与三角形有关的线段

与三角形有关的线段
三角形是最简单的几何图形之一，在这种多边形中，有许多与之相关的线段：
1. 三角形的腰线：它是三角形中心点到其任意顶点所确定的线段，也就是两条腰线将三角形分割成两部分。

2. 三角形的角线：它是三角形的内角所对应的三条边的线段，可以用来计算三角形的内角度数。

3. 三角形的直径线：它是三角形的三角边连线的半径线，可以用它来计算三角形的面积。

4. 三角形的三边线：它们连接三角形的三个顶点，是三角形的基本元素。

5. 三角形的角平分线：它从三角形的内角出发，连接该角的对边点，可以用它将三角形分割为两个等边三角形。

6. 三角形的外心线：它是三角形三条内角线所连接的线段，用来确定三角形的外心位置。

7. 三角形的垂直线：它是三角形内接圆的半径线，可以使用它来求出三角形的外接圆半径。

8. 三角形的对边线：用来连接三角形的两条对边，可以用它来求出三角形的内角边长。

9. 三角形的角边线：用来连接三角形的三角边，可以用它来求出三角形的内角度数。

以上就是与三角形有关的线段。

通过弄清楚这些线段及其特征，我们就能够推导出更多三角形的性质，从而更好地描述三角形。

与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔA BC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠B AC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是（ ）A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高C ．△ABC 中，GC 是BC 边上的高D ．△GBC 中，GC 是BC 边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A 、△ABC 中，AD 是BC 边上的高正确，故本选项错误；B 、△GBC 中，CF 是BG 边上的高正确，故本选项错误；C 、△ABC 中，GC 是BC 边上的高错误，故本选项正确；D 、△GBC 中，GC 是BC 边上的高正确，故本选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则_____＝_____＝12____ ；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.（2015春•焦作校级期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_____________.三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17.（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图。

复习《与三角形有关的线段》教学设计学科：初中数学年纪：八年级版本：2011人教版章节：11章第一小节课时：1课时课题：复习《与三角形有关的线段》教学目标：（1）复习本小节基础知识，让学生巩固相关定义、数三角形个数的方法和三角形分类方法。

重点掌握三角形的高、中线、角平分线相关知识。

（2）理解三角形两边之和大于第三边，体会等腰三角形分类讨论思想。

结合三角形的高和中线，灵活应用三角形面积公式。

（3）规范学生解题格式，引导学生掌握正确的解题方法。

教学重难点：重点：（1）三角形的分类（2）三角形的高、中线、角平分线的性质定义，作法。

会进行角度计算。

难点：（1）等腰三角形分类讨论思想（2）三角形的高、中线与三角形面积公式的综合应用教学过程：一、作业点评，问题指正（1）解题格式不规范（2）概念不明确，出现基础性错误（3）不确定性问题要分类讨论，注意数形结合，转化已知条件。

二、知识点回顾三、练习巩固问题1、如图，AD=AE=DE，AB=AC，图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。

这些三角形如何按边分类。

问题2、若三角形的两边分别为3 和5 ，则第三边长m 的取值范围是________。

若m 为整数m=______时是锐角三角形，m=______时是直角三角形，m=______时是钝角三角形。

问题3、小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，那么这个三角形的各边的长分别是多少？四、拓展提高问题4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为D、F，E是线段BC的中点，（1）若∠BAC=90°，∠ACB=30°，你能在图中找出与∠ACB大小相等的角吗？若存在，请写出来；若不存在，请说明理由。

（2）Ｓ△ABC=1/2·___·___=1/2·___·___=2Ｓ△___=2Ｓ△___（3）若BC=12，AD=5，AC=10，求BF的值。

数学备课组第 1 周供2 周用主备课稿____________,______________,________________;按角分成三类：________________,__________________,_________________。

7、一位同学用三根木棒拼成下图中的图形，其中符合三角形概念的是( ):找出图中所有的三角形，并把它们表示出来。

已知一个等腰三角形的两边长分别为8厘米和4厘米，求这个等腰三角形的周长。

∆ABC的三边长分别为a,b,c，试化简：(1)|c-a-b|-|b-a-c| (2)|a+b-c|-|b-a-c|一、课堂练习：1、教材P65练习第1、2题2、一个三角形的两边长分别是3厘米，、4厘米，则第三边a的取值范围是____________。

3、已知三角形的两边长分别是6厘米和7厘米，第三边长是偶数，则第三边长可能是___________________。

4、如图，找出图中所有的三角形。

二、作业布置教材P69第1、2、6题;教材P70第7题，三、自我检测(一)选择题1、∆ABC的三边长为a，b，c，且a>b>c，若b=6，c=2，则a的取值范围是( )A、42、如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离不可能是( )A、20米B、15米C、10米D、5米3、已知三角形的两边长分别为3厘米和8厘米，则此三角形的第三边的长可能是( )A、4厘米B、5厘米C、6厘米D、13厘米4、已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是( )A、05、如果线段a、b、c能组成三角形，那么它们的长度比可能是( )A、1：2：4B、1：3：4C、3：4：7D、2：3：4(二)填空题6、一个木工师傅现有两根木条，它们的长分别为50厘米和70厘米，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条的长为x厘米，则x的取值范围是________7、如图，在∆ABC中，AB的=所对的角是__________，∠BAC所对的边是_______，AC在∆ABC中是_________的对边。

11.1与三角形有关的线段一、三角形 (1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)构成：如图所示，三角形 ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边． ②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点． (3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形 ABC 用符号表示为△ABC. 注：顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示． (4)分类： ①三角形按角分类如下： ②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形， 即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形． 1、 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角． 解：图中有三个三角形，分别是： △ABC 的三边是： △ABD 的三边是： △ADC 的三边是： ，三个内角分别是： ，三个内角分别是： ，三个内角分别是：1 题图12 题图2、如图中有个 三角形,用符号表示这些三角形为:________ _____________；_____；其中以 AD 为边的三角形有_____________ADE 是_______________________ ______的一个内角.二、三角形的三边关系 (1)三边关系： (2)三角形三边关系的运用主要有两方面， 一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围； 二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形． 解技巧 三角形三边关系的应用 ①当线段 a，b，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这 两边之和，来确定第三条线段的取值范围． 1、下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A．1cm，2 cm，3cm C．4cm，6 cm，8cm )B．2cm，3 cm，6 cm D．5cm，6 cm，12cm2、已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:4:6;③3:3:6;④6:6:10;⑤3:4:5.其中可构成三角 形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 C.4 个3、有四根长度分别为 6cm,5cm,4cm,1cm 的木棒，选择其中的三根组成三角形，则可选择 的种数有（ A. 4 ） B.3 C.2 D.14、以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？ (1)6 cm,8 cm,10 cm； (2)三条线段长之比为 4∶5∶6； (3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)． 5、 三角形的两边长分别为 5 cm 和 8 cm， 则此三角形的第三边的长 x 的取值范围是________ 6、一个三角形的三条边长分别为 1、2、x，则 x 的取值范围是（ A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3 ）7、一个三角形的两 边长分别为 3cm 和 7cm,则此三角形第三边长可能是（ ） A．3cm B.4 cm C. 7 cm D.11cm ）8、如果三角形的两边长分别为 3 和 5，则周长 L 的取值范围是（ A. 6＜L＜15 B. 6＜L＜16 C.11＜L＜13 D.10＜L＜169、一个三角形的两边长分别为 3 和 5,第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）2A．2B.3C.4D.810、若三角形 的两边长分别是 2 和 7,则第三边长 c 的取值范围是__________；当周长为 奇数时,第三边长为 三、三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高,如图（1） ____ ；当周长是 5 的倍数时,第三边长为 .(1)(2)(2)性质特点： ①高是通过作垂线得出的， 因而有高一定有垂直和直角． 常用关系式为： AD 是 BC 边上的高， ∠ADB＝∠ADC＝90°点在三角形 点在三角形 破疑点AD  BC②“三角形的三条高不相交但三角形的三条高所在直线交于一点”， 当是锐角三角形时， 这 ；当是直角三角形时，这点在三角形 上；当是钝角三角形时，这三角形的高线的理解 三角形的高是线段， 不是直线， 它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上． 1、 三角形的三条高在( A．三角形的内部 C．三角形的边上 四．三角形的中线 (1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线如图（2） (2)性质特点： ①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如图(2)， )． B．三角形的外部 D．三角形的内部、外部或边上 AD 是 BC 边上的中线  BD＝CD(或 BD＝2BC，DC＝2BC)．②一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐 角三角形 、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点． 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段， 它是一个顶点和对边中点的连 1 1线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．31、如图，AE 是△ABC 的中线，EC＝6，DE＝2，则 BD 的长为1 题图 五、三角形的角平分线（3）(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线． (2)性质特点： ①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如图（3） ， AD 是△ABC 的角平分线1  ∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC，或∠BAC=2∠1=2∠2)． 2②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、 直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部一点． 破疑点 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段， 角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上． 1、下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线、高和角平分线； ④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．③④ B．③ C．②③ D．①④ )． B．三角形的高是一条垂线 D．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部2、下列说法正确的是(A．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线相交于一点3、如图, ABC 中, AE 是中线, AD 是角平分线, AF 是高,填空: (1) BE  ________  1 __________； 2 (3) AFB  _________  90 ； (2) BAD  _____ ___  1 _________； 2 (4) SABC  _________________. ,4 、如图 , ABC 中 , ACB  90 , AB  6, CD 为中线 , CE 平分 ACB , 则 DB ACE  _______________43 题图4 题图5、如图，△ABC 的角平分线 AD、中线 BE 相交于点 O，则①AO 是△ABE 的角平分线； ②BO 是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确 的有_________5 题图6 题图6、△ABC 中，AD⊥ BC，AE 平分∠ BAC 交 BC 于点 E,∠ B= 30°，∠ C=70°，求∠ EAD六、三角形的稳定性 (1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这 个性质叫做三角形的稳定性． (2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后 它的内角度数、边长不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是 用三角形做支架的． 1、在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条 EF 固定矩形门框 ABCD 的情形．这种做 法根据( )．1 题图 A．两点之间线段最短52 题图 B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角 ）2、 用八根木条钉成如图所示的八边形木架， 要使它不变形， 至少要钉上木条的根数是 （ A．3 根 B．4 根 C．5 根 D．6 根 3、下列图中具有稳定性的是（ ）4、 下 列 图 形 中 ， 不 具 有 稳 定 性 的 是 （）A．B．C．D．5、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 （ ） B．垂线段最短 D．两直线平行，内错角相等 ） C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条A．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 6、不是利用三角形稳定性的是（ A．自行车的三角形车架B．三角形房架7、 人 站 在 晃 动 的 公 共 汽 车 上 ． 若 你 分 开 两 腿 站 立 ， 则 需 伸 出 一 只 手 去 抓 栏 杆 才 能站稳，这是利用了 .8、 空 调 安 装 在 墙 上 时 ， 一 般 都 会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上 ， 这 种 方 法 应 用 的数学知识是 .9 题图10 题图9 、如 图 所 示 ，建 高 楼 常 需 要 用 塔 吊 来 吊 建 筑 材 料 ，而 塔 吊 的 上 部 是 三 角 形 结 构 ， 这是应用了三角形的哪个性质？答： ． （填“稳定性”或“不稳定性”）610、如图，是边长为25cm 的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的．七、三角形的高、中线、角平分线 三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常 用到，是必须掌握的基本技能． 高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对 边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．1.三角形的角平分线、中线、高线都是（ A.线段 B.射线 C.直线） D.以上都有可能 ） D.都有可能2.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 ）3. 不一定在三角形内部的线段是（ A．三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高 ）D.三角形的中位线4．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ A．三角形的高 B．三角形的角平分线C．三角形的中线 D．无法确定 ） ④三6． 在 三 角 形 中 ， 交 点 一 定 在 三 角 形 内 部 的 有 （ ①三角形的三条高线 角形的外角平分线．7②三角形的三条中线③三角形的三条角平分线A．①②③④B．①②③C．①④D．②③ ）7.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 （ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 八、三角形高的应用 D.不能确定高的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是 求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直 角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向． 解技巧 巧证直角背景下两锐角相等 图形中含有高时， 经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律． 1、如图,在△ABC 中，∠ACB=900,CD 是 AB 边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, 求(1) △ABC 的面积；(2)CD 的长. CADB2、如图，CM 是的 AB 边上的中线， （1）作出△AMC 的边 AM 上的高；若△AMC 的面积 为 1 2，且边 AM 上的高为 4，求 AB 的长。