四川省成都市外国语学校2019届高三数学一诊模拟考试试题理(含解析)

四川省成都外国语学校2019届高三一诊模拟考试

数学（理）试题

一、选择题.

1.设全集，集合，，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

分析：化简集合，先求，再求.

详解：，

，

，

故选A.

点睛：本题主要考查集合的交、并、补运算，属于送分题，解题时注意先将参与运算的集合化到最简形式，再按照要求进行运算.

2.已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）

A. 1 B. C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．

【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，

∴，

由为纯虚数，则，解得a=1，

故选：A．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．

3.在等差数列中,，则（ ）

A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B

【解析】

试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，

所以，

故选B.

考点：等差数列通项公式.

4.“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

设直线的倾斜角为，则.

若，得，可知倾斜角大于；

由倾斜角大于得，或，即或，

所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.

5.已知，则（ ）

A. 1 B. -1 C. D. 0

【答案】D

【解析】

.故选D.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．

【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．

∴该几何体的体积 .

故选：D．

【点睛】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7.如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】 用，表示，由，，三点共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．

【详解】解：．

∵，，三点共线，

∴．即．由图可知．

∴．

令，得，

令得或（舍）．

当时，，当时，．

∴当时，取得最小值 .

故选：D．

【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．

8.已知函数，，的零点依次为，，，则以下排列正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．

【详解】

函数，，的零点依次为，，， 在坐标系中画出，，与的图象如图：

可知，，，

满足．

故选：B．

【点睛】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题.

9.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）

A. 50 B. 2 C. 0 D. -2018

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．

【详解】解：是定义域为的奇函数，

可得，

即有，

即，

进而得到，

为周期为4的函数，

若，可得，

，，

则，

可得

.

故选：B．

【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

10.过双曲线：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出的坐标，代入圆的方程进行求解即可．

【详解】解：∵以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），

∴半径，则圆的标准方程为，

，，即，

则，

即，

即，即，

则，，

则双曲线的方程为，

故选：D．

【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键．属于简单题.

11.在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（ ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】

由，，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求．

【详解】解：∵正项等比数列中，，，

∴. ∵，

解可得，或（舍），

∴，

∵，

∴.

整理可得，，

∴，

经检验满足题意，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．

12.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

化简不等式可得mex＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．

【详解】当x＞0时，由x2﹣mxex﹣mex＞0，可得mex＜（x＞0），

显然当m≤0时，不等式mex＜（x＞0），在（0，+∞）恒成立，不符合题意；

当m＞0时，令f（x）=mex，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，

令g（x）=，则g′（x）==＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵f（0）=m＞0，g（0）=0，且f（x）＜g（x）有两个正整数解，

则∴，即，解得≤m＜．

故选：D．

【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.

二、填空题。

13.在的二项展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）．

【答案】21.

【解析】

【分析】

利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．

【详解】二项式（1+x）7展开式的通项公式为

Tr+1=•xr，

令r=2，得展开式中x2的系数为=21．

故答案为：21．

【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

14.已知向量，夹角为，且，；则______．

【答案】

【解析】

【分析】

把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得．

【详解】∵，

∴==10， 代入数据可得4×1+4×1××+=10，

化简可得+﹣6=0，

解得=，或﹣3（负数舍去）

故答案为：

【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题．

15.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：，）

【答案】24

【解析】

【分析】

列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环．

【详解】解：模拟执行程序，可得

，，

不满足条件，，，

不满足条件，，，

满足条件，退出循环，输出的值为24．

故答案为：24．

【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题． 16.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为______．

【答案】

【解析】

【分析】

当时，截面多边形是六边形HIJKLM，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果.

【详解】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，

设==λ，则==1﹣λ，

∴HI+IJ=，

∴截面六边形的周长为；

故答案为：

【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.

三、解答题。

17.如图，在中，边上的中线长为3，且，.

（1）求的值；

（2）求及外接圆的面积．

【答案】(1)；(2)；.

【解析】

【分析】

在中，由正弦定理可得；

由题意结合两角和的余弦公式可得，在中，由余弦定理可得．结合正弦定理可知外接圆半径，外接圆面积.

【详解】在中，，，，

由正弦定理，得；

，，

，，

，

为BC中点，，

在中，由余弦定理得：，

．

设外接圆的半径为R，