高考数学专题3导数及其应用21导数中的易错题文

导数应用常见九种错解剖析（含5篇）第一篇：导数应用常见九种错解剖析导数应用常见九种错解剖析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。

一、对导数的定义理解不清致错例 1、已知函数 63241)(3 4+-= x x x f，则0(1 x)-(x)lim（）2xf fx∆→+∆∆=∆Ａ－１B 0C12-D 2 错解：Θ 1)1(, 2)(/ 2 3 /-==∴-= f x x x f 原式，从而选；或 0)0(, 2)(/ 2 3 /==∴-= f x x x f 原式剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中“ x ∆”与“ y ∆”的对应形式的多样性。

正解：原式=/0 0(1 x)-(1)1(1 x)-(1)1 1lim lim(1)=2 2(1)1 2 2x xf f f ffx x∆→∆→+∆+∆=⋅=-∆+∆-,从而应选Ｃ。

点评：/()f x =xx f x x fxyx x∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0 00 0,函数在某一点x 0 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量 x ∆必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2 x ∆，21x ∆等。

在导数定义中应特别注意“ x ∆”与“ y ∆”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“ x ∆”与“ y ∆”的一致性。

二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。

例 2、函数 y=f(x)在 x=x 0 处可导是函数 y=f(x)在 x=x 0 处连续的（）Ａ、充分不必要条件B 必要不充分条件Ｃ、充要条件Ｄ、既不充分也不必要条件错解：认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选Ｃ。

或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选Ｂ。

剖析：防错关键是（１）理清充分、必要条件的概念；（２）函数 y=f(x)在 x=x 0 处可导必在 x=x 0处连续，函数 y=f(x)在 x=x 0 处连续不一定在 x=x 0 处可导。

易错点04 导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

01 导数与函数的单调性例1（2020•天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅰ）当3k-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【警示】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅰ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(Ⅰ) (i) 当k ＝6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值.（Ⅰ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x ＞1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t ＞1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【叮嘱】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．1．（2014新课标Ⅰ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【解析】∵，∴，∵在单调递增， 所以当 时，恒成立，即在上恒成立， ∵，∴，所以，故选D ． 2．（2020•全国1卷）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-， 由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.02 导数与函数的极（最）值例2．（2020•北京卷）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【警示】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，()ln f x kx x =-1()f x k x'=-()f x (1,)+∞1x >1()0f x k x '=-≥1k x≥(1,)+∞1x >101x<<k ≥1设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅰ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t ++==++，所以4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【叮嘱】 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

高三数学易错导数及其应用多选题 易错题提优专项训练一、导数及其应用多选题1．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<-- 当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=； 当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减 【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '+=，()e sin xf x x '=-'， 当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增， 又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立， 所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭， 因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确； 对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞， 令()e sin 0x f x a x =+=，得1sin ex x a -=， ()sin e x x g x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin3π45π5π42π4e g g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小， 当3ππ,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144e g --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a --<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.8．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】CD【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-，∴()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+， ①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=， 函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.。

2020高考数学备考复习易错题三：导数的应用一.单选题（共10题；共20分）1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】函数的极小值点要满足，在左侧附近，右侧附近，根据图像观察得有1个.故选A.【分析】函数的极小（大)值点要满足，在左侧附近（>0)，右侧附近(<0).2.曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【考点】导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的点斜式方程【解析】【解答】因为，所以，所以切线的斜率，又切线过点，所以切线方程为，即。

【分析】注意“求在某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”的区别。

一般的时候，求曲线的切线方程，要是不知道切点的话，要把切点设出。

3.（2015·北京卷）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升【考点】变化的快慢与变化率【解析】【解答】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升。

而这段时间内行驶的里程数千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B。

【分析】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题。

解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误。

解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题。

4.（2015·福建）若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法，导数的运算【解析】【解答】由已知条件，构造函数=-Kx，则=-k,故函数在R上单调递增，且＞0，故g（）＞g（0），所以，,所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数h(x)=f(x)-x,则h'(x)=f'(x)-1＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，且，所以h()＞h(0),即f()-＞-1，选项A,B无法判断，故选C。

导数易错知识点总结一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义在学习导数的过程中，学生常常会混淆导数的定义和其他相关概念，导致概念混淆和理解困难。

导数的定义是一个函数在某一点的斜率，即函数在该点的变化率。

学生需要理解导数的定义，并清楚地明白导数和函数的关系。

2. 函数的可导性另一个易错的知识点是函数的可导性，即函数在某一点是否存在导数。

学生需要理解函数可导和导数存在的条件，并能够应用相关的定理和概念进行求导。

3. 函数的导数学生常常在计算函数的导数时出现错误，导致结果错误或者无法求导。

需要注意的是，在计算函数的导数时，要注意函数的类型和不同求导规则，以及应用链式法则和其他相关的求导技巧。

二、导数的基本性质和运算法则1. 导数的基本性质在学习导数的过程中，学生需要掌握导数的基本性质，例如导数具有线性性质、导数存在的条件等。

学生常常会忽略导数的基本性质，导致在求导过程中出现错误。

2. 导数的运算法则另一个易错的知识点是导数的运算法则，包括和、积、商、复合函数的导数规则。

学生需要理解这些导数规则，并能够熟练地应用到实际问题中。

3. 高阶导数在学习导数的过程中，也需要注意高阶导数的概念和计算方法。

学生常常会在计算高阶导数时出现错误，导致结果不正确。

因此，学生需要清楚地理解高阶导数的定义和计算方法。

三、导数的应用1. 函数极值点和拐点导数在描述函数的极值点和拐点时起着重要作用。

学生需要理解导数和函数的极值点、拐点之间的关系，以便能够应用导数求函数的极值点和拐点。

2. 函数的图像和曲线的切线另一个常见的应用是使用导数求函数的图像和曲线的切线。

学生在实际问题中常常会遇到求曲线的切线的问题，需要掌握导数和切线之间的关系，并能够应用导数求曲线的切线。

3. 函数的增减性和凹凸性导数在描述函数的增减性和凹凸性时也起着重要作用。

学生需要理解导数和函数的增减性、凹凸性之间的关系，以便能够应用导数求函数的增减性和凹凸性。

四、常见问题及解决方法1. 概念混淆学生在学习导数的过程中常常会出现概念混淆的情况。

导数重难点、易错点题型归纳题型1 导数的定义例题1 已知直线l 经过()1,0-，()0,1两点，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()22lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解析】直线l 经过()1,0-，()0,1两点，∴:1l y x =+直线与曲线()y f x =切于点()2,3A ，可得曲线在2x =处的导数为：21f所以()()()22l 2im1x f xf x f ∆→+∆-∆=='，选C巩固1 设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．2【解析】()y f x = 在点()()1,1f 处的切线的斜率为()()()112'1lim 12x f f x f x∆→--∆==-∆ ,选A巩固2 已知函数()f x 在0x x =处可导，若000(3)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '=（ ）A ．1B ．13C ．3D ．0【解析】由已知可得()()()()()00000033lim 3lim3'13x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-===∆∆所以()01'3f x =．选B 题型2 导数的几何意义例题2 曲线xy xe =在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，则ab 的值为（ ）A ．12e-B ．2e-C ．2eD ．12e【解析】曲线xy xe =，则xxy e xe '=+，则12x y e ='=∵曲线在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，∴12a b e -=-，∴12a b e=，选D 巩固3 己知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．()1,3B ．()1,3--C ．()2,3--D ．()2,3-【解析】222y x x =+-的导数为22y x '=+，设(),M m n ，则在点M 的切线斜率为22m + 由于在点M 处的切线与x 轴平行，则220m +=，解得1m =- 所以1223n =--=-，即有M ()1,3--，选B巩固4 如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为（ ） A ．(1,0)B ．(0,1)-C ．(0,1)D ．(1,0)-【解析】设点P(a ,b )，则4b a a =-，由题得3()41f x x =-' 因为曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，所以3413a -=，所以a =1 所以b =4110-=,所以点P 的坐标为（1,0），选A巩固5 已知曲线3211()532f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 2cos ααα=+( ) A ．12 B ．35 C ．2 D ．85【解析】因为3211()532f x x x =+-，故可得()2f x x x '=+，则切线的斜率()12tan f α'==又因为2cos 2sin 2cos ααα=+2222cos sin 1tan 1432cos 21415sin cos tan ααααααα---===-+++，选B题型3 导数几何意义与参数例题3 函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）AB ．C ．2D ．【解析】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b = 所以()g b的最小值为即min k =选B巩固6 直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k = 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+ 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b = 所以144()422a b +=⨯-+=，选A巩固7 函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，则实数a =（ ）． A ．1- B ．14C ．12D ．1【解析】'1()f x a x =-，∴'11(2)24f a a a =-=⇒=，选B 巩固8 函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等实根，则实数k 范围（ ）A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =- 切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时，实数k 的取值范围是112k <<，选D题型4 曲线上动点到直线距离的最值问题例题4 设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A ．1717B ．21717C ．31717D ．41717【解析】()10f =，()4f x x '=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=，又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行这两条平行线间的距离为317d =PQ 317，选C 巩固9 已知点P 在曲线22y x lnx =-上，点Q 在直线32y x =-上，则||PQ 的最小值为( )A ．1313B ．1C ．1010D ．14【解析】函数22ln y x x =-的定义域为(0,)+∞，14y x x'=-令143x x-=，可得1x =，14x =-（舍去）所以切点为(1,2)，它到直线32y x =-的距离d ==即点P 到直线32y x =-的距离的最小值为10，则||PQ的最小值为10，选C 题型5 公切线问题例题5 函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．12【解析】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =， 所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x > 则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域为增函数，又()10h =，则解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111m f '=+=+解得4m =，选A 巩固10 已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（ ） A ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得2000420x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩ 由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004e x x a =，令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()e x x h x =在(2,)+∞上递减，所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭巩固11 已知函数211()142f x x x a =++-（0x <），()ln g x x =（0x >），其中a R ∈，若()f x 的图象在点11(,())A x f x 处的切线与()g x 的图象在点22(,())B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围是( ) A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(ln 2,)+∞ C ．(1ln 2,)--+∞ D ．(ln 2,)-+∞【解析】211()142f x x x a =++-，11'()22f x x =+故切线方程为：()21111111112242y x x x x x a ⎛⎫=+-+++-⎪⎝⎭()ln g x x =，故1'()g x x =，切线方程为：()2221ln y x x x x =-+ 故1211122x x +=，()()21111222111111ln 2242x x x x a x x x ⎛⎫+-+++-=-+ ⎪⎝⎭ 化简整理得到：()2111111ln ,0422a x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，111022x +>，故110x -<< 设()()2111ln ,10422g x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，()()()()2111'2121x x g x x x x +-=-=++故函数在()1,0-上单调递减，故()0ln 2g =，当1x →-时，()g x →+∞，故ln 2a >，选B巩固12 若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B．13,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C．3ln 4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设公切线与函数()ln f x x =的图象切于点()11,ln A x x ()101x <≤因为()ln f x x =，所以()1f x x'=，所以在点()11,ln A x x 处斜线的斜率1111()k f x x '==所以切线方程为()1111ln y x x x x -=-，设公切线与函数()2g x x a =+的图象切于点()222,B x x a + 因为()2g x x a =+，所以()2g x x '=，所以在()222,B x x a +处点斜线的斜率()222k g x x '==所以切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，所以有2121212ln 1x x x x a⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 因为101x <≤，所以21121x x =≥，212x ≥．又222ln 21a x x =-+- 令21,2t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()22ln 21ln 2ln 1h t t t t t =-+-=--+-，所以()221t h t t-'=令()0h t '>且12t ≥，得22t >；令()0h t '<且12t ≥，得1222t ≤<所以()h t 在12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上为减函数，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数. 所以函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线满足()2122h h t h ⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()13ln 224h t --<≤-，所以13ln 2,24a ⎛⎤∈--- ⎥⎝⎦，选D 题型6 导数几何意义与函数性质综合例题6 已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】函数的图象的对称中心为，所以，即，得，又的图象在点处的切线过点 ，即，解得，选A巩固13 已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =- 则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x << 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-. 由两切线重合可知21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤. 不妨设()()()22102x g x x e x =-≤,则()()22',''12x x g x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-，选B 巩固14 函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 范围是 【解析】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则0000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2k e ∴∈ 巩固15 已知函数22e 1,0,()22,0,x x f x x x x ⎧->=⎨---≤⎩若|()|f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围为【解析】作出函数|()|f x 的图象如图所示；当0x ≤时；令222x x mx ++=，即2(2)20x m x +-+=令0∆=，即2(2)80m --=，解得222m =±222m =-当0x >时，令2e 1x mx -=，则此时2()e 1xf x =-，()h x mx =相切设切点()020,1x x e-，则00202e 1,2e ,x x mx m ⎧-=⎨=⎩解得2m =，观察可知，实数m 的取值范围为222,2⎡⎤-⎣⎦，选A 巩固16 设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()3y g x x π=-+）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设()()22f x a b x ωϕ=++()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤ 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2723212x πππ+∴==为()()22f x a b x ωϕ=++的一条对称轴且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()22f x a b x ωϕ=++的一个对称中心由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=224a b +=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y =,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示4>时，163x π>-，所以()y g x =-7个，选D 题型7 两条曲线上动点距离最值例题7 设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为 【解析】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-= 则切线方程为22y x =-设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+ 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g = 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d，所以10d == 巩固17 已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为【解析】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点 ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方对ln y x =求导得1y x '=，令1y e '=，得x e =，所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小 该点到直线l==因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+ 巩固18 若x ，a ，b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ）AB ．18C．1 D．19-【解析】22(2)(3)1a b ++-=，可得(),a b 在()2,3-为圆心，1为半径的圆上22()(ln )x a x b -+-表示点(),a b 与点(),ln x x 的距离的平方又(),ln x x 在曲线ln y x =上，设曲线ln y x =上一点为(),ln m m 设过点(),ln m m 的切线与点(),ln m m 与()2,3-的连线垂直 可得ln 3112m m m-⋅=-+，即有2ln 23m m m ++=由()2ln 2f m m m m ++＝在0m >递增，且()13f =，可得切点为()1,0圆心与切点的距离为d ==可得22()(ln )x a x b -+-的最小值为()2119=-D巩固19 已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．M 的最小值为25 B ．M 的最小值为45 C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，ln 2y x x =-+，得11y x'=-与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12- 令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离22ln 242ln 225514d +--==+ 即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45，选B 巩固20 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为 【解析】由题意得，结果为线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点距离平方最小值 可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m 曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+ 整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件 其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-巩固21 设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线上，则Q P 的最小值为 A ．1ln2-B ．()21ln 2-C ．D ．()21ln 2+【解析】因为曲线2xy e =与曲线互为反函数，其图象关于直线y x =对称，故可先求点P 到直线y x =的最近距离，函数2xy e =的导数为2xy e '=，由21xy e '==得，ln 2x =-，所以ln 221y e -==所以当P 点为点(ln 2,1)-时，点到直线y x =的最近距离为ln 2122d --==所以min 222(1ln 2)2PQ d ===+ 题型8 导数几何意义综合例题8 设曲线()1*n y xn N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，令lg nn ax =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为【解析】因为()()1*n y f x xn N +==∈，所以()()1nf x n x '=+，所以()()11,11f n f '=+=所以切线方程为：()111y n x -=+-，令0y =，得1n x n =+所以()lg lglg lg 11n n na x n n n ===-++ 所以1299lg1lg 2lg 2lg3lg3lg 4...lg99lg1002a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- 巩固22 不等式，恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】令，则，很明显函数的周期为由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示考查临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为，选A题型9 函数的单调性求参数 例题9 已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈ （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）当1k >时，讨论函数()f x 零点的个数 【解析】（1）()l 'n ln 1x f x x x x x -=-=，令()()1ln '1x x g x g x x=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）()n 'l ln 1x k x x xf x x k x --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x 且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点显然()22211022kk f ee e ---=-<-<，()()1112f x f >=，∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点 又()222221122nk nk nk f e e n k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）设()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，()2xh x e ''=-当1x >时，()0h x ''>，()2xh x e x '=-在1+， 单调递增,即()()120h x h e ''≥=->所以()2xh x e x =-在1+， 单调递增，即()()110h x h e ≥=->，即()0nkf e>（当n 为较大整数时）于是下面讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x xF x x x x-⇒=+--=≤，且()0f e = ① 当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点巩固23 已知函数2()ln (21)?(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围 【解析】（1）由()()()()21221x a x af x x a x x-+=-+-=-' 当a =0时，()210f x x '=-+<，则f （x ）在（0，+∞）上递减 当a ＞0时，令f '（x ）＝0得x a =或12x =-（负根舍去）， 令f '（x ）＞0得0x a ＜＜；令f '（x ）＜0得x a ＞，所以f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 综上：a =0时， f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＞0时，f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 （2）由（1）当a ＝0时，f （x ）＝﹣2x x -≤0，符合题意，当a ＞0时，()2()0max f x f a alna a a ==+-≤，因为a ＞0，所以10lna a +-≤令()g a =1lna a +-,则函数单调递增，又()10g = ，故 10lna a +-≤，得01a <≤ 综上，a 的取值范围为[]0,1巩固24 已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+（1）当0a =时，求函数()f x 在()()11f ，处的切线方程 （2）若2a -，证明：当0x 时，()0f x【解析】当0a =时，2()x f x x e =，2()(2)x f x x x e '=+，()13f e '=，()1f e =∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程3(1)y e e x -=-，即320ex y e --=（2）证明：2()(2)x f x x x a e a '=++-，令2()(2)x g x x x a e a =++-，则2()(42)x g x x x a e '=+++2a -，∴当0x 时，22(42)(4)0x x x x a e x x e ++++，即()0g x '且不恒为零()g x ∴在[0，)+∞上是增函数，故()(0)0g x g =，即()0f x '()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，()(0)0f x f ∴=，即()0f x ，故若2a -，则当0x 时，()0f x巩固25 已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+- （1）讨论()f x 的单调性（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围【解析】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数②当0∆>，即2a <-或2a >时当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭为减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数 （2）()()()()22213ln ln 022x xF x f x g x x x ax e x x x x ax x e x =-=++--+=-++->()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x e x x a x-+=有解令()()2ln 0x e x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11x xe x x x e x x x x h x x x++-+='-+++-= 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x <，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增； ()()11h x h e ∴≥=+， 当1a e ≥+时，()F x 有不动点a ∴的范围为[)1,e ++∞题型10 极值与参数例题10 已知函数321()3f x x x mx m =+++ （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值 （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点【解析】（1）由题得2()2f x x x m '=++由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++ 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-= 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-（2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+ 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+ 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减，又4(2)3h -=，(0)0h =(1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点，即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点 巩固26 已知函数()3213f x x x a =-+（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值与极小值（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值是最小值的3倍，求a 的值 【解析】（1）当0a =时，()3213f x x x =-，所以()22f x x x '=- 令()0f x '=，则0x =或2x =，当(),0x ∈-∞和()2,x ∈+∞时，()0f x '>当()0,2x ∈时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减 所以()f x 的极大值为()00f =；()f x 的极小值为()423f =- （2）由题,()3213f x x x =-，由（1）可得()f x 在[]1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增， 所以()f x 的最小值即为()f x 的极小值()423f a =-+因为()213f a =-+,()3f a =,所以()()max 3f x f a ==因为()()max min 3f x f x =，则433a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2a =题型11 最值与参数例题11 设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围 【解析】（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x --+----'=-+==，由函数存在极值可知，14a ≠ 1()2i a =时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x 在(1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减.1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202a x a-<<，由()0f x '<可得，1212ax a -<< 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，122a a-），单调递减区间12(,1)2aa - 综上所述：当14a =，()()2102x f x x-'=≥恒成立，不符合题意 当1142a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增 当12a ≥时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增 （2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx-<令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1()21h x lnx x'=-+- 222112()=0xh x x x x--''=-< ，则()h x '在(1,)e 上单调递减，所以()h x h '<'（1）0= 所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '< 所以()g x 在(1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-，故2b e e - 巩固27 已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：） 【解析】1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b + 2'()a f x ax b=+，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=> 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣，设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ ， 令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >，()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t += 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+可知()p t 在1170,⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在117,⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减又2117(1)0,0,()20p p p e e e ⎛⎫+=>=-+<⎪⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-题型12 值点偏移例题12 已知函数()ln 2(0)f x ax x a =+≠. （1）求函数()f x 的最值（2）函数()f x 图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为()1,()2f x g x x=-有两个零点12,x x ，求证：124x x +> 【解析】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值 当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设因为，，所以变形为，欲证，只需证即证，令，则只需证对任意的都成立令，则所以在上单增，，即对任意的都成立，所以巩固28 已知函数()212xf x e x ax =--有两个极值点12,x x（Ⅰ）求实数a 的取值范围 （Ⅱ）求证：120x x +<（III ）求证：()()122f x f x +> 【解析】Ⅰ）21()2x f x e x ax =--，()x f x e x a '∴=--设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-，令()10xg x e -'==，解得0x =∴当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(0)1min g x g a ∴==-当1a 时，()()0g x f x '=，∴函数()f x 单调递增，没有极值点当1a >时，(0)10g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点1x ，2x ，不妨设12x x <，则120x x << ∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为(1,)+∞．（Ⅱ）不妨设120x x <<，要证12+0x x <，即证12<x x -，而()g x 在(),0-∞上单调递减，所以即证()()12>g g x x -，即证()()22>g g x x -，即2222x x e x e x -->+，2222210x x e x e -->，设()221,0xx h x exe x =-->，则()2(1)x x h x e e x '=--令()1xH x e x =--，则()1xH x e '=-，当()10xH x e '=-=，则0x =，即()H x 在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减，所以()()00min H x H ==，即1x e x ≥+，()0h x '∴≥，()h x ∴单调递增，()()00h x h ∴>=，所以原不等式成立（III ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知1x ，2x 为()0g x =两个实数根，120x x <<，()g x 在(,0)-∞上单调递减且120x x <-<函数()f x 在1(x ，0)上也单调递减，12()()f x f x ∴>-∴要证12()()2f x f x +>，只需证22()()2f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->设函数2()2x x k x e e x -=+--，(0,)x ∈+∞，则()2x x k x e e x -'=-- 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴>=，即()0k x '>()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0k x k ∴>=∴当(0,)x ∈+∞时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->22()()2f x f x ∴-+>，12()()2f x f x ∴+>巩固29 已知函数()ln f x kx x =-（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >【解析】（1）∵()ln f x kx x =-，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增 ∴1()0f x k x '=-≥在()1,+∞恒成立，∴1k x≥，∴1k（2）证明：不妨设120x x >>∵()()120f x f x ==，∴11ln 0kx x -=， 22ln 0kx x -= 可得()1221ln ln k x x x x +=+， ()1212ln ln k x x x x -=-要证明212x x e >，即证明21ln ln 2x x +>，也就是证()122k x x +>∵1212lnx lnx k x x -=-，∴即证明：1212122lnx lnx x x x x --+＞，即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+＞ 令12x t x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+ 令()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，则()22(1)(1)t g t t t -'=+ 故函数()g t 在()1,+∞上是增函数，∴()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立，∴原不等式成立题型13 恒成立问题求参数例题13 已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =（1）求函数()()f x yg x =的极小值（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值。

高考导数常考、易错、失分点分析【易错点1】复合函数的求导例1、函数1cos x y x e -=⋅ 的导数为 。

【易错点诊断】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即x u x y y u '''=⋅。

解析： ()()1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos x x x x x y e x e e xe x e -----'''=+=+-=+1cos sin x xe x -()1cos 1sin x x x e -=+.【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。

[适用性练习]（1）设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。

（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ）答案：23b a =--.（2）y =ln （x ＋21x +）答案: y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21x x +）=211x +.【易错点2】关于导数的几何意义(还有一个易错题)例2、曲线33:x x y S -=在点(0,16)A 处的切线方程为 。

【易错点诊断】此题易由/2/()33,(0)3f x x f =-+=，从而得到以A 点为切点的切线的斜率为3，即所求切线方程为3160x y -+=的错误结果，事实上要注意到点A 不在曲线S 上。

解析：设过点A 的切线与曲线S 切于点()3000,3M x x x -处，由于/2()33,f x x =-+由导数的几何意义可知切线的斜率()20033k f x x '==-+①，又由两点连线的斜率公式知30003161x x k x --=②，联立①②得02x =-，从而切线的斜率()20033k f x x '==-+=-9，故切线方程为9160x y +-=。

高三数学易错导数及其应用多选题 易错题学能测试一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 1f x x ⎛=--+ ⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-， ()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min1g t g ===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥， 12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.4．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.5．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.6．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.7．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1112x ⎛⎫-∈- ⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x xy e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x xx x x e---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得115,12x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误， 又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

导数易错题辨析导数是高中新课程新增重点内容，初学这局部，同学们往往会出现这样那样的错误。

现举几种常见的错误加以剖析，希望对同学们能有所帮助。

例1、求函数ln y x x =-的单调区间。

【错解】111,1010.y y x x x x''=-=->><∴令即或函数的单调递增区间为(1,),(,0)+∞-∞；1100 1.y x x'=-<<<∴令即函数的单调递增区间为(0,1). 【错因剖析】求函数的单调区间应注意首先考虑函数的定义域。

因此此题中应注意到0x >，∴函数的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1).例2、函数32()31(0)f x x ax x a =++->，假设()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围。

【错解】∵函数32()31(0)f x x ax x a =++->在R 上为增函数，故2()3230f x x ax '=++>在R 上恒成立；由224360,9,0 3.a a a ∆=-<∴<∴<<【错因剖析】()0f x '>是函数()f x 在定义域I 上单调递增的充分不必要条件并不是充要条件。

事实上：()f x 在I 上递增⇔对任意的x I ∈有()0f x '≥〔但这里满足()0f x '=的点应只是在个别点处，也就是()f x '不能恒等于零〕.此题中()f x 在其定义域内为增函数应满足()0f x '≥且()0f x '不恒等于；∴应改为2()3230f x x ax '=++≥在R 上恒成立，由24360,a ∆=-≤29,03a a ∴≤∴<≤；又当3a =时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥〔只有当1x =-时，()f x '才等于0〕；因此03a <≤例3、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，求,a b 的值。

高考文科数学易错题：导数的应用要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的处置是以函数的单调性为前提的，因此要重点处置导数在研讨函数单调性中的运用，查字典数学网整理了2021高考文科数学易错题：导数的运用，供参考。

1.(典型例题)函数=-x3+3x2+9x+a.(1)求的单调递减区间;(2)假定在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。

[考场错解](1)=-3x2+6x+9,令0,解得x-1或x3,函数的音调递减区间为(-，-1)(3，+)(2)令=0,得x=-1或x=3当-20;当x3时，0.x=-1,是的极不值点，x=3是极大值点。

f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14.[专家把脉] 在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值停止比拟大小才干发生最大(小)值点，而下面解答题直接用极大(小)值替代最大(小)值，这显然是错误的。

[专家把脉] 当0时，是减函数，但反之并不尽然，如=-x3是减函数，=3x2并不恒小于0，(x=0时=0).因此此题应该有在R上恒小于或等于0。

[有的放矢] 函数的导数：=3x2+6x-1.当=3ax2+6x-10对任何xR恒成立时，在R上是减函数。

①对任何xR,3ax2+6x-10恒成立，a0且△=36+12a-3.所以当a-3时，由0对任何xR恒成立时，在R上是减函数。

②当a=-3时, =-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.由函数y=x3在R上的单调性知，当a=-3时，在R上是减函数。

③当a-3时，f(x)=3ax2+6x-10在R上至少可解得一个区间，所以当a-3时，是在R上的减函数。

综上，所求a的取值范围是(-，-3)。

3.aR,讨论函数=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。

[有的放矢]=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]令=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0即a0或a4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1、x2,无妨设x10;当xx1时，f(x)0因此f(x)无极值。