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第四讲数学归纳法证明不等式知识框图—原理数学归纳法|—匚应用方法总结利用数学归纳法证明的几类问题1.有关恒等式的证明问题用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+\时命题成立，从n = k+l的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化（即用k+1代替恒等式中的n）.2.有关整除与几何问题数学归纳法可以用来证明有关整除问题，几何方面的问题，证明的关键是寻求＞+1）与/伙）之间的递推关系，基本策略是"硬凑假设”即从金+1）中将张）分离出来，或者从特例入手，发现规律, 或用＞+!）-»看由n=k到”=k+l的变化情况.3.有关不等式的证明问题证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活，它往往结合综合法，分析法，比较法外，放缩法更显得重要，用数学归纳法证明的第二步，由假设_AQ>g伙）成立，推证金+l）>g 伙+ 1）.对这一条件不等式的证明，应灵活运用证明不等式的常用方法，其基本格式为_Ak+l+ A伙）〉g伙）+ A（Q>g伙+1）.具体证明过程中应注意以下几点：(1)瞄准当n=k^ 1时的目标，一切变换都向目标推进;(2)要把假设作为条件用上一次或几次；(3)活用起点的位置.4.有关归纳、猜想、证明问题数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是用不完全归纳法对一些具体的简单的情形进行观察，类比而提出的.他的可靠性就要用数学归纳法来证明，问题一般分为三步进行：验证：(l)P(l), P(2), P(3)…;(2)提出猜想；(3)用数学归纳法证明.简称为“归纳、猜想、证明”，是近几年高考的热点之一.专题探究开放性问题【例1】是否存在常数a, b, c,使得1-22+2-32+342+-fi（n -J-1）+〃（〃+1）2= Y2（初，+%+c）对一切〃WN+都成立？证明你的结论.【分析】此题可用归纳、猜想、证明来思考，先赋给〃值, 看a, b, c是否存在.【解】假设存在心4 C使题设等式成立，令斤=123时,4=6(a + b+c)，解得 a = 3, b=\\, c=10.22=q(4°+2b+c),70 = 9tz + 3b+c,•:当n = 1,2,3 时，等式1-22 + 2-32 + …+ n(n + l)2n(n + 1 )(3/ +11/1+10)12成猜想等式对H GN+都成立.立,12【证明】记5, = b22+2.32+-• +斤(斤+1)2.①当川=1,2,3时，上面已证.②假设兀=£时，猜想等式成立.心+1)(3泾+11£+10)12贝！J当n=k-\-l时,S R +I =S R +伙 +1)伙+2)2= —(3疋+1 \k~\~ 10) + 伙+1)伙+2)2警評伙+2)(3£+5) +伙 +1)伙+2)2当n = k-\r 1时，等式也成立.伙+1)伙+2) 12(3泾 + 5£+12£+24) 伙+1)伙+2) 12[3 伙+1尸+11 伙+1)+10].综上所述，当a = 3, b=ll, 均成立.=10时，题设的等式对nWM规律技巧对于开放性I可题’思路是先假设命题成立（或存在）进行推理，若推出矛盾，说明不存在.【例2】已知数列｛。
