高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2
4+
y 23
=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆
C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.
2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;
(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.
3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2
a 2−y 2
b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;
(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,04.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的离心率为√2
2,且经过点H (-2,1).
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1
λ+1
μ
为定值.
5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.
(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;
(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.
①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.
6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;
(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
答案及解析
1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>
2.
故直线l 的斜率k=1
t 的取值范围为(-1
2,0)∪(0,1
2).
(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t
3t 2+4,y 1y 2=36
3t 2+4,
所以ty 1y 2=-3
2(y 1+y 2).
由PF
⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,
即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32
=12,
代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.
易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1
,同理可得μ=3
5−2x 2
.
又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)
=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-3
2)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9
(5-2x
1)(5-2x 2)
=1.
2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,
得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.
由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.
(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:
由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,
得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).
因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 12
4-1)(y 2
2
4-1)+(y 1-2)(y 2-2)
=y 12y 2
216
−
(y 1+y 2)2-2y 1y 2
4
+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5
=
16(2m+5)2
16
−
(4m)2+8(2m+5)
4
-4(2m+5)-8m+5
=0,
所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.
设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·
√1+m 2
=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,
所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.
所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.
3.(1)解 由{b
a =b,
2
a 2-1
b 2
=1,
解得{
a =1,
b =1,
故双曲线方程为x 2-y 2=1.
(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).
