四年级奥数第4讲 归一问题与归总问题

四年级：归一、归总问题数量关系：1份数量*份数=总量题型一：归一问题例：修路队要修一条长2000米长的公路，前五天修了1000米，这样计算，修完这条路一共要多少天？练习1：一辆大卡车5天可以拉100吨沙子，现在有2700吨沙子，这辆车几天拉完？练习2：某工厂有150吨煤，前5天烧了30吨，这样计算，剩下的煤还可以烧几天？题型二：归一，求单一量例：15头牛8天赤青草840千克，这样计算，3150千克青草可供30头牛吃多少天？练习1:15匹马4天吃660千克青草，这样计算，饲养场运进1760千克青草，可供20匹马吃几天？练习2：一个运输队开展节油活动，3辆车5天一共可以节约45千克汽油。

这样计算，这个运输队30天节约2160千克汽油，这个运输队共有多少辆汽车？练习3：（归总）工厂用一批纸张装订练习本，如每本40页，可装订30本，如每本25页，可装订多少本？练习4：商店卖出4箱保温瓶，每箱20个，每个15元，现在用卖保温瓶的钱去买6包洗衣粉，每箱100包，每包洗衣粉多少元？题型三：先算总量，在求单位量例：王老师上班每分钟走80米，15分钟能到学校，如他想提前3分钟到达学校，那王老师每分钟要比原来多走多少米？练习1：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，预计4小时可以到达，如果要提前1小时到达，每小时要比原来惰性多少千米？练习2：用一批纸装订练习本，每本30页，可以订600本，如每本多订10页，这些纸可以订多少本？题型四：例：一个工程队计划用30个人20天修好一条长6000米的公路，实际工作时增加了20个人，且每个人每天比计划多修2米，实际用多少天修完这条路？例2：修一条长1800米的路，计划45人用20天完成，如在增加15个人，可提前几天完成？练习1：一辆汽车每天行6小时，3天可行810千米。

如果每小时比原来多行5千米，每天行8小时，这辆汽车几天可以行4000千米？练习2:3台织布机4小时能织布144米，要在5小时内再多织180米，要增加几台同样的织布机？题型五：例：货物公司用6辆卡车3次可运货108吨，3辆货车8次运货120吨，现在用2辆卡车和3辆货车同时运12次，可以运货多少吨？练习1：甲乙了两个打字员4小时共打字3200个，现两人同时工作，在相同时间内甲打字2765个，乙打字2835个，甲打字6小时，乙打字10小时，可他们共打字多少个？练习2：学校锅炉房运来550吨煤，用4辆大卡车5次运煤160吨，用3辆小卡车8次运煤72吨，如用1辆大卡车和一辆小卡车同时运，要几次？和差问题数量关系：大数=（和+差）/2 小数=（和-差）/2例1：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？例2：长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形面积。

四年级奥数讲义教学之：归一问题四年级数学讲义奥数：归一问题一、教学衔接二、教学内容（一）知识揭示1、归一法的来历我国珠算除法中有一种方法，称为归除法除数是几，就称几归；除数是8,就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！2、归一法的分类归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？3、正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

（二）例题讲解例1. 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？分析：为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12-6=2 （分米）②1小时爬几米？1小时=60分。

2x60=120 （分米）=12 （米）答：小蜗牛1小时爬行12米。

还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。

解：1小时=60分钟12x （60-6）= 12x10 = 120 （分米）=12 （米）或12- （6-60）= 12-0.1=120 （分米）=12 （米）答：小蜗牛1小时爬行12米。

例2. 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？分析：通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1 小时磨的数量，得到问题所求。

解：（20000-6000）- （6000-3）=7 （小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时。

归一归总问题一、归一问题归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。

归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。

如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，【总量】，反归一是求包含多少个单一量．【求份数】解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。

归一问题的基本关系式：总工作量=每份的工作量(单一量)⨯份数 (正归一)份数=总工作量÷每份的工作量(单一量) (反归一)每份的工作量(单一量) =总工作量÷份数［小结］总工作量=每份的工作量(单一量)⨯份数 (正归一)例如⑴题份数=总工作量÷每份的工作量(单一量) (反归一)例如⑵题每份的工作量(单一量) =总工作量÷份数二、归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果．所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等．一、归一问题【例 1】某人步行，3小时行15千米，7小时行多少千米【正】【例 2】小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米【正】【例 3】一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字【正】【例 4】一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时【反】【例 5】绿化队3天种树210棵，还要种420棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天【反】【同例1】【例 6】一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时【反】【例 7】王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生产牛奶多少千克【★★★★★】同例2【例 8】某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件（2）如果要生产6300个零件几小时可完成【★★★★★】同例4【例 9】3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名【★★★★★】同例6【例 10】孙悟空组织小猴子摘桃子．开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢【★★★★★】同例6】【例 11】某玩具厂30天要生产玩具12000件，由于技术革新，每天比原计划多制造了200件，实际多少天就完成了生产任务同例5【例 12】某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人【★★★★★】同例6【例 13】3个工人10小时加工了3300个零件，如果人数增加2人，时间缩小5个小时，可以制造多少零件【★★★★★】同例6二、归总问题【例 14】修一条公路，原计划60人工作，80天完成．现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的工作再用多少天可以完成【归总】【例 15】学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天【归总】【例 16】某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天【归总】【例 17】某工程队预计30天修完一条水渠，先由18人修了12天后完成工程的一半，如果要提前9天完成，还要增加多少人【归总】【例 18】甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃．甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱．后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱【★★★★★】【同例8】归一问题与归总问题在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。

四年级数学归一与归总应用题知识要点：1、归一问题：日常生活中要计算几个足球多少钱，就必须先知道每个足球的单价是多少钱；要计算几个人几天所做的工作总量，就必须先知道每人每天所做的工作量等等，一系列的这种应用题，归结为一个单位数量的问题叫归一问题。

2、归总问题：与归一问题对应的是归总问题，归一问题是要求出“单一量”，而归总问题是要求出“总量”。

所谓总量是指：总路程，总产量，工作总量，物品的总价等等，这种先求“总量”的应用题叫归总问题。

3、主要的数量关系式：单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度典型例题：例1、小红买了5支圆珠笔共付15元，现在她要退回去2支圆珠笔，售货员应找回多少元？例2、某工厂用9个工人4天能够做360个机器零件，照这样计算，12个人6天能够做多少个同样的机器零件？例3、6辆卡车4次能够运货96吨，2辆汽车8次能够运货48吨，现在用3辆卡车和1辆汽车同时运15次，能够运货多少吨？例4、假设买4个书包和6盒水彩笔需190元，而假设买2个书包和6盒水彩笔需要140元，求一个书包和一盒水彩笔的单价各是多少元？例5、小明上学每分钟走50米，12分钟到学校，假设他想提前4分钟到达学校，则小明每分钟比原来多行多少米？例6、修一条公路，原计划80人，用100天完成，现在这批工人工作30天后，又增加了20人，问剩下的部分再做多少天能够完成任务？例7、有一段公路，预计用30人每天工作8小时，18天能够修完。

后来要求加快速度，每天增加6个人，并且修路时间每天增加4小时，那么能够提前几天修完这条公路？课堂练习：1、一台磨面机5小时可磨玉米250千克，照这样计算，磨1750千克的玉米，需要几小时？2、百货商店卖出4箱暖瓶，每箱20个，每个15元，现在用卖暖瓶的钱能够去买6箱洗衣粉，每箱100包，每包洗衣粉多少元？3、一本书，原来预计共印180页，每页25行，每行30个字，后来改用小号字，每行36个字，每页能排30行。

14.归一、归总问题知识要点梳理一、归一问题１．归一问题来历：我国珠算除法中有一种方法，称为归除法，除数是几，就称几归；除数是８，就称为８归。

而归一的意思，就是用除法求出单一量，这就是归一的说法。

在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其他条件求出结果。

用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。

所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

２．归一问题有两种基本类型如下：先求单一量再一次归一：一步求单一量归正归一：求几个单一量一是多少（乘）二次归一：两步求单一量问题反归一：先求单一量再求包含几个单一量（除）３．正、反归一问题的相同点是：第一步先求出单一量；不同点是：第二步正归一是乘法，反归一是除法。

二、归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是先找出“总量”，然后再根据其他条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总量”是指几小时（几天）的总工作量、几亩地上的总产量、总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

数量关系：１份数量×份数＝总量总量÷１份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量解题思路：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

考点精讲分析典例精讲考点1 正归一问题【例１】一只小蜗牛６分钟爬行12分米，照这样速度１小时爬行多少米？【精析】为了求出蜗牛１小时爬多少米，必须先求出１分钟爬多少分米单一量（一次归一）即蜗牛的速度，然后以单一量为依据按要求算出结果。

【答案】①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷６＝２（分米）②１小时爬几米？１小时＝60分２×60＝120（分米）＝12（米）答：小蜗牛１小时爬行12米。

【归纳总结】一般情况下第一步先求出单一量，第二步求几个单一量是多少。

【例２】王奶奶家养了５头奶牛，７天产牛奶630千克，照这样计算，８头奶牛15天可产牛奶多少千克？【精析】第一步先算１头奶牛７天产的牛奶为单一量一次归一，再算１头奶牛１天产的牛奶为单一量二次归一，最后８头奶牛１５天可产牛奶多少千克。

6-1-1-2.归总问题教学目标本讲主要学习归总问题．通过本节课的学习，学生应了解归总问题的类型，以及解决归总问题的一般方法，掌握归总问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.知识点拨归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果．所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等．例题精讲模块一、简单的归总问题【例 1】“走美比萨店”共有5名员工，2名厨师每周分别工作36小时，每小时工资10美元；3名服务生每周工作30小时，每小时工资5美元。

如果你是“走美比萨店”的老板，你每周该向员工制服的工资一共为美元。

【考点】简单的归总问题【难度】1星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【例 2】某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？【考点】简单的归总问题【难度】2星【题型】解答【例 3】光明小学有50个学生帮学校搬砖，要搬2000块，4次搬了一半。

照这样算，再增加50个学生，还要几次运完？【考点】简单的归总问题【难度】2星【题型】解答【例 4】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达．若要4小时到达，则每小时需要多行多少千米？【考点】简单的归总问题【难度】2星【题型】解答【例 5】一项工程，8个人工作15小时可以完成，如果12个人工作，多少小时可以完成？【考点】简单的归总问题【难度】2星【题型】解答模块二、复杂的归总问题【例 6】过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人，开始时艺术小组的同学们先做一天，随后增加15位同学和他们一起又做了两天，恰好完成，假设每位同学的工作效率相同，且一位同学单独完成需要60天，那么艺术小组的同学有__________位。

【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，一试，第7题【例 7】有20人修筑一条公路，计划15天完成．动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路．如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】解答【巩固】学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】解答【例 8】修一条公路，原计划60人工作，80天完成．现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的工作再用多少天可以完成？【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】解答【例 9】某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？【例 10】某工程队预计30天修完一条水渠，先由18人修了12天后完成工程的一半，如果要提前9天完成，还要增加多少人？【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】解答【巩固】家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成．实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】解答【例 11】某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？【考点】复杂的归总问题【难度】3星【题型】解答【巩固】光华机械厂一个车间，原计划15人3天做900个零件。

归一归总问题一、归一问题归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。

归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。

如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，【总量】，反归一是求包含多少个单一量．【求份数】解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。

归一问题的基本关系式：总工作量每份的工作量(单一量)份数 (正归一)份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)每份的工作量(单一量) 总工作量份数［小结］总工作量每份的工作量(单一量)份数 (正归一)例如⑴题份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)例如⑵题每份的工作量(单一量) 总工作量份数二、归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果．所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等．一、归一问题【例 1】某人步行，3小时行15千米，7小时行多少千米？【正】【例 2】小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？【正】【例 3】一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？【正】【例 4】一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？【反】【例 5】绿化队3天种树210棵，还要种420棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？【反】【同例1】【例 6】一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？【反】【例 7】王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生产牛奶多少千克？【★★★★★】同例2【例 8】某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？【★★★★★】同例4【例 9】3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？【★★★★★】同例6【例 10】孙悟空组织小猴子摘桃子．开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？【★★★★★】同例6】【例 11】某玩具厂30天要生产玩具12000件，由于技术革新，每天比原计划多制造了200件，实际多少天就完成了生产任务？同例 5【例 12】某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？【★★★★★】同例6【例 13】3个工人10小时加工了3300个零件，如果人数增加2人，时间缩小5个小时，可以制造多少零件？【★★★★★】同例6二、归总问题【例 14】修一条公路，原计划60人工作，80天完成．现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的工作再用多少天可以完成？【归总】【例 15】学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？【归总】【例 16】某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？【归总】【例 17】某工程队预计30天修完一条水渠，先由18人修了12天后完成工程的一半，如果要提前9天完成，还要增加多少人？【归总】【例 18】甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃．甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱．后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？【★★★★★】【同例8】归一问题与归总问题在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。

小学数学常见典型应用题——归一问题、归总问题一、方法指导1.归一问题根据已知条件，在解题时要先求出一份是多少（归一），如单位时间内的工作量、单位面积的产量、商品的单价、单位时间内所行的路程等，然后再求出所求问题的应用题叫归一问题。

归一问题分为正归一问题和反归一问题。

（1）正归一总量÷数量＝单一量单一量×新的数量＝新的总量综合式：总量÷数量×新的数量＝新的总量（2）反归一总量÷数量＝单一量新的总量÷单一量＝新的数量综合式：新的总量÷（总量÷数量）＝新的数量2.归总问题归总问题是指解答时要先计算出总数量（称为“总”），然后再算出所要求的数量是多少的应用题。

归总问题暗含着“总”不变，即乘积不变，因此这类问题也可以用反比例知识解答。

解答归总问题的关键在于先求“总数”，且总数相等。

归总问题也是两组同类数量关系复合构成的。

二、典型例题例1：学校买5个同样的篮球共用375元，照这样计算，买13个这样的篮球要用多少元？分析：通过读题知道，这是一道一次正归一应用题。

我们可以先求出篮球的单价，再求出13个篮球的总价。

解：分步列式：375÷5＝75（元）75×13＝975（元）列综合算式：375÷5×13＝75×13＝975（元）答：买13个这样的篮球要用975元。

例2：李叔叔装一批计算机，每天装12台，30天以完成。

如果每天装15台，几天可以完成？分析：由题意可知这批计算机的总数量是一定的，因此要求几天完成，需要知道这批单位计算机共有多少台和每天装多少台。

现在知道每天装15台，所以要先求这批计算机共有多少台。

解：这批计算机共有多少台？12×30＝360（台）要几天能完成？360÷15＝24（天）综合算式：12×30÷15＝360÷15＝24（天）答：24天可以完成。