2013届江苏省南通高级中学高三数学客观题训练校本作业(1)-(10)

南通市2013届高三第一次调研测试数学I参考答案与评分标准（考试时间：120分钟满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U =R ，集合10Ax x，则U Ae ▲．答案：(,1]．2．已知复数z =32i i(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第▲象限．答案：三．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是▲．答案：48.4．定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f xf x ，当(2,0)x时，()4xf x ，则(2013)f ▲．答案：14．5．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题．6．已知双曲线22221y xab的一个焦点与圆x 2+y 2－10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为▲．答案：221520y x．7．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为▲．答案：42．8．已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为▲．答案：38．开始结束Yn ←1输入x输出x n ←x ←2x +1n ≤3N （第8题）ABCDEF A 1B 1C 1(第15题)9．在△ABC 中，若AB=1，AC =3，||||ABAC BC ，则||BA BC BC =▲．答案：12．10．已知01a ，若log (21)log (32)a a xy yx，且xy ，则的最大值为▲．答案：－2．11．曲线2(1)1()e(0)e 2xf f x f xx 在点(1，f (1))处的切线方程为▲．答案：1e 2yx．12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为▲cm ．答案：－1.5．13．已知直线y =ax +3与圆22280xyx 相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且PA =PB ,则0x 的取值范围为▲．答案：(1,0)(0,2)．14．设P (x ，y )为函数21y x(3)x图象上一动点，记353712xy x y mx y ，则当m 最小时，点P 的坐标为▲．答案：(2，3)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证：（1）//EF 平面ABC ；（2）平面AEF ⊥平面A 1AD ．解：（1）连结11A B A C 和．因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点，(第12题)OAEF A 1B 1C 1所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．所以//EF BC ．……………………………………………3分又BC平面ABC 中，EF ?平面ABC 中，故//EF 平面ABC ．…………………………………6分（2）因为三棱柱111ABCA B C 为正三棱柱，所以1A A平面ABC ，所以1BCA A ．故由//EF BC ，得1EFA A ．………………………………………8分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC 为正三角形，所以BCAD ．故由//EF BC ，得EF AD ．…………………10分而1A A ADA ，1,A A AD 平面1A AD ，所以EF平面1A AD ．…………………………………12分又EF平面AEF ，故平面AEF平面1A AD ．………………14分16.（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BCA B．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22ab 的取值范围．解：(1)因为sin sin tan cos cos AB CAB ，即sin sin sin cos cos cos CA BCA B ，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C AC BC AC B ，即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B ，得sin()sin()C A BC ．………………………………………………………4分所以C A B C ，或()CA BC (不成立)．即2CA B , 得3C．………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B设2πππ0,,333A B知-．因2sin sin ,2sin sin aR A A bR BB ，…………………………………8分故22221cos21cos2sin sin 22ABabAB=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332．…………………11分ππ2π2π,2,3333由-知-1cos212≤，故223342ab ≤．………14分17.（本题满分14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD ABAD 为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB 交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD 的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，ABx ，2BC x ．因2xx ，故12x．…………2分设DPy ，则PCxy ．因△ADP ≌△CB P ，故PA PC x y ．由222P AA DD P ，得2221()(2)2(1)xy x yyx，12x．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x ………………………………………………6分23()222xx ，当且仅当2x ∈(1，2)时，S 1取得最大值．…………………………………8分故当薄板长为2米，宽为22米时，节能效果最好．…………………9分（3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x ，12x．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x xxx．……………………11分ABCD（第17题）BP关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x时，2S 取得最大值．……………………13分故当薄板长为32米，宽为322米时，制冷效果最好．…………………14分18.（本题满分16分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S ．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n nn a b ，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a =0．………………………………3分(2)由1()2nnn a a S ，即2nnna S ，①得11(1)2n nna S ．②②－①，得1(1)nn na na ．③于是，21(1)nn na n a ．④③+④，得212n n n na na na ，即212n n n a a a ．………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1．……………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333pqp q ．……………………………………………11分所以，213()33qpp q(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解．…………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p pp p p p<0，故数列{23pp }(p ≥3)为递减数列，于是2133pp ≤323133<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．19.（本题满分16分）已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．解：依题设c =1，且右焦点F (1，0)．所以，2a =EF EF =222323(11)2333，b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x ．……………………………4分(2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则2211132x y ①，2222132x y ②．②－①，得21212121()()()()032x x x xy yy y．所以，k 1=212121212()423()63P Py y x x x x x y y y ．………………………………9分(3)依题设，k 1≠k 2．设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360kxk k x k．于是，1221323Mk k x k，221223Mk y k．…………………………………11分同理，1222323Nk k x k，122223Nk y k．当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =MN MNy y x x 222211212146()9()kk k k k k k k =21211069k k k k ．………………13分直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k yxk k kk，即21211222221211110610632()992323k k k k k k ky xk k k k kk，亦即2121106293k k yxk k ．此时直线过定点2(0,)3．……………………………………………15分当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3．综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3．……………………………16分20.（本题满分16分）已知函数()(0ln xf x ax xx且x ≠1)．（1）若函数()f x 在(1,)上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若212,[e,e ]x x ，使f (x 1)≤2()f x a 成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因f (x )在(1,)上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x ax 在(1,)上恒成立．………………2分所以当(1,)x 时，max()0f x ．又22ln 111()ln ln (ln )x f x aaxxx 2111ln 24a x，故当11ln 2x ，即2e x 时，max1()4f x a ．所以10,4a 于是14a ≥，故a 的最小值为14．……………………………6分（2）命题“若212,[e,e ],x x 使12()f x f x a 成立”等价于“当2[e,e ]x时，有minmax()f x f xa ”．……………………………7分由（1），当2[e,e ]x时，max1()4f x a ，max14f xa．问题等价于：“当2[e,e ]x 时，有min1()4f x ”．…………………………8分1当14a时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e24f a ，故21124ea ．………………………10分2当14a时，由于()f x 2111ln 24a x 在2[e,e ]上为增函数，故()f x 的值域为2[(e),(e )]f f ，即1[,]4a a ．(i )若0a，即0a，()0f x 在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数，于是，min ()f x =1(e)eee>4f a ，不合．…………………………12分(ii )若0a ，即14a，由()f x 的单调性和值域知，唯一20(e,e )x ，使0()0f x ，且满足：当0(e,)x x 时，()0f x ，()f x 为减函数；当20(,e )xx 时，()0f x ，()f x 为增函数；所以，min ()f x =0001()ln 4x f x ax x ，20(e,e )x ．所以，2001111111ln 44e244ln eax x ，与104a矛盾，不合．………15分综上，得21124ea ．…………………………………………………16分南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．选修4－2：矩阵与变换已知曲线2:2C yx ，在矩阵M1002对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N011对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．解：设A =NM ，则A011002121，…………………………………3分设','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为,P x y ，则02'2'1''x x y yy x ，即2',',xy yx ∴',1'.2x y y x ……………7分又点','P x y 在曲线2:2C yx 上，∴21()22x y ，即218yx ．…………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos3sin3，直线l 的参数方程为3,1x t yt(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解：曲线C 的普通方程是2213xy．……………………………………2分直线l 的普通方程是330xy ．………………………………………4分设点M 的直角坐标是(3cos ,sin )，则点M 到直线l 的距离是3cos 3sin 32dπ32sin()142．………………………………7分因为22sin()24，所以当πsin()14，即ππ2π(42k kZ )，即3π2π(4k kZ )时，d 取得最大值．此时623cos,sin22．综上，点M 的极坐标为7π(2,)6时，该点到直线l 的距离最大．……………………10分注凡给出点M 的直角坐标为62(,)22，不扣分．22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使12PQQM ，且0PR PM ．（1）求动点M 的轨迹C 1；（2）圆C 2：22(1)1xy ，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD 为定值．解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2PR PM PQQM 及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y 化简，得24xy ．……………………………………4分所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．……………………5分法二：设M (x ，y )．由12PQQM ，得(,0),(0,)23x yP Q ．所以，3(,3),(,)22xx PRPMy ．由0PR PM，得3(,3)(,)022xx y ，即23304x y．化简得24xy ．…4分所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．……………………5分（2）证明：由题意，得A B C DA B C D ，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ．设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FAFBy y ．……………………7分同理2C Dy ．设直线l 的方程为(1)xk y ．由2(1),1,4x k y y x 得221(1)4yk y，即2222(24)0k yky k．所以，121AB CD AB CD y y ．…………………………………10分23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a na aa anN ．（1）若1a，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a ，试证明：对*nN ，a n 是4的倍数．解：(1)当1a时，1114,(1)1n a n a a ．令1n nb a ，则115,(1)nb nb b ．因15b 为奇数，n b 也是奇数且只能为1，所以，5,1,1,2,nn b n即4,1,0,2.nn a n………………………………3分(2)当3a时，1114,31n a na a ．………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当1n时，1441a ，命题成立；设当*()n k k N 时，命题成立，则存在tN *，使得4k a t ，1414(1)1313127(41)1k a t t ka 27(41)14(277)m m ，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C4t t rrt rt t t t m ，mZ ，当1n k时，命题成立．由数学归纳法原理知命题对*nN 成立．……………………………10分南通市2013届高三第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议第1题考查集合运算．注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算．第2题考查复数的基本概念及几何意义．对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点．第3题考查常见几何体的表面积与体积的计算．应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距．第4题本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用．第5题本题考查简易逻辑的知识．应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换．第6题本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识．对双曲线的讲评不宜过分引申．第7题本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算．法一用性质．S 9=9a 5= -36，S 13= 13a 7= -104，于是a 5= -4，a 7= -8，等比中项为42．法二用基本量．S 9=9a 1+36d = -36，S 13=13a 1+78d = -104，解得a 1=4，d = -2．下同法一．第8题本题主要考查算法及几何概型等知识．法一当输入x =1时，可输出x =15；当输入x =9时，可输出y =79．于是当输入x 的取值范围为[1，9]时，输出x 的取值范围为[15，79]，所求概率为7955379158．法二输出值为87x．由题意：8755x≥，故69x ≤≤．第9题本题主要考查向量与解三角形的有关知识．满足||||ABAC BC 的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，于是BA BC =2BA =1．第10题本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算．讲评时应强调对数的真数应大于0．强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系．第11题本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义．(1)()e(0)exf f x f x 1(1)(1)e(0)1ef f f (0)1f ．在方程2(1)1()e(0)e2xf f x f xx 中，令x =0，则得(1)e f ．讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别．第12题本题主要考查三角函数及其应用．考题取自教材的例题．教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题．S (t )=103sin()32t，求S (5)= -1.5即可．第13题本题主要考查直线与圆的有关知识．圆心C (-1，0)到直线l ：y =ax +3的距离为2|3|31a da ，解得a >0或a <34．由PA =PB ，CA =CB ，得PC ⊥l ，于是1PCk a，进而可求出x 0的取值范围．第14题考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．法一2223631013x x x xmx x2231613x xx x．当且仅当223113x xx x，即2x时m取得最小，此时点P的坐标为(2,3)．法二33213612x y x ymx y21612y xx y．当且仅当2112y xx y时m取得最小值．下略．。

2013届南通高中数学小题校本作业必修3 参考答案１. 算法的含义1．有限、确定； 2．①③； 3．27； 4．刷水壶→烧水（同时洗脸刷牙）→泡面→吃饭（同时听广播）共23min ． 5．②①③． 6． S1 取n ＝100S2 代入公式(1)1232n n n +++++=计算得5050． 7． S2 将S1的运算结果2与3相乘，得到6；S3 将S2的运算结果6与4相乘，得到24． 8． 找出a ，b ，c ，d 中的最小数．9．第一步：求对应的方程22730x x -+=的根：1,32；第二步：确定根的大小：132<； 第三步：写出解集：{|3x x >或1}2x <． 10．解：第一步：使1S =，；第二步：使2I =； 第三步：使1n I=； 第四步：使S S n =+； 第五步：使1I I =+；第六步：如果100I ≤，则返回第三步，否则输出S ．11．S1 找一空瓶；S2 将黑墨水倒入空瓶；S3 将蓝墨水倒入蓝墨水瓶中； S4 将黑墨水倒入黑墨水瓶中． 12．（1）由于输入a 的值不同，代入的关系式不同，从而它是求分段函数值问题，这个分段函数为221,4,()23,4x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩．（2）实质上是求分段函数的最小值的问题．当4x ≥时，()217f x x =-≥；当4x <时，22()23(1)22f x x x x =-+-+≥，min ()2f x ∴=．此时1x =，∴ 当输入的a 的值为1，输出的数值最小．２. 顺序结构1．①②③④． 2．输入和输出．3．菱形．4．顺序结构、选择结构、循环结构． 5．x ←y ，y ←p ． 6．26． 7．以l 1与l 2的交点M 为圆心，MA 为半径作圆． 8．8． 9．11． 10．－3． 11．第1步 写出过点（－1,1），（3,9）的直线方程； 第2步 在直线方程中令0y =，解出x 的值； 第3步12．如图．３. 选择结构1．4；2．求分段函数21,;21,0.x x y x x ⎧-=⎨-<⎩≥0的值； 3．8； 4．求a ，b ，c 三个数中的最小者； 5．0或1；6．16.25；7．及格； 8．m =0； 9． c ＞x ； 10．231；11．（1）该流程图是求函数22(2)()2(2)x f x x x x -≤⎧=⎨->⎩的值．（2）①当输入的x 值为1时,输出 y = -2．②由228x x -=得x =4或x = -2（舍去）．③当2x ≤时，x = - 2符合题意，当x >2时，由22x x x -=得x =3或x =0（舍去），所以当x = - 2或x =3时，输入的x 和输出的y 相等．第12题第11题4. 循环结构1．②③； 2．（1）（4）； 3．3； 4．5，15； 5．499； 6．求满足1×3×5×…×n ≥10000的最小正奇数n ； 7．i ＜10或S ＜132（不惟一）； 8．S ←S ＋i ，i ←i ＋2； 9．12，3； 10．4； 11．如图：12．如图．题5. 赋值语句，输入输出语句1．6； 2．①②⑤⑥； 3．3，3； 4．Read a ，b ；5．－5，6，6；6．3，－5； 7．15,24-； 8．3，－5 9．d ＝193；10．c ＝－13；11．伪代码如下：12．如图． 6. 条件语句1．2；2．End If ；3．10； 4．4，3；5．22,－226．－8；7．4，－12；8．223,2;log ,2,x x y x x -⎧=⎨>⎩≤；9．12，2；10．1；11．12．如图．7. 循环语句1．While 或Do 循环；2．当型，直到型；3．100；4．10i >； 5．③； 6．55；7．求满足1×3×5×…×n ＞2009的最小整数n ；8．500；9．相同；Read xIf x ≥0 Then y ←x Elsey ←－x End IfPrint y第11题 Read x （x ≤1000000） If x ≤100 Then y ←1 ElseIf x ≤5000 Then y ←0.01x Else y ←50 End If End If Print y第12题10．统计出x 1,x 2,...,x 10这10个数中负数的个数； 11．程序实现如下计算：S=1+2+3+ (100)语句S←S+i 和i←i+1调换顺序后，程序实现如下计算： S=2+3+4+…+101 调换顺序前后，程序在运算功能上有差别． 12．流程图略 n ←1While 3n <1000Print n n ←n +1End While8. 算法综合训练1．③； 2．2，3，2；3．21； 4．64； 5．i ＞10（不惟一）；6．4； 7．2500；8．43； 9．①x ＝0, ② x ＞0,③ y ←－1；10．I ，I －2；11．（1）① s ≤2007 ②s ← 2s i + ③ 输出i －1； （2）s ←0i ←1While s ≤2007s ← 2s i + i ←i ＋1 End While Print i －111．(1) 算法功能是求满足不等式10000...321<⨯⨯⨯⨯n 的最大正整数．(或10000...321≥⨯⨯⨯⨯n 的最小正整数的前一个）相应的流程图如下图左. （2）求整数a 的所有比它小的正因数的和S=36,相应的流程图如下图右.9. 抽样方法1．抽签法，随机数表法； 2．4； 3．（1）（3）（4）；4．9，100； 5．25，17，8；6．0795；7．8,16,10,6；8．简单随机抽样，分层抽样； 9．15；10．37，20．由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为2000.5100⨯=,则应抽取的人数为20人. 11．（1）由题设可知0.173000x=，所以x =510. （2）高三年级人数为y ＋z ＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：300990993000⨯= 名.答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．12．该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：50709900010005700990100⨯+⨯=户，所以所占比例的合理估计是5700100000 5.7%÷=.10. 频率分布1．样本估计总体； 2．5； 3．120； 4．0.4； 5．55%； 6．（3）（4）； 7．60； 8．（4）； 9．30； 10．90； 11．(1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人， ∴样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500,2 000)的频率0.000 4×500＝0.2；月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15； 月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05.∴月收入在[2 500,3 500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.15. ∴样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为0.15×10 000＝1 500. (2)∵月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10 000＝2 000，∴再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)．12．解：（1）（2）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16占样本的比例是160.3250=，即获二等奖的频率约为32%， 所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人． 答：获二等奖的大约有256人．11. 茎叶图1．“茎”，“叶”，从小到大；2．所有的数据信息，记录和表示；3．45； 4．3；5． 6．乙； 7．30．4% ， 60 ； 8．58； 9．单组数据，比较分析； 10．111．（1）画茎叶图,中间数为数据的十位数. 从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况 都是分布均匀的，但乙的中位数是33.5，甲 的中位数是33.因而乙总体得分情况比甲好. （2）由茎叶图知：甲的中位数是33,乙的中 位数是33.5.比较可得选乙参加比赛较为合 适. 12．【解析】（1频率 组距01234583 4 636 83 8 91（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A 的平均每亩产量为411.1千克，品种B 的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A 的平均亩产量比品种B 的平均亩产量高.但品种A 的亩产量不够稳定，而品种B 的亩产量比较集中D 平均产量附近.12. 平均数、方差 1．8.8；2．6；3．15，10；4．ns 2；5．96；6．4，2.7；7．a ＜b ＜c ；8．85和1.6；9．25；10．192280 kg ； 11．（1）采用的方法是：系统抽样；（2）1102101999810398991007x =++++++=甲（）； 11101159085751151101007x =++++++=乙（）；214114941 3.428577S =++++++=甲（）；21100225100225625225100228.577S =++++++=乙（）；∴ 22S S <乙甲 故甲车间产品比较稳定．12．设第一组20名学生的成绩为x 1，x 2，x 3，…，x 20，第二组20名学生的成绩为x 21，x 22，…， x 40.根据题意得90＝x 1＋x 2＋…＋x 2020，80＝x 21＋x 22＋…＋x 4020，x ＝x 1＋x 2＋…＋x 4040＝90×20＋80×2040＝85，第一组的方差s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220)－902，① 第二组的方差s 22＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240)－802，② 由①＋②得36＋16＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220＋x 221＋…＋x 240)－(902＋802)， ∴x 21＋x 22＋…＋x 24040＝7276.s 2＝x 21＋x 22＋…＋x 24040－852＝7276－7225＝51，∴s ＝51.13. 线性回归方程1．（1）（3）； 2．ˆ 1.20.2y x =+； 3．减少1.5； 4．80 5．69.96；6．（9，9）； 7．70； 8．ˆ 5.250.7yx =-； 9．ˆ183.68 1.96y x =+； 10．83%；11．（1）设所求的线性回归方程为ˆybx a =+， 则121()()100.520()niii nii x x yy b x x ==--===-∑∑，0.4a y bx =-=. ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为 0.50.4y x =+. （2）由(1) 可知,当11x =时, 0.50.40.5110.4 5.9y x =+=⨯+=万元. ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． 12．解：(1)设年收入为x 元，年支出为y 元，知x ＝88000元，y ＝50000元，b ＝0.6， 则a ＝y －b x ＝50000－0.6×88000＝－2800.故支出对于收入的回归方程为y ^＝0.6x －2800.(2)年收入每增加100元，年消费支出平均增加60元． (3)某家庭年消费支出为80000元，根据回归方程y ^＝0.6x －2800，可得80000＝0.6x －2800，解得x ＝138000，即估计该家庭的年收入为138000元．14. 统计综合训练1．从总体中抽取的一个样本； 2．16； 3．ma ＋nb ＋pcm ＋n ＋p4．n M k ； 5．mh； 6．8；7．甲的方差比乙的方差大，乙； 8．650； 9．8640； 10．6 0.45； 11．茎叶图如下图,可以得乙班总体每分钟跳绳成绩优于甲班.12．(1)4 468 24568 2 甲56 789乙2 65 876423 6频率分布直方图如上图所示．(2)由计算器可得到平均数x ＝170.1 cm ，标准差s ≈5.6 cm.(3)因为x ＝170.1，s ≈5.6，所以区间(x －s ，x ＋s )为(164.5,175.7)．又因为样本中落在区间(164.5,175.7)内的数据有36个，所以样本数据中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内，因此估计总体中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内．15. 随机事件及其概率1．2； 2．（3）（4）； 3．③； 4．0.1； 5．④ ② ①③； 6．（1）0≤P （A ）≤1（2）()1P Ω=，()0P ∅=；7．(,1]-∞-；8．19；9．511； 10．表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517；0.518； 11．(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件．(2)“取出的球是白球”是随机事件．(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然发生，因此，它是必然事件． 12．(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89, 所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.16. 古典概型（1）1．3；2．15；3．13；4．112；5．41；6．12；7．13；8．130；9．49；10．13；11．(1)所有基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共6种排列方法．(2)甲在乙之前的排法有：甲乙丙、甲丙乙、丙甲乙共3种．(3)由古典型概率公式可得甲在乙之前的概率P ＝36＝12.12．13 , 13 , 13．17. 古典概型（2） 1．710；2．29；3．8；4．③；5．2027；6．13；7．P 1<P 2<P 3；8．3和4；9．625；10．29；11．(1)先后掷一枚形状为正方体的骰子出现点数向上有36种等可能事件，向上的点数不相等的情况有： （1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）（1，6）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，5）、（4，6）、（5，1），（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，6）（6，1），（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）,共30个基本事件．故所求概率为1p ＝3036＝56． (2)满足x y +＜6的情况有(1，1)、(1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、 （3，1）、（3，2）、（4，1）,共10个基本事件． 故所求概率为2p ＝1036＝518． 12．(1)设红球有x 个，白球y 个，依题意得x x ＋y ＋10＝14，y x ＋y ＋10＝13，解得x ＝6，故红球有6个．(2)记“两球的编号之和不大于5”为事件A ，所有的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12个基本事件．事件A 包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共8个基本事件．所以，P (A )＝812＝23. 18. 几何概型1．13；2．1π；3．0.004；4．①；5．18；6．13；7．π8；8．0.4，0.6；9．233π；10．4.6； 11．略解：（1）21；（2）12π12-． 12．设x ，y 分别表示两人的到达时刻，则0≤x ≤60，0≤y ≤60（单位：分钟）．这样的点（x ，y ）构成矩形OABC ，即区域D ．两人能会面的条件为20x y -≤，这条件确定区域d ，即图中阴影部分．设 “两人能会面”为事件A ，所求概率为22260405()609d P A D -===的面积的面积． 答：两人会面的概率为59．19. 互斥事件及其发生的概率1．③；2．3；3．0.96；4．0.55；5．815；6．87；7．47250；8．0.10；9．65%；10．0.25； 11．(1)由于事件C “至多订一种报”可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B 与事件E 是互斥事件，由于事件B 发生可导致事件E 必不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故事件B 与事件E 是对立事件．(3)事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件D “不订甲报”中包括“只订乙报”，所以事件B 和D 可能同时发生，故B 与D 不是互斥事件．(4)事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有这些可能：“甲、乙两种报都不订”，“只订甲报”，“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E “一种报也不订”仅仅是事件C 的一种可能，事件C 与事件E可能同时发生，故事件C 与E 不是互斥事件．12．根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B ＝“考试成绩在90分以上”，C ＝“考试成绩在80～90分”，D ＝“考试成绩在70～79分”，E ＝“考试成绩在60～69分”．记事件A ＝“考试成绩在80分以上”，因为事件B 、C 为互斥事件．由互斥事件的概率加法公式可知，P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.记事件F ＝“小明考试及格”．因为B 、C 、D 、E 两两互斥，由互斥事件的概率加法公式应有P (F )＝P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.20． 概率综合训练1．②、③；2．78；3．23；4．120；5．310；6．750；7．[；8．16；9．518；10．13； 11．（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班;(2) 15816216316816817017117917918217010x +++++++++== 甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+- ()()()()()22222170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝57 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；()42105P A ∴==． 12．(1)设“3个球全是红球”为事件A ，从袋中有放回地抽取3次，每次取一个，可出现27种等可能的结果，其中全为红球的结果只有一种，所以P (A )＝127. (2)3个球的颜色完全相同只可能有三种情况：“3个球全是红球”(事件A )，“3个球全是黄球”(事件B )，“3个球全是白球”(事件C )，3个颜色完全相同为事件A ＋B ＋C ，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝127＋127＋127＝19. (3)设“3个球的颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3个球的颜色全相同”，且P (D )＝19，∴P (D )＝1－P (D )＝1－19＝89. (4)设“3个球的颜色全不相同”为事件E ，则其基本事件共有6个，∴P (E )＝627＝29. 21．综合复习（一）1．85 2．40 3．15 4．112 5．19125 6．15 7．24 23 8．14π- 9．0.79 10．9011．(1)甲网站的全距为：73－8＝65；乙网站的全距为：71－5＝66.(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝27≈0.28571. (3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．12．① 设该顾客中奖的事件为A则中奖的情况为：一张中奖，一张不中奖；二张均中奖 ()43462210932p A ⨯⨯+==⨯ ② 设该顾客获得的奖品总价值不超过50元的事件为B()()131********2p B p B ⨯=-=-=⨯. 答：该顾客中奖的概率为23该顾客获得的奖品总价值不超过50元的概率为1415. 22.综合复习（二）1．7502．23 3．45 4．（1.5,5） 5.144 6．12 7．15 8．10i > 9．23 10．29 11．（1）设3号信箱恰好有一封信的概率为P 1，则P 1 =34423⋅=3281 ； （2）设A 信没有投入1号信箱的概率为P 2，则32423233P ⋅== ． 12．(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2000， 则z ＝2000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001000＝a 5，则a ＝2. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个，事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个，故P (E )＝710，即所求概率为710. (3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.23.综合复习（三）1．810 2．148. 3．9 4．0.3 5．12256．50%. 7．25 8．310 9．508110．23 11．（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366=. （2）两个骰子同时掷的结果可能出现的情况如下表.其中共有36种不同情况，但数字之和却只有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为361，出现数字之和为6的共有)1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(五种情况，所以其概率为365 12．(1）(1)处应填30≤i ；（2）处应填i p p += （2）根据以上框图，可设计程序如下：24.综合复习（四）1．2，1 2．1,2 3. 34 4．37 5．1225 6．35 7．16 8．50% 9．92510．211．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（1）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （2）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯． 12．(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；(3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef }共有15种． 记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本事件的种数有9种．所以93()155P A ==，故2人中至少有一名是第四组的概率为35．。

2013年江苏省南通市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A =(−2, 1],B =[−1, 2)，则A ∪B =________． 2. 设复数z 满足(3+4i)z +5=0（i 是虚数单位），则复数z 的模为________． 3. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．4. “M >N”是“log 2M >log 2N”成立的________条件．5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度（单位：km/ℎ）绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/ℎ∼120km/ℎ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x 2=2py(p >0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为________．7. 从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x −1)2+y 2=4上的任意一点，点Q(2a, a −3)(a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为________．9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0≤φ<2π)在R 上的部分图象如图所示，则f(2013)的值为________．10. 各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2−a 1=1．当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n =________．11. 已知函数f(x)={ax 2−2x −1，x ≥0x 2+bx +c ，x <0是偶函数，直线y =t 与函数y =f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB =BC ，则实数t 的值为________．12. 过点P(−1, 0)作曲线C:y =e x 的切线，切点为T 1，设T 1在x 轴上的投影是点H 1，过点H 1再作曲线C 的切线，切点为T 2，设T 2在x 轴上的投影是点H 2，…，依次下去，得到第n +1(n ∈N)个切点T n+1．则点T n+1的坐标为________．13. 在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB =2，EF =√2，CD =√3．若 AC →⋅BD →=13，则AD →⋅BC →的值为________．14. 已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 3=0，a 1a 42+a 2a 4−a 2=0，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是________．二、解答题15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB // 平面PCD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinC 2sinA−sinC=b 2−a 2−c 2c 2−a 2−b 2．（1）求角B 的大小；（2）设T =sin 2A +sin 2B +sin 2C ，求T 的取值范围．17. 某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为△T ，单位时间内，在单位面积上通过的热量Q =k ⋅△T d，其中k为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为4×10−3J ⋅mm/∘C ，空气的热传导系数为2.5×10−4J ⋅mm/∘C ．）（1）设室内，室外温度均分别为T 1，T 2，内层玻璃外侧温度为T 1′，外层玻璃内侧温度为T 2′，且T 1>T 1′>T 2′>T 2．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用T 1，T 2及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，离心率为√22．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C 两点），且OE=EF．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．19. 已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b n}是首项为1，公比为q(q>1)的等比数列．（1）若a5=b5，q=3，求数列{a n⋅b n}的前n项和；（2）若存在正整数k(k≥2)，使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．20. 设f(x)是定义在(0, +∞)的可导函数，且不恒为0，记g n(x)=f(x)x n(n∈N∗)．若对定义域内的每一个x，总有g n(x)<0，则称f(x)为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有[g n(x)]′≥0，则称f(x)为“n阶不减函数”（[g n(x)]′为函数g n(x)的导函数）．（1）若f(x)=ax3−1x−x(x>0)既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”f(x)，如果存在常数c，使得f(x)<c恒成立，试判断f(x)是否为“2阶负函数”？并说明理由．2013年江苏省南通市高考数学三模试卷答案1. (−2, 2)2. 13. 24004. 必要不充分5. 156. 47. 1128. √5−29. −5√3210. 2n−111. −7412. (n, e n)13. 13.514. (−1−√52，−1+√52)15. 在矩形ABCD中，AB // CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB // 平面PCD．如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，又PA＝PB＝PC＝PD，故PO⊥AC，PO⊥BD，又AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．16. 解：（1）∵ 在△ABC中，b2=a2+c2−2accosB，∴ b2−a2−c2=−2accosB，同理可得c2−a2−b2=−2abcosC∵ sinC2sinA−sinC =b2−a2−c2 c2−a2−b2∴ sinC2sinA−sinC =−2accosB−2abcosC=ccosBbcosC=sinCcosBsinBcosC，…∵ sinC≠0，可得sinBcosC=2sinAcosB−sinCcosB，∴ 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，…∵ sinA≠0，∴ 等式两边约去sinA，可得cosB=12，∵ 0<B<π，∴ 角B的大小π3．…（2）∵ B=π3，sin2A=12(1−cos2A)，sin2C=12(1−cos2C)T=sin2A+sin2B+sin2C=74−12(cos2A+cos2C)∵ A+C=2π3，可得2C=4π3−2A，∴ cos2A+cos2C=cos2A+cos(4π3−2A)=12cos2A−√32sin2A=sin(π6−2A)因此，T=74−12(cos2A+cos2C)=74−12sin(π6−2A)…∵ 0<A<2π3，可得−7π6<π6−2A<π6，∴ −1≤sin(π6−2A)<12，可得32<74−12sin(π6−A)≤94因此，T =sin 2A +sin 2B +sin 2C 的取值范围为(32, 94]…17. 当x =12mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%．18. 解：（1）由题意，得c =1，e =ca =√22， 故a =√2，可得b 2=a 2−c 2=1， ∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1． ①… （2）证明：设直线AB 的方程为y =kx ，② 直线CD 的方程为y =−k(x −1)，③… 由①②联解，得点A 的横坐标为√22k 2+1，点B 的横坐标为−√22k 2+1，同理，联解①③，得点C 的横坐标为2k 2−√2(k 2+1)2k 2+1，D 的横坐标为2k 2+√2(k 2+1)2k 2+1…记A(x 1, kx 1)，B(x 2, kx 2)，C （x 3, k(1−x 3)），D （x 4, k(1−x 4)），因此，直线AC ，BD 的斜率之和为 kx 1−k(1−x 3)x 1−x 3+kx 2−k(1−x 4)x 2−x 4=k ⋅(x 1+x 3−1)(x 2−x 4)+(x 1−x 3)(x 2+x 4−1)(x 1−x 3)(x 2−x 4)=k ⋅2(x 1x 2−x 3x 4)−(x 1+x 2)+(x 3+x 4)(x 1−x 3)(x 2−x 4)…=k ⋅2(−22k 2+1−2(k 2−1)2k 2+1)−0+4k 22k 2+1(x 1−x 3)(x 2−x 4)=0．即直线AC ，BD 的斜率之和为0（定值） …19. 解：（1）依题意，a 5=b 5=b 1q 5−1=1×34=81， 故d =a 5−a 15−1=81−14=20，所以a n =1+20(n −1)=20n −19，令S n =1×1+21×3+41×32+⋯+(20n −19)⋅3n−1，①则3S n =1×3+21×32+⋯+(20n −39)⋅3n−1+(20n −19)⋅3n ，② ①-②得，−2S n =1+20×(3+32+⋯+3n−1)−(20n −19)⋅3n =1+20×3(1−3n−1)1−3−(20n −19)⋅3n =(29−20n)⋅3n −29， 所以S n =(20n−29)⋅3n +292．（2）因为a k =b k ，所以1+(k −1)d =q k−1，即d =q k−1−1k−1，故a n =1+(n −1)q k−1−1k−1，又 b n =q n−1，所以b n−a n=q n−1−[1+(n−1)q k−1−1k−1]=1k−1[(k−1)(q n−1−1)−(n−1)(q k−1−1)]=q−1k−1[(k−1)(q n−2+q n−3+⋯+q+1)−(n−1)(q k−2+q k−3+⋯+q+1)]，(I)当1<n<k时，由q>1知，b n−a n=q−1k−1[(k−n)(q n−2+q n−3+⋯+q+1)−(n−1)(q k−2+q k−3+⋯+q n−1)]<q−1k−1[(k−n)(n−1)q n−2−(n−1)(k−n)q n−1]=−(q−1)2q n−2(k−n)(n−1)k−1<0；(II)当n>k时，由q>1知，b n−a n=q−1k−1[(k−1)(q n−2+q n−3+⋯+q k−1)−(n−k)(q k−2+q k−3+⋯+q+1)]>q−1k−1[(k−1)(n−k)q k−1−(n−k)(k−1)q k−2]=(q−1)2q k−2(n−k)>0，综上所述，当1<n<k时，a n>b n；当n>k时，a n<b n；当n=1时，a n=b n．20. 解：（1）依题意，g1(x)=f(x)x =ax4−1x2−1在(0, +∞)上单调递增，故[g1(x)]′=−4ax5+2x3≥0恒成立，得a≤12x2，…因为x>0，所以a≤0．…而当a≤0时，g1(x)=ax4−1x2−1<0显然在(0, +∞)恒成立，所以a≤0．…（2）①先证f(x)≤0：若不存在正实数x0，使得g2(x0)>0，则g2(x)≤0恒成立．…假设存在正实数x0，使得g2(x0)>0，则有f(x0)>0，由题意，当x>0时，g2′(x)≥0，可得g2(x)在(0, +∞)上单调递增，当x>x0时，f(x)x2>f(x0)x02恒成立，即f(x)>f(x0)x02⋅x2恒成立，故必存在x1>x0，使得f(x1)>f(x0)x02⋅x12>m（其中m为任意常数），这与f(x)<c恒成立（即f(x)有上界）矛盾，故假设不成立，所以当x>0时，g2(x)≤0，即f(x)≤0；…②再证f(x)=0无解：假设存在正实数x2，使得f(x2)=0，则对于任意x3>x2>0，有f(x3)x32>f(x2)x22=0，即有f(x3)>0，这与①矛盾，故假设不成立，所以f(x)=0无解，综上得f(x)<0，即g2(x)<0，故所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”．…。

江苏省南通一中高三数学综合训练(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式（1+x ）(1-|x|）>0的解集是 （ ） A ．{}11<<-x x B. {}1<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}11-≠<x x x 且 2．设全集I={1,3,5,7,9}，集合A={1,|a-5|,9}，C I A={5,7},则a 的值为 （ ） A ．2 B ．8 C ．-2 或8 D ．2 或 83. 在等差数列{}n a 中，若4a +6a +8a +10a +12a =120，则210a -12a 的值为 （ ） A 、20 B 、22 C 、24 D 、284.已知f （x ）是偶函数，它在[0，+∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x 的取值范围是 （ ） A. (101,1) B.(0, 101) (1,+∞) C. (101,10) D.(0,1) (10,+∞) 5.对一切实数x ，不等式012≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．（-∞，-2） B ．[-2，+∞) C ．[-2,2] D ．[0，+∞) 6． 下列函数中，同时具有性质：①图象过点（0，1）②在区间（0，+∞）上是减函数③是偶函数，这样的函数是 （ ） A ．f （x ）=3x B f （x ）= )3(log 3+x C ．f （x ）=x)31( D ．f （x ）= x37. 函数f （x ）=x +2（x ≥0）的反函数f 1-（x ）的图象是 （ ）8． 有下列四个命题： （1）“若xy=1，则x,y 互为倒数”的逆命题； （２）“面积相等的三角形全等”的否命题； （３）“若b<0，则x 2+ax+b=0有实根”的逆否命题； （４）“若x>2，则x>3”的逆否命题.其中真命题是 （ ） A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（1）（2）（3） D ．（3）（4）9．已知集合A={}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>=1,21,1,log 2x y y B x x y y x，则A B 等于（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210y y B ．{}10<<y y C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121y y D ．φ 10．等比数列{}n a 的公比为q ，则“1a >0,且q>1”是“对于任意自然数n ，都有1+n a >n a ”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分又非必要条件 （ ） 11．已知数列{}n a 的通项公式为n a =cbn an+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a 与1+n a 的大小是 （ ） A ．n a >1+n a B ． n a <1+n a C ． n a =1+n a D. 与n 的取值有关12．设二次函数，)0()(2>+-=a a x x x f 若0)(<m f ，则)1(-m f 的值为 （ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．（必做题部分）一、填空题（每小题5分，共70分）1、已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则AB = ▲ ．2、已知a ，b ，c R ∈，命题“若3=++c b a ，则222c b a ++≥3”的否命题是______▲_____． 3、若)127cos(,31)12sin(παπα+=+则的值为 ▲ . 4、函数()f x ln x x =-2单调递减区间是 ▲ ．5、已知|a |=2，|b |=3，a 和b 的夹角为45°，若向量(λa + b )⊥(a +λb )，则实数λ的值为 ▲ ．6、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()f x f x =+4，当(,)x ∈-20时，()x f x =2，则()()f f -20122013＝ ▲ ．7、设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则n a = ▲ ． 8、已知命题p ：()13x f x a =-⋅在(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围▲ ．9、设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ▲ ．10、当102x ≤≤时，31|2|2ax x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11、已知存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线，则实数a 的取值范围是 ▲12、设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为___▲_____． O2π πxyA B13、设实数1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[],x a a ∈3，都有[,]y a a ∈2满足方程c y x a a =+log log ，这时，实数a 的取值的集合为 ▲ ． 14、已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。

2013年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x +1>0}，则∁U A =________．2. 已知复数z =3−2i i（i 是虚数单位），则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．3. 已知正四棱锥的底面边长是6，高为√7，这个正四棱锥的侧面积是________．4. 定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x +2)=f(x)，当x ∈(−2, 0)时，f(x)=4x ，则f(2013)=________．5. 已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的________．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一个焦点与圆x 2+y 2−10x =0的圆心重合，且双曲线的离心率等于√5，则该双曲线的标准方程为________．7. 若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=−36，S 13=−104，则a 5与a 7的等比中项为________．8.已知实数x ∈[1, 9]，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．9. 在△ABC 中，若AB =1，AC =√3，|AB →+AC →|=|BC →|，则BA →⋅BC →|BC →|=________．10. 已知0<a <1，若log a (2x −y +1)>log a (3y −x +2)，且λ<x +y ，则λ的最大值为________． 11. 曲线f(x)=f ′(1)ee x −f(0)x +12x 2在点（1, f(1)）处的切线方程为________．12. 如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为________cm ．13. 已知直线y =ax +3与圆x 2+y 2+2x −8=0相交于A ，B 两点，点P(x 0, y 0)在直线y =2x 上，且PA =PB ，则x 0的取值范围为________．14. 设P(x, y)为函数y =x 2−1(x >√3)图象上一动点，记m =3x+y−5x−1+x+3y−7y−2，则当m 最小时，点P 的坐标为________．二、解答题：本大题共12小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF // 平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=sinA+sinB．cosA+cosB（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．17. 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？18. 已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=n(a n−a1)．2（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=a n+1，试问是否存在正整数p，q（其中1<p<q），使b1，b p，b q成等比数3n列？若存在，求出所有满足条件的数组(p, q)；若不存在，说明理由．)．过点P(1, 1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的19. 已知左焦点为F(−1, 0)的椭圆过点E(1, 2√33动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段AB的中点，求k1；(3)若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．20. 已知函数f(x)=x−ax(x>0且x≠1)．lnx（1）若函数f(x)在(1, +∞)上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e, e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．21. 选修4−1：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，F 是BĈ的中点．求证：（1）AB ⋅AC =AE ⋅AD ； （2）∠FAE =∠FAD ． 22. 选修4−2：矩阵与变换已知曲线C ：y 2=2x ，在矩阵M =[1002]对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N =[0−110]对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程． 23. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为{x =−√3ty =1+t (t,t ∈R)．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 24. 选修4−5：不等式选讲已知a >0，b >0，且2a +b =1，求S =2√ab −4a 2−b 2的最大值． 25.如图，已知定点R(0, −3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使PQ →=12QM →，且PR →⋅PM →=0．(1)求动点M 的轨迹C 1；(2)圆C 2:x 2+(y −1)2=1，过点(0, 1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB →⋅CD →为定值．26. 已知数列{a n }满足：a 1=2a −2，a n+1=a a n −1+1(n ∈N ∗)． （1）若a =−1，求数列{a n }的通项公式；（2）若a =3，试证明：对∀n ∈N ∗，a n 是4的倍数．2013年江苏省南通市高考数学一模试卷答案1. {x|x ≤−1}2. 三3. 484. 145. 否命题6. x25−y220=17. ±4√28. 389. 1210. −211. y=ex−1212. −1.513. (−1, 0)∪(0, 2)14. (2, 3)15. 解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C 对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF // BC...3分又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF // 平面ABC；…6分（2）∵ 三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，∴ AA1⊥平面ABC，∴ BC⊥AA1，又EF // BC，∴ EF⊥AA1...8分又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．由EF // BC得EF⊥AD...10分而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD...14分16. 在△ABC中，∵ tanC=sinA+sinBcosA+cosB ，∴ sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB，化简可得sinCcosA−cosCsinA＝sinBcosC−cosBsinC，即sin(C−A)＝sin(B−C)．∴ C−A＝B−C，或者C−A＝π−(B−C) （不成立，舍去），即2C＝A+B，∴ C=π3．由于C=π3，设A=π3+α，B=π3−α，−π3<α<π3，由正弦定理可得a＝2rsinA＝sinA，b＝2rsinB＝sinB，∴ a 2+b 2＝sin 2A +sin 2B =1−cos2A2+1−cos2B2=1−12[cos(2π3+2α)+cos(2π3−2α)]＝1+12cos2α．由−2π3<2α<2π3，可得−12<cos2α≤1，∴ 34<1+12cos2α≤32，即a 2+b 2的取值范围为 (34, 32]．17. 解：（1）由题意，AB =x ，BC =2−x ．因x >2−x ，故1<x <2设DP =y ，则PC =x −y ．因△ADP ≅△CB′P ，故PA =PC =x −y ．由PA 2=AD 2+DP 2，得(x −y)2=(2−x)2+y 2，即y =2(1−1x )，1<x <2（2）记△ADP 的面积为S 1，则S 1=(1−1x)(2−x)=3−(x +2x)≤3−2√2，当且仅当x =√2∈(1, 2)时，S 1取得最大值故当薄板长为√2米，宽为2−√2米时，节能效果最好（3）记凹多边形ACB ′PD 的面积为S 2，则S 2=12x(2−x)+(1−1x )(2−x)=3−12(x 2+4x)，1<x <2，于是S 2′=−x 3+2x 2，∴ x =√23，关于x 的函数S 2在(1, √23)上递增，在(√23, 2)上递减．所以当x =√23时，S 2取得最大值故当薄板长为√23米，宽为2−√23米时，制冷效果最好 18. 令n ＝1，则a 1＝S 1=1(a 1−a 1)2=0，令n ＝3，则S 3=3(a 3−a 1)2，即0+1+a 3=3a 32，解得a 3＝2；证明：由S n =n(a n −a 1)2，即S n =na n 2①，得S n+1=(n+1)a n+12②，②-①，得(n −1)a n+1＝na n ③， 于是，na n+2＝(n +1)a n+1④，③+④，得na n+2+na n ＝2na n+1，即a n+2+a n ＝2a n+1， 又a 1＝0，a 2＝1，a 2−a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n −1．假设存在正整数数组(p, q)，使b 1，b p ，b q 成等比数列， 则lgb 1，lgb p ，lgb q 成等差数列， 于是，2p3p =13+q3q ．所以，q =3q (2p3p −13)(☆)．易知(p, q)＝(2, 3)为方程(☆)的一组解．当p≥3，且p∈N∗时，2(p+1)3p+1−2p3p=2−4p3p+1<0，故数列{2p3p}(p≥3)为递减数列于是2p3p −13≤2×333−13<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p, q)＝(2, 3)，使b1，b p，b q成等比数列．19. (1)解：由题意c=1，且右焦点F′(1, 0)，∴ 2a=EF+EF′=2√3，b2=a2−c2=2，∴ 所求椭圆方程为x23+y22=1；(2)解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x12 3+y122=1①，x22 3+y222=1②，②−①，可得k1=y2−y1x2−x1=−2(x2+x1)3(y2+y1)=−23；(3)证明：由题意，k1≠k2，设M(x M, y M)，直线AB的方程为y−1=k1(x−1)，即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得(2+3k12)x2+6k1k2x+3k22−6=0，∴ x M=−3k1k22+3k12，y M=2k22+3k12，同理，x N=−3k1k22+3k22，y N=2k12+3k22，当k1k2≠0时，直线MN的斜率k=y M−y Nx M−x N =10−6k1k2−9k1k2，直线MN的方程为y−2k22+3k12=10−6k1k2−9k1k2(x−−3k1k22+3k12)，即y=10−6k1k2−9k1k2x−23，此时直线过定点(0, −23)，当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0, −23)，综上，直线MN恒过定点，且坐标为(0, −23)．20. 解：（1）因f(x)在(1, +∞)上为减函数，故f′(x)=lnx−1(lnx)2−a≤0在(1, +∞)上恒成立，又f′(x)=lnx−1(lnx)2−a=−(1lnx)2+1lnx−a=−(1lnx−12)2+14−a，故当1lnx =12，即x=e2时，f′(x)max=14−a，所以14−a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14．（2）命题“若∃x 1，x 2∈[e, e 2]，使f(x 1)≤f ′(x 2)+a 成立”等价于“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a”，由（1），当x ∈[e, e 2]时，f′(x)max =14−a ，所以f′(x)max +a =14，问题等价于：“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤14”，①当a ≥14时，由（1），f(x)在[e, e 2]上为减函数， 则f(x)min =f(e 2)=e 22−ae 2≤14，故a ≥12−14e 2，；②当a <14时，由于f′(x)=−(1lnx−12)2+14−a 在[e, e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e), f′(e 2)]，即[−a, 14−a]．(I)若−a ≥0，即a ≤0，f′(x)≥0在[e, e 2]上恒成立，故f(x)在[e, e 2]上为增函数， 于是，f(x)min =f(e)=e −ae ≥e >14，不合题意；(II)若−a <0，即0<a <14，由f′(x)的单调性和值域知，∃唯一x 0∈(e,e 2)，使f′(x 0)=0，且满足：当x ∈(e, x 0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x 0)=x 0lnx 0−ax 0≤14，x 0∈(e,e 2)，所以a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14，与0<a <14矛盾，不合题意；综上，得a ≥12−14e 2．21. 证明：（1）连接BE ，则∠E =∠C ．又∠ABE =∠ADC =Rt∠， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴ ABAD =AEAC ．∴ AB ⋅AC =AE ⋅AD ．（2）连接OF ，∵ F 是BĈ的中点，∴ ∠BAF =∠CAF ． 由（1）得∠BAE =∠CAD ， ∴ ∠FAE =∠FAD ．22. 解：NM =[0−110][1002]=[0−210]，设P(x, y)为曲线C 2上任意一点，P′(x′, y′)为曲线y 2=2x 上与P 对应的点， [0−210][x′y′]=[x y ]， 得 {x =−2y′，y =x′，∴ {x′=y ，y′=−12x.∵ P′是曲线C 上的点，∴ C 2的方程(−12x)2=2y ．即y =18x 2.23. 曲线C 的普通方程是x 23+y 2=1．直线l 的普通方程是x +√3y −√3=0． 设点M 的坐标是(√3cosθ,sinθ),Ml 的距离是d =|√3cosθ+√3sinθ−√3|2=√3|√2sin(θ+π4)−1|2．−√2≤√2sin(θ+π4)≤√2,sin(θ+π4)=−1,θ+π4=2kπ−π2(k ∈Z),θ=2kπ−3π4(k ∈Z)，d 取得最大值． √3cosθ=−√62,sinθ=−√22． ,M(−√62,−√22),.(10) 24. 解：由于a >0，b >0，且，则4a 2+b 2=(2a +b)2−4ab =1−4ab ， 又由1=2a +b ≥2√2ab ，即√ab ≤√24，ab ≤18所以S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab)=2√ab +4ab −1≤√2−12当且仅当a =14，b =12时，等号成立．25. (1)解：设M(x, y)，则由PQ →=12QM →，可得P(−x2，0)，Q(0,y3)∴ PR →=(x2,−3)，PM →=(3x2,y) ∵ PR →⋅PM →=0，∴ (x2，−3)⋅(3x2,y)=0，∴ x 2=4y ，∴ 动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线； (2)证明：由题意，AB →⋅CD →=AB ⋅CD ，圆C 2:x 2+(y −1)2=1的圆心即为抛物线C 1的焦点F ， 设A(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则AB =FA −FB =y 1+1−1=y 1， 同理CD =y 2，设直线的方程为x =k(y −1)，代入抛物线方程可得k 2y 2−(2k 2−4)y +k 2=0，∴ AB →⋅CD →=AB ⋅CD =y 1y 2=1．26. （1）解：a =−1时，a 1=−4，a n+1=a a n −1+1 令b n =a n −1，则b 1=−5，b n+1=(−1)b n ∵ b 1=−5为奇数，b n 也是奇数且只能为−1 ∴ b n ={−5,n =1−1,n ≥2，即a n ={−4,n =10,n ≥2；（2）证明：a =3时，a 1=−4，a n+1=3a n −1+1①n =1时，a 1=−4，命题成立；②设n =k 时，命题成立，则存在t ∈N ∗，使得a k =4t ∴ a k+1=3a k −1+1=34t−1+1=27⋅(4−1)4（t−1）+1∵ (4−1)4（t−1）=44(t−1)−C 4(t−1)1⋅44t−5+...+C 4(t−1)4t−3⋅4+1=4m +1，m ∈Z∴ a k+1=3a k −1+1=27⋅(4m +1)+1=4(27m +7) ∴ n =k +1时，命题成立由①②可知，对∀n ∈N ∗，a n 是4的倍数．。

江苏省南通中学高三数学检测试卷06.4本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分),考试时间为120分钟,满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立,那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=k nC p k (1－p)n －k球的表面积公式S=4πR 2,其中R 表示球的半径 球的体积公式V=34πR 3,其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6A.x 2B.x 3C.x 5D.x 7 3. .已知|p |=22,|q |=3,p 、q 的夹角为4，如下图所示，若=5p +2q ,AC =p －3q ，且D 为BC 的中点，则AD 的长度为A.215 B.215 C.7 D.84．函数f(x)=b(1－x212+)+sinx+3(a 、b 为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,则f(x)在 (－∞,0)上有A.最大值10B.最小值－5C.最小值－4D.最大值135.如果5-x ≠kx 对一切x ≥15均成立,则有 A.k ≤0B.k ≤0或k >2020C.k ≤0或k >1510D.0≤k <20206. 已知函数f(x)=sin πx 的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x －21);④y=f(－x+1). 其中与图(b)所对应的函数解析式为A.①②B.②③C.③④D.①④7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a 元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a 的值约为(提供:1.0515≈2.08)A.412B.482C.500D.5128. 已知F 1、F 2分别是双曲线22a x －22b y =1的左、右焦点,P 为双曲线左支上任一点,若||||122PF PF 的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为A.(1,3]B.(0,3]C.(1,2]D.(1,+∞)9.设函数f(x)=(x －1)(x －2)(x －3)(x －4),则f ′(x)=0有 A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根 B.四个实根分别为x i =i(i=1,2,3,4)C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根10.如下图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧的长为l,弦AP 的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有___________种.12.设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+-≤+0,0,012,122y a x y x y x 所围成的平面区域的面积为S,当6≤S ≤22时,a 的取值范围是___________.13.△A ′B ′C ′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC 的直观图,设△A ′B ′C ′的面积为S ′,△ABC 的面积为S,则SS '=_______. 14.设x 1、x 2∈R,定义运算⊗:x 1⊗x 2=(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2,若x ≥0,常数m>0,则动点P(x)=2mx ⊗的轨迹方程是_______. 15. 记min{a,b}为a 、b 两数的最小值,当正数x 、y 变化时,t=min{x,22yx y+ }也在变化,则t 的最大值为___________.16.设x 、y ∈R,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-,1)1(2004)1(,1)1(2004)1(20052005y y x x 则x+y=___________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k 点出现的概率是P k (k =1,2,3,4,5,6).在这种情况下,(1)求二人平局的概率P .(2)证明P ≥61;并证明如果P =61,则P k =61(k =1,2,3,4,5,6).18.(本小题满分14分)在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧棱是底面边长的2倍,P 是侧棱CC 1上的一点.1A 1(1)求证:不论P 在侧棱CC 1上何位置,总有BD ⊥AP;(2)若CC 1=3C 1P,求平面AB 1P 与平面ABCD 所成的二面角的正切值;(3)当P 点在侧棱CC 1上何处时,AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线? 19.(本小题满分12分)如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ,i 、j ∈N *).41 21,41 43,83,163 ……(1)试写出a ij 关于i 、j 的表达式,并求a 83;(2)设这个数阵共有n 行,求数阵表中的所有数之和. 20.(本小题满分16分)已知集合A={(x,y)|y ≥|x －a|},B={(x,y)|y ≤－a|x|+2a}(a ≥0). (1)证明A ∩B ≠∅;(2)当0≤a ≤4时,求由A ∩B 中点组成图形面积的最大值. 21.(本小题满分16分)已知椭圆C 1:42x +y 2=1的左、右顶点分别是A 、B,点P 是双曲线C 2:42x －y 2=1在第一象限部分上的一点,连结AP交椭圆C1于点C,连结PB并延长交椭圆C1于点D.(1)若直线PA与PB的斜率分别为k1、k2,求证:k1·k2是定值;(2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.高三数学试卷详细解答一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.答案: AA.x2B.x3C.x5D.x7解析:x i区的人口密度为ai(i=1,2,…,7),a1=192.30,a2=297.20,a3=229.40,a4=254.07,a5=309.57,a 6=323.00,a 7=330.50.答案: D3. .已知|p |=22,|q |=3,p 、q 的夹角为4π，如下图所示，若 =5p +2q ,AC =p －3q ，且D 为BC 的中点，则AD 的长度为A.215B.215 C.7 D.8解析: =21(+)=3p －21q ,∴||2=9p 2+41q 2－3p ·q =4225.∴||=215.答案: A4．函数f(x)=b(1－x212+)+sinx+3(a 、b 为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最大值10,则f(x)在 (－∞,0)上有A.最大值10B.最小值－5C.最小值－4D.最大值13解析: 令F(x)=f(x)－3=b(1－x212+)+sinx=b x x 2112+-+sinx, 则F(－x)=b x x --+-2112+sin(－x)=b 1221+-x x－sinx=－F(x),∴F(x)为奇函数,F(x)在(0,+∞)上有最大值7.∴F(x)在(－∞,0)上有最小值－7. ∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－4. 答案: C5.如果5-x ≠kx 对一切x ≥15均成立,则有 A.k ≤0B.k ≤0或k >2020C.k ≤0或k >1510D.0≤k <2020 解析: 令y =5-x ,y =kx ,显然k ≤0时成立,由⎩⎨⎧=-=kxy x y 52⇒k 2x 2－x +5=0(k >0),由Δ=0,得k=2020;由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xyxy2020,52得x=10,而x≥15,∴当x=15时,k=1510.∴k≤0或k>1510.答案: C6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－21);④y=f(－x+1).其中与图(b)所对应的函数解析式为A.①②B.②③C.③④D.①④解析: ∵图形(a)、(b)关于y轴对称,∴图(b)的函数解析式为y=－f(x).∵f(x)=sinπx,∴①y=f(2－x)=sinπ(2－x)=sin(2π－πx)=－sinπx=－f(x)成立.②y=f(x+1)=sinπ(x+1)=sin(π+πx)=－sinπx=－f(x).③y=f(x－21)=sinπ(x－21)=sin(πx－2π)=－cosπx≠－f(x).④y=f(－x+1)=sinπ(－x+1)=sin(π－πx)=sinπx=f(x).故函数解析式①②满足图(b).答案: A7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.0515≈2.08)A.412B.482C.500D.512解析: 500(1+5%)15=0.1a(1+1.05+1.052+…+1.0514),a=105.105.12501515-⨯≈482(元).答案: B8. 已知F1、F2分别是双曲线22ax－22by=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,若||||122PF PF 的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为A.(1,3]B.(0,3]C.(1,2]D.(1,+∞)解析: ∵|PF 2|－|PF 1|=2a,∴||||122PF PF =||)2|(|121PF a PF +=|PF 1|+||412PF a +4a ≥2||4||121PF a PF ⋅+4a=8a, 其中|PF 1|=2a 时等号成立.又设P(x,y)(x ≤－a),则由第二定义,得|PF 1|=(－x －ca 2)e=－ex －a ≥c －a,即2a ≥c －a,∴e=ac≤3,又∵e>1,∴1<e ≤3.答案: A9.设函数f(x)=(x －1)(x －2)(x －3)(x －4),则f ′(x)=0有 A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根 B.四个实根分别为x i =i(i=1,2,3,4)C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根解析: f(x)=0有四根x i =i(i=1,2,3,4).故在区间(1,2),(2,3),(3,4)必存在极值点,使f ′(x)=0,故选A.答案: A10.如下图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧的长为l,弦AP 的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为解析: 连结OP,设∠AOP 为θ角, 则2d =OP ·sin 2θ=sin 2θ,即d=2sin 2θ(0≤θ≤2π). 答案: C普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有___________种.解析: 从7种不同的氨基酸中选3种，有37C 种选法，这3种氨基酸的不同位置有2种，即37C ·2=70.答案: 7012.设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+-≤+0,0,012,122y a x y x y x 所围成的平面区域的面积为S,当6≤S ≤22时,a 的取值范围是___________.解析: 作出不等式组表示的可行域.由⎩⎨⎧=+-=+012122y x y x ⎩⎨⎧==,5,2y x 即A(2,5). 该不等式组所表示的可行域是:直线x+2y=12的下方;直线2x －y+1=0的下方;y 轴的右边,直线x=a 的左边;x 轴上方的区域.先从特例探求,考查梯形OBAC 的面积.S=21(1+5)·2=6,满足S 的下界. ∴a=2是最小值;要使S 取最大值22,则S 梯形ABDE =16. ∴S 梯形ABDE =21［5+(6－2a)］(a －2)=16.当a>2时,6－2a>0,解得a=6, ∴a max =6,故a ∈［2,6］. 答案: ［2,6］13.△A ′B ′C ′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC 的直观图,设△A ′B ′C ′的面积为S ′,△ABC 的面积为S,则SS '=_______. 解析: S S '=221222121a a a ⨯⨯⨯=42. 答案:42 14.设x 1、x 2∈R,定义运算⊗:x 1⊗x 2=(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2,若x ≥0,常数m>0,则动点P(x)=2mx ⊗的轨迹方程是_______. 解析: y=2m x ⊗=22)2()2(mx m x --+=mx 2,∴y 2=2mx(y ≥0). 答案: y 2=2mx(y ≥0)15. 记min{a,b}为a 、b 两数的最小值,当正数x 、y 变化时,t=min{x,22y x y+ }也在变化,则t 的最大值为___________.解析: 若x ≤22y x y+, 则t=x,t 2=x 2≤x ·22y x y+≤xy xy 2=21. 故t ≤22,当且仅当x=y=22时取“＝”； 若22y x y+≤x, 则t=22y x y +,t 2=(22y x y +)2≤22y x xy +≤21.故t ≤22，当且仅当x=y=22时取“＝”. 综上可知,当x=y=22时,t 取最大值为22.答案: 2216.设x 、y ∈R,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-,1)1(2004)1(,1)1(2004)1(20052005y y x x 则x+y=___________. 解析: 由(y －1)2005+2004(y －1)=1,变形得(1－y)2005+2004(1－y)=－1, 得知x －1=1－y ⇒x+y=2.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k 点出现的概率是P k (k =1,2,3,4,5,6).在这种情况下,(1)求二人平局的概率P .(2)证明P ≥61;并证明如果P =61,则P k =61(k =1,2,3,4,5,6). (1)解:P =P 12+P 22+…+P 62. 4分(2)证明:∵P 1+P 2+…+P 6=1,(P 1－61)2+(P 2－61)2+…+(P 6－61)2=P 12+P 22+…+P 62－31 (P 1+P 2+…+P 6)+61=P －61≥0,∴P ≥61,当P =61时,P 1=P 2=…=P 6=61.12分12分18.(本小题满分14分)在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧棱是底面边长的2倍,P 是侧棱CC 1上的一点.1A 1(1)求证:不论P 在侧棱CC 1上何位置,总有BD ⊥AP;(2)若CC 1=3C 1P,求平面AB 1P 与平面ABCD 所成的二面角的正切值;(3)当P 点在侧棱CC 1上何处时,AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线? (1)证明:∵AP 在底面ABCD 内的射影为AC,在正方形ABCD 中AC ⊥BD,∴AP ⊥BD.3分(2)解:延长B 1P 与BC 的延长线交于点M,连结AM,过B 作BN ⊥AM 于点N,连结B 1N,则∠B 1NB 即为所求二面角的平面角,设AB=a,则BM=3a,∴BN=103a. ∴tan ∠B 1NB=aa 1032=3102. 8分(3)解:设AB=a,C 1P=x,要使AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线,则∠PAB 1= ∠PAC,∴cos ∠PAB 1=cos ∠PAC,即222)2(2ax a a +-=22222222)2(52)(2)2(5ax a a a x a x a a +-⋅+-+-+,解得x=2105-a, ∴P 到C 1的距离是底面边长的2105-. 12分19.(本小题满分12分)如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ,i 、j ∈N *).41 21,41 43,83,163 ……(1)试写出a ij 关于i 、j 的表达式,并求a 83;(2)设这个数阵共有n 行,求数阵表中的所有数之和. 解:(1)由条件易知 第i 行的第1个数为a i 1=41+41(i －1)=4i ,第i 行的第j 个数为a ij =4i (21)j －1, ∴a 83=48×(21)2=21. 6分(2)设数阵中第n 行的所有数之和为A n ,则A n =4n (1+21+221+…+121-n ) =4n ·211211--n =2n －21×n n2.设所求数之和为P ,则P =21(1+2+…+n )－21 (1·2－1+2·2－2+…+n ·2－n ). 设S =1·2－1+2·2－2+3·2－3+…+n ·2－n , 则2S=1·2－2+2·2－3+3·2－4+…+n ·2－(n +1) =211)211(21--n －n ·2－(n +1) =1－n 21－12+n n , 则P =4)1(+n n －(1－n 21－12+n n ),=4)1(+n n +n 21+12+n n －1=442-+n n +122++n n .12分12分20.(本小题满分16分)已知集合A={(x,y)|y ≥|x －a|},B={(x,y)|y ≤－a|x|+2a}(a ≥0). (1)证明A ∩B ≠∅;(2)当0≤a ≤4时,求由A ∩B 中点组成图形面积的最大值. (1)证明:显然(0,a)∈A. 当x=0时,y=－a|x|+2a=2a,∴(0,2a)∈B.∴A ∩B ≠∅. 4分(2)解:如左上图,当2≤a ≤4时,A ∩B 中点组成如图所示△EFD,易得E(0,2a)、F(－a a +1,a a a ++122)、D(1-a a,122--a a a )、G(0,a).∴S △EFD =S △EFG +S △FGD =21a ·1+a a +21a ·1-a a=123-a a . 当0<a<2时,A ∩B 中点组成如右上图所示四边形EFGH.易得E(0,2a)、F(－1+a a ,122++a a a )、G(a,0)、H(13+a a ,122+-a a a )、D(－2,0)、Q(2,0),而S 四边形EFGH =S △DEQ －S △DFG －S △GHQ=21×4×2a －21(a+2)·122++a a a －21(2－a)·122+-a a a=1432+-a a a . 当a=0时,A ∩B={(0,0)}. 显然适合上式,∴S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-.42,1,20,142332a a a a a a a8分当0≤a<2时,S=1432+-a a a ,∴S ′=2322)1(4)1)(38(++-+-a a a a a a =223)1(82+++-a a a a =.0)1()4(2222>++-a a a a ∴S=1432+-a a a 在［0,2)上是增函数.∴0≤S<38.当a ≥2时,S=123-a a ,∴S ′=22322)1(2)1(3-⋅--a a a a a =2224)1(3--a a a =2222)1()3(--a a a >0,∴S=123-a a 在［2,4］上是增函数.∴38≤S ≤1564.综上所述,当a=4时,A ∩B 中点组成图形面积取得最大值1564.12分21.(本小题满分16分)(理)已知椭圆C 1:42x +y 2=1的左、右顶点分别是A 、B,点P 是双曲线C 2:42x －y 2=1在第一象限部分上的一点,连结AP 交椭圆C 1于点C,连结PB 并延长交椭圆C 1于点D.(1)若直线PA 与PB 的斜率分别为k 1、k 2,求证:k 1·k 2是定值;(2)若△ACD 与△PCD 的面积相等,求直线CD 的倾斜角;(3)直线CD 的倾斜角是否会随着点P 的不同而改变?并说明理由. (1)证明:设P 点的坐标为(x 0,y 0),则x 02－4y 02=4. 由A(－2,0)得k 1=200+x y , 由B(2,0)得k 2=200-x y , ∴k 1k 2=42020-x y =20204y y =41为定值.4分(2)解:∵△ACD 与△PCD 面积相等,∴C 为AP 中点. 设P(x 0,y 0)(y 0>0),则C(220-x ,2y ). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-②①.1)2(4)22(,4420202020y x y x②×16+①得x 02－2x 0－8=0,即x 0=4或x 0=－2.易知x 0=－2不舍题意,∴x 0=4.∴P(4, 3)、C(1,23). 直线PB 方程为y=23(x －2).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,44),2(2322y x x y 解得D(1,－23). ∴直线CD 的倾斜角为2π. 8分(3)解:设直线PA 、PB 斜率分别为k 1、k 2,直线PA 、PB 的方程分别为PA:y=k 1(x+2)和PB:y=k 2(x －2).由⎩⎨⎧=++=,44),2(221y x x k y 得(1+4k 12)x 2+16k 12x+(16k 12－4)=0. 此方程两根分别为A 、C 横坐标,所以x C －2=－21214116k k +. ①由⎩⎨⎧=+-=,44),2(222y x x k y 得(1+4k 22)x 2－16k 22x+(16k 22－4)=0.10分此方程两根分别为B 、D 横坐标,所以x D +2=22224116k k +.②②－①得x D －x C =22224116k k ++21214116k k +－4 =2121)41(41)41(16k k ++21214116k k +－4=14421+k +21214116k k +－4=0. ∴x C =x D .∴直线CD 的倾斜角不会随着点P 的运动而改变.14分。

2013年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＞0}，则∁U A={x|x≤﹣1}．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．解答：解：由集合A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，又U=R，所以∁U A={x|x≤﹣1}．故答案为{x|x≤﹣1}．点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算把复数z化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数z所对应的点位于复平面的象限可求．解答：解：由z==．所以复数z所对应的点Z（﹣2，﹣3）．则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．故答案为三．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．解答：解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48故答案为：48点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键．4．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f（2013）=．考点：函数的周期性；函数的值．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：利用函数的周期性把要求的式子化为f（﹣1），再利用x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，求得f （﹣1）的值．解答：解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），则f（2013）=f（2×1006+1）=f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，∴f（﹣1）=4﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．5．（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的否命题．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）考点：四种命题的真假关系．专题：规律型．分析：写出命题P与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可．解答：解：命题P的条件是：a＞0，结论是：a2≠0；命题q的条件是：a≤0，结论是：a2=0；故命题P是命题q的否命题．故答案是否命题．点评：本题考查四种命题的定义．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将圆化成标准方程得圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0），可得c==5，结合双曲线的离心率e==算出a=，由平方关系得到b2=20，由此即可得出该双曲线的标准方程．解答：解：∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程，得（x﹣5）2+y2=25∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0）∵双曲线的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于，∴c==5，且=因此，a=，b2=c2﹣a2=20，可得该双曲线的标准方程为故答案为：点评：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为．考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件利用等比数列的性质可得9a5=﹣36，13a7=﹣104，解得a5=﹣4，a7=﹣8，从而求得a5与a7的等比中项±的值．解答：解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则由等比数列的性质可得9a5=﹣36，13a7=﹣104．解得a5=﹣4，a7=﹣8，则a5与a7的等比中项±=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的性质，等比数列求和公式的应用，属于中档题．8．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．。

2013届南通高中数学小题校本作业（48）抛物线一、填空题（共12题，每题5分）1． 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝2，则抛物线的方程是 . 2． 抛物线28y x =-的焦点坐标是 .3． 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 ．4． （12陕理）右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．5． 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线 方程为 ．6． （12辽理）已知P ,Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ,Q 的横坐标分别为4,-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为 ．7． （12川理）已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝ ． 8． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 ． 9． 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ．10．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，若A 点坐标是(72，4)，则PA PM +的最小值是 ．11．抛物线px y 22=的焦点为F ，一条倾斜角为π4的直线过焦点F 交抛物线于A 、B 两 点，且AF BF >，则AFBF= ． 12．设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A ,B 两点，与抛物线的准线相交于C ，2BF =，则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFACFS S =△△ ．xy二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程） 13．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．。

2013届南通高中数学小题校本作业（34）平面向量单元练习一、填空题（共12题，每题5分）1． （12渝文）设x ∈R ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=．2． 已知|a |＝3，|b |＝4，向量a ＋34b 与a －34b 的位置关系为 ．3． 若|a |＝4，|b |＝5，|a －b |=41203-，则a ，b 的夹角的大小为 ．4． 在边长为2的正三角形ABC 中，设AB=c ，BC =a ，CA =b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝ .5． 在R t ABC △中，90C ∠=，4AC =，则AB AC ∙等于 ．6． 设向量a 与b 的夹角为θ，(2,1)a = ，3(5,4)a b +=，则sin θ= ．7． 已知向量(2,1),10,52=∙=+=a a b a b ，则=b ． 8．已知ABC△和点M 满足++=0.若存在实数m使得AB AC m AM+=成立，则m ＝ ．9． （12赣文）设单位向量m ＝(x ,y )，b ＝(2,－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝ ．10．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则AD BE ∙=．11．已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ．12．（12沪文）在矩形ABC D 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM C N BC C D=，则AM AN ∙的取值范围是 ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知向量()()cos sin cos sin x x αα==，，，，a b ()sin 2sin cos 2cos x x αα=++，c ，其中0πx α<<<．（1）若π4α=，求函数()f x =⋅b c 的最小值及相应x 的值；（2）若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．答题纸班级 姓名 分数 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．。