第5讲 集合(PPT)

方法三：在数轴上，分别标出2n＋1和4k〒1所表示的点，可 以看出它们都对应数轴上的奇数， 故A＝B，选C. 方法四：按余数分类，被2除余1的整数是奇数2n＋1(n∈Z)， 被4除余1或3(即－1)的整数也是全体奇数，∴选C. 方法归纳：同一个集合会有多种表示法，需要我们把握本质 属性，相互转换.

描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及数值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征. 例如：{x|x>0}就表示所有大于0的数构成的集合； 而{(x,y)|x>0,y>0}就表示第一象限所有点的坐标构成的集合.
集合间的基本关系 1.子集的概念 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集 合有包含关系，称集合A是集合B的子集．记作 :AB或 B A ． 读作：A包含于B，或B包含A． 即任取xA都有xB AB ． 2.子集的分类: 集合相等： ⑴两个集合中元素都相同． ⑵ AB且 BA A=B ．
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ⑵互异性：集合中的元素是互不相同的. ⑶无序性：集合中的元素是不需要考虑顺序的.
集合的表示 1.集合一般用大写的字母A，B，C，…，表示集合，用小写的字 母a，b，c，…，表示集合中的元素． 2.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不 是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 3．具体的集合一般有三种表示方法： 列举法：把集合里的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法．例如{中国，美国，英国，法国，俄罗斯}.
【解析】:其实｛x｜x＝2m－3，m∈Z｝就是全体奇数组成
的集合，答案C所给集合｛x｜x＝4m〒1，m∈Z｝也是全体
奇数组成的集合，故选C.
6．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}，M U， CU M＝{5，7}，则实数a的值为（ D ） A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8
k∈Z}，则A和B的关系为 A．A B B．A B C．A＝B ( ) D．以上结论都不对
【答案】：C.
【解析】：方法一：∵2n＋1(x∈Z)表示奇数，对n分类讨论．
当n＝2k(k∈Z)时，2n＋1＝4k＋1； 当n＝2k－1(k∈Z)时，2n＋1＝4k－1. 则A＝B. 选C.
方法二：取x0∈A，则x0＝2n＋1(n∈Z)． 当n＝2m(m∈Z) 时，x0＝4m＋1∈B； 当n＝2m－1(m∈Z)时，x0＝4m－1∈B. ∴A⊆B. 取x1∈B，则x1＝4k〒1. 令n＝2k，则4k＋1＝2n＋1∈A； 令n＝2k－1，则4k－1＝2n＋1∈A.∴x1∈A. ∴B⊆A. 综上，有A＝B，选C.
A
B
A,B
AB=B
AB
AB=A=B
2.两个集合的交集 定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A 与B的交集，记作：A∩B．即A∩B＝{x|xA，且xB}. 用韦恩图表示任意两个非空集合的并集：
B A B B A,B
注意并集与交集区别： 一、符号“”像大桶收尽 A、 B元素，符号“A ”像 B=A=B AB AB= AB=A 小网捞出A、 B公共元素． 二、并集与“或”相关，交集与“且”相关．
知识点
1.集合的概念与表示 2.集合与集合之间的基本关系 3.集合的基本运算
集合的概念 1. 定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组 成的总体叫做集合． 例如： ⑴元素：2，3，5，7，11，13，17；能组成集合； ⑵元素：中国，美国，英国，法国，俄罗斯；能组成集合； ⑶元素：每一个正方形；能组成集合． 2.集合中元素的性质：
Venn图，即韦恩图． 定义：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．用Venn图表示集合的方法叫做Venn图法． 例如：集合A可表示为： A
全体非负整数组成的集合称为自然数集记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集记作N*或N＋； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作R． 特例：空集：Ф（是指不含任何元素的集合）
例4： 已知集合P={x | x2≤1}，M={a}，若P∪M=P，则a的取 值范围是（ ）
A．a≤ -1 B．A ≥1 C．-1≤a ≤1 D．A ≤ -1或a ≥1 【答案】：C． 【解析】： ∵P∪M=P，即MP， 又 ∵P={x | x2≤1}＝{x | -1≤a≤1} ∴ 的取值范围是：-1≤a≤1．
例1： 已知集合A＝{–1，3，2m–1}，集合B＝{3，m2}．若 BA，则实数m＝____． 【答案】: 1. 【解析】： ∵BA，∴3∈A,m2∈A． ∴m2＝-1(舍去)或m2＝2m-1．
解得m＝1．∴m＝1．
方法归纳：要注意集合中元素的互异性.
例2： 集合A＝{x | x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x | x＝4k〒1，
例8： 向50名学生调查对 、 两事件的态度，有如下结果：赞
成 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 的比赞成
的多3人，其余的不赞成；另外，对 、 都不赞成的学生数比 对 、 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对 、 都赞成的学生 和都不赞成的学生各有多少人？
【答案】：8人. U 【解析】：赞成 的人数为50〓 =30， 赞成 的人数为30＋3＝33，如右图， 30-x x 33-x 记50名学生组成的集合为U，赞成事 x 1 件 的学生全体为集合 ；赞成事件 的 3 学生全体为集合 . 设对事件 、 都赞成的学生人数为x,则对 、 都不赞成的学生人 数为 ＋1，赞成 而不赞成 的人数为30－x，赞成 而不赞成 的 人数为33－x. 依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋( ＋1)＝50，解得x=21. 所以对 、 都赞成的同学有 21人，都不赞成的有8人． 方法归纳：画出 Venn图,形象地表示出各数量关系间的联系．
【解析】:由题意，|a－5|＝3， ∴ a ＝8或a ＝2．故选D．
7.某城镇有1000户居民，其中有819户有彩电，有682户有 空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的 966 户. 有_______ 【解析】：设这1000户居民组成
U A 284户
集合U，其中有彩电的组成集合A，
集合的运算 1.两个集合的并集 定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为A 与B的并集，记作：A∪B．即A∪B＝{x|xA，或xB}. 注意：A∪B就是把A，B中的元素合在了一起，只不过相同元素 只计一次． 用韦恩图表示任意两个非空集合的并集：
B A B A A B A
B
AB
例7： 设U＝{n | n是小于9的正整数}，A＝{n∈U | n是奇数}，
B＝{n∈U | n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________. 【答案】：{2，4，8}
【解析】：依题意得U＝{1,，2，3，4，5，6，7，8}，A＝
{1，3，5，7}，B＝{3，6}，A∪B＝{1，3，5，6，7}， CU(A∪B)＝{2，4，8}． 方法归纳：本题主要考查考生对集合的表示方法与 意义的理解、交集、并集及补集的含义.
该学校全体学生就可以看成一个全集，但如果我们想研究该校所在城市所 有学生学习状况时，该学校全体学生就不能再看成全集，这时全集应是该 校所在城市所有学生．
补集：如果集合A是全集U的一个子集，那么由全集U中不属于集 合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简 称为集合A的补集，记作CUA．
特征来看说明，直线4x＋y＝6与直线3x＋2y＝7相交；直线 3x＋2y＝7与直线6x＋4y＝14重合；直线4x＋y＝6与直线4x ＋y＝–1平行．
3.补集与全集 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那 么这个集合称为全集．通常记作∪．
注意：全集是一个相对概念．如我们在研究某学校学生学习状况时，
课堂运用 基础 1. 下列表示集合M＝N的是（ B ）. A. M＝｛（1，2）｝，N＝｛（2，1）｝ B. M＝｛1，2｝，N＝｛2，1｝ C. M＝｛y | y＝x－1，x∈R｝，N＝｛y | y＝x－1，x∈N｝ y 1 D. M＝｛（x，y）| ＝1｝，N＝｛（x，y）| y－1＝x－2｝ x2
由3-2x= x2 ，或3 = x2 ，
解得x＝ 3 ， x ＝－3， x ＝1(舍去)．
3.全集U＝{三角形}，A＝ {锐角三角形}，B＝{钝角三角形}， 求A∩B, (A∪B) ． 【答案与解析】: A∩B＝{x|x是锐角三角形,且x是钝角三角形}
＝ .
所以，A∪B＝{x|x是锐角三角形,或x是钝角三角形} 故， (A∪B)＝ {x|x是直角三角形}．
即CUA ＝{x|xU，且x A }．
用Venn图表示集合A的补集．
U
A
注意：定义A的补集时，隐含AU．
例6： 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5， 7}，B＝{3，4，5}，则(CUA)∪(CUB)等于( A．{1，2，3} 【答案】：D 【解析】：∵CUA＝{1，3，6}，CUB＝{1，2，6，7}． 方法归纳：这里是给出已知集合的运算表达式，要求选择运 算结果，需要我们按照运算规则进行运算；另一类是给出已 ∴(CUA)∪(CUB)＝{1，3，6}∪{1，2，6，7}＝{1，2，3，6， 知集合的运算结果，要求选择表达式，就需要我们逆向思维， 7}，故选D． 往往采取逐一验算的方法． B．{4，5} C．{2,3,4,5,7} ) D．{1,2,3,6,7}
【解析】: 本题考查集合相等的概念.A中的两个集合各自包含 的元素是不同的点，C中x的取值范围不同，D中M中不包含点 （2,1）.
2.若集合A＝｛3-2x,1，3｝，B＝｛1，x2｝，且A∪B=A，则实