法b.给出一个具体的多元函数，求解其条件极值和最值c.分析条件极值和最值对应的函数值和意义3.利用MATLAB进行多元函数极值与最值的计算a.MATLAB求解多元函数极值与最值的基本语法和函数b.给出一个多元函数的具体问题，在MATLAB中进行求解c.分析结果的准确性和可行性四、曲线积分与曲面积分实验1.曲线积分的计算方法与应用a.介绍曲线积分的定义和计算方法b.给出一个具体的曲线积分问题，详细阐述计算过程c.分析曲线积分结果的几何意义2.曲线积分的应用举例a.讨论曲线积分在实际问题中的应用b.给出一个实际问题，使用曲线积分进行求解c.分析曲线积分结果的实际意义和应用价值3.曲面积分的计算方法与应用a.介绍曲面积分的定义和计算方法b.给出一个具体的曲面积分问题，详细阐述计算过程c.分析曲面积分结果的几何意义五、空间解析几何实验1.空间曲线的参数方程表示与性质a.介绍空间曲线的参数方程表示和性质b.给出一个具体的空间曲线，转化为参数方程表示c.分析参数方程对应的几何意义和性质2.平面与空间直线的位置关系a.讨论平面与空间直线的位置关系的判定方法b.给出一个具体的平面与空间直线的问题，判定其位置关系c.分析位置关系对应的几何意义和应用实例3.空间直线与平面的夹角和距离计算a.介绍空间直线与平面的夹角和距离的计算方法b.给出一个具体的空间直线和平面，计算其夹角和距离c.分析夹角和距离计算结果的几何意义总结:通过本次高等数学数学实验报告（二），我们深入了解了微分方程、级数、多元函数极值与最值、曲线积分、曲面积分以及空间解析几何的相关概念和应用。
《数学实验》实验指导书
《数学实验》实验指导书《数学实验》实验指导书2012-4-12⽬录实验⼀MATLAB基础 (1)实验⼆曲线与曲⾯ (8)实验三极限、导数和积分 (15)实验四⽆穷级数 (22)实验五微分⽅程 (25)实验六线性代数 (27)实验七概率论与数理统计 (31)实验⼋代数⽅程与最优化问题 (32)实验九数据拟合 (34)实验⼗综合性实验 (36)实验⼀MATLAB基础【实验⽬的】1. 熟悉启动和退出MATLAB的⽅法，及MATLAB⼯作窗⼝的组成；2. 掌握建⽴矩阵的⽅法；3. 掌握MATLAB的语⾔特点、基本功能；4. 掌握MATLAB的⽂件创建、运⾏及保存⽅法；5. 掌握MATLAB的符号运算；6. 掌握MATLAB的平⾯绘图命令及辅助操作；7. 掌握MATLAB的常⽤函数及命令；8. 掌握MATLAB选择结构和循环结构程序设计。
【实验内容】1. 熟悉MATLAB的⼯作界⾯及运⾏环境，熟悉MATLAB的基本操作。
2. 已知----=1323151122231592127A(1)求矩阵A的秩(rank)(2)求矩阵A的⾏列式(determinant)(3)求矩阵A的逆(inverse)(4)求矩阵A的特征值及特征向量(eigenvalue and eigenvector)。
3. 在MATLAB计算⽣成的图形上标出图名和最⼤值点坐标。
4. 求近似极限，修补图形缺⼝。
5. 逐段解析函数的计算和表现。
本例演⽰削顶整流正弦半波的计算和图形绘制。
6. 建⽴M⽂件，随机产⽣20个数，求其中最⼤数和最⼩数。
要求分别⽤循环结构和调⽤MATLAB 的max和min函数来实现。
7. 建⽴M⽂件，分别⽤if语句和switch语句实现以下计算，其中，cb的值从键盘输⼊。
<≤+<≤+<≤++=5.55.3,ln 5.35.1,sin 5.15.0,2x x c b x x cb a x c bx ax y c8. 在区间[0,2]上有3g 重的物质均匀分布着，此外，⼜有1g 重的物质集中在x=3处。
数学实验教程实验9(级数
实验9 级数实验目的1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier 级数的概念，并将函数展开成Fourier 级数实验准备1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier 级数的概念、展开方法；实验内容1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier 级数展开软件命令表9-1 Matlab 级数操作命令实验示例【例9.1】级数观察观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。
1. 11n n ∞=∑； 2. 11(1)n n n ∞=-∑。
【步骤】：Step1：计算部分和n S ； Step2：描点观察。
【程序】：clearclc clffor n=1:100 for k=1:np1(k)=1/k;p2(k)=(-1)^k/k; ends1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); endplot(s1) plot(s2) syms i;symsum(1/i,i,1,inf))symsum((-1)^i/i,i,1,inf))【输出】：图 9-1 部分和序列收敛性观察级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。
【例9.2】调和级数实验—欧拉常数记11()ni H n i ==∑，()()ln C n H n n =-，研究C(n)的极限值是否存在。
【程序】：%图形观察h(1)=1;for i=2:10^5h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)% 求极限syms k nlimit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。
1．330()1,1,9f x x x += 2．011()arctan,1,arctan 12x f x x x -==+； 3．0()sin(1),0,sin1f x x x =+=。
《数学实验报告》样例
3、幂级数收敛域；
4、Fourier级数逼近函数的演示。
实验过程记录(含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录)：
1、级数部分和的变化趋势
在实验一中，我们通过图形能够清楚地显示极限的变化趋势，而级数的和就是部分和序列的极限，下面我们采用散点图来观察级数部分和序列的变化趋势。
例1 观察级数 的部分和序列的变化趋势，并求和。
数学实验报告
实验序号:1日期:2010年6月18日星期五
班级
07303
姓名
王杨
学号
0730352
实验
名称
无穷级数与函数逼近
问题背景描述：
无穷级数在函数性质研究与工程近似计算中有着重要的理论和应用价值。函数逼近就是用一系列简单函数无限接近给定的函数，它又分为局部和整体逼近。在传统的课堂教学中，这两种概念很难讲清楚。
2、在收敛域内幂级数收敛于一个和函数，但反之，任给函数 是否可以看成某个幂级数的和函数，即函数 幂级数的展开问题。
3、Fourier级数经常用于谐波分析，在物理和电工学中有重要应用。
实验所用软件及版本：
Mathematica4.1
主要内容(要点)：
1、级数的部分和的变化趋势；
2、将函数展开成泰勒级数；
例4将函数 展开成周期为3的傅里叶级数。
解：在下面的Mathematica程序中，先定义了一个产生傅里叶级数的前k项部分和的函数，在后面的“For”循环中连续调用该函数，输出了 的傅里叶级数的前 项部分和函数，并画出了 图形及同一坐标下 与其傅里叶级数前7项和函数的图形（如图5）。
fourier[f_,T_,k_]:=Module[{a,b,i,t,s,g1,g2},a[0]=Integrate[f,{x,-T,T}]/T;s=a[0]/2;For[i=1,i<=k,i++,t=i*Pi/T;a[i_]:=Integrate[f*Cos[t*x],{x,-T,T}]/T;b[i_]:=Integrate[f*Sin[t*x],{x,-T,T}]/T;s=s+a[i] Cos[t*x]+b[i] Sin[t*x]];Print[s];Plot[Evaluate[s],{x,-T,T},DisplayFunction->Identity]];
4、Fourier级数逼近函数的演示。
实验过程记录(含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录)：
1、级数部分和的变化趋势
在实验一中，我们通过图形能够清楚地显示极限的变化趋势，而级数的和就是部分和序列的极限，下面我们采用散点图来观察级数部分和序列的变化趋势。
例1 观察级数 的部分和序列的变化趋势，并求和。
数学实验报告
实验序号:1日期:2010年6月18日星期五
班级
07303
姓名
王杨
学号
0730352
实验
名称
无穷级数与函数逼近
问题背景描述：
无穷级数在函数性质研究与工程近似计算中有着重要的理论和应用价值。函数逼近就是用一系列简单函数无限接近给定的函数，它又分为局部和整体逼近。在传统的课堂教学中，这两种概念很难讲清楚。
2、在收敛域内幂级数收敛于一个和函数，但反之，任给函数 是否可以看成某个幂级数的和函数，即函数 幂级数的展开问题。
3、Fourier级数经常用于谐波分析，在物理和电工学中有重要应用。
实验所用软件及版本：
Mathematica4.1
主要内容(要点)：
1、级数的部分和的变化趋势；
2、将函数展开成泰勒级数；
例4将函数 展开成周期为3的傅里叶级数。
解：在下面的Mathematica程序中，先定义了一个产生傅里叶级数的前k项部分和的函数，在后面的“For”循环中连续调用该函数，输出了 的傅里叶级数的前 项部分和函数，并画出了 图形及同一坐标下 与其傅里叶级数前7项和函数的图形（如图5）。
fourier[f_,T_,k_]:=Module[{a,b,i,t,s,g1,g2},a[0]=Integrate[f,{x,-T,T}]/T;s=a[0]/2;For[i=1,i<=k,i++,t=i*Pi/T;a[i_]:=Integrate[f*Cos[t*x],{x,-T,T}]/T;b[i_]:=Integrate[f*Sin[t*x],{x,-T,T}]/T;s=s+a[i] Cos[t*x]+b[i] Sin[t*x]];Print[s];Plot[Evaluate[s],{x,-T,T},DisplayFunction->Identity]];
级数实验
大学数学实验报告
无穷级数与函数逼近
班 级＿＿＿＿＿＿＿
姓 名＿＿＿＿＿＿＿
学号＿＿＿＿＿＿＿
指导教师＿＿＿＿＿＿＿
实验时间＿＿＿＿＿＿＿
实验所用软件及版本： 4.1
实验目的：
（1）掌握用 软件进行级数运算、求傅立叶级数的语句和方法。
（2）用 软件显示级数的部分和的变化趋势。
（3）学会如何利用幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算。
（2）将 在点 处展开到 的4次幂。
3.利用幂级数展开式计算
4.设周期为 的周期函数 在一个周期内的表达式为
试生成 的傅里叶级数，并从图上观察该级数的部分和逼近 的情况。
实验步骤与实验结论
选作实验：
设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 分解成简谐振动的叠加形式。
实验步骤与实验结论
创新实验：
试在同一屏幕上作出 及它的 阶傅里叶多项式 的图形，观察 逼近 的情况。
实验步骤与实验结论
教师评：
（4）展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。
实验涉及的语句：
语句一：
－求级数的和（和函数），其中 为级数的通项， 为 的起始值， 为终止值，当从1开始时， 可以省略。
语句二：
－把函数 在点 处展开到 - 的 次幂。
语句三：
语句四：
必作实验：
1.观察 的部分和序列的变化趋势，并求和。
2.（1）分别将 ， ， 在点 处展开到 的5次幂。
无穷级数与函数逼近
班 级＿＿＿＿＿＿＿
姓 名＿＿＿＿＿＿＿
学号＿＿＿＿＿＿＿
指导教师＿＿＿＿＿＿＿
实验时间＿＿＿＿＿＿＿
实验所用软件及版本： 4.1
实验目的：
（1）掌握用 软件进行级数运算、求傅立叶级数的语句和方法。
（2）用 软件显示级数的部分和的变化趋势。
（3）学会如何利用幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算。
（2）将 在点 处展开到 的4次幂。
3.利用幂级数展开式计算
4.设周期为 的周期函数 在一个周期内的表达式为
试生成 的傅里叶级数，并从图上观察该级数的部分和逼近 的情况。
实验步骤与实验结论
选作实验：
设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 分解成简谐振动的叠加形式。
实验步骤与实验结论
创新实验：
试在同一屏幕上作出 及它的 阶傅里叶多项式 的图形，观察 逼近 的情况。
实验步骤与实验结论
教师评：
（4）展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。
实验涉及的语句：
语句一：
－求级数的和（和函数），其中 为级数的通项， 为 的起始值， 为终止值，当从1开始时， 可以省略。
语句二：
－把函数 在点 处展开到 - 的 次幂。
语句三：
语句四：
必作实验：
1.观察 的部分和序列的变化趋势，并求和。
2.（1）分别将 ， ， 在点 处展开到 的5次幂。
高等数学级数9解剖
15
第十一章 无穷级数 习题课
n1
(1)n1 2n1
x 2n1 (2n 1)!
2 sin 1 ( x 1) 2
2 sin 1 cos x 1 2 cos 1 sin x 1
2
2
2
2
2 sin
1 2
n0
(1)n (2n)!
(
x
1)2n 2
2 cos
1 2
n0
(1)n (2n 1)!
第十一章 无穷级数
infinite series
习题课
教学要求 例题
1
第十一章 无穷级数 习题课
一、教学要求
1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念, 了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件.
2. 掌握几何级数和 p–级数的收敛性. 3.了解正项级数的比较审敛法, 掌握正项级 数的比值审敛法. 4.了解交错级数的莱布尼茨定理,会估计交 错级数的截断误差.
是交错级数,
n1 n ln n 由莱布尼茨定理
(1) f ( x) x ln x ( x 0)
f ( x) 1
1 x
0
( x 1)
在 (1,) 上单增, 即 1 单减
x ln x
故
n
1 ln
n
当
n
1 时单减
un
1 n ln n
(n
1)
1 ln(n
1)
un1
(n 1)
11
第十一章 无穷级数 习题课
A所. 条以件,幂收级敛数
C. 发散
n1
an
(
x
B1. )绝n 绝对对收收敛敛. D.收敛性不能确定
解 由级数 an ( x 1)n 在x 1处可微,故知
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实验9 级数
实验目的
1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier 级数的概念，并将函数展开成Fourier 级数
实验准备
1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier 级数的概念、展开方法；
实验内容
1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier 级数展开
软件命令
表9-1 Matlab 级数操作命令
实验示例
【例9.1】级数观察
观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。
1.11n n ∞
=∑； 2. 1
1(1)n n n ∞
=-∑。
【步骤】：
Step1：计算部分和；Step2：描点观察。
【程序】： clear clc
clf
for n=1:100
for k=1:n
p1(k)=1/k;
p2(k)=(-1)^k/k; end
s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); end
plot(s1) plot(s2) syms i;
symsum(1/i,i,1,inf))
symsum((-1)^i/i,i,1,inf)) 【输出】：
图 9-1 部分和序列收敛性观察
级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。
【例9.2】调和级数实验—欧拉常数
记1
1
()n
i H n i ==
∑，()()ln C n H n n =-，研究C(n)的极限值是否存在。
【程序】：%图形观察
h(1)=1;
for i=2:10^5
h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)
% 求极限
syms kn
limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开
将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。
1
．0(),f x x = 2．011
()arctan
,1,arctan 12
x f x x x -==+； 3．0()sin(1),0,sin1f x x x =+=。
【步骤】：
Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开； Step2：利用函数subs(s)求出近似值。
【输出】：略。
【例9.4】级数求和
求下列幂级数的和函数。
1．21121n n x n -∞
=-∑（积分）； 2．1(1)
n
n x n n ∞=+∑（微分）；3．1(1)n n n n x ∞
=+∑（积分）。
【步骤】：
Step1：定义通项 f(n)；
Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。
【程序】：
clear
clc
syms nx ;
f1=x^(2*n-1)/(2*n-1); s1=symsum(f1,n,1,inf); f2=x^n/(n*(n+1));
s2=symsum(f2,n,1,inf); f3=n*(n+1)*x^n;
s3=symsum(f3,n,1,inf);
【输出】：
s1 =1/2*log((1+x)/(1-x)) s2 =1-(x-1)/x*log(1-x) s3
=-2*x/(x-1)^3
【例9.5】Fourier 级数展开及其和函数的逼近
设()f x 是以为周期，振幅为1的方波函数，它在[,]ππ-上的表达式为
1,0
()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨
<≤⎩
试将()f x 展开成Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近()f x 的情形。
【原理】：
以为周期的函数()f x 的Fourier 级数为
01()
(cos sin )2n n n a n x n x f x a b l l
ππ∞=++∑， 其中1()cos ,0,1,2,l n l n x
a f x dx n l l π-=
=⎰，1()sin ,1,2,l n l n x
b f x dx n l l
π-=
=⎰。
【步骤】：
Step1：求出f(x)的Fourier 系数；
由于函数f(x)为奇函数，由Fourier 系数的公式知道，a n =0，因此它的Fourier 级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数
2
2(1(1))
()sin(),1,2,
n n b f x nx dx n n π
ππ
--=
==
⎰
Step2：绘制逼近图形
【程序】：参见Exm09Demo05.m 。
【输出】：如下图。
图9-2 Fourier 级数逼近
实验练习
1．求下列级数的和：
（1）121(1)(21)
n n n x n n -∞
=--∑（提示：微分，2
2arctan ln(1),||1x x x x -+≤）；
（2）221
(21)2n n n n x ∞
-=-∑
（提示：积分，2
22
2,||(2)x x x +≤- （3）123n n n ∞
=∑（提示：考虑幂级数1
n
n nx ∞
=∑，32）。
2．求下列函数在指定点处的幂级数展开式：
（1）01(),1(3)f x x x x =
=+；参考：1011
(1)(1)(1),|1|134
n n n n x x ∞+=----<∑； （2）00
()cos ,0x
f x t tdt x ==⎰；参考：22
0(1),||(22)(2)!
n n n x x n n +∞
=-<+∞+∑。
3．设()f x 是以为周期的函数，它在[,]ππ-上的表达式为
,0
(),0x x f x x x ππππ
+-≤≤⎧=⎨
-<≤⎩ 试将()f x 展开成Fourier 级数，并绘图观察部分和逼近()f x 的情形。