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2018-2019学年高中北师大版数学必修2：第1章4.1 空间图形基本关系的认识 含解析

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高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理

高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理

理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )

B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l

A
a


a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；

【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)

【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
第一章 立体几何初步
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P

《空间图形基本关系的认识》教学课件【高中数学必修2(北师大版)】

《空间图形基本关系的认识》教学课件【高中数学必修2(北师大版)】

点与面的位置关系
点A 在平面α内 点B 在平面α外
平行
直线与直线的位置关系
相交
异面
A∈α B ∉α a∥b a∩b＝O
a与b异面
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。
新课学习
线在面内 直线与平面的位置关系 线面相交
线面平行
aα
a∩α＝A
a∥α
新课学习
平面与平面的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β
随堂练习
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
(1)A∈α，B∉α；(2)l α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课学习
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
新课学习
空间图形的基本关系 阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上
点与线的位置关系 点B在直线a上
图形表示
符号表示
A∉a B∈a
新课学习
Q。
图形分别如图(1)(2)(3)所示
新课学习
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
课后作业
课本28页习题1-4A组4题
再见
α∩β＝a
随堂练习
(1)不平行的两条直线的位置关系为相交( ) (2)两个平面的交线可以是一条线段( )

2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.4.1 空间图形的公理公理1、2、3 精品

2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.4.1 空间图形的公理公理1、2、3 精品

[基础·初探]
教材整理 1 空间图形的基本关系
阅读教材 P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题．
位置关系
图形表示 符号表示
点与线的位 点 A 不在直线 a 上
A∉a
置关系 点 B 在直线 a 上
B∈a
点与面的位 点 A 在平面 α 内
A∈α
置关系 点 B 在平面 α 外
B∉α
直线与直线 的位置关系
[构建·体系]
Hale Waihona Puke 1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
【解析】 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 【答案】 D
2．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 Q，b，β 之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b β
证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用 “纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一个平面 β， 再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
【精彩点拨】 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直 线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面 α， β，然后证明 α，β 重合．
【自主解答】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 法一：∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2 又 l2 α，∴B∈α. 同理可证 C∈α，又 B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．

北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)

北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)
条直线叫作相交直线，记作 a∩b＝P.
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
课后课时精练
提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.

2018年高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识课件3北师大版必修2

2018年高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识课件3北师大版必修2

主题1 主题2
主题3
5 7
6
探究一：空间中两条直线的位置关系 平行直线——在同一个平面内，没有公共点的两
条直线。
a b
记作a // b
O
a


b
记作a b O
相交直线——在同一个平面内，有且只有一个公
共点的两条直线。
探究二：空间中直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点
探究一、探究二、探究三
要求
1.小组合作，讨论探究小组内在预习中出现 问题，小组仍不能解决的可在同学点评时提 出质疑； 2.组长宏观调控，负责讨论结果的反馈，并 做好展示、点评的准备.
展示题目
主题1 主题2 主题3
展示地点
黑板1、2 黑板3 黑板4
展示小组
3 8 12
让质疑成为 最美的风景
点评问题 小组

a
aa Biblioteka a A（2）直线与平面相交——直线与平面只有一个公共点

A
（3）直线与平面平行——直线与平面没有公共点 a

a //
探究三：空间中平面与平面的位置关系
（1）平行平面——没有公共点的两个平面


记作： //


b
（2）相交平面——两个平面不重合，但是有公共点 α
a
β
记作： a
课堂小结 1、回忆本节学习的五种基本关系（三种语言表示）; 2、异面直线的概念以及图形表示; 3、学会从生活中寻找数学的影子.
1. 空间点与直线的位置关系 ①点在直线上
A
②点在直线外
l
记作：A l
B
l

高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)

高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)

自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．

2018-2019学年北师大版必修2 1-4-1,4-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 课件(33张) (1)

2018-2019学年北师大版必修2 1-4-1,4-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 课件(33张) (1)
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课前预习
课堂互动
课堂反馈
一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据

北师大版高中数学必修二课件§4.1空间图形的基本关系的认识

北师大版高中数学必修二课件§4.1空间图形的基本关系的认识
通常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
练习:画一个相交平面
β
如果一个平面被另一个平面挡
住则这遮挡的部分用虚线画出
来.
α
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的 题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长可以为4 米，宽 可以为2 米； ( ) 2、平面没有边界，但有厚度； ( ) 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
∴B1D1 平面 A1C1.
∵B1∈平面 BC1，D1∉平面 BC1， ∴直线 B1D1∩平面 BC1＝B1. ∴直线 B1D1 与平面 BC1 相交． 同理直线 B1D1 与平面 AB1、平面 AD1、平面 CD1 都相 交．
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
实例分析
观察下列长方体，回答问题。
A
a
α
c
b
B
问题
(1)长方体有几个顶点？
（2）长方体有几条棱？
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）长方体有几个表面？
通常把平面用一个希腊字母，， 等字母表示，
还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表示
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b
a
α
b
记作：直线a 直线b 点O a
β Ob
③异面直线：不同在任何一个平面内
b
b
α
a α
a a
β
bγ
既不相交也不平行的两条直线叫异面直线.

2018-2019学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件：第一章 §4 第1课时 空间图形基本关系的认识与公理

2018-2019学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件：第一章 §4 第1课时 空间图形基本关系的认识与公理

已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B， C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？ [错解] ∵A，B，C，D共面， ∴点A在点B，C，D所确定的平面内． ∵点B，C，D，E四点共面， ∴点E也在点B，C，D所确定的平面内， ∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面．
讲一讲 2.已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分别交 平面 α 于 P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R 三点共线．
[尝试解答] 证明：法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上． 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上， ∴P，Q，R 三点共线．
第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1~3
[核心必知] 一、空间图形的基本位置关系
二、空间图形的3条公理
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
[问题思考] 1．三点确定一个平面吗？
提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当 三点不在同一条直线上时，确定一个平面．
证明：由 EF∥CD′知 E，F，C，D′四点共面． 因为 E，F 不与 A′，B 重合，所以 EF≠CD′，即四 边形 EFCD′为梯形． 设 D′E∩CF＝P，∵D′E 平面 AA′D′D，P∈ D′E，∴P∈平面 AA′D′D. 又∵CF 平面 ABCD，P∈FC，∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA′D′D 的公共点． 又∵平面 ABCD∩平面 AA′D′D＝AD，∴P∈AD， 即 CF，D′E，DA 三线共点于 P.

北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.4.1空间图形的基本关系与公理课件

北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.4.1空间图形的基本关系与公理课件

M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【变式训练1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α 与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于 AC.
§4 空间图形的基本关系与公理
-1-
第1课时 平面性质
-2-
第1课时 平面性质
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.通过长方体这一常见的空间图形,体会点、直线、平面之间的 位置关系. 2.理解空间图形基本关系. 3.掌握空间图形的三个公理.
-3-
第1课时 平面性质
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.空间点与直线、点与平面的位置关系
位置关系 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 图形语言 符号语言 P∈a P∉a P∈α P∉α
图①
图③ 反思空间点、线、面是组成空间图形的基本元素,点是空间图形 中最基本的元素,线和面可以看作是点的集合,因此点与线、点与 面的关系是元素与集合的关系;而线与线、线与面、面与面的关系 则是集合与集合的关系,应该用有关集合的符号来表示空间图形的 基本关系.
图②
-9-
第1课时 平面性质
题型一 题型二 题型三 Байду номын сангаас型四

北师大版数学必修二课件：1.4.1空间图形的基本关系与公理

北师大版数学必修二课件：1.4.1空间图形的基本关系与公理
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。11:51:2611:51:2611:51Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.811:51:2611:51:26September 8, 2021
(2)因为A∈α,B∈α,所以AB⫋α.
又因为C∈AB,所以C∈α.
4.空间平面与平面的位置关系(除重合外)
位置关
文字语言
图形语言
系
两个平
如果平面 α 与平面 β 没有公
面
共点,我们称平面 α 与平面 β
不相交
是平行平面
(平行)
两个平
面
相交
如果平面 α 和平面 β 不重合,
但有公共点,我们称平面 α
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午11时51分26秒11:51:2621.9.8
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时51分21.9.811:51September 8, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三11时51分26秒11:51:268 September 2021
内.
证明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',
∴直线BC⫋平面BCC'B'.
又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.

2019版高中数学北师大版必修二课件：第一章 4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理(一)

2019版高中数学北师大版必修二课件：第一章 4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理(一)

跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P， BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
证明
当堂训练
1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是
A.A∈l，l∉α
√B.A∈l，l α
C.A l，l∉α
D.A l，l α
解析 ∵点A在直线l上，∴A∈l. ∵l在平面α外，∴l α.故选B.
___A_∈___l_， __B__∈__l__， 用来证明直 且_A_∈___α_， 线在平面内 _B__∈__α__⇒
lα
公 过不在一条直线上 的 三点，有且只有一个平
理 面(即可以确定一个平面
2 )
公 如果两个不重合的平面 理 有一个公共点，那么它
们有且只有一条_通__过___这___ 3 _个__点___的___公___共___直__线______
本课结束
A，B，C三点不 共线⇒存在唯一 用来确定 的α使A，B， 一个平面 C∈α
P∈α ， P∈β ⇒α∩β ＝l，且P∈l
用来证明 空间的点 共线和线 共点
(2)公理2的推论 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①). 推论2：两条相交直线确定一个平面(图②). 推论3：两条平行直线确定一个平面(图③).
解答
类型二 平面的基本性质的应用 命题角度1 点线共面问题 例2 如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
解 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线 a β，点 P∈β. 因为 P∈b，b α，所以 P∈α. 又因为 a α，所以 α 与 β 重合，所以 PQ α.
(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯 一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上， 也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两 条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上， 此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与 另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
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4． 1
空间图形基本关系的认识
时间：45 分钟
满分：80 分
班级________
姓名________
分数________
一、选择题(每小题 5 分，共 5×6＝30 分) 1．下列说法错误的是( ) A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内 B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行 C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行 D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交 答案：C 2．如果 a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( ) A．l⊂α B．l∉α C．l∩α＝A D．l∩α＝B 答案：A 解析：∵l∩a＝A 又 a⊂α，∴A∈l 且 A∈α.同理 B∈l 且 B∈α.∴l⊂α. 3．如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是( ) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 答案：D 解析：由两条直线的位置关系，可知答案为 D. 4．下面空间图形画法错误的是( )
解：答案如图所示，
11．如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，问：
(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解：(1)不是异面直线，理由：连结 MN，A1C1、AC，如图，因为 M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，所以 MN∥A1C1.又因为 A1A 綊 D1D， D1D 綊 C1C， 所以 A1A 綊 C1C， 四边形 A1ACC1 为平行四边形， 所以 A1C1∥AC， 故 MN∥A1C1∥AC，所以 A、M、N、C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线． (2)是异面直线， 证明如下： 假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 CC1D1 内， 则 B∈平面 CC1D1， C∈平面 CC1D1， 所以 BC⊂平面 CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故 D1B 与 CC1 是异面直线．
下图所示．
二、填空题(每小题 5 分，共 5×3＝15 分) 7．点 A 在直线 l 上，用符号表示为______；直线 AB 在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面 β相交于直线 l 可表示为______． 答案：A∈l AB⊂β α∩β＝l 8．设平面α与平面β相交于直线 l，直线 aα，直线 bβ，a∩b＝M，则点 M 与 l 的位置关系为________． 答案：M∈l 解析：因为 a∩b＝M，aα，bβ，所以 M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线 l，所以点 M 在直线 l 上，即 M∈l. 9．如图，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号)．
A
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C D 答案：D 解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画． 5．已知 a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a，那么 c 与 b( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案：C 解析：若 b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与 a、b 异面矛盾，其余情况均有可能． 6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．可能相交、平行、也可能异面 答案：D 解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如
答案：② 解析：图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，但 M∉平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异 面；图③中，连接 MG，则 GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面． 三、解答题(共 35 分，11＋12＋12) 10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段 AB，分别是两个平面 的交线．
12.如图，已知 P∉平面 ABC ，PA≠PB，CM 是 AB 上的中线，PN⊥AB 与 N，求证：CM 和 PN 是异面直 线． 解：证法 1：假设 CM 和 PN 共面，则有下列两种情况： (1)若 M、N 重合，可得 AN＝BN， ∴PN 是线段 AB 的中垂线， ∴PA＝PB，与题设 PA≠PB 矛盾． (2)若 M、N 不重合，CM 和 PN 共面，即 PC 与 MN 共面，可得 P∈平面 ABC，与题设 P∉平面 ABC 矛盾． 所以 CM 和 PN 是异面直线． 证法 2：∵CM 是 AB 上的中线，∴CM⊂平面 ABC. 又∵PN⊥AB 于 N， ∴N∈平面 ABC. ∵PA≠PB，∴AN≠BN. ∴N 与 M 不重合，即 N∉CM. 又∵P∉平面 ABC，∴CM 和 PN 是异面直线．