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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·某某二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案]C[解析]2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·某某新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案]C[解析]因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案]C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案]D[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案]B[解析]设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·某某省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案]B [解析]由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x [答案]D[解析]对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029B.20144029 C.40174029D.40184029 [答案]B[解析]依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案]20[解析]依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案]110[解析]由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案]75[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析]∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·某某某某中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案]3,4,2,1或3,4,1,2[解析]由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析](1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3 [答案]A[解析]由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6， 由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根， 解之得m ＝0，或m ＝－45， 则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·某某六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案]C[解析]由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9， 等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·某某市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案]A[解析]由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案]B[解析]设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案]A[解析]S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案]4[解析]由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析](1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1， 两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析](1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·某某适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设＝b n ·2n ，求数列{}的前n 项和S n .[解析](1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·某某调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a 2n 2n }的前n 项和S n . [解析](1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ， 于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， 所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大． 备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案]D[解析]∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6. 2．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案]B[解析]因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6， 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案]D[解析]由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若＝b n a n，求数列{}的前n 项和T n . [解析](1)由题意S n ＝2－a n ，①当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1； 由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9， 所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1. (2)＝b n a n＝(2n －1)·2n －1， T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析](1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c， 因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第六章 数 列§6.3 等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q (q ≠0)表示.(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ .2同一个公比a ，G ，b ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1q n－1(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝________＝ .3.等比数列性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则 ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 (k ，m ∈N *).a m a n ＝a p a q q mS2n－S n S3n－S2n(4)等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，，仍成等比数列，其公比为q n.(n为偶数且q＝－1除外)增减常用结论1.等比数列{a n}的通项公式可以写成a n＝cq n，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{a n}的前n项和S n可以写成S n＝Aq n－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列.( )(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( )√×××1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件√B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.2.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于√A.31B.32C.63D.64根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数1,3,9或9,3,1为____________.∴这三个数为1,3,9或9,3,1.第二部分例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于√A.14B.12C.6D.3方法一 设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二 设等比数列{a n}的公比为q，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一√设第一个音的频率为a ，相邻两个音之间的频率之比为q ，那么a n ＝aq n －1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a 13＝2a ＝aq 12，即q ＝ ，1122思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于√A.2B.3C.4D.5∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍C.M>3√D.N<7设该等比数列为{a n}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，112112-要证M >3，即证－1－ >3，112112-112121-即证 >4，1122N ＝M ＋3.1122112121 所以 >5，所以－1－ >4，即M >4，112112 所以N ＝M ＋3>7，故D 错误.例2 已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等比数列；②数列{S n＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.选①②作为条件证明③：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{a n}是等比数列，所以公比q＝2，选②③作为条件证明①：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{a n}为等比数列.思维升华(3)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列.跟踪训练2 在数列{a n}中，＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)，因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以数列{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.由(1)知，a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又数列{a n}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，(2)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a1124＋a12的最小值为______.由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，当且仅当S4＝6时等号成立.综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于√A.40B.36C.54D.81在等比数列{a n}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，(2)等比数列{a n}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于√A.1B.2C.3D.4∵a n＝192，√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，第三部分1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于√A.1B.－1C.3D.－3设a n＝a1q n－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，2.数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于√A.2B.3C.4D.5令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.3.若等比数列{a n}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于√。
基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·保定调研)函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 解法1：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．解法2：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.(理)已知函数f (x )＝(12)x －x 13，在下列区间中，含有函数f (x )零点的是( )A ．(0，13) B ．(13，12) C ．(12，1) D ．(1,2)[答案] B[解析] f (0)＝1>0，f (13)＝(12)13－(13)13>0，f (12)＝(12)12－(12)13<0， ∵f (13)·f (12)<0，且函数f (x )的图象为连续曲线，∴函数f (x )在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象，∵lne ＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f (x )有两个零点．(理)(2013·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e <x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10[答案] A[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)．于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1，选A.3．(2013·黄山月考)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2013·湖南师大附中月考)已知f (x )＝(13)x －log 3x ，实数a 、b 、c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>b C ．x 0<c D ．x 0>c [答案] D[解析] ∵f (x )单调递减，x 0是f (x )的一个零点，∴当x <x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x >0，当x >x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x <0，∵f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0<a <b <c ，所以x 0>c 不可能成立．5．(2013·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y的几组数据，如下表：则对A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[答案] D[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.6.如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选()A．P点B．Q点C．R点D．S点[答案] B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设s i(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．二、填空题7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a 2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a 2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．(2013·烟台模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意知g (x )有零点，∴a 在f (x )的值域内， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ， x <0，2， 0≤x ≤2，2x －2， x >2.∴f (x )≥2，∴a ≥2，∴a 的最小值为2.9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.三、解答题10．(文)(2013·四川省内江市一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)满足y ＝－x ＋120.(1)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(2)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．[解析](1)设该商场获得利润为W元，则W＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200，由题意可知60≤x≤87，∵函数W＝－x2＋180x－7200在区间[60,87]上是增函数，∴当x＝87时，W max＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．(2)由W≥500，得－x2＋180x－7200≥500，∴70≤x≤110，又∵60≤x≤87，∴70≤x≤87，所以，销售单价x的取值范围是[70,87]．(理)(2013·东北三省第一次大联考)某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工，设加工A型零件的工人有x人，在单位时间内每人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x)．(1)试比较g(x)与h(x)大小，并写出完成总任务的时间f(x)的表达式；(2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少？[解析](1)由题意知，A型零件共需要4500个，B型零件共需要1500个，加工B型零件的工人有(214－x)人，单位时间内每人加工B型零件3k个，所以g(x)＝45005kx＝900kx，h(x)＝15003k(214－x)＝500k(214－x)，g (x )－h (x )＝900kx －500k (214－x )＝200k ·963－7xx (214－x )，∵0<x <214，且x ∈N *，∴当1≤x ≤137时，g (x )>h (x )，当138≤x ≤213时，g (x )<h (x )，∴f (x )＝⎩⎨⎧900kx，(1≤x ≤137，k ∈N *)，500k (214－x )，(138≤x ≤213，k ∈N *).(2)即求当x 为何值时，f (x )取最小值，又900kx (1≤x ≤137)为减函数，500k (214－x )(138≤x ≤213)为增函数，而f (137)f (138)＝900137k ·76k 500<1，∴x ＝137时，f (x )取最小值． 即加工A 零件的工人137人，加工B 零件的工人77人时，完成任务所需时间最少.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·威海模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个[答案] C[解析] 由表知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)内必有零点，∴选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．(文)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≤0)f (x －1)＋1 (x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *) B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；…∴当x≤0时，g(x)的零点为x＝0；当0<x≤1时，g(x)的零点为x ＝1；当1<x≤2时，g(x)的零点为x＝2；…当n－1<x≤n(n∈N*)时，g(x)的零点为n，故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，a n＝n－1.14．(文)(2013·潍坊模拟)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是()[答案] A[解析]由条件知2xy＝20，∴xy＝10，∴y＝10x，(2≤x≤10)，故选A.(理)(2013·孝感模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示．给出以下说法：①图(2)的建议是：提高技术，并提高票价；②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有正确说法的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] C[解析](2)图中直线AB向上平移，当x＝0时，y值为成本值，∴成本降低，由平移知，票价不变；(3)图中，直线AB绕A点旋转，当x＝0时，y值不变，说明成本保持不变，直线斜率变大，说明票价提高了．故选C.二、解答题15．(文)(2013·山西诊断)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (g/L)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧ 168－x －1(0≤x ≤4)5－12x (4<x ≤10)，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)[解析] (1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧ 648－x－4(0≤x ≤4)20－2x (4<x ≤10).则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4； 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8. 综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天．(2)当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a [168－(x －6)－1]＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 4－x－a －4， 因为14－x ∈[4,8]，1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 取得最小值8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(理)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)．w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s ，当t ＝(1000s )2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s )2(t)．(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式，得v ＝10002s －2×10003s 4. 又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002(8000－s 3)s 5， 令v ′＝0，得s ＝20.当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入．考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 补充材料1．解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性定理；(2)解方程f (x )＝0；(3)数形结合．2．用二分法求方程近似解用二分法求方程f (x )＝0近似解的一般步骤：第一步：确定一个区间[a ，b ]，使得f (a )·f (b )<0，令a 0＝a ，b 0＝b .第二步：取区间(a 0，b 0)的中点x 0＝12(a 0＋b 0)．第三步：计算f (x 0)的值，得到下列相关结论．(1)若f (x 0)＝0，则x 0就是方程f (x )＝0的一个根，计算终止；(2)若f (a 0)·f (x 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(a 0，x 0)中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；(3)若f (x 0)·f (b 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(x 0，b 0)中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.第四步：取区间(a 1，b 1)的中点x 1＝12(a 1＋b 1)，重复第二、第三步，……直到第n 次，方程f (x )＝0的一个根总在区间(a n ，b n )中．第五步：当|a n －b n |<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(a n ，b n )内的任何一个值精确到ε就是方程f (x )＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f (x )的变号零点．备选习题1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2(a －1)(b －1)＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b－1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2.(2013·安徽)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.3．(2013·沧州模拟)若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[1,2＋2]B ．[－1,2]C ．[－1,2＋2]D ．[1,3][答案] A[解析] 由题意知m ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＋1＝2＋2sin(2x ＋π4)．因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以m ∈[1,2＋2]，故选A.4．(2013·长春调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2013]上的零点个数是________．[答案] 604[解析] 由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数．∵x ∈(－1,4]时，x 2∈[0,16]，2x ∈(12，16]，∴x 2－2x <16，∴x ∈(－1,4]时，f (x )<16.∴当x ∈(4,9]时，x －5∈(－1,4]，∴f (x －5)<16，f (x )＝16－f (x ＋5)＝16－f (x －5)>0，∴f (x )在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f(x)＝x2－2x在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x＝2，故f(x)在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604.。
6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32， 故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ， 得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a －2b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1， 令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)， 且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列． 综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋a c－1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22， 所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。
