量子力学中的进展

科技信息　高校理科研究　量子力学巾昀Ｄｉｒａｃ符号　淮阴工学院数理学院崔玉　张俊　［摘要］Ｄｉｒａｃ符号不涉及具体的表象就可以表示态和力学量，在一定的条件下简化了运算，同时脱离了某个具体的表象。想要快捷　地运用Ｄｉｒａｃ符号，就要了解其使用时的一些规则。本文就围绕Ｄｉｒａｃ符号表述其规则及使用。　［关键词］Ｄｉｒａｃ符号　量子力学　表象　左矢　右矢　引言　在量子力学中，态和力学量可以用几个表象表示出来，正如几何学　中的一个矢量可以用它在某一个坐标系的分量来表示一样。量子力学　的规律与选择的表象无关，只是选择适当的表象有利于量子力学问题　的求解。Ｄｉｒａｃ引入一套不涉及具体表象的符号系统来表示波函数和　力学量，称为Ｄｉｒａｃ符号。他所创立的Ｄｉｒａｃ符号用于量子力学的理论　表述有两大优点：一是可以脱离某一具体表象即不需要采用具体表象　来讨论问题。二是运算简捷。狄拉克指出，“符号法看来更能深入事物　的本质，它可以使我们用简洁精炼的方式来表达物理规律，很可能在将　来当它变得更为被人们所了解，而且它本身的特殊数学得到发展时，它　将更多地被人们所采用”。同时，Ｄｉｒａｃ符号也有一定的局限性，用它来　表示的式子会因为算符的不同而有两种意义，所以，在使用Ｄｉｒａｃ符号　时，要分清算符的性质。本文讨论了Ｄｉｒａｃ符号在使用时的一些规则以　及使用时的局限性。　一、认识Ｄｉｒａｃ符号，左矢与右矢　Ｄｉｒａｃ认为，无力体系的每一个微观状态可以用一种抽象的多维空　间的矢量来表示，这种矢量称为态矢，全体态矢构成态矢空间。态矢空　间包括右矢空间与共轭的左矢空间。用右半尖括号“１）”（右矢）表示　一个量子态，若要标志某个特殊的态，则在右矢内表上一个字母或数　值，例如，ｌ　）表示波函数　描述的状态，Ｉｚ）表示本征值为ｘ的坐标本　征态；而左半尖括号“（Ｉ”（左矢）是表示与Ｉ）相对应的共轭空间的一　个抽象态矢，即ｌａ）＝（（ａｌｌ　。例如Ｉ　）是（　ｌ的共轭矢量，即对应的分　量互为共轭复数。要知道ｌ　）和（　１为两种性质不同的矢量，两者不能　相加；（１和１）表示的是抽象的态矢量；未涉及具体表象，就像矢量用　＾　Ｒ　表示一样。　因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间　中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的　基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量ｌ　）可按该空间的某一完　备基矢展开。　例如，ｌ　）可以按Ｑ的右基矢ｌＱ　）展开　ｌ　）＝ｎ１ＩＱ１）＋口２ｌＱ２）＋…＋口　ｌＱ　）＋…　｝　＞：∑ａｎＩＱ　＞　展开系数相当于Ｑ表象中的表示：　右矢在Ｑ表象中具体化为一个行矩阵。　与之相对应的（　ｌ可按Ｑ的左基矢（Ｑ　展开　（　ｌ＝口　（Ｑ　ｌ＋ｎ　（Ｑｚｌ－ｔ－…＋ｎ：（Ｑ　ｌ＋…　展开系数即相当于Ｑ表象中的表示旷＝（口．，口；，…，＆　，…）　左矢在Ｑ表象中化为一个列矩阵。　同理，某一左基矢（　ｌ也可以按Ｑ表象展开　（　Ｉ＝６　（Ｑ　ｌ＋６ｉ（Ｑ２ｌ＋…＋６：（Ｑ　Ｉ＋…　定义　）和（　ｌ的标积为：＜　＞＝∑６：ｎ　同时可以知道＜　ｌ　＞　一（　）　所以＜纠　＞＝∑口　：１（这就是归一化条件ｊ。。　Ｖ＝１）　由此可以看出Ｉ　）和（　ｌ的关系：　一１３６—　１）在ｌ司一确定表象中，各分量互为复共轭；　２）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢　量才能相加；　３）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，　其结果为一复数。　态的这种表示，没有涉及到任何具体的表象，只是一个抽象的态　矢。基于这种情况，态的叠加及其原理就可以用式子　ｌ　）：ｃｔＩ　）＋Ｃ２ｌ　）　来表示而不涉及到具体表象。从上试中还可看出量子态｛　）与　）相加后仍为一个量子态，并满足以下运算规则：　①交换律ｌ　）＋Ｉ　ｚ）＝Ｉ　ｚ）＋ｌ　）　②结合律ｌ　）＋（１　）＋　））＝０　）＋Ｉ　））＋ｌ　）　③分配律ｃ（Ｉ　）＋ｌ　））：ｃＩ　ｔ）＋ｃｌ　ｚ）　复数ｃ与量子态Ｉ　）的数乘ｃ　Ｉ　）仍为一个量子态，由态的叠加原　理可知，ｃ＃０时，ｃｌ　）与ｌ　）表示物理系统的统一量子态。　由于１）与（１所表示的量子态一一对应，则（　Ｉ就是　）的共轭态　矢，ｃ　（　Ｉ是ｃＩ　）的共轭态矢。　二、左矢与右矢所满足的性质　左矢量与右矢量能按各种方式相乘，所得结果可能是复数、矢量或　算符。对于任意的两个矢量Ｉ口）与ｌ　），称（口　）为它们的内积或点积，　满足如下性质：　①（　）＋　＝（　）＋（　）　②（　））＝ｎ（　）　③（Ｉ　）＋ｌ　））Ｉａ）：（　）＋（卢’　）　④（。１ｐ））ｌａ）＝ｎ（．８　）　⑤（　）＝（ａ　）＝（ａ　）　点积的特性：　①（ａ　）是一个复数　②两个矢量点积的共轭，等于它们各自的共轭按相反的方向取点　积：　（　）　＝０ａ）　）（（　＝（　）　③由于（口归）是一个普通的复数，所以它的共轭就是复共轭，因而　（　）　＝（　）　由此可知（ａ　＞＿＝（ａｌ卢＞ｔ　若（　）＝ｏ则称ｌａ）与ｌ卢）正交。若（　）：１则称Ｉ　）为归一化态　矢。　｛口）（卢ｌ也是一个算符，下面我们来证明ｌ口）（　Ｉ是一个算符。　证明：设ｌｃ）是任意矢量　则：　（Ｉ　）（　１）ｌｆ）：ｌ　）（（　））＝　ｌ　）　其中　＝（　Ｉｃ）是一个复数　乘以矢量ｌ　）仍为矢量，设　）＝　口）于是　（　ｆ）＝Ｉ　）　上式表明：并矢ｌ　）（　Ｉ作用在一个任意矢量ｌｃ）上后，将Ｉｃ）变成另　一个矢量ｌ　）。

２０１１年２月　第２卷第１期　黑河学院学报　ｊｏＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＥＩＨＥ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｆｅｂ．２０１１　Ｖｏ１．２　Ｎｏ．１　

浅谈量子力学中表象的应用　

皮艳梅，牟艳男，张秀平　

（黑河学院物理化学系，黑龙江黑河１６４３００）　

摘要：在量子力学中，表象是一个比较抽象的概念。表象类似几何学中的坐标系，选取合适的表象可以使问题简　

化。在解决微观世界的量子体系问题时，研究同一个问题可以选择不同的表象，但其结论不会发生变化。　

关键词：表象；坐标表象；动量表象；应用　

中图分类号：０４１３．１　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—９４９９（２０１１）０１—０１２１—０３　

在经典力学中求解问题时，可以根据需要选　

择不同的坐标系，但其结论不会发生变化。对于　微观世界的量子体系问题，也可以像求解经典力　学问题那样，选择不同的表象。　

１　表象　

在经典力学中，用坐标和动量来描述物体的　

运动状态，即当坐标和动量确定后，其他的力学　量也随之确定，物体的运动状态就完全确定了。　

在量子力学中，由于微观粒子具有波粒二象性，　粒子的坐标和动量不能同时确定。因此，在量子　力学中用算符表示微观粒子的力学量，用波函数　

来描写微观粒子的运动状态。　描写量子体系状态的波函数可以是坐标的　函数，相应的力学量则是用作用在坐标函数上的　

算符来表示。波函数也可以选用其他变量（如动　

量、能量等）的函数，相应的力学量则是用作用在　这种波函数上的算符来表示…。　量子力学中态和力学量的具体表示方式称　为表象…。量子力学中常用的表象有坐标表象、　

动量表象、能量表象和角动量表象等。　

２常用的表象　

表示同一个力学量的算符和描述同一个状　

态的波函数，在不同的表象中表示的形式是不同　

的，下面简单介绍量子力学中最常用的两种表象　

中，表示同一个力学量的算符和相应波函数的表　

示形式。　

２．１坐标表象　２．１．１坐标算符　

一　＝　即在坐标表象中，坐标算符就是坐标自身。　

量子力学常用积分公式 (1) dxex

an

ex

adxexaxnaxnaxn∫∫−

−=11

)0(>n(2) )cossin(sin

22bxbbxa

bae

bxdxeax

ax

−

+=∫

(3) =∫axdxeaxcos)sincos(

22bxbbxa

baeax

+

+ (4) axx

aax

aaxdxxcos1

sin1

sin

2−=∫

(5) =∫axdxxsin2ax

ax

aax

ax

cos)2

(sin22

22−+

(6) ax

ax

ax

aaxdxxsincos1

cos

2+=∫

(7) ax

aax

ax

ax

axdxxsin)2

(cos2

cos

32

22

−+=∫

)

)ln(2222

caxxa

ac

caxx

++++

() 0>a

(8)∫=+dxcax2

)arcsin(

222

x

ca

ac

caxx−

−++

(a<0)

∫

2

0sinπ

xdxn

2!!!)!1(π

nn−

(=n

正偶数)

(9) =

∫

2

0cosπ

xdxn

!!!)!1(

nn−

(=n

正奇数)

2π

() 0>a

(10)∫∞

=

0sin

dx

xax

2π

−

(0

)

(11))

1

0!

+∞

−

=∫

nnax

an

dxxe

(0,>=an正整数

)

(12)

adxeaxπ

21

02

=∫∞

−

(13)

121

02

2!)!12(

2

++∞

−−

=∫

nnaxn

an

dxexπ

(14)

1

012

2!

2

+∞

−+

=∫

naxn

an

dxex

(15)

2sin

022

a

dx

xaxπ

∫∞

=

(16) ∫∞

−

+=

0222

)(2

sin

baab

bxdxxeax

() 0>a

∫∞

−

+−

=

022222

)(cos

baba

bxdxxeax

() 0>a

２０１０年２月　

第１期　吉林师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｎｏ．１　

Ｒｅ１）．２０ｌ０　

量子力学中的傅立叶变换算符　

王保松，张丙云　

（菏泽学院物理系，山东菏泽２７４０１５）　

摘　要：利用坐标、动量本征态和相干态构造了三种不对称投影算符，并利用ＩＷＯＰ技术证明了这三种投影算　符就是量子力学中的傅立叶变换算符．该算符可以实现坐标与动量本征态之间的傅立叶变换，以及坐标与动量　算符之间的幺正变换．　关键词：傅立叶变换算符；量子力学表象；ＩＷＯＰ技术　中图分类号：０４１３．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４．３８７３．（２０ｌ０）０１．００８３．０３　

坐标、动量表象和相干态表象是非常重要的量子力学表象，在量子力学领域有着重要应用＿１。Ｊ．基于坐　

标与动量本征态之间的傅立叶变换，本文利用坐标、动量本征态和相干态构造如下三种不对称投影算符　ｒ　ｒｌ２，　．．　＝Ｉ　ｄｘＩ　）（ＰＩ　Ｐ：　，，＝Ｉ　ｄｐＩＰ）ｘＩ　：一Ｐ，Ｆ＝Ｉ　ｌ一　）（　Ｉ　（１）　

一∞　一０ｏ　．　对于式（１）中的第一式，文献［　］利用有序算符内的积分技术（ＩＷＯＰ）给出了该算符的显式．ＩＷＯＰ技术＿５　Ｊ在　

构建新的量子力学表象以及不对称积分型投影算符的量子计算方面，有着重要应用Ｌ６＿引．受此启发，本文利　

用ＩＷＯＰ技术进而对式（１）中的第二和第三式进行积分，给出它们的显式．然后讨论式（１）所给出算符的量　

子性质及其幺正变换，并与坐标和动量本征态之间的傅立叶变换进行比较．　

１坐标与动量本征态构造傅立叶变换算符　

在量子力学中，粒子的量子态用波函数描述．波函数　（ｒ，ｔ）是粒子的量子态在坐标表象中的描述；　而Ｃ（ｐ，ｔ）则是量子态在动量表象中的描述．波函数　（ｒ，ｆ）和ｃ（ｐ，ｔ）是同一量子态在两种不同表象中　

的不同表示，完全等价［　．它们以傅立叶变换相联系