江苏省高中数学竞赛 第14讲 染色问题教案

染色问题在竞赛中的应用林一玲 指导老师: 沈晓斌 讲师 （泉州师范学院 数学系，福建 泉州 362000）摘 要:拉姆塞型染色问题是数学竞赛中常见的一类题型，我们通过一些竞赛题对它进一步研究，使我们能很好的应用它。

平面二染色也是竞赛中常见的题，我们通过对某些竞赛题的研究，使我们能更好的应用它。

关键词：拉姆塞；染色；竞赛题；二染色；三角形；颜色；完全图；顶点。

中图分类号：O157.5 文献标识码：A一、拉姆塞型的染色问题拉姆赛（Ramsey ）型染色问题是数学竞赛中常见的一类题型。

这类题大多数是考虑拉姆赛数的上界问题，即将完全图Kn 用t 色染后证明存在其同色三角 形。

对于拉姆赛数问题的下界的讨论则较少涉及。

在1994年高中联赛中就有一 道关于拉姆塞数下界的试题。

本文将介绍处理这一问题的两个基本方法，即“包 装法”和“集合分拆法”。

本文中用Kn 表示n 个顶点的完全图。

引理1[1] 若能将Kn 的边用t 种颜色染使其不含同色三角形，又能将m K 的边用r 种颜色染使其不含同色三角形，则可将Kmn 的边用r+t 种颜色染使其不含同色三角形。

证明 设Kmn 的顶点集合为V ，令V=12n V V V ⋃⋃⋃ ，使得()Vi Vj i j φ⋂=≠且,1,2,.Vi m i n == 将以Vi 的点为顶点构成的完全图记为,1,2,,i m K i n = ，因Km 可用r 种颜色染使其不含同色三角形，故可将每一个im K 均用前r 种颜色染使其不含同色三角形。

现将每个i m K 均收缩（或包装）成一个点Vi ，则得一个以12,,,n V V V 为顶点的完全图j m K 。

因j m K 可用t 色染使其不含同色三角形，那么，将j m K 用后t 种颜色染使其不含同色三角形后，若j m K 中的边i j VV 染第l 种颜色，则集合Vi 与j V 之间的边（即一个端点在Vi ，而另一端点在j V 的边）均染第l 种颜色。

高中数学的着色问题教案
我们要明确什么是着色问题。

简单来说，就是在图的顶点或边上分配颜色，要求相邻的顶点或边不能有相同的颜色。

这个问题听起来似乎很简单，但当图变得复杂时，找到满足条件的颜色分配方案就变得相当困难。

在教案中，我们首先介绍着色问题的基本概念。

通过具体的例子，比如地图着色问题，让学生直观地理解什么是着色，以及为什么要研究着色问题。

地图上不同区域用不同颜色区分，相邻区域颜色不同，这是生活中常见的着色问题实例。

我们会讲解着色问题的历史背景和实际应用。

从四色定理的提出到计算机科学中的应用，着色问题不仅在数学领域有着深远的影响，而且在现实世界中也有着广泛的应用，如时间表的安排、无线电频率的分配等。

教案的核心部分是解决着色问题的策略和方法。

我们会教授学生几种基本的着色技巧，例如贪心算法、回溯算法等。

通过具体的图例，指导学生如何一步步尝试着色，如何在遇到矛盾时回溯并尝试其他颜色组合。

为了让学生更好地掌握着色问题的解决方法，教案中设计了一系列的练习题。

这些题目从简单到复杂，逐步提高难度，旨在训练学生的思维能力和解题技巧。

同时，教案还提供了详细的解题思路和答案解析，帮助学生在遇到难题时能够找到解决的途径。

除了理论知识和解题技巧，教案还强调了着色问题在数学之外的意义。

通过讨论着色问题在艺术设计、计算机图形学等领域的应用，学生可以看到数学与现实世界的紧密联系，激发他们将数学知识应用到实际问题中去的兴趣。

教案总结了着色问题的教学要点，并对学生的学习成果进行评估。

通过小测验或者课堂讨论，教师可以了解学生对着色问题的理解和掌握程度，及时给予反馈和指导。

染色问题和覆盖问题第一部分。

染色问题例1.已知(2)n n >条直线把平面划分成为若干块，其中的一些区域被染上颜色，使得任何两个染色的区域都没有公共边界，求证：染色区域的数目不超过2.3n n + 解答：不妨假定这些直线有相交直线。

设有k 条边的染色区域的数目为(1,2,...,)k m k n =。

注意到2m 就是有两条边的区域，两个射线形成的角域。

至多有2n 个线段。

因为每一段（线段或射线）至多是一个染色区域的边界，所以 22323...n m m nm n +++≤。

因为一条直线上只有两段的射线部分才可能是有两条边的染色区域，所以2m n ≤。

22322323 (333)n n m m nm m n n m m m +++++++≤+≤。

注意：这里有个很关键的不等式2m n ≤需要说明一下。

设12,,...,n L L L 是平面上直线束，那么每一个直线上至多有两个被染色（如题目中定义的染色）的角域；同时每一个被染色的角域值只占有两个直线。

设12,,...,m ΩΩΩ是m 个被染色的角域。

如果某个直线i L 上被染色的角域少于两个，那么根据数学归纳法假设可以直接证明2m n ≤。

否则的话，每一个直线上面恰好有两个被染色的角域。

这样可以得到一个2-正则的二部图()1212,,,{,,...,},{,,...,}.(,)n m i j i j G X Y E X L L L Y L E L ===ΩΩΩΩ∈⇔Ω是的边界这个二部图一定有1-因子。

从而也有2m n ≤成立。

例2. 平面上给定了)2(≥n n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点。

它们将平面划分成为若干个小区域。

试在每一个区域内部填写一个绝对值不大于n 的非负整数，使得任何一条直线的同一侧所有区域中各数之和为零。

解：一个为人们关心的问题是：这个题目是怎样产生的？那个出题人为什么出这个题？它的背景是什么？如果我们将这个问题放在球面上去，让所有的直线对应于一些大圆（从拓扑学的观点看，这是完全允许的），将每一个交点看成一个节点。

第14讲染色问题本节重要讲述用染色的方法解有关的竞赛题．染色，是一种辅助解题的手段，通过染色，把研究对象分类标记，以便直观形象地解决问题，因此染色就是分类的思想的具体化，例如染成两种颜色，就可以当作是奇偶分析的一种表现形式．染色，也是构造抽屉的一个重要方法，运用染色分类，从而构造出抽屉，用抽屉原理来解题．A 类例题例1⑴有一个6×6的棋盘，剪去其左上角和右下角各一个小格(边长为1)后，剩下的图形能不能剪成17个1×2的小矩形？⑵剪去国际象棋棋盘左上角2×2的正方形后，能不能用15个由四个格子组成的L 形完全覆盖？分析把棋盘的格子用染色提成两类，由此说明留下的图形不能满足题目的规定． 证明⑴如图，把6×6棋盘相间染成黑、白二色，使相邻两格染色不同．则剪去的两格同色．但每个1×2小矩形都由一个白格一个黑格组成，故不也许把剩下的图形剪成17个1×2矩形．⑵如图，把8×8方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白．这样染色，其中黑格有偶数个．由于每个L 形盖住三黑一白或三白一黑，故15个L 形一定盖住奇数个黑格，故不也许．说明用不同的染色方法解决不同的问题．例2用若干个由四个单位正方形组成的“L ”形纸片无重叠地拼成一个m n 的矩形，则mn 必是8的倍数．分析易证mn 是4的倍数，再用染色法证mn 是8的倍数．证明：每个L 形有4个方格，故4|mn ．于是m 、n 中至少有一个为偶数．设列数n为偶数，则按奇数列染红，偶数列染蓝．于是红格与蓝格各有12mn 个，而12mn 是偶数．每个L 形或盖住3红1蓝，或盖住1红3蓝，设前者有p 个，后者有q 个．于是红格共盖住3p +q 个即p +q 为偶数，即有偶数个L 形．设有2k 个L 形．于是mn =2k ×4=8k ．故证．说明奇偶分析与染色联合运用解决本题．情景再现1．下面是俄罗斯方块的七个图形：请你用它们拼出(A)图，再用它们拼出(B)图(每块只能用一次，并且不准翻过来用)．假如能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；假如不能拼出来，就说明理由．2．能否用图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为75的正方形？（图中每个小方格的边长都为1）请说明理由．B 类例题例3⑴以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在无穷条长为1的线段，这些线段的端点为同一颜色．⑵以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：存在同色的三点，且其中一点为另两点中点．分析任意染色而又规定出现具有某种性质的图形，这是染色问题常见的题型，常用抽屉原理或设立两难命题的方法解．证明⑴取边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色．同色两顶点连成线(5)(6)(7)(4)(2)(3)(1)(B)(A )段即为一条满足规定的线段，由于边长为1的等边三角形有无数个，故满足规定的线段有无数条．⑵取同色两点A、B，延长AB到点C，使BC=AB，再延长BA到点D，使AD=AB，若C、D中有一点为红色，例如点C为红色，则点B为AC中点．则命题成立．否则，C、D全蓝，考虑AB中点M，它也是CD中点．故无论M染红还是蓝，均得证．说明⑴中，两种颜色就是两个“抽屉”，三个点就是三个“苹果”，于是根据抽屉原理，必有两个点落入同一抽屉．⑵中，这里事实上构造了一个两难命题：非此即彼，两者必居其一．让同一点既是某两个红点的中点，又是两个蓝点的中点，从而陷入两难选择的境地，于是满足条件的图形必然存在．达成证明的目的．例4⑴以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰三角形．⑵以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰直角三角形．分析⑴同样可以设立两难命题：由于等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上，故先选两个同色点连成底边，再在连线的垂直平分线上找同色的点，这是解法1的思绪．运用圆的半径相等来构造等腰三角形的两腰，这是解法2的思绪．运用抽屉原理，任5个点中必有三点同色，只要这5点中任三点都是一个等腰三角形的顶点即可，而正五边形的五个顶点中任三个都是等腰三角形的顶点，这是解法3的思绪．⑵连正方形的对角线即得到两个等腰直角三角形，所以从正方形入手解决相题第2问．⑴证明1任取两个同色点A、B(设同红)，作AB的垂直平分线MN，若MN上(除与AB交点外)有红色点，则有红色三角形，若无红色点，则MN上至多一个红点其余均蓝，取关于AB对称的两点C、D，均蓝．则若AB上有(除交点外)蓝点，则有蓝色三角形，若无蓝点，则在矩形EFGH内任取一点A(2) (1)K (不在边上)若K 为蓝，则可在CD 上取两点与之构成蓝色三角形，若K 为红，则可在AB 上找到两点与之构成红色三角形．证明2任取一红点O ，以O 为圆心任作一圆，若此圆上有不是同一直径端点的两个红点A 、B ，则出现红色顶点等腰三角形OAB ，若圆上只有一个红点或只有同一直径的两个端点是红点，则圆上有无数蓝点，取两个蓝点(不关于红点为端点的直径对称)C 、D ，于是CD 的垂直平分线与圆的两个交点E 、F 为蓝点，于是存在蓝色顶点的等腰三角形CDE ．证明3取一个正五边形ABCDE ，根据抽屉原理，它的5个顶点中，必有三个顶点(例如A 、B 、C)同色，则△ABC 即为等腰三角形．⑵证明任取两个蓝点A 、B ，以AB 为一边作正方形ABCD ，若C 、D 有一为蓝色，则出现蓝色三角形．若C 、D 均红，则对角线交点E 或红或蓝，出现红色或蓝色等腰直角三角形．显然按此作法可以得到无数个等腰直角三角形．(由本题也可以证明上一题．)例5设平面上给出了有限个点(不少于五点)的集合S ，其中若干个点被染成红色，其余点被染成蓝色，且任意三个同色点不共线．求证：存在一个三角形，具有下述性质：⑴以S 中的三个同色点为顶点；⑵此三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点．分析要证明存在同色三角形不难，而要满足第⑵个条件，可以用最小数原理．证明由于S 中至少有五点，这些点染成两种颜色，故必存在三点同色．且据已知，此三点不共线，故可连成三角形．取所有同色三角形，由于S 只有有限个点，从而能连出的同色三角形只有有限个，故其中必有面积最小的．其中面积最小的三角形即为所求．一方面，这个三角形满足条件⑴，另一方面，若其三边上均有另一种颜色的点，则此三点必可连出三角形，此连出三角形面积更小，矛盾．说明最小数原理，即极端原理．见第十二讲．例6将平面上的每个点都染上红、蓝二色之一，证明：存在两个相似的三角形，其相似ABCD比为1995，且每一个三角形的三个顶点同色．(1995年全国联赛加试题)分析把相似三角形特殊化，变成证明相似的直角三角形，在矩形的网格中去找相似的直角三角形，这是证法1的思绪．证法2则是研究形状更特殊的直角三角形：含一个角为30˚的直角三角形．证明可以找到任意边长的这样的三角形，于是对任意的相似比，本题均可证．证法3则是考虑两个同心圆上三条半径交圆得的三组相应点连出的两个三角形一定相似，于是只要考虑找同心圆上的同色点，而要得到3个同色点，只要任取5个只染了两种颜色的点就行；而要得到5个同色点，则只要取9个只染了两种颜色的点即行． 证明1一方面证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．任取平面上的一条直线l ，则直线l 上必有两点同色．设此两点为P 、Q ，不妨设P 、Q 同着红色．过P 、Q 作直线l 的垂线l 1、l 2，若l 1或l 2上有异于P 、Q 的点着红色，则存在红色直角三角形．若l 1、l 2上除P 、Q 外均无红色点，则在l 1上任取异于P 的两点R 、S ，则R 、S 必着蓝色，过R 作l 1的垂线交l 2于T ，则T 必着蓝色．△RST 即为三顶点同色的直角三角形．下面再证明存在两个相似比为1995的相似的直角三角形． 设直角三角形ABC 三顶点同色(∠B 为直角)．把△ABC 补成矩形ABCD (如图)．把矩形的每边都提成n 等分(n 为正奇数，n >1，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD 提成n 2个小矩形．AB 边上的分点共有n +1个，由于n 为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A 、B 异色)，不妨设相邻分点E 、F 同色．考察E 、F 所在的小矩形的另两个顶点E '、F '，若E '、F '异色，则△EFE '或△DFF '为三个顶点同色的小直角三角形．若E '、F '同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P 、Q ，则考察PQ 所在的小矩形，同理，若P 、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，l lPQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH 为顶点同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．证明2一方面证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若Array圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两个蓝色点．下面证明：存在边长为a，3a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足规定的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足规定的蓝色三角形．下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，3a，2a及1995a，19953a，1995⨯2a 的两个同色三角形，满足规定．证明3以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，其中必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A'，B'，C'，D'，E'，则此五点中必存在三点同色，设为A'、B'、C'．则∆ABC与∆A'B'C'为满足规定的三角形．情景再现3．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在一个矩形，它的四个顶点同色．4．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点全为同一种颜色的全等三角形．5．图中是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1小方格涂成红色。

高中立体图形染色问题教案
教学目标
- 让学生掌握立体图形的基本性质和相关公式。

- 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

- 教会学生如何通过染色方法解决立体图形的问题。

教学内容与过程
引入阶段
教师可以展示一些常见的立体图形模型，如立方体、长方体、球体等，并引导学生观察它们的特点。

提出染色问题：如果我们要对这些立体图形进行染色，最少需要多少种颜色才能确保相邻面不重色？
探索阶段
将学生分组，让每组选择一个立体图形，使用彩纸或者绘画工具来进行染色尝试。

在此过程中，教师需巡视指导，鼓励学生发现规律，比如立方体的六个面染两种颜色即可满足条件。

讨论阶段
各小组分享他们的染色方案，并解释其背后的逻辑。

教师点评各种方案的优劣，并总结出染色问题的一般性原则，即“欧拉公式”在立体图形中的应用。

应用阶段
给学生提供更复杂的立体组合图形，如多面体的组合，要求他们运用所学知识进行染色。

这一步骤旨在巩固学生的理解和应用能力。

总结阶段
教师应总结立体图形染色问题的关键点，包括：
- 立体图形的性质和面的相邻关系。

- 染色问题的解题策略和欧拉公式的应用。

- 逻辑推理在解决问题中的重要性。

课后作业与反思
布置相关的习题，让学生在家中继续练习，加深对立体图形染色问题的理解。

同时，教师应根据学生的反馈和作业表现，反思教学方法和内容，以便不断优化教学效果。

高中数学染色的问题教案
主题：数学染色问题
目标：学生理解数学染色问题的基本概念和方法，能够独立解决染色问题。

教学方法：讲解、演示、实践。

教学步骤：
1. 引入问题：首先向学生提出一个简单的染色问题，例如一个有三个顶点的三角形，如何用两种颜色来染色使得相邻的顶点颜色不同。

让学生思考并讨论解决方法。

2. 解释基本概念：介绍染色问题中的基本概念，如图的染色、相邻顶点、最少需要的颜色等，让学生了解这些概念在染色问题中的重要性。

3. 讲解染色方法：通过讲解染色问题的基本解题方法，如贪心算法、回溯法等，让学生掌握解题技巧。

4. 实例演练：给学生提供一些实际的染色问题，让他们动手尝试解决，并通过实例演练来加深对染色问题的理解。

5. 练习题目：布置一些练习题目，让学生在课后练习巩固所学知识，并及时纠正错误。

6. 总结：总结本节课的学习内容，强调染色问题的重要性和应用范围，鼓励学生继续深入研究数学染色问题。

学习评价：通过学生对课堂学习和练习题目的表现来评价学生对数学染色问题的理解和掌握程度，及时了解学生的学习情况并给予帮助。

29涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。

另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。

有些问题，本来就属于图论的内容。

有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。

这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。

1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.2．线段染色和点染色(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例题讲解1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。

过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。

每一个矩形又被对角线BD分成两部分。

将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。

证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。

2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。

试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。

4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。

求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。

5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。

将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。

数学染色问题课程提纲
时间：编号：
数学染色问题课程教案时间：编号：
游戏：首先邀请六名学生到教室前方来，坐成一排。

要求这六名学生在教
师发出信号（例如拍手）后，商议、合作，尽可能迅速地和左侧或右侧紧邻
的伙伴换座位，使得每个人都换过一次（而且仅一次）座位（这一过程中椅
子保持不动）。

换座位不成功者算输。

显然，在六个人的情况下，符合要求的
换座位是很容易实现的。

现在请七名学生来重做这个游戏。

学生们在几次尝
试后会发现，无论他们怎样协调，都无法成功地让每个人都换过座位。

最后，
再请一名学生上来，由八个人重新再玩一次。

让台下的学生仔细观察整个过
程。

解释：设想我们将椅子间隔地“染”成白色和黑色：
若椅子个数是奇数，比如(2n+1)，则其中(n+1)只椅子被“染”成白色，n
只椅子被“染”成黑色。

换座位时，学生坐到相邻的椅子上去，故而本来坐。