人教版9年级数学课件24.1.4圆周角1

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样 （ 的特征？ 顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角）， 今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫 做圆周角。
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的 角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角 都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
1 2
AB
C
A
∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=
1 2
· O
B
∴点C在⊙O上.
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
C
BC
AB AC
2
2

10 6 8
2 2
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
A O B
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 2 AB 2 2 10 5 2 (cm)
D
例2.如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O 于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B

B
注意：圆心与圆周角的位置关系.
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC =
2、定理的证明思路：
我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分成三类， 先解决一类特殊问题，再把其他两类转化成特殊问题。
作业：

P87-88
4、5、6、12
8.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= 求证： △ABC 为直角三角形.
40º 3、如图6，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝ 70º .
O
C
图6
A B
130º 4、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = _______。
5.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使
AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。
●
∠AOD,∠CBD =
1 2
1 2
∴ ∠ABC =
∠AOC.
O
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半． C2
C1
C3
半圆（或直径） 所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所 对的弦是直径．
O
·
B
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
1
A C ●O B
∠AOC.
2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 2
D C ●O
∠AOD,∠CBD =
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ A A A C C C
●
O
●OB●来自OBB 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系? A C
1 2
1 2
∠COD,
∴ ∠ABC =
∠AOC. B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 2
A C ∠COD, B
解：∠BOC =140° ⌒ ⌒ 6、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
求∠A的度数。
解：∠A=21°
7、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
1.概念的引入和定理的发现：
M O M
O
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
探究：有关圆周角的度数
1． 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O 上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？ 为什么呢？
证明：
∵OA＝OB＝OC， ∴△AOC、△BOC 都是等腰三角形
A F D
解：连接CF
∵ ∠BFC是△DFC的一个外角
O
E
∴ ∠BFC > ∠BDC ∵ ∠BAC = ∠BFC （同弧所 对的圆周角相等） ∴ ∠BAC > ∠BDC
B
C
1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； 25°
2、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分 别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ 20° _；
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ B ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ C ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
B A
C C A
图3
D
图4
B
∠CAB 、 ∠ACB、 ∠CBA 3、写出图4中的圆周角：________________________
则∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∵ ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.
即：不管点C在⊙O上何处（除点A、B）， ∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° （直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角 所对的弦是圆的直径。