初等数论练习题

《初等数论》选修结业试题班级 姓名； 考籍号；一、单项选择题(每题5分，共30分) 1、=),0(b （ ）. A b Bb- CbD 02、如果a b ，b a ，则( ). Aba = Bba -= Cba ≤ Dba ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 Dba +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 二、计算题（每题10分，共30分） 1、 求24871与3468的最大公因数?2、 求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题（每题10分，共40分） 1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 2、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.答案一、单项选择题C D C A C A 二、计算题 3、求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85 102=85⨯1+17 85=17⨯5,所以,(24871,3468)=17. 4、求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]=173911768⨯=104⨯391=40664.三、证明题 5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,br '≤0.所以rbq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于br ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r'=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()bq a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,br ≤0.6、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.证明： 因为62332nnn ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332nnn ++是整数.7、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 8、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.。

初等数论习题与答案、及测试卷1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。

∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证：)12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数）b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax ba +∴故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2 ,2-=-==，则有22220b t b q b q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2 1,21+-=-=+=，则有21212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 01,21++=-=+-=则同样有 2b t ≤综上存在性得证下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b 为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+?=+=?2,2,222211b t b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=n14131211+++++，取M=p k 75321-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。

《初等数论》习题集第1章 第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论练习题1、()=320011 ()10，()=107137 ()2。

2、()=531404 ()10，()=1021580()8 3、比较()21011011与()41203的大小。

4、求证：对于任意整数n m ,，必有1616+≠-n m 。

5、如果n 是一个自然数，则()1+n n 是 （填“奇数”或“偶数”）6、若b a ,两数的和与积均为偶数，则b a ,的奇偶性是 。

7、若a 除以b 商c 余r ，则am 除以bm 商 余 。

8、设4>n ，且()()2434+-n n ，求n 。

9、设()223b a +，证明a 3且b 310证明：若()()pq mn p m +-，则()()np mq p m +-。

11、若23++n m 是偶数，试判定()()200311+--n m 是奇数还是偶数。

12、求证：若b a ，a b ，则b a ±=。

11、设b a ,是正整数，且b a ≤，若5776=ab ，()31,=b a ，求b a ,。

13、设b a ,是正整数，且b a ≤，若50=+b a ，()5,=b a ，求b a ,。

14、如果p 是素数，a 是整数，则有()1,=p a 或者____ ___ 15、()=204,360 ，[]=204,360 。

16、若()()24,4,==b a ，则()=+4,b a 。

17、写出1500的标准分解式是，60480的标准分解式为 18、541是 。

（填“质数”或“合数”）19、设()1,=n m ，求证：()()()n d m d mn d =，()()()n S m S mn S =。

20、计算()430d ，()430S 。

21、求！100末尾0的个数。

22、求13除486的余数。

23、写出模9的一个完全剩余系，使其中每个数都是奇数。

24、写出模9的一个完全剩余系，使其中每个数都是偶数。

25、若()1,=m a ，求证：若x 通过模m 的简化剩余系，则ax 通过模m 的简化剩余系。

初等数论练习题一、单项选择题2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B 8、A 9、A 11、B 二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

初等数论试卷一一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设为实数，为的整数部分，则( )Ａ．； Ｂ．；Ｃ．； Ｄ．．２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．７．的充分必要条件是( )Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．８．设，同余式的所有解为( )Ａ．或 Ｂ．或Ｃ．或 Ｄ．无解．9、设f(x)=其中为f(x)的一个解则:( )A．B．C．D．10．则同余式：（）A．有时大于p但不大于n; B．可超过pC．等于p D．等于n11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( )A．3 B．11 C．13 D．2312．若雅可比符号，则 ( )A．B．;C．;D．．13．( )A． 4 B． 3 C． 2 D． 114．模12的所有可能的指数为;( )A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D．无法确定15．若模m的单根存在，下列数中，m可能等于: ( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 1216．对于模5，下列式子成立的是: ( )A． B．C． D．17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B．欧拉函数；C．不超过x的质数的个数；D．除数函数；18．若对模的指数是，>0，>0，则对模的指数是( )A． B． C． D．无法确定19．，均为可乘函数，则( )A．为可乘函数； B．为可乘函数C．为可乘函数； D．为可乘函数20．设为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A． B． C． D．二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45中的最高次n＝ ____________________；22．多元一次不定方程：，其中，，…，，N均为整数，，有整数解的充分必要条件是___________________；．有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是_____；24．设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson）定理：________________________________________；26．勒让德符号=________________________________________；27．若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28．在模的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29．设，为模的一个原根，则模的一个原根为_____________；30．_________________________________。

自考初等数论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C2. 一个数的最小素因子是3，那么这个数的最小公倍数是：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：C3. 计算 \((2^3) \div 2^2\) 的结果是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：A4. 一个数的质因数分解是 \(2^2 \times 3^3\)，那么这个数的约数个数是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：D5. 如果 \(p\) 是一个素数，那么 \(p^2 - 1\) 可以分解为：A. \((p-1)(p+1)\)B. \(p(p-1)\)C. \((p+1)(p-1)\)D. \(p^2 - 1\)答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个数 \(n\) 能被3整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被____整除。

答案：32. 一个数 \(a\) 与 \(b\) 的最大公约数（GCD）是 \(d\)，那么\(a \times b\) 的最大公约数是______。

答案：d3. 一个数 \(n\) 能被9整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被______整除。

答案：94. 一个数 \(n\) 能被11整除，那么 \(n\) 的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是______的倍数。

答案：115. 一个数 \(n\) 能被7整除，那么 \(2n + 4\) 能被______整除。

答案：7三、解答题（每题10分，共20分）1. 求 \(2^{16} - 1\) 的所有素因子。

答案：\(2^{16} - 1 = (2^8 + 1)(2^8 - 1) = (2^4 + 1)(2^4 -1)(2^8 + 1) = (2^2 + 1)(2^2 - 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1) = 3 \times 15 \times 17 \times 15 \times 255\)，所以素因子为3, 5, 17, 255。

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、 =-1。

⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m pmn pq，则m pmq np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2 p（a > 0是整数，p为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12n4 2n3 11n2 10n，nZ。

2. 设3a2 b2，证明：3a且3b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2不可能成立。

5. 设a是自然数，问a4 3a2 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，yZ，172x 3y，证明：179x 5y。

5. 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c，证明：ab。

6. 设n是正整数，求的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a b)[a, b] = a[b, a b]。

4. 求正整数a，b，使得a b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。

5. 设a，b，c是正整数，证明：。

6. 设k是正奇数，证明：1 2 91k 2k 9k。

第 5 节1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。

2. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x 162y = (1387, 162)。

3. 计算：(27090, 21672, 11352)。

4. 使用引理1中的记号，证明：(Fn + 1, Fn) = 1。

初等数论试题及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A2. 一个数的因数包括它自己吗？A. 是B. 否答案：A3. 一个数的倍数包括它自己吗？A. 是B. 否答案：A4. 两个连续整数的乘积一定是合数吗？A. 是B. 否答案：B5. 一个数的最小倍数是多少？A. 它自己B. 2C. 1D. 0答案：A6. 一个数的最大因数是多少？A. 它自己B. 2C. 1D. 0答案：A7. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A8. 一个数的质因数分解中，质因数的个数至少有几个？A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A9. 以下哪个数是素数？A. 1B. 2C. 9D. 10答案：B10. 一个数的因数个数是奇数还是偶数？A. 奇数B. 偶数答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的最小质因数是______。

答案：22. 一个数的最小非零因数是______。

答案：13. 一个数的最大因数是______。

答案：它自己4. 一个数的最小倍数是______。

答案：它自己5. 一个数的倍数个数是______。

答案：无限三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：对于任意的正整数n，2n总是偶数。

证明：假设n为任意正整数，那么2n = 2 * n。

因为2是偶数，所以2n也是偶数。

2. 证明：对于任意的正整数n，n^2 - 1是奇数。

证明：假设n为任意正整数，那么n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)。

因为n - 1和n + 1是连续的整数，所以它们中必有一个偶数和一个奇数。

因此，它们的乘积是奇数。

3. 找出100以内的所有质数。

答案：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 974. 证明：如果p是质数，那么p^2 - 1是合数。