离散数学复习题题库证明题

一、证明下列各题1、 （10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

5、 3、（10分）给定代数结构,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：12,,()0k n n k N f n ⎧=∈=⎨⎩否则试证}01N ⨯≅⨯，，，。

4、（10分）给定代数结构,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。

二、求下列各题的解：1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€2、（15分）{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}11R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、{}11R -⎡⎤⎣⎦3、（15分给定无向图,G V E =，如图，试求： F E DCA B（1） 从A 到D 的所有基本链； （2） 从A 到D 的所有简单链；（3） 长度分别是最小和最大的简单圈； （4） 长度分别是最小和最大的基本圈； （5） 从A 到D 的距离。

4、（15分）给定二部图12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配一、证明下列各题1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯3、（10分）给定群,G ，则,G 为Abel 群⇔222()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b4、（10分）给定代数结构,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。

离散数学试题一（A 卷答案）一、（10分）证明⌝(A ∨B )→⌝(P ∨Q )，P ，(B →A )∨⌝P A 。

二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。

关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的：(1)甲和乙只有一人参加；(2)丙参加，丁必参加；(3)乙或丁至多参加一人；(4)丁不参加，甲也不会参加。

请推出哪两个人参加了围棋比赛。

三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。

(1)∀x (P (x )→Q (x )) P(2)P (y )→Q (y ) T (1)，US(3)∃xP (x ) P(4)P (y ) T (3)，ES(5)Q (y ) T (2)(4)，I(6)∃xQ (x ) T (5)，EG四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ，(1)若f g 是满射，则f 是满射。

(2)若f g 是单射，则g 是单射。

六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得<a ，b >∈T ⇔<a ，b >∈R 且<b ，a >∈R ，证明T 是一个等价关系。

七、（15分）若<G ，*>是群，H 是G 的非空子集，则<H ，*>是<G ，*>的子群⇔对任意的a 、b ∈H 有a *b －1∈H 。

八、（15分）(1)若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的。

(2)若有向图G 中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达吗？离散数学试题一（B 卷答案）一、（15分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A 、B 、C 的控制：当且仅当A 和C 同时关闭或B 和C 同时关闭时灯亮。

设F 表示灯亮。

离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。

答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。

答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。

答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。

答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。

解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。

反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。

由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。

因此，R一定是反自反的。

答案完整证明了该结论。

2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。

解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。

所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。

数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。

C．2是偶数。

D．铅球是方的。

2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。

《离散数学》题库及标准答案《离散数学》题库及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。

在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

1.证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17和Q18。

2.证明P(x)∧任意xQ(x)==>存在x(P(x)∧Q(x))3.设论述域是{a1,a2,a3,…an},试证明下列关系式。

(a) 任意xA(x)∧P<==>任意x(A(x)∧P)(b) 任意x(A(x)∧B(x))<==>任意xA(x)∧任意xB(x)(c) 存在x(A(x)∧B(x))<==>存在xA(x)∧存在xB(x)4.证明下列关系式(a) 任意x任意y(P(x)∨P(y))<==>任意xP(x)∨任意yP(y)(b) 存在x存在y(P(x)∧Q(y))==>存在xP(x)(c) 任意x任意y(P(x)∧Q(y))<==>任意xP(x)∧任意yQ(y)(d) 存在x存在y(P(x)－＞P(y)) <==>任意xP(x)－＞存在yP(y)(e) 任意x任意y(P(x) －＞Q(y)) <==>(存在xP(x)－＞任意yQ(y))5.写出limf(x)=k的定义的符号形式，并用形成定理两边的否定的方法，找出limf(x)不等x->c x->c于k的条件。

6.给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i平方<50}C={i|i可被30整除}D={i|i=2的k次方∧k∈I∧0≤k≤6}求下列集合(a)A∪(B∪(C∪D))(b)A∩(B∩(C∩D))(c)B-(A∪C)(d)(非A∩B) ∪D7.假定A≠空集和A∪B=A∪C，证明这不能得出B=C，假设中增加A∩B=A∩C，你能得出B=C吗？8．(a)证明“相对补”不是一个可交换运算，即证明存在一个论述域包含集合A和B，使A-B≠B-A。

(b)A-B=B-A可能吗？刻划上式出现的全部条件。

(c)“相对补”是一个可结合的运算马？证明你的断言。

9.证明下列恒等式(a)A∪(A∩B)=A(b)A∩(A∪B)=A(c)A-B=A∩非B(d)A∪(非A∩B)=A∪B(e)A∩(非A∪B)=A∩B10.设Sn={a0,a1,…,an}和Sn+1={a0,a1, …,an,an+1},试用p(Sn)和an+1表达出p(Sn+1)。

1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。

答案：2.证明 答案：3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案：4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q 答案：①s →t 前提 ②t 前提③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q)()(R P Q P ∨∧∧⌝)()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)(Q R P ⌝∧∧⌝∨7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。

答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中))((W(x)F(x)x →∀8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。

答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。

答案：令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。

离散数学复习题及答案离散数学复习题及答案⽂件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]1. 写出命题公式﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。

答案：2.证明答案：3. 证明以下蕴涵关系成⽴：答案：4. 写出下列式⼦的主析取范式：答案：5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q答案：①s →t 前提②t 前提③s ①②拒取式I12④s →r 前提⑤r ③④假⾔推理I11⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. ⽤反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q7. 请将下列命题符号化：所有鱼都⽣活在⽔中。

)()(R P Q P ∨∧∧?答案：令F( x )：x是鱼 W( x )：x⽣活在⽔中8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。

答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数9. 请将下列命题符号化：尽管有⼈聪明，但并⾮⼀切⼈都聪明。

答案：令M(x)：x 是⼈ C(x)：x 是聪明的则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y，都有x+y≥x。

答案：令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x11. 请将下列命题符号化：每个⼈都要参加⼀些课外活动。

答案：令P(x):x是⼈ Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化：某些⼈对某些药物过敏。

答案：令P(x):x是⼈ Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求)())()((yyRyQxPy?→→的对偶式:答案：14. 求下列谓词公式的前束范式：答案：15. 证明：答案：16. ⽤反证法证明：x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x)答案：17. 证明：前提： x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)).结论： x(Q(x)∧R(x)).答案：(1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引⼊(2) C(a)∧Q(a) (1)ES(3) C(a) (2)化简规则(4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引⼊(5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假⾔推理(7) R(a) (6)化简规则(8) Q(a) (2)化简规则) ,,()),(),((uyxuQzyPzxzPyx?→∧(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引⼊规则(10) x(Q(x)∧R(x)) (9)EG18. 判断：下列命题是否正确答案：(1) √(2) ×(3) √(4) √(5) √(6) √(7) √(8) ×19. 列出下列集合的元素(1) {x|x∈N∧t(t∈{2,3}∧x=2t)}(2) {x|x∈N∧ts(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t(3){x|x∈N∧t(t整除2x≠t)}答案：(1) {4,6}(2) {1,2,3}(3) {3,4,5…}20.S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}答案：21. ⼀个学校有507，292，312和344个学⽣分别选择了A,B,C,D四门课程。

一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1∙R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2∙R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。

《离散数学》课程综合复习题一、判断题1．（）“圆的面积等于半径的平方乘以π”是一个命题。

2．（）设A、B为任意两个集合，A⊑B，当且仅当A∩B=B。

3．（）给定集合A的关系R，若R是自反的、对称的，则称R是等价关系。

4．（）如果群中的运算是可交换的，则该群为循环群。

5．（）对于任意一个集合A，空集∅∈A。

6．（）如果群中的运算是可交换的，则该群为交换群。

7．（）“请保持安静！”是一个命题。

8．（）给定集合A上的关系R，若R是自反的、对称的、则称R是相容关系。

9．（）有限平面图面的次数之和等于边数的两倍。

二、基本题1．符号化下列命题：（1）除非下雨，否则他就骑自行车上班。

（2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班。

（3）某些教练是年老的，但是健壮的。

（4）他即聪明又用功。

（5）仅当你走我才留下。

（（6）我今天进城，除非下雨。

2．试求⌝(P→Q)的主合取范式。

3．试求⌝(P∧Q)的主析取范式。

4．设A={∅,{1}}，计算P(A)-{∅}5．设A={1,2,3,4,6}，其上的偏序关系为整除，试列出相应的关系并画出哈斯图。

6．设集合为A ={2，3，8，12，24}，其上的偏序关系为整除，试列出相应的关系并画出哈斯图。

7．二元运算a*b=a+b-6在实数集R上是否满足交换律和结合律?8．已知图G 的邻接矩阵M 如下，结点集为{v1,v2,v3,v4,v5}，试画出该图，并求V2的入度d -(V2)和出度d +(V2)。

M=9．已知图G 的邻接矩阵M 如下，结点集为{v1,v2,v3,v4}，试画出该图，并求V3的入度d -(V3)和出度d +(V3)。

M=10．设A={3,4}，试构成集合P(A)⨯A 。

11．设A 是一个非空集合，*是A 上的二元运算，对于任意a,b ∈A ，有a*b=b ，判定*运算是否可结合的、可交换？三、 证明题1．试证明：P →Q, (⌝Q ∨R ) ∧⌝R, ⌝(⌝P ∧S) ⇒⌝S2．设S={1,2,3,4}，并设A=S ⨯S ，在A 上定义关系R 为：<a,b>R<c,d>当且仅当a+b=c+d ，证明R 是等价关系。

一、选择题：（每题2’）1、下列语句中不是命题的有（）。

A．离散数学是计算机专业的一门必修课。

B．鸡有三只脚。

C．太阳系以外的星球上有生物。

D．你打算考硕士研究生吗?2、命题公式A与B是等价的，是指（）。

A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值3、所有使命题公式P∨(Q∧¬R)为真的赋值为（）。

A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111C．全体赋值D．不存在4、合式公式⌝(P∧Q)→R的主析取式中含极小项的个数为（）。

A．2 B．3 C．5 D．05、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。

A．析取式B．合取式C．主析取式D．以上答案都不对6、下述公式中是重言式的有（）。

A．(P∧Q)→ (P∨Q) B．(P↔Q) ↔ ((P→Q)∧(Q→P))C．⌝(P→Q)∧QD．P→(P∧Q)7、命题公式(⌝P→Q) →(⌝Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。

A．0B．1C．2D．38、若公式(P∧Q)∨(⌝P∧R) 的主析取式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取式为（）。

A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m1019、下列公式中正确的等价式是（）。

A．⌝(∃x)A(x) ⇔ (∃x)⌝A(x)B．(∀x) (∀y)A(x, y) ⇔ (∃y) (∀x) A(x, y)C．⌝(∀x)A(x) ⇔ (∃x)⌝A(x) D．(∀x) (A(x)∧B(x)) ⇔ (∀x) A(x) ∨(∀x) B(x)10、下列等价关系正确的是（）。

A．∀x ( P(x) ∨Q(x) ) ⇔∀x P(x) ∨∀x Q(x) B．∃x ( P(x) ∨Q(x) ) ⇔∃x P(x) ∨∃x Q(x)C．∀x ( P(x) →Q ) ⇔∀x P(x) → Q D．∃x ( P(x) →Q ) ⇔∃x P(x) → Q11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。

离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。

1、试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )，若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ．反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ． 因此T =S ．2、试证明集合等式A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．证明：设S = A ⋃ (B ⋂C )，T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．也即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ．反之，若x ∈T ，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，也即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ．因此T =S ．3、试证明（∃x ）（P （x ）∧R （x ））⇒ （∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）．证明：（1）（∃x ）（P （x ）∧R （x ）） P （2）P （a ）∧R （a ） ES(1)（3）P （a ） T(2)I （4）（∃x ）P （x ） EG(3)（5）R （a ） T(2)I （6）（∃x ）R （x ） EG(5)（7）（∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）T(5)(6)I4、设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，所以A ⊆B ． 设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ． 故得A=B ．5、设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明G 与G 中的奇数度顶点个数相等(G 是G 的补图)．证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数，因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数，所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等．6．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图． 7．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系．∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故<b , a >∈R ；又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ；由元素a 的任意性，知R 是自反的．所以，R 是等价关系．8．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．证明：.① S R x x S x x R x x A x ⋂>∈⇒<>∈<>∈<∈∀,,,,,，所以S R ⋂有自反性； ②,,A y x ∈∀因为R ，S 是反对称的，y x x y y x S x y S y x R x y R y x S x y R x y S y x R y x S R x y S R y x =⇔=∧=⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔⋂><∧⋂><),,(),,(),,(),,(,, 所以，R ⋂S 有反对称性．③ A z y x ∈∀,,，因为R ，S 是传递的，S R z y S R y x ⋂>∈<∧⋂>∈<,,S z y R z y S y x R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,,S z y S y x R z y R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,,S R z x S z x R z x ⋂>∈⇔<>∈<∧>∈⇒<,,,所以，S R ⋂有传递性．总之，R 是偏序关系．9．试证明命题公式 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．证明：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q )⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )⇔⌝P ∧Q （吸收律）⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）10．试证明（∃x ）（P （x ）∧R （x ））⇒ （∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）．证明：（1）（∃x ）（P （x ）∧R （x ））P（2）P （a ）∧R （a ） ES(1) （3）P （a ） T(2)I（4）（∃x ）P （x ） EG(3) （5）R （a ） T(2)I（6）（∃x ）R （x ） EG(5) （7）（∃x ）P （x ）∧（∃x ）R （x ）T(5)(6)I11．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证明：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假设u 和v 不连通，即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与定理3.1.2的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．12．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．13．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图． 证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．。

离散数学证明题专项训练——09软件2班 金信冬1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群证明：由条件e a =2，所以1-=a a ，则对任意的a ，b ，11-*-=*b a b a另外，由e b a =*2)(，得e b a b a b a =***=*)()(2)(，两边同时左乘以1-a ，右乘以1-b ，利用结合律，得11-*-=*b a a b 所以a b b a *=*，<G ，*>是交换群2．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 证明(1) SCP 规则 (2) ⌝S ∨PP(3) P(1),(2)析取三段论(4) P →(Q →R) P (5)Q →R (3),(4)假言推理 (6)QP(7)R(5),(6)假言推理3.设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø证明：A —B=AA ∩~B=A =>A ∩~B ∩B=A ∩B=>A∩B= øA∩B= ø=>(A∩B)∪~B=~B=>A∪~B=~B=>A∩(A∪~B)=A∩~B=>A∪(A∩~B)=A-B=>A=A-B4. 设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当 RoS=SoR.证明：1）必要性对于任意<x,y>∈RoS<=><y.x>RoS<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=>存在z(<z,y>∈S ∧<x,z>∈R)<=><x,y>∈SoR所以RoS=SoR.2)充分性对于任意<x,y>∈RoS<=> <x,y>∈SoR<=>存在z(<x,z>∈R ∧<z,y>∈S)<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=><y,x>∈RoS所以：RoS具有对称性。

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z， 〉，Z是整数集， 定义为x xy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。

离散数学试题带答案四、证明题1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群2. 形式证明q s p r s r q p ⇒∧⌝→∨→,,3. 证明：P →(Q →R)⇔P ∧Q →R.4．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 5．试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()( 6. 证明：)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀7．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 8. 设B 是任意集合，试验证(P(B),⊕)是群. P(B)是集合B 的幂集，⊕是集合的对称差运算， 9．给定代数系统(G,+,*), 二元运算见表一，表二.表一 表二证明(G ,+,*)是域.10. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系． 11．试证A －(B －C)＝(A －B)⋃(A ⋂C)12．设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，13. 试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合A,B,C 若A ∈B 且B ∈C 不一定有 A ∈C14．设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø15. 设R,S 都是非空集合A 上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS 具有对称性当且仅当 RoS=SoR.16. 已知g ：A->B,f ：B->C1） 已知fog 是单射的且g 是满射的，证明f 是单射的 2） 已知fog 是满射的且f 是单射的，证明g 是满射的 17．设A 是传递集，证明A+也是传递集。

18．设G 是n 阶无向简单图，其直径为d(G)=2, ο(G)=n-2，证明G 的边数m ≥2n-4 19．V=<S,*>是可交换半群,若a,b ∈S 是V 中得幂等元，证明a*b 也是V 中的幂等元20．设 L 是格，证明对于任意a,b,c,d ∈L 有：( a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d)五、计算题1. 无向树T 有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其他的都是树叶，问T 中有多少片树叶？2. 设公式()()x Q x P → ，其中P(x)：x>2，Q(x)：x=0，F 是永假式，个体域是{1，2}，求公式A(x)的真值 3. 设集合X={1，2，3, 4}，X 中的关系为F={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>} 写出F 的关系矩阵及其关系图，F 有哪些性质？4. (1) n(n ≥1)阶无向完全图与有向完全图各有多少条边?为什么？ (2)完全二部图K m n ,中共有多少条边?为什么？(3) 每个顶点的度都为k 的无向图称为k 正则图，问：n 阶k 正则图中共有多少条边?为什么？5. 设集合L={a ，b}，在L 中规定 + 和·如下：a+a=a ，a+b=b+a=b ，b+b=b a ·a=a ，a ·b=b ·a=a ，b ·b=b问<L ，+，·>能构成代数系统吗？若可以，写出该代数系统的运算表。

试卷二十二试题与答案一、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分）1．设A={1，2，3，4，5}，下面（ ）集合等于A 。

A 、{1，2，3，4，5，6}；B 、}25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且； D 、}5{≤x x x 是正有理数且。

2．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（ ）是错的。

A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。

3．六阶群的子群的阶数可以是（ ）。

A 、1，2，5；B 、2，4；C 、3，6，7；D 、2，3 。

4．设B A S ⨯⊆，下列各式中（ ）是正确的。

A 、 domS ⊆B ； B 、domS ⊆A ；C 、ranS ⊆A ；D 、domS ⋃ ranS = S 。

5．设集合Φ≠X ，则空关系X Φ不具备的性质是（ ）。

A 、自反性；B 、反自反性；C 、对称性；D 、传递性。

6．下列函数中，（ ）是入射函数。

A 、世界上每个人与其年龄的序偶集；B 、、世界上每个人与其性别的序偶集；B 、 一个作者的专著与其作者的序偶集； D 、每个国家与其国旗的序偶集。

7．><,*G 是群，则对*（ ）。

A 、满足结合律、交换律；B 、有单位元，可结合；C 、有单位元、可交换；D 、每元有逆元，有零元。

8．下面（ ）哈斯图所描述的偏序关系构成分配格。

9．下列（ ）中的运算符都是可交换的。

A 、→∨∧,,；B 、↔→,；C 、⨯⋂⋃,,；D 、∧∨,。

10．设G 是n 个结点、m 条边和r 个面的连通平面图，则m 等于（ ）。

A 、n+r-2 ；B 、n-r+2 ；C 、n-r-2 ；D 、n+r+2 。

11．n 个结点的无向完全图n K 的边数为（ ）。

A 、)1(+n n ；B 、2)1(+n n ；C 、)1(-n n ；D 、2)1(-n n 。

离散数学考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项表示“属于”关系？A. ⊆B. ⊂C. ∈D. ⊇答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬(p → q) → p答案：B3. 以下哪个选项是命题逻辑中的德摩根定律？A. ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬qC. ¬(p → q) = p ∧ ¬qD. ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q答案：A4. 以下哪个选项是命题逻辑中的蕴含等价？A. p → q ≡ ¬p ∨ qB. p → q ≡ ¬q → ¬pC. p → q ≡ p ∨ ¬qD. p → q ≡ ¬p ∧ q答案：A5. 以下哪个选项是关系的性质？A. 反身性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D6. 以下哪个选项是图论中的有向图？A. 无向图中的边没有方向B. 有向图中的边有方向C. 混合图中的边既有方向也有无方向D. 所有选项都是答案：B7. 在图论中，以下哪个选项是树的性质？A. 树是无环的B. 树是连通的C. 树是无向图D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个选项是布尔代数的基本运算？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 所有选项都是答案：D9. 以下哪个选项是组合数学中的排列？A. 从n个不同元素中取出m个元素的组合B. 从n个不同元素中取出m个元素的排列C. 从n个相同元素中取出m个元素的组合D. 从n个相同元素中取出m个元素的排列答案：B10. 以下哪个选项是集合论中的幂集？A. 一个集合的所有子集的集合B. 一个集合的所有真子集的集合C. 一个集合的所有超集的集合D. 一个集合的所有子集的个数答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的等价命题是什么？答案：等价命题是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同真值的命题。

《离散数学》试题及答案一、填空题1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; (B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则| (A×A)| = __________________________.3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝(P Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A B＝_________________________; A B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________,_______________________________.8. 设命题公式G＝(P (Q R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1 R2 = ________________________,R2 R1 =____________________________, R12 =________________________.(A) -10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| | (A B)| =_____________________________. 11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x R}, B = {x | 0≤x 2, x R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ , A∩B =__________________________ , .13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = xP(x) xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式xR(x)→ xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。