第十章《不等式》达标试题(二)

不等式练习题带解析一、选择题1. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则下列不等式中正确的是：A. a + b > 0B. a + b < 0C. a + b = 0D. 不能确定2. 对于任意实数x，下列不等式恒成立的是：A. x² ≥ 0B. x³ ≥ 0C. x⁴ ≥ 0D. x⁵ ≥ 03. 若x > 0，y > 0，且x + y = 1，下列不等式中正确的是：A. x² + y² ≥ 1B. x² + y² < 1C. x² + y² ≤ 1D. 不能确定4. 对于任意实数a和b，下列不等式中正确的是：A. a² + b² ≥ 2abB. a² + b² ≤ 2abC. a² + b² < 2abD. a² + b² > 2ab5. 若a，b，c是正数，且a + b + c = 1，下列不等式中正确的是：A. 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9B. 1/a + 1/b + 1/c ≤ 9C. 1/a + 1/b + 1/c < 9D. 1/a + 1/b + 1/c > 9二、填空题6. 若x² - 5x + 6 ≤ 0，求x的取值范围是______。

7. 若a，b是正数，且a/b + b/a ≥ 2，求a和b的取值条件是______。

8. 对于方程x³ - 3x² + 2x = 0，求x的解集是______。

9. 若f(x) = x³ - 2x² - 3x + 2，求f(x)的极值点是______。

10. 若a，b，c是实数，且a² + b² + c² ≥ 3ab + 3bc + 3ca，求a，b，c的取值条件是______。

不等式及其性质练习题一、填空题1. 若 a > b，则 a + 3 与 b 2 的大小关系是______。

2. 若 x 5 < 0，则 x 的取值范围是______。

3. 若 |x| > 5，则 x 的取值范围是______。

4. 若 a < b < 0，则a² 与b² 的大小关系是______。

5. 若 |x 1| = |x + 3|，则 x 的值为______。

二、选择题1. 下列不等式中，正确的是（）A. a² > b²B. a + b > aC. (a + b)²= a² + b²D. |a| = a2. 若 a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a < bC. a² < b²D. a/b < 13. 若x² 5x + 6 < 0，则 x 的取值范围是（）A. x < 2 或 x > 3B. 2 < x < 3C. x < 2 且 x > 3D. x ≠ 2 且x ≠ 3三、解答题1. 已知 a > b，证明：a² > ab。

2. 设 x 为实数，证明：若x² 3x + 2 > 0，则 x < 1 或 x > 2。

3. 已知 |x 1| + |x + 2| = 5，求 x 的值。

4. 若 a、b、c 为实数，且 a < b < c，证明：a + c < 2b。

5. 设 a、b 为正数，证明：若 a/b < 1/2，则 2a < b。

四、应用题1. 某商店举行优惠活动，满 100 元减 20 元，满 200 元减 50 元，满 300 元减 80 元。

小明购物满 300 元，实际支付了 220 元，求小明原价购物金额。

阶段性测试题六(不等式)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(理)(2011·山东莱芜阶段测试)已知a >0，b >0，且2a ＋3b ＝1，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27[答案] B[解析] ∵a >0，b >0,2a ＋3b ＝1， ∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b ) ＝13＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6ab ＝25 等号在a ＝b ＝15时成立，∴2a ＋3b的最小值为25. 2．(理)(2011·辽宁铁岭六校联考)设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a2≤x ≤2a ；②a2≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ；④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形．3．(理)若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤QD ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .4．(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集是( ) A ．(1,2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1,2)[答案] C[解析] 当x <2时，由2e x －1>2得，x >1，∴1<x <2；当x ≥2时，由log 3(x 2－1)>2，得x >10或x <－10，∴x >10.∴不等式f (x )>2的解集是(1,2)∪(10，＋∞)．故选C.5． (理)(2011·天津河西区质检)已知点A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，设z 为OA →在OP →上的投影，则z 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－3，3]C ．[－3，3]D ．[－3，3][答案] B[解析] OA →在OP →上的投影为z ＝|OA →|cos 〈OA →，OP →〉，∵|OA →|＝23为定值，∴z 的取值范围取决于〈OA →，OP →〉的大小，由图知，〈OA →，OP →〉∈[π3，5π6]，∴z ∈[－3，3]，故选B.6．(理)(2011·四川成都期末)已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b，P ＝log c a ，N ＝log c b ，M ＝log c ab ，则有( )A ．P <M <NB ．M <P <NC ．N <P <MD ．P <N <M[答案] A[解析] 因为a >b >0，且ab ＝1，所以a >1,0<b <1，a ＋b >2ab ＝2，c ＝2a ＋b <1，所以logc a <log c ab <log c b ，即P <M <N ，选A.7．(理)(2011·宝鸡市法门高中月考)若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)满足f (2a )>f (3a )，则f (1－1x)>1的解集是( ) A ．{x |0<x <1a }B ．{x |0<x <11－a }C ．{x |1<x <1a }D ．{x |1<x <11－a}[答案] D[解析] 若a >1，则2a <3a ，而函数f (x )＝log a x 递增，所以应有f (2a )<f (3a )，与条件不符，所以必有0<a <1，这时函数f (x )＝log a x 递减，由f (1－1x )>1可得0<1－1x <a ，解得1<x <11－a ，故选D.8．(2011·西安远东一中月考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 [答案] B[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2表示的平面区域如图，由图可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值z min ＝2，无最大值．9．(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y ≥0y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值是3，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 [答案] A[解析] 画出可行域如图，∵z ＝x ＋2y 的最大值为3，∴y ＝－x 2＋z2经过可行域内的点A (a ，a )时，z 取到最大值3，∴a ＋2a ＝3，∴a ＝1.10．(2010·汕头模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12[答案] C[解析] 由运算“*”的定义知，(x －a )*(x ＋a )<1可化为(x －a )(1－x －a )<1， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立， ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32.11．(2011·蚌埠二中质检)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．9 [答案] B[解析] 由条件知，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝32|AB →|·|AC →|＝23，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∴x ＋y ＋12＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)，∴1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x 时成立，∵x ＋y ＝12，∴x ＝16，y ＝13时，1x ＋4y取最小值18.12．(理)(2011·江西新余一中月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 由函数f (x )为奇函数可知f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x<0，而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0.∴不等式化为⎩⎨⎧ x >0f (x )<0或⎩⎨⎧x <0f (x )>0，即⎩⎨⎧ x >0f (x )<f (1)或⎩⎪⎨⎪⎧x <0f (x )>f (－1).又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则奇函数f (x )在(－∞，0)上也为增函数，所以0<x <1或－1<x <0.故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2010·北京东城区调研)已知实数x 和y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当z ＝x ＋y 经过可行域内点A (2,3)时，z 取最大值5.14．(理)(2011·江西弋阳一中月考)在两个实数间定义一种运算“#”，规定a #b ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <b ，－1，a ≥b ，则方程⎪⎪⎪⎪1x －2#2＝1的解集是______． [答案] ⎝⎛⎭⎫14，＋∞[解析] 由题知⎪⎪⎪⎪1x －2<2，∴－2<1x －2<2， ∴x >14.15．(2011·天津五中模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．[答案] 73[解析] 由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如右图所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D 即可，此时D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，代入可得k ＝73. 16．(2011·豫南九校联考)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值为________．[答案] 25[解析] 依据给出的结论可知f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25等号在22x ＝31－2x ，即x＝15时成立． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(理)(2011·山东淄博一中期末)已知P ：关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间(0,2)上有两个相异的零点；Q ：函数g (x )＝13x 3＋mx ＋m 在(－∞，＋∞)上有极值．若P 和Q 有且只有一个正确，求m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，若P 正确，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－4×1>00<－m －12<2f (0)＝1>0f (2)＝4＋2(m －1)＋1>0，解得－32<m <－1g ′(x )＝x 2＋m ，(1)若m ≥0，则g ′(x )≥0恒成立，即g (x )在(－∞，＋∞)为增函数，无极值； (2)若m <0，则令g ′(x )＝x 2＋m ≥0得x ≤－－m 或x ≥－m ，令g ′(x )＝x 2－m ≤0，得－－m ≤x ≤－m即函数g (x )在(－∞，－－m ]及[－m ，＋∞)上为增函数，在[－－m ，－m ]上为减函数，故x ＝－－m 及x ＝－m 是g (x )的极值点． 由(1)、(2)知，当m <0时，函数g (x )有极值点．∵P 和Q 有且只有一个正确，则m 的范围是(－∞，－32]∪[－1,0)．18．(理)(2011·黄冈市期末)已知函数f (x )＝2－xx ＋1.(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；(2)是否存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立，若存在求出x 0；若不存在，请说明理由． [解析] (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， ∵f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－3x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0， ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． (2)不存在假设存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立，则∵x 0<0， ∴0<3x 0<1，即0<f (x 0)<1，∴0<2－x 0x 0＋1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 0<2－2x 0＋1x 0＋1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 0<2x 0<－1或x 0>12⇒12<x 0<2与x 0<0矛盾， 所以不存在负数x 0，使得f (x 0)＝3x 0成立． [点评] (2)可另解如下：f (x )＝－1＋3x ＋1，由x 0<0得：f (x 0)<－1或f (x 0)>2但0<3x 0<1，所以不存在．19．(本小题满分12分)(2011·浙江杭州二中期中)设抛物线C 1 y ＝x 2－2x ＋2与抛物线C 2 y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．(1)求a 、b 之间关系．(2)若a >0，b >0，求ab 的最大值． [解析] (1)设交点为(x 0，y 0) 由y ＝x 2－2x ＋2得y ′＝2x －2∴曲线C 1在(x 0，y 0)处的切线斜率为k 1＝2x 0－2 由y ＝－x 2＋ax ＋b 得y ′＝－2x ＋a∴曲线C 2在(x 0，y 0)处的切线斜率为k 2＝－2x 0＋a 由k 1·k 2＝－1得(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1 ∴4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0①又⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，∴2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②得2a ＋2b －5＝0 (2)∵2a ＋2b －5＝0 ∴a ＋b ＝52∵a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝2516当且仅当a ＝b ＝54时取“＝”号．20．(理)(2011·厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为24m 2、墙高为3m ，一面靠旧墙的矩形房屋．利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x (单位：m)不得超过a (单位：m)(其平面示意图如下)．已知旧墙的维修费用为150元/m 2，新墙的造价为450元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价)．(1)把房屋总造价y (单位：元)表示成x (单位：m)的函数，并写出该函数的定义域； (2)当x 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ [解析] (1)依题意得：y ＝3x (150＋450)＋24x ×2×3×450＋5400＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400(0<x ≤a ) (2)y ＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400≥1800×2x ·36x＋5400＝21600＋5400＝27000 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时取等号当a >6时，在x ＝6时总进价最低，最低总造价是27000元． 当a ≤6时，则y ′＝1800⎝⎛⎭⎫1－36x 2 ∴当0<x ≤a 时，y ′<0，故函数y ＝1800⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋5400在(0，a ]上是减函数， ∴当x ＝a 时，y 有最小值，即最低总造价为 1800⎝⎛⎭⎫a ＋36a ＋5400元 答：当a >6时，x ＝6总造价最低，最低总造价是27000元； 当a ≤6时，x ＝a 总造价最低，最低总造价为 1800⎝⎛⎭⎫a ＋36a ＋5400元． 21． (理)(2011·北京市朝阳区期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有两个相等的实数根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0，－f (x ) x <0，当mn <0，m ＋n >0，a >0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?[解析] (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0.∵方程f (x )＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4a ＝0. ∴b 2－4(b －1)＝0.∴b ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)2.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x －k －222＋1－(k －2)24.所以当k －22≥2或k －22≤－2时，即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数． (3)f (x )为偶函数，所以b ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1 x >0，－ax 2－1 x <0. 因为mn <0，不妨设m >0，则n <0. 又因为m ＋n >0，所以m >－n >0. 所以|m |>|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0. 所以F (m )＋F (n )>0.22．(理)(2011·河南焦作一中月考)要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A 、B 两种规格，每张钢板可同时截得A 、B 两种规格的小钢板的块数如下表所示：A 、B 两种规格的成品数分别为15块和27块．(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的两种钢板的总张数最少？ (2)有5个同学对线性规划知识了解不多，但是画出了可行域，他们每个人都在可行域的整点中随意取出一解，求恰好有2个人取到最优解的概率．[解析] 设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x 、y 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤15，x ＋3y ≥27，0≤x ≤5，0≤y ≤10，作出可行域如图(1)因为目标函数为z ＝x ＋y (x 、y 为整数)，所以在一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解．(2)因为可行域内的整点个数为8个，而最优解有两个，所以每个人取得最优解的概率为14.所以5个人中有2个人取到最优解的概率为C 35⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫343＝135512. 答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8.5个人中恰好有2个人取到最优解的概率为135512.。

不等式考试题型和答案一、选择题1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 1) \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac = 0 \)B. \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac = 0 \)C. \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac > 0 \)D. \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac > 0 \)答案：B2. 对于不等式 \( |x - 2| < 3 \)，下列哪个区间表示了解集？A. \( (-1, 5) \)B. \( (-\infty, 5) \)C. \( (-\infty, -1) \)D. \( (-1, \infty) \)答案：A3. 若 \( x \) 和 \( y \) 满足不等式 \( x + 2y \leq 10 \) 且 \( 3x - y \geq 0 \)，则 \( x \) 的取值范围是？A. \( x \leq 4 \)B. \( x \geq 0 \)C. \( x \leq 10 \)D. \( x \geq 3 \)答案：A二、填空题4. 若不等式 \( 2x - 3 < 5 \) 的解为 \( x < 4 \)，则 \( x \) 的取值范围是 \( \_\_\_\_ \)。

答案：\( x < 4 \)5. 已知不等式 \( x^2 - 4x + 3 < 0 \)，其解集为 \( \_\_\_\_ \)。

答案：\( 1 < x < 3 \)6. 若 \( a \) 和 \( b \) 是正数，且 \( a + b = 10 \)，则 \( ab \) 的最大值是 \( \_\_\_\_ \)。

答案：25三、解答题7. 解不等式 \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)。

不等式考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 2) \)，则下列哪个不等式有相同解集？A. \( ax^2 + bx + c < 0 \)B. \( -ax^2 - bx - c > 0 \)C. \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)D. \( -ax^2 - bx - c < 0 \)答案：B2. 对于不等式 \( |x - 3| < 2 \)，下列哪个区间是其解集？A. \( (1, 5) \)B. \( (-1, 7) \)C. \( (-2, 4) \)D. \( (3, 5) \)答案：A3. 若不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) 的解集为 \( A \)，则 \( A \) 与 \( (2, 3) \) 的交集是什么？A. \( \emptyset \)B. \( (2, 3) \)C. \( (2, 3) \cap A \)D. \( (3, 4) \)答案：C4. 已知不等式 \( x^3 - 3x^2 + 2x > 0 \) 的解集包含 \( (1, 2) \)，那么下列哪个不等式也包含 \( (1, 2) \) 作为其解集的一部分？A. \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \)B. \( -x^3 + 3x^2 - 2x < 0 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2x \leq 0 \)D. \( -x^3 + 3x^2 - 2x \geq 0 \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( 2x - 3 < 5 \) 的解为 \( x < 4 \)，则 \( 2x -3 > 5 \) 的解为 \( x > \_\_\_\_\_ \)。

答案：42. 不等式 \( |x + 1| \geq 3 \) 的解集为 \( x \leq -4 \) 或\( x \geq 2 \)，那么 \( |x + 1| < 3 \) 的解集为 \( x \in\_\_\_\_\_ \)。

专题10 《不等式与不等式组》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值的情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解决实际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：求一元一次不等式组中待定字母的值的情况方法点拨：1．已知关于x 的不等式组21321x m x m ->ìí-<-î（1）如果不等式组的解集为67x <<，求m 的值；（2）如果不等式组无解，求m 的取值范围；【答案】（1）11；（2）5m £【分析】（1）解两个不等式得出12m x +>且213m x -<，根据不等式组的解集为67x <<得1622173m m +ì=ïïí-ï=ïî，解之可得答案；（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得12123m m +-…，解之可得答案．【详解】解：（1）由21x m ->，得：12m x +>，解不等式321x m -<-，得：213m x -<，Q 不等式组的解集为67x <<，∴1622173m m +ì=ïïí-ï=ïî，解得11m =；（2）Q 不等式组无解，\12123m m +-…，解得5m …．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．对于任意实数a ，b ，定义一种新运算：a #b =a ﹣3b +7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x >0解集；（2）若3m <2#x ＜7有解，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x 的解集中恰有3个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）x ＜4；（2）233x m <<-；（3）-1≤m ＜0【分析】（1）根据新定义得出关于x 的不等式，解之即可；（2）根据新定义列出关于x 的不等式组，再分别求解即可得出其解集；（3）由不等式组整数解的个数得出关于m 的不等式组，再进一步求解即可．【详解】解：（1）由题意得5-3x +7＞0，解得x ＜4；（2）由题意，得：32373727x m x î-+>-+<ìí①②，解不等式①，得：23x >，解不等式②，得：x ＜3-m ，则不等式组的解集为233x m <<-；（3）∵该不等式组有3个整数解，∴3＜3-m ≤4，解得-1≤m ＜0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．已知不等式()132x m m ->-．()1若其解集为3x >，求m 的值；()2若满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，求m 的取值范围．【答案】（1） 1.5m =；（2） 1.5m ³【分析】（1）根据已知等式求出m 的范围即可；（2）根据题意确定出m 的范围即可．【详解】解:（1）不等式整理得:63x m m ->-，解得:62,x m >-由不等式的解集为3,x >得到623,m -=解得: 1.5m =;（2）由满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，得到623m -£，解得: 1.5m ³【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．4．若不等式组0122x a x x +³ìí->-î有3个整数解，则a 的取值范围是多少．【答案】2≤a ＜3【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确定a 的取值范围即可．【详解】解：0122x a x x +³ìí->-î①②解不等式①得：x ≥-a ，解不等式②x ＜1，∴不等式组的解集为-a ≤x ＜1，∵不等式组恰有3个整数解，∴-3＜-a ≤-2，解得：2≤a ＜3．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集得出关于a 的不等式组是解答本题的关键．5．不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，求a 的取值范围．【答案】113a -<£【分析】先求出不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集为13x -<£，然后分别讨论当0a >时，当0a <时，当0a =时，不等式1ax >-的解集，然后根据不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分进行求解即可．【详解】解：2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î①②解不等式①得：1x >-，解不等式②得：23x -££，∴不等式的解集为13x -<£，∵1ax >-，∴当0a >时，1x a>-∵不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴11a-£-，∴01a <£；同理当0a <时，1x a<-，∵不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴13a->，∴103-<<a ；当0a =时，01>-恒成立，即关于x 的一元一次不等式1ax >-的解集为一切实数，∴此时也满足不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴综上所述，113a -<£．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的方法．6．已知关于x 的不等式4（x ＋2）﹣2＞5＋3a 的解都能使不等式(31)(23)32a x a x ++>成立，求a 的取值范围．【答案】115a -…【分析】先求出不等式4（x +2）-2＞5+3a 的解集，再根据不等式(31)(23)32a x a x ++>用a 表示出x 的取值范围，最后解不等式组即可求出a 的取值范围．【详解】解：解不等式4(2)253x a +->+得：314a x ->，Q (31)(23)32a x a x ++>，解得：92ax >\31942a a -…解得：115a -…．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键．7．已知关于x 的不等式组()42127,6 1.7x x x a x ì-+>ïí-<+ïî（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a 的取值范围；（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在5x ≥的范围内，求a 的取值范围．【答案】（1）12a £<；（2）25a £<【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a 的不等式组，从而求解；（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x ≥5的范围内，得出关于a 的不等式组，从而求解．【详解】解：（1）解不等式()42127x x -+>，得2x >．解不等式617x a x -<+，得7x a <-，∵该不等式组有且只有三个整数解，∴这三个整数解为3，4，5．∴576a <-£．∴12a £<．（2）∵该不等式组有解，由（1）知72a ->．∴该不等式组的解集为27x a <<-．又它的解集中的任何一个值均不在5x ≥的范围内，∴75a -£．解不等式组7275a a ->ìí-£î得符合题意的a 的取值范围为25a £<．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．若一个不等式（组）A 有解且解集为()a x b a b <<<，则称2a b +为A 的解集中点值，若A 的解集中点值是不等式（组）B 的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B 对于不等式（组）A 中点包含．（1）已知关于x 的不等式组A ：23560x x ->ìí->î，以及不等式B ：15x -<£，请判断不等式B 对于不等式组A 是否中点包含，并写出判断过程；（2）已知关于x 的不等式组C ：272131691x m x m +>+ìí-<-î和不等式D ：43135x m x m >-ìí-<î，若D 对于不等式组C 中点包含，求m 的取值范围．（3）关于x 的不等式组E ：22x n x m >ìí<î（n m <）和不等式组F ：523x n x m n -<ìí->î，若不等式组F 对于不等式组E 中点包含，且所有符合要求的整数m 之和为9，求n 的取值范围．【答案】（1）不等式B 对于不等式组A 是中点包含，见解析；（2）316m -<<；（3）12n £<【分析】（1）先解不等式组A ，再按照要求求中点，再判断中点是否在B 不等式中即可．（2）先解不等式组C 、D ，再根据C 组的中点在D 不等式组中建立不等式，再解出m 取值范围．（3）先解不等式组E 、F ，再根据E 组的中点在F 不等式组中建立不等式，再解出m 取值范围，再根据符合要求的整数m 之和为9，缩小m 取值范围从而确定n 取值范围．【详解】（1）解不等式组A ：23560x x ->ìí->î得46x <<，∴中点值为5x =又∵5x =在不等式B ：15x -<£范围内，∴不等式B 对于不等式组A 是中点包含（2）解不等式C 得：33+5m x m -<<∴不等式组C 中点为：3+3+5=2+12m m m -解不等式D 得：51343m m x +-<<∵2m -1位于4m -和5133m +之间∴5134213m m m +-<-<解得：316m -<<（3）解不等式组E 得：2n <x <2m ，则中点值为n +m解不等式组F 得：32n m +<x <5+n ∵32n m +<n +m <5+n ∴5m n m <ìí<î∵所有符合要求的整数m 之和为9∴m 可取4，3，2∴12n £<【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键．考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

第十一章 综合练习（2）1.下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ）A ．2x －1＞0B ．1＜2C ．3x2y ＜1D ．y 2+3＞52.不等式54≤-x 的解集是 （ ）A ．x ≤54-B ．x ≥54-C ．x ≤45-D ．x ≥45- 3.当a 时，不等式(a —1)x ＞1的解集是x ＜11-a 。

4. 不等式x8＞3x5的最大整数解是 。

5.若不等式组841x x x m+<-⎧⎨>⎩ 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 。

6. 若y 1=x+3,y 2=3x4,试确定当x 时：y 1＜y 2。

7. 如果m ＜n ＜0，那么下列结论错误的是 （ ）A.m －9＜n －9B.－m ＞—nC.n 1＞m 1D.nm ＞1 8. 把不等式组1010x x +≥⎧⎨-⎩<的解集表示在数轴上，正确的是（ ） 9. 解不等式（组），并把不等式组的解集在数轴上表示出来：（1）32x -+＜23x -+； （2）22x +≥213x -.（3）451442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩； （4）5<1－4x<17。

10. 若()2320x x y m -+--=中y 为非负数，求m 的范围．11. 作出函数y=2x5的图象，观察图象回答下列问题：（1）x 取哪些值时，2x5＞0？（2）x 取哪些值时，2x5＜0？（3）x 取哪些值时，2x5＞3？12.中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价由2元到100元多种，某团体须购买票价为6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍。

问这两种票各购买多少张所需的钱最少？最少需要多少钱？13. 如图，用两根长度均为Lcm 的绳子，分别围成一个正方形和圆。

（1）如果要使正方形的面积不大于25平方厘米，那么绳长L 应满足 ；（2）如果要使圆的面积不小于100平方厘米，那么绳长L 应满足 ；（3）当L=8时， 的面积大；当L=12时 的面积大；（4）你能得到什么猜想？ 。

八年级不等式试题及答案1. 若不等式 \( ax + b > 0 \) 的解集为 \( x < -\frac{b}{a} \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的符号。

答案：\( a < 0 \) 且 \( b > 0 \)。

2. 解不等式 \( 3x - 7 < 0 \)。

答案：\( x < \frac{7}{3} \)。

3. 若 \( x \) 是不等式 \( 2x - 5 < 0 \) 的解，求 \( x \) 的取值范围。

答案：\( x < \frac{5}{2} \)。

4. 已知 \( x \) 和 \( y \) 满足 \( x + y > 0 \) 且 \( x - y < 0 \)，求 \( x \) 和 \( y \) 的关系。

答案：\( x < y \)。

5. 解不等式组 \( \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 3x + 4 \leq 8\end{cases} \)。

答案：\( 2 < x \leq \frac{4}{3} \)。

6. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a + b > 10 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的最小值。

答案：\( a = 1 \)，\( b = 10 \)。

7. 若不等式 \( 2x + 3 > 5x - 7 \) 的解集为 \( x < 5 \)，求\( x \) 的取值范围。

答案：\( x < 5 \)。

8. 已知 \( x \) 是不等式 \( 3x - 2 \geq 4 \) 的解，求 \( x \) 的取值范围。

答案：\( x \geq 2 \)。

9. 解不等式 \( \frac{x - 1}{2} \leq 3 \)。

答案：\( x \leq 7 \)。

10. 若 \( x \) 和 \( y \) 满足 \( 2x - 3y < 0 \) 且 \( x + y > 0 \)，求 \( x \) 和 \( y \) 的关系。

不等式与不等式组章节复习（二）（人教版）含答案不等式与不等式组章节复习（二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.不等式的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：解一元一次不等式（组）2.不等式组的解集为( )A. B.C. D.无解答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解一元一次不等式（组）3.如果关于x，y的方程组的解是负数，则a的取值范围值( )A. B.C. D.无解答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解一元一次不等式（组）4.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）5.若关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）6.已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）7.已知a，b为实数，则解集可以为的不等式组是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：不等式的基本性质8.若x，y满足，且x，y均为正整数，，则x=( )A.50B.52C.45D.42答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程与不等式9.某工厂现有甲种原料310kg，乙种原料240kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需甲种原料8kg、乙种原料2kg；生产一件B种产品需甲种原料3kg、乙种原料9kg．设生产x件A种产品，则x应满足的不等式组是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元一次不等式组的应用——方案设计型10.用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元一次不等式（组）的应用第1页共8页。

初中不等式试题及答案一、选择题1. 若不等式2x - 5 > 0成立，则x的取值范围是（）。

A. x > 2.5B. x < 2.5C. x > -2.5D. x < -2.5答案：A2. 已知x + 3 > 0，那么以下哪个不等式一定成立？（）A. x > -3B. x < -3C. x ≥ -3D. x ≤ -3答案：A二、填空题1. 解不等式3x - 7 < 0，得到x的解集是 x < \frac{7}{3} 。

2. 若不等式组\left\{\begin{matrix}x+2>0\\ 3x-4\leq5\end{matrix}\right. 的解集为x > -2，x ≤ 3，那么x的取值范围是 -2 < x ≤ 3。

三、解答题1. 解不等式2x + 3 > 5，并写出解集。

解：首先将不等式2x + 3 > 5化简，得到2x > 2，然后除以2得到x > 1。

因此，解集为x > 1。

2. 已知不等式组\left\{\begin{matrix}2x-1>3\\x+4<7\end{matrix}\right.，求x的取值范围。

解：首先解第一个不等式2x - 1 > 3，得到x > 2。

然后解第二个不等式x + 4 < 7，得到x < 3。

因此，x的取值范围是2 < x < 3。

四、应用题1. 某商店为了促销，规定购买商品金额超过100元即可享受8折优惠。

小华购买了一些商品，实际支付了80元，请问他购买的商品原价是多少？解：设小华购买的商品原价为x元，则根据题意有0.8x = 80。

解得x = 100。

所以，小华购买的商品原价是100元。