- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
23 2014-4-6
复变函数
方根 设z re ( z 0)则
i
1 n
江苏师范大学数学与统计学院
2kπ ( K =0,1, 2， 2kπ ，n-1) w z r cos i sin n n
n
方程 w z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
n
24
2014-4-6
复变函数
例4 计算 4 1 i 的值. 解 1 i 2 cos i sin 4 4
4
江苏师范大学数学与统计学院
1 i 2[cos
8
/ 4 2k
4
i sin
/ 4 2k
4
]
( k 0,1,2,3).
复数与复变函数
复数
复平面上的点集 复变函数 复球面与无穷远点
4
2014-4-6
复变函数
一、复数的概念
江苏师范大学数学与统计学院
第一节
复数
1. 虚数单位: 实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 . 为了解方程的需要, 引入一个新数 i, 称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i 2 1; (2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行四则运算 . 虚数单位的特性: 一般地，如果n是正整数, 则 i 4 n 1, i 4n1 i , i 4 n 2 1, i 4 n 3 i . 2.复数:对于任意两实数x, y, 我们称 z x iy 为复数. 其中 x , y 分别称为z 的实部和虚部,
2014-4-6
6
两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
复变函数
y
江苏师范大学数学与统计学院
z x iy
x
o
z x iy
一对共轭复数z 和 z 在复平面内的位置是关 于实轴对称的 .
7
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下 构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代 数学中所研究的域的概念的实例. • 注意： • 1、复数的加法、乘法满足交换律、结合律， 且乘法满足关于加法的分配律。 • 2、复数域内熟知的一切代数恒等式仍成立。 • 3、在复数域中，复数不能比较大小。
2
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
• • • •
主要参考书 « 复变函数论» 第三版，余家荣编，高教出版社。 « 复分析» 郑建华编著，清华大学出版社。 « 复变函数» 李庆忠编，科学出版社。
3
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
第一章
第一节
第二节 第三节 第四节
17 2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
2i 例2 将-2,i, ,1 sin i cos (0 ) -1+i 2 化为三角形式和指数形式。
18
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
cos 1 的实部和虚部 , 其中 ei . 思考:求复数 z cos 1 cos 1 cos cos 1 i sin cos 解 z cos 1 cos cos 1 i sin cos
如果 1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为
Argz 1 2kπ ( k为任意整数).
特殊地, 当 z 0 时, z 0, 辐角不确定.
15
2014-4-6
复变函数
辐角主值的定义:
江苏师范大学数学与统计学院
在 z ( 0) 的辐角中 , 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z .
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
• 引言 • 1、复数是16世纪人们在解代数方程时引 入的。 1545年，Cardano所著« 重要的艺术» 中提出 问题。 2、十八世纪，Alembert,Euler,Laplace等 人逐步阐明了复数的几何意义和物理意 义，建立了系统的复数理论，人们终于 接受了并理解了复数。
12
o
x
x
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(2) z1 z2 z1 z2 (三角不等式） ;
(3) z1 z2 z1 z2 .
y
z2
o
13
z2
z1 z2
z1
x
2014-4-6
z1
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
这四个根是内接于中
9 9 即w0 2 cos i sin , w1 8 2 cos i sin , 16 16 16 16 17 w 8 2 cos 25 i sin 25 . 17 8 w2 2 cos i sin , 3 16 16 y 16 16
y arctan , x 0, x π , x 0, y 0, 2 arg z y arctan π , x 0, y 0, x π, x 0 , y 0.
2014-4-6
z 0 辐角的主值
(其中 y arctan ) 2 x 2
16
复变函数
3.复数的三角表示和指数表示 Z=x+iy(代数形式）
江苏师范大学数学与统计学院
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成
z r (cos i sin )
复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
复数 z x iy 与有序实数对( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 面.
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平
11
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
复数 z x iy 可以用复平面上的点 ( x, y) 表示.
复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示, 向量的长度称为z 的模,
记为 z r x 2 y 2 .
性质：
y y
1. 复数的模
( x, y )
r
Pz x iy
x z, y z, z x y, 1） 2 z z z z2 .
记作 x Re( z), y Im( z).
1）纯虚数、虚数
5 2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
2）两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的代数和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2 4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy. ( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
江苏师范大学数学与统计学院
由于辐角的多值性, Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2
理解：对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 两复数的商：其模等于它们的模的商; 辐角等于被 除数与除数的辐角之差.
z1 z1 z ( z2 0), Arg 1 Argz1 Argz2 z2 z2 z2
• 思考：1、性质中等号成立的几何意义。 • 2、三角不等式的推广形式。
14
2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
2. 复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角,
n个
设z=re , z (re ) r (cos n i sin n ).
i n i n n
如果我们定义 z 上式仍成立.
n
1 n , 那么当 n 为负整数时, z
• 棣莫佛公式 当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cos n i sin n .
z1 注 : arg(z 1 z2 ) argz 1 argz 2 , arg ( ) argz1 argz2不一定成立. z2
22 2014-4-6
复变函数
江苏师范大学数学与统计学院
2.幂与根 n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
