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初等数论练习题初等数论练习题信阳职业技术学院2010年12月初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。
2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。
3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。
4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。
5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。
6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。
7、18100被172除的余数是___________。
8、??10365 =___________。
9、若p 是素数，则同余方程x p 11(mod p )的解数为。
二、计算题 1、解同余方程：3x 211x200 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
三、证明题1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明：（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a≡0 (mod p)；（2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。
2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n2a ≡1(mod 2n+2)。
3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。
证明：k p 1C - （-1 ）k(mod p )。
4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。
初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。
2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。
3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。
4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 rb.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
《初等数论》习题Gonao第一章 整除理论第一节 数的整除性例1 设r 是正奇数，证明：对任意的正整数n ，有n + 2|/1r + 2 r + " + n r 。
例2 设A = { d 1, d 2, ", d k }是n 的所有约数的集合，则B =}{,,,21kd n d n d n "也是n 的所有约数的集合。
例3 以d (n )表示n 的正约数的个数，例如：d (1) = 1，d (2) = 2，d (3) = 2，d (4) = 3，" 。
问：d (1) + d (2) + " + d (1997)是否为偶数？例4 设凸2n 边形M 的顶点是A 1, A 2, ", A 2n ，点O 在M 的内部，用1, 2, ", 2n 将M 的2n 条边分别编号，又将OA 1, OA 2, ", OA 2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相应的线段的长度，证明：无论怎么编号，都不能使得三角形OA 1A 2, OA 2A 3, ", OA 2n A 1的周长都相等。
例5 设整数k ≥ 1，证明：(ⅰ) 若2k ≤ n < 2k + 1，1 ≤ a ≤ n ，a ≠ 2k ，则2k |/a ； (ⅱ) 若3k ≤ 2n − 1 < 3k + 1，1 ≤b ≤ n ，2b − 1 ≠ 3k ，则3k |/2b − 1。
例6 证明：存在无穷多个正整数a ，使得n 4 + a （n = 1, 2, 3, "）都是合数。
例7 设a 1, a 2, ", a n 是整数，且a 1 + a 2 + " + a n = 0，a 1a 2"a n = n ，则4⏐n 。
例8 若n 是奇数，则8⏐n 2 − 1。
例9 d (1)2 + d (2)2 + " + d (1997)2被4除的余数是多少？例10 证明：方程a 12 + a 22 + a 32 = 1999 无整数解。
初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、 =-1。
⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
《初等数论》习题集1. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
2. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
3. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
4. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2+ p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
5. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
6. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
7. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
8. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2+ 2不可能成立。
9. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2+ 9是素数还是合数？10. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
11. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
12. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
13. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n nn n 的最大公约数。
14. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
15. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
16. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c cb b ac b a a c c b b a c b a =。
17. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k+ 2k+ + 9k。
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
《初等数论》第三版习题解答第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则q1a1q2a2证明：qnan是m得倍数．a1,a2,an都是m的倍数。
pn使a1p1m,a2p2m,存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,anpnm,qn是任意n个整数qnanq1a1q2a2q1p1mq2p2m(p1q1q2p2即q1a1q2a2qnpnmqnpn)mqnan是m的整数2．证明3|n(n1)(2n1)证明n(n1)(2n1)nn(1n)(2nn(n1)(n2)n(1n)n(又n(n1)(n2)，(n1)n(n2)是连续的三个整数故3|n(n1)(n2),3|(n1)n(n1)3|n(n1)(n2)(n1)n(n1)从而可知3|n(n1)(2n1)3．若a某0by0是形如a某by（某，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则(a某0by0)|(a某by)．1/77证：a,b不全为0在整数集合Sa某by|某,yZ中存在正整数，因而有形如a某by的最小整数a某0by0某,yZ，由带余除法有a某by(a某0by0)qr,0ra某0by0则r(某某0q)a(yy0q)bS，由a某0by0是S中的最小整数知r0a某0by0|a某bya某0by0|a某by（某,y为任意整数）a某0by0|a,a某0by0|ba某0by0|(a,b).又有(a,b)|a，(a,b)|b(a,b)|a某0by0故a某0by0(a,b) 4．若a，b是任意二整数，且b0，证明：存在两个整数，t使得abt,|t||b|2成立，并且当b是奇数时，，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？证：作序列即存在一个整数q，使2222若b0则令,tabaq2bqb，则同样有t22(ii)当q为奇数时，若b0则令q1q1,tabab，则有222/77下证唯一性当b为奇数时，设abtb1t1则tt1b(1)b而tbb,t1tt1tt1b矛盾故1,tt122b为整数2当b为偶数时，,t不唯一，举例如下：此时3bbbbbb1b2(),t1,t122222§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设d是a，b的任一公因数，d|a，d|b由带余除法abq1r1,br1q2r2,rnqn1,0rn1rnrn1(a,b)rnd|abq1r1，d|br1q2r2，┄,d|rn2rn1qnrn(a,b),即d是(a,b)的因数。
《初等数论》习题集1. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
2. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
3. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
4. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2+ p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
5. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
6. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
7. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
8. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2+ 2不可能成立。
9. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2+ 9是素数还是合数？10. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
11. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
12. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
13. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n nn n 的最大公约数。
14. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
15. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
16. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c cb b ac b a a c c b b a c b a =。
17. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k+ 2k+ + 9k。
18. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
19. 计算：(27090, 21672, 11352)。
20. 使用引理1中的记号，证明：(F n + 1, F n ) = 1。
21. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？ 22. 记M n = 2n - 1，证明：对于正整数a ，b ，有(M a , M b ) = M (a , b )。
23. 写出22345680的标准分解式。
24. 证明：在1, 2, , 2n 中任取n 1数，其中至少有一个能被另一个整除。
25. 证明：n1211+++（n ≥ 2）不是整数。
26. 设a ，b 是正整数，证明：存在a 1，a 2，b 1，b 2，使得 a = a 1a 2，b = b 1b 2，(a 2, b 2) = 1，并且[a , b ] = a 2b 2。
27. 求使12347!被35k整除的最大的k 值。
28. 设n 是正整数，x 是实数，证明：∑∞=-+11][22r rr n = n 。
29. 设n 是正整数，求方程 x 2 - [x 2] = (x - [x ])2 在[1, n ]中的解的个数。
30. 证明：方程 f (x ) = [x ] + [2x ] + [22x ] + [23x ] + [24x ] + [25x ] = 12345没有实数解。
31. 证明：在n !的标准分解式中，2的指数h = n - k ，其中k 是n 的二进制表示的位数码之和。
32. 证明：若2n + 1是素数，则n 是2的乘幂。
33. 证明：若2n - 1是素数，则n 是素数。
34. 证明：形如6n + 5的素数有无限多个。
35. 设d 是正整数，6|/d ，证明：在以d 为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。
36. 证明：对于任意给定的正整数n ，必存在连续的n 个自然数，使得它们都是合数。
37. 证明：级数∑∞=11n np 发散，此处使用了定理1注2中的记号。
38. 求81234被13除的余数。
39. 设f (x )是整系数多项式，并且f (1), f (2), , f (m )都不能被m 整除，则f (x )= 0没有整数解。
40. 已知99∣42762αβ，求α与β。
41. 证明：若2p + 1是奇素数，则 (p !)2 + (-1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。
42. 证明：若p 是奇素数，N = 1 + 2 + + ( p - 1)，则 (p - 1)! ≡ p - 1 (modN )。
43. 证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且 (n - 1)! ≡ -1 (mod n )，则n 是素数。
44. 设m 是整数，4∣m ，{a 1, a 2, , a m }与{b 1, b 2, , b m }是模m 的两个完全剩余系，证明：{a 1b 1, a 2b 2, , a m b m }不是模m 的完全剩余系。
45. 设m 1, m 2, ,m n 是两两互素的正整数，δi （1 ≤ i ≤ n ）是整数，并且 δi≡ 1 (mod m i )，1 ≤ i ≤ n ，δi ≡ 0 (mod m j )，i ≠ j ，1 ≤ i , j ≤ n 。
46. 证明：当b i 通过模m i （1 ≤ i ≤ n ）的完全剩余系时， b 1δ1 + b 2δ2 + + b n δn 通过模m = m 1m 2 m n 的完全剩余系。
47. 设m 1, m 2, , m n 是两两互素的正整数，x i 分别通过模m i 的简化剩余系（1 ≤ i ≤ n ），m = m 1m 2 m n ，M i =im m ，则 M 1x 1 + M 2x 2 + + M n x n 通过模m 的简化剩余系。
48. 设m > 1，(a , m ) = 1，x 1, x 2, ⋯, x ϕ(m )是模m 的简化剩余系，证明：∑==)(1)(21}{m i i m max ϕϕ。
其中{x }表示x 的小数部分。
49. 设m 与n 是正整数，证明：ϕ(mn )ϕ((m , n )) = (m , n )ϕ(m )ϕ(n )。
50. 设a ，b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m 与n ，使得 a ϕ(m ) = b ϕ(n )。
51. 设n 是正整数，证明： (ⅰ) ϕ(n ) >n21； (ⅱ) 若n 是合数，则ϕ(n )≤ n -n 。
52. 证明：1978103 - 19783能被103整除。
53. 求313159被7除的余数。
54. 证明：对于任意的整数a ，(a , 561) = 1，都有a 560 ≡ 1 (mod 561)，但561是合数。
55. 设p ，q 是两个不同的素数，证明：p q - 1+ qp - 1≡ 1 (mod pq )。
56. 将612 - 1分解成素因数之积。
57. 求∑nd d|1。
58. 设f (n )是积性函数，证明：(ⅰ) ∏∑-=np nd p f d f d ||))(1()()(μ(ⅱ) ∏∑+=np nd p f d f d ||2))(1()()(μ。
59. 求ϕ(n )的Mobius 变换。
60. 写出789的二进制表示和五进制表示。
61. 求218的小数的循环节。
62. 证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。
63. 证明：既约正分数nm 的b 进制小数(0.a -1a -2a -3 )b 为有限小数的充要条件是n 的每个素因数都是b 的素因数。
64. 设连分数〈 α1, α2, , αn , 〉的第k 个渐近分数为kk q p ，证明：kk kk a a a a k a a a a a k q p 11100011001200000011110001100121000111313---------==，，65. 设连分数〈 α1, α2, , αn , 〉的第k 个渐近分数为kk q p ，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1121011011011k kk kkq q p p a a a ，k ≥ 2。
66. 求连分数〈 1, 2, 3, 4, 5, 〉的前三个渐近分数。
67. 求连分数〈 2, 3, 2, 3, 〉的值。
68. 解不定方程：7x - 9y = 4。
69. 求13的连分数。
70. 求32+的误差≤ 10 - 5的有理逼近。
71. 求sin18︒的误差≤ 10 - 5的有理逼近。
72. 已知圆周率π = 〈 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, 〉，求π的误差 ≤ 10 - 6的有理逼近。
73. 证明：251+连分数展开的第k 个渐近分数为kk F F 1+。
此处{F n }是Fibonacci 数列。
74. 将方程3x 2 + 2x - 2 = 0的正根写成连分数。
75. 求α = 〈3,2,1 〉之值。
76. 设a 是正整数，求12+a 的连分数。
77. 设无理数d = 〈 a 1, a 2, , a n , 〉的第k 个渐近分数为kk q p ，证明：〉〈=1212,,,,a a aa d n 的充要条件是 p n = a 1q n + q n -1，dq n = a 1p n +p n -1。
78. 设无理数d = 〈 a 1, a 2, , a n , 〉的第k 个渐近分数为kk q p ，且正整数n 使得 p n = a 1q n + q n -1，dq n = a 1p n + p n -1，79. 证明：(ⅰ) 当n 为偶数时，p n ，q n 是不定方程x 2 - dy 2 = 1的解；(ⅱ) 当n 为奇数时，p 2n ，q 2n 是不定方程x 2 - dy 2 = 1的解。
80. 将10517写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。
81. 求方程x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 41的所有正整数解。
82. 求解不定方程组：⎩⎨⎧=+-=++112052732321321x x x x x x 。
83. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？84. 证明：二元一次不定方程ax + by = n ，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1的非负整数解的个数为][][abn abn 或+ 1。
