2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题及详细解答

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案、选择题(共 5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的 •请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分)j- = 10 a+b1.若「C则匚的值为().1121110 210 (A )［一(B ) 11(C) 21(D) 1 .a+b a .-+ 1 20+l 210解: L-b+cl + £b1 + — 1011代数式变形，同除 b1 】-a^ab+ir + 2 = 02•若实数a , b 满足二，贝y a 的取值范围是().(A ) al _(B ) a ：4 ( C ) a < 一或 a >4 (D ) _w a <4解.Cb' -处 +—© + 2 = 0因为b 是实数，所以关于 b 的一元二次方程_A = (p)i -4x1x(—盘+ 2)2>0,解得 a w -2 或 a > 4.方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式则AD 边的长为()解：D 如图，过点A , D 分别作AE DF 垂直于直线BC,垂足分别为E, F .的判别式 3.如图，在四边形ABC ［中, / B= 135,BC =L'■■: ,CO —f ',(D ),/ C = 120 °, AB=(A) - j'1■由已知可得BE=AE= J . , C =?述,DI 2J .,于是 EF = 4+ JI .过点A 作AGL DF 垂足为G 在Rt △ AD (中，根据勾股定理得AD 」一"「"】：A —匸:=_丨一,；勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4.在一列数 ……中，已知冷二，且当k >2时,疋-1~4~因为 2010=4X 502+2,所以 尬(I =2. 高斯函数；找规律。

5•如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABC 啲顶点坐标分别为 A (1, 1), B( 2, —1), C (-2, - 1), D (- 1, 1). y 轴上一点 P ( 0, 2)绕点 A 旋转 180。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，可得…………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.（第11题）解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． ⎧⎨⎩＝B '(2-，2)是CO 的延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =. 所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， …………（15分）故20分）。

2010年全国初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.【答】B.因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数，从而由1010()()1a b a c -+-=可得 ||1,||0a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩ 若||1,||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =，从而|||a b b c c -+-=|||a b b a a a -+-+-=. 若||0,||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a b =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=.因此，||||||a b b c c a -+-+-=2.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.【答】C.32(3),||(2)55c b c =+=-，而||0b ≥，所以2c ≤. 当2c =时，可得9,0a b ==，满足已知等式.所以c 可能取的最大值为2.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 【答】C. 由1110a b b a--++=可得b a b ab a +=++22，则 2()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++-①由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a 另一方面，由22()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4)(2b a ab +≤，结合①式可得14a b a b +≥+-，所以.34≤+b a 因此，413a b <+≤.4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.【答】A.设m 是方程2310x x --=的一个根，则2310m m --=，所以231m m =+.由题意，m 也是方程420x ax bx c +++=的根，所以420m am bm c +++=，把231m m =+代入此式，得22(31)0m am bm c ++++=，整理得2(9)(6)10a m b m c +++++=. 从而可知：方程2310x x --=的两根也是方程2(9)(6)10a x b x c +++++=的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)a x b x c k x x +++++=--（其中k 为常数），故961131a b c +++==--，所以333,10b a c a =--=--.因此，2(333)2(10)13a b c a a a +-=+-----=-.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.【答】 B.如图，延长AB 到F ，使BF =ED ，连CF ，EF ．∵ ︒=∠=∠60AED EAB ，∴︒=∠60EDA ，︒=∠=∠120CED EDB ，BF ED AE AD ===，DF BF DB DB ED CE =+=+=，于是，AF AC =，︒=∠=∠60AFC ACF ．又∵︒=∠120EDB ，CDE CDB ∠=∠2，∴ ︒=∠︒=∠80,40CDB CDE ,︒=∠-∠-︒=∠20180EDC CED ECD ．在△CDA 和△CBF 中，CA=CF ，︒=∠=∠60CFB CAD ，AD=BF ，∴ △CDA ≌△CBF ， ∴ ︒=∠=∠20ACD FCB ．于是，︒=∠-∠-︒=∠2060FCB CDE DCB ．6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则123a a a a ++++（ ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变n a 的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210⨯，1在十位和个位上出现的次数均为22101⨯+，因此，1出现的总次数为3210210321602+⨯⨯+=.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210⨯，2在个位上出现的次数为22101⨯+，因此，2出现的总次数为21121031612+⨯⨯+=.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)k k =出现的总次数均为221031601⨯⨯+=.因此11a a ++＝28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .【答】 13.由3319x y +=得2()[()3]19x y x y xy ++-=，把1x y +=代入，可得6xy =-. 因此，,x y 是一元二次方程260t t --=的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和2-，所以22223(2)13x y +=+-=.2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ． 【答】 19． 由题意知，点C 的坐标为),0(c ，c OC =．设B A ,两点的坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，则21,x x 是方程02=++c bx x 的两根． 由根与系数的关系得c x x b x x =-=+2121,．又︒=∠30CAO ，则c AC AB c AC 323,2===． 于是，c AC OA x 330cos 1=︒==，c AB OA OB x 332=+==． 由c c x x ==2219，得91=c ． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝______．【答】作P E ⊥AB ，交AB 于点E ，作P F ⊥BC ，交BC 于点F ，设,PE mPF n ==，分别在△PAE 、△PCF 中利用勾股定理，得22(5)5m n +-= ①22(5)25m n -+= ②②－①，得10()20n m -=，所以2m n =-，代入①中，得27120n n +-=，解得13n =，24n =. 当3n =时，21m n =-=，在Rt △PAE中，由勾股定理可得PB ==当4n =时，22m n =-=，此时PE AE >，所以点P 在△ABC 的外面，不符合题意，舍去.因此PB =4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】 15.将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.C于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ …………10分 （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. ……………………20分二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ， …………10分所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.………………………………20分又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线. NCA又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线. ……………………………25分三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-错误！未找到引用源。

2010年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2010•江西）计算﹣2﹣6的结果是（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【考点】：有理数M115【难易度】：容易题【分析】：根据有理数的减法法则得：﹣2﹣6=（﹣2）+（﹣6）=﹣（2+6）=﹣8．【解答】：答案A．【点评】：本题考查了有理数的减法运算法则，属于送分题，难度不大，熟知其运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，可直接得出答案。

2．（3分）（2010•江西）计算﹣（﹣3a）2的结果是（）A．﹣6a2B．﹣9a2C．6a2D．9a2【考点】：整式运算M11N【难易度】：容易题【分析】：由积的乘方运算，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，则﹣（﹣3a）2=﹣（﹣3）2×a2=﹣9a2．【解答】：答案B．【点评】：此题考查了积的乘方的运算，难度不大，整式的运算是中考常见的考点，只要熟练掌握运算法则，运用公式即可直接解题．3．（3分）（2010•江西）沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】：视图与投影M414【难易度】：容易题【分析】：由题意，找到从上面看所得到的图形即是答案，因为是从圆柱体上底面直径截去一部分，则显然视图与圆有关，从直径处分为两个半圆．【解答】：答案D．【点评】：本题考查了几何体的三视图的识别，属于基础题，难度不大，需要熟记：几何体正视图、左视图、俯视图是从物体的正、左侧、上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线．4．（3分）（2010•江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】：等腰三角形性质与判定M327；三角形三边的关系M322【难易度】：容易题【分析】：因为腰长与底边不确定，所以分①7为腰长，3为底边，②7为底边，3为腰长两种情况，则①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为7，②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，3+3=6＜7，根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以不能组成三角形．【解答】：答案B．【点评】：本题了三角形满足的条件以及等腰三角形的性质，难度不大，基本图形的性质是中考必考知识点，注意在没有边角关系，需要进行分类讨论．5．（3分）（2010•江西）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．﹣3＜x＜3 D．无解【考点】：一元一次不等式（组）的解及解集M12K【难易度】：容易题．【分析】：先求出各不等式的解集，再求其公共部分即为不等式组的解集．则由﹣2x＜6，化系数为1解得，x＞﹣3，由﹣2+x＞1，移项、合并同类项得，x＞3，故原不等式组的解集为：x＞3．【解答】：答案B．【点评】：此题考查了一元一次不等式组的解集，属于基础题，难度不大，是中考的常规题目，正确解出不等式的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集时，先求出各不等式的解集。

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

2010 年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分） 1.B 2.A 3.C 4.C 5.D二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6. 7.8% 7. +, 1 8. 51 9. 100 10. 48t << 三、 解答题（共4小题，每小题15分，共60分）11．解：（1）设y kx b =+，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320. ∴4004,3205.k b k b =+⎧⎨=+⎩解之，得80,720.k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数关系式为80720y x =-+ ………………… 5分 （2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y ＝380时，38080720x =-+，得 x ＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元), 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少. .……………………………… 10分（3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则W ＝xy ＝x （－80x +720） ＝2980()16202x --+，∴当 x ＝92时，W 最大值＝1620，要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a ≥W 最大值+780，即 50a ≥1620+780， 解之，得 a ≥48.所以a 至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯……………1 5分12．证明：连结CG. ∵BD ⊥AC ，EF 垂直平分BC ，∴BG=CG ，BE=EC=21BC ∵DF=21BC ，∴DF=BE .……………………………… 5分在△BEG 和△FDG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FD BE FDG BEG FGD BGE∴△BEG ≌△FDG （AAS ）∴∠F=∠GBE=∠GCB ， GE=GD .………………… 10分 而GE ⊥BC ，GD ⊥AC ，∴CG 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠F. ………………… 15分13．解：（1） 当x =－1和x =3时， y 值相同 , 即y =a －b +c =9a +3b +c . ∴b=－2a , 则 x M = －1222=--=aa ab .∵ 点M 在y=3x －7上 , ∴ y M = 3－7=－4 , ∴M(1,－4) . 设y = a (x －1)2－4 ,∵当x = 4时, y =3×4－7= 5 .把当x = 4 , y = 5 代入上式 , 5 = a （4－1）2－4 , a=1.∴ y = (x －1)2－4 或y =x 2－2x －3 . .……………………………… 4分（2） 当x = 0时 y =－3 , ∴ C(0,－3).当y = 0时 x 1=－1, x 2=3 . ∴ A(－1，0) , B （3，0）.∴ 直线BM 为 y=2x －6 . ∵ x P = OQ = t , ∴ y P = 2t －6.∴ S = S △AOC +S 梯OCPQ =12 ×1×3+12×（3＋│2t －6│）×t = 32 +9-2t 2 ·t = －t 2＋92 t ＋32. .……………………………… 8分 （3）P 1（2,－2）, P 2（75 ,－165 ）, P 3（520102,5105-+）……………………… 12分 （4）（－1，－3）或 (910 ,－2710 ) 、（－110 ,310） …………………………… 15分 14．解：(1) ∵AE ⊥B D ，∴BE⌒ =DE ⌒ ，∴∠E B D=∠EC B . ∵∠A B H=∠D B H ，∠B HE=∠EC B +∠C B H ，∠H B E=∠D B H+∠E B D ，∴∠B HE=∠H B E. ∴B E=HE. ……………………………5分(2) 连结QC 、T B ，则∠B CQ+∠C B Q=90°，又∠B DQ+∠ATD=90°，而∠B CQ=∠B DQ ，∴∠C B Q=∠ATD=∠AT B ，∴ΔA B G ∽ΔAT B ，∴A B 2=A G•AT ， ∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴B E=12 EC ，∴ΔB EO ∽ΔC B E ，∴OE BO =BE EC =12设⊙A 的半径为R ，由A B 2－OA 2=B O 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴A T•AG=A B 2=25. ……………………………… 10(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔB AG ∽ΔTAD)(3)答：②MN R的值不变. 证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、B M ，则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ，∴MN R =2NK O 1N=2sin ∠NO 1由直线y=34x +3 得 O B =OD=4，OM ⊥B D ，∴∠B MO=∠DMO ，又∠B MO=∠A B M+∠B AM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ，∵∠A B M=∠PNM ，∴∠MPN=∠B AM=∠NO 1K ，MN R=2sin ∠B AM=2×BO AB = 85 ， 所以 MN R 的值不变，其值为 85. ……………15分 Q O H G F E D C B A x y T。

机密2010年6月19日江西省2010年中等学校招生考试数学试题卷说明：1．本卷共有六个大题，25个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项． 1．（2010江西，1，3分） 计算 －2－ 6的结果是( )A ．－8B ． 8C ． －4D ． 4【分析】把有理数的减法运算转化为加法运算，即8)6(262-=-+-=--【答案】A【涉及知识点】有理数的减法运算【点评】本题属于基础题，主要考查学生对有理数的加减运算是否掌握，考查知识点单一 【推荐指数】★2． （2010江西，2，3分） 计算 －（－3a)2的结果是( )A ．－6a 2B ． －9a 2C ． 6a 2D ． 9a 2【分析】根据“积的乘方等于积中各因式的乘方的积”可知22229)3()3(a a a -=--=-- 【答案】B【涉及知识点】积的乘方运算【点评】本题属于基础题，主要考查幂的运算，考查知识点单一，但对负数的幂运算容易出错。

【推荐指数】★3．（2010江西，3，3分） 沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是( ) 3． 沿圆柱体上底面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是( )A B C D(第3题)【分析】根据俯视图的定义，沿圆柱体上面直径截去一部分的物体后，它的俯视图仍然是一个圆，且增加了直径这条边。

【答案】D【涉及知识点】三视图【点评】本题考查了三视图的概念，题小但新颖且有一定思考，学生很容易错选A 或B 。

【推荐指数】★★★★4． （2010江西，4，3分） 已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A ．8B ．7C ． 4D ．3【分析】等腰三角形的两条边长分别是7和3，第三边要么是7，要么是3，但当第三边为3时构不成三角形，所以第三边只能是7. 【答案】B【涉及知识点】等腰三角形，三角形三边关系【点评】本题把等腰三角形知识与三角形三边关系有机地结合在一起，简单地综合，同时考查了数学分类思想。

2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第 一 试一. 选择题（每小题7分，共42分）1的结果是（ ）．()A()B、2； ()C 、2； ()D 、12．答案：D解：22131(1=++=+，25(141)-+=-=，2241)31)2222⎛++=+=== ⎝⎭，因此原式12=． 2、ABC ∆是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形，H 是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．()A 、12； ()B 、13； ()C 、26； ()D 、30．答案：C ．解：设3AB =，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．3、设0ab ≠，且函数21()24f x x ax b =++与22()42f x x ax b =++有相同的最小值u ；函数23()24f x x bx a =-++与24()42f x x bx a =-++有相同的最大值v ；则u v +的值( ).()A 、必为正数； ()B 、必为负数； ()C 、必为0； ()D 、符号不能确定．答案：C .解：2221()()44f x x a b a b a =++-≥-，2222()(2)2424f x x a b a b a =++-≥-， 由22424b a u b a -==-，得223b a -= ……①2223()()44f x x b a b a b =--++≤+，2224()(2)2424f x x b a b a b =--++≤+；由22424a b v a b +==+，得223a b = ……②②-①得，222()3()a b b a +=-，所以0a b += ……③，或23b a -=……④ 若0a b +=,则222()(65)(65)()[65()]0u v b a a b a b b a +=-++=++-=；若23b a -=，据②④，222()33b b -=，即2(31)30b -+=，矛盾！ 4、若关于x 的方程227100x ax a ++-=没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）．()A 、22320x ax a ++-=； ()B 、22560x ax a ++-=； ()C 、2210210x ax a ++-=； ()D 、22230x ax a +++=．答案:A .解:由方程227100x ax a ++-=无实根,得其判别式Δ0<,于是25a <<,方程,,,A B C D 的判别式分别是:4(1)(2)A a a ∆=--,4(2)(3)B a a ∆=--,4(3)(7)C a a ∆=--,4(1)(3)D a a ∆=+-,显然,对于满足25a <<的每个a 值,可以确保0A ∆>,但不能保证,,B C D ∆∆∆非负,（即使得方程,,B C D 无实根的a 的区间与区间(2,7)都有重叠部分，而使方程A 无实根的a 的区间(1,2)与区间(2,7)无重叠部分），所以A 必有实根,其余方程不一定有实根.5、正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于N ；若AF 平分BAC ∠，DE AF ⊥；记BE x OM =,BNy ON=, CFz BF=,则有（ ）.()A 、x y z >>； ()B 、x y z ==；()C 、x y z =>； ()D 、x y z >=． 答案:D解:由角平分线,BN AB AC CFON AO AB BF====,即y z =,又AME ∆的角分线与高重合,则AME ∆为等腰三角形，AM AE =，作OP ∥AB ，交OE 于P ，则OP 为DBE ∆的中位线，OMP ∆∽AME ∆，2BE BEx OM OP===，所以x y z >=.6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）． ()A 、4种； ()B 、 8种； ()C 12种、； ()D 、16种． 答案：B解：相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，于是8的两侧为3,5，而7的两侧为4,6；剩下两数1,2必相邻，且1与4,6之一邻接；考虑三个模块[4,7,6],[5,8,3],[1,2]的邻接情况，得到8种填法．EFDBE二、 填空题（每小题7分，共28分）1、若k 个连续正整数之和为2010，则k 的最大值是 ． 答案：60．解：设(1)2010(1)(2)()2k k n n n k kn +=++++++=+，则(21)4020k n k ++=， 注意21k n k <++，而2402023567=⨯⨯⨯，为使k 值最大，当把4020表成最接近的一对因数之积，为40206067=⨯，所以60k =．2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 .答案：49S π=-解：单位正三角形内切圆半径为r =其面积为212s r ππ==，而O 为其中心，故OD OH AH r ===，因此，AEF ∆与ABC ∆的相似比为1:3，于是每个小圆面积等于⊙O 面积的19，故四个圆面积之和为439s π=，因此，所求三角形剩下部分的面积为9S π=． 3、圆内接四边形A B C D 的四条边长顺次为：2,7,6,9AB BC CD DA ====，则四边形的面积为 . 答案：30.解：由于2222768592+==+，即2222BC CD DA AB +=+，所以BCD ∆与DAB ∆都是直角三角形，因此，四边形面积1(7692)302BCD DAB S S =+=⋅⨯+⨯=. 4、在123520±±±±±中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 ． 答案：24个．解：1,2,3,5,20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数；由1,2,3,5可以得到绝对值11≤的所有奇数：这是由于11235=--+，31235=-+-+，51235=+-+，71235=-++，91235=-+++，111235=+++；以上各式通乘1-，可得1,3,5,7,9,11------的表达式；而据题意，表达式中，1,2,3,5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是±20加或减135,7,9,11，，，即得到十二个正奇数9,11,13,,31 和十二个负奇数9,11,,31--- ；因此可表出的数共计24个．第 二 试一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长．解：设直角边为,a b ，（a b <）则2,4a b k ab k +=+=，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设()()22(2)166613221648k k n k n k n +-=⇒-+--=⨯=⨯=⨯，66,k n k n -+>--63261k n k n -+=⎧∴⎨--=⎩或61662k n k n -+=⎧⎨--=⎩或63261k n k n -+=⎧⎨--=⎩解得1452k =(不是整数，舍去)，2315,12k k == 215k =时，17,605,12,13a b ab a b c +==⇒=== 312k =时，14,486,8,10a b ab a b c +==⇒===二、（25分）如图，自ABC ∆内的任一点P ，作三角形三条边的垂线：,,PD BC PE CA PF AB ⊥⊥⊥，若,BD BF CD CE ==；证明：AE AF =．证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直，则其两组对边的平方和相等． 连,,PA PB PC ，则有2222PA BF PB AF +=+；2222PB CD PC BD +=+，2222PC AE PA CE +=+；三式相加得222222AE CD BF AF CE BD ++=++， 利用条件,BD BF CD CE ==，代入上式，得AE AF =．三、（25分）已知,,a b c222a b c a b c ++++为整数．0c -≠，而==20b ac -=，于是 222222()2()()2()a b c a b c ab bc ac a b c ab bc b ++=++-++=++-++2()2()()()a b c b a c b a b c a b c =++-++=++-+， 因此，222a b c a b c a b c++=-+++为整数．。

2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CEDB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++=L（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ，PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ① 令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ② 由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△A CP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，NC A两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=.第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ① 令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ② 由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m -+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。