三年级数学上册竞赛第13讲分组与画图
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学员姓名:学科教师:年级:辅导科目:授课日期时间主题轴对称图形、三角形的分类教学内容1.初步认识轴对称图形,能找出对称轴,按对称轴将轴对称图形画完整;2.进一步认识常见的三角形,能根据三角形边的关系将三角形进行分类,在探究三角形的分类过程中,感受数学思考的条理性。
(此环节设计时间在10—15分钟)➢认识轴对称图形问题1:(1)比较它们的左边与右边?它们有什么共同的特点?揭题:象这样左边与右边都对称的图形叫做轴对称图形。
1、对称图形对折后会重合。
2、折痕所在的这条直线,我们就叫这个轴对称图形的对称轴。
问题2:生活中,你还看到过这样的轴对称图形吗?问题3:折一折、剪一剪先把一张纸对折,在折好的一侧画出图形,用剪刀剪下来,再把这个图形打开,观察得到的图形,你发现了什么?A问题4:正方形是不是轴对称图形?它有几条对称轴?长方形呢?在动手实践及验证中得到正方形有4条对称轴,长方形中两条对角线不能完全重合,所以长方形有2条对称轴,练习:画出对称轴➢三角形的分类问题1:同学们,下面我们来猜一个谜语“三个头尖尖角,我们学习离不了。
打一个图形”三角形问题2:你知道哪些关于三角形的知识?说说你对这些三角形的认识?(三角形按角来分类,可以分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
)问题3:下面这几个图形,是不是还可以按边分?请你用尺来量一量,分一分,看看怎么分?(一般情况下,我们可以先目测,再用尺量一量,如果三条变长都不相等,是任意三角形;如果有两条变长相等,那么是等腰三角形;如果三条变长都行等,则是等边三角形,也叫正三角形。
或者折一折:等腰三角形折一折,两半叠合;等边三角形折三次,两半都叠合。
所以等腰三角形有一条对称轴,等边三角形有三条对称轴,它们都是轴对称图形)练习:判断下列说法正确吗?(1)三角形是轴对称图形()(2)等腰三角形两条边相等,两个底角相等。
()(3)等边三角形的三条对称轴交于同一点()答案:(1)×(2)√ (3)√(此环节设计时间在40—50分钟)例题1:找一找对称轴,用红线把它画出来。
第十三讲图解法知识点:在日常生活中有许多实际问题,其中的数量关系式非常复杂的,但是通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了,从而达到解题的目的。
例1:甲乙丙丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比一盘,到现在为止,甲已经赛了4盘,乙赛了3盘,丙赛了2盘,丁赛了1盘,小强赛了几盘?同步练习1、从甲地到乙地有2条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,问从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法?2、甲乙丙丁四个好朋友聚会,每两人之间都握一次手,一共要握多少次手?3、小名、小方、东东、强强四个人,每三个人手拉手围成一个三角形,一共有多少种围法?例2:某幼儿园与一箱玩具,拿出它的一半又3件给中班的小朋友,然后再拿出其余的一半又2件给大班的小朋友,还剩下4件,问这箱玩具原来有多少件?同步练习1、修路队修一条路,第一天修全长的一半少40米,第二天修了余下的一半多10米,还剩60米。
这条公路全长多少米?2、甲乙两人原来的存款数相等,甲取出来250元,乙存入350元后,乙的存款正好是甲的3倍。
两人原来各有存款多少元?3、美术组有54人,比航模组的3倍少6人,航模组有多少人?例3:从1、2、4、8四张数字卡片中,任取三张排成三位数,能排成多少个不同的三位数?同步练习1、用3、7、9可以组成多少个不同的三位数?2、小玲的四件上衣,三条裤子,两双皮鞋,用这些服饰搭配,她能有多少天穿戴装束不同?3、用数字2、3、5、8可以组成多少个不同的三位数?例4:同学们站队做操,从前向后数,小明是第四个;从后向前数,小明是第20个,这一队一共有多少人?同步练习1、小朋友跳舞,排成一队,小红从左向右数是第七个,从右向左数是第6个,跳舞的小朋友一共有多少人?2、三年二班的同学到图书馆借书,每人至少借一本,至多借两本,26人借了借了教科书,30人借了故事书,三年二班一共有50人,有几个人借了两本书?3、有两块一样长的木板,钉成一块长36厘米的木板,中间重叠部分是10厘米,这两块木板各长多少厘米?课后巩固一、填空1、用2、6、8可以组成()个不同的三位数。
三年级上册数学奥数思维训练姓名:第13讲解决问题1、有一段马路长400米,在这段马路的两旁有4米宽的人行道,如果用边长4分米的水泥方砖铺人行道地面,一共需要多少块这样的方砖?2、在长30米,宽16米的实验田里种黄瓜,每3株占地80平方分米,估计每株结黄瓜4千克,这块实验田一共可以收多少千克黄瓜?3、有一块长方形果园,长是宽的3倍,如果以每小时4千米的速度绕果园步行一周,需要2小时,这个果园的长与宽各是多少米?4、有一个正方形的周长是20米,一个长方形的宽与这个正方形的边长相等,长比这个正方形边长的2倍还多1米,求这个长方形的周长。
5、一个长方形的长是15厘米,宽12厘米,一个正方形的边长正好与这个长方形的宽相等,这个正方形的周长比这个长方形的周长短多少厘米?6、从一张长51厘米,宽28厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形,这个正方形的面积是多少平方厘米?剩余部分的面积是多少平方厘米?7、一个游泳池长25米,小强游了4个来回,小强游了多少米?8、一块长方形菜地,一面靠墙,其余三面用总长30米的篱笆围起来,已知这块菜地的一边是12米,这块菜地的面积是多少?9、一根铁丝能做一个长2分米,宽80厘米的长方形,如果用这根铁丝做一个正方形,那么这个正方形的面积是多少?10、一辆出租车一个星期(7天)收入1260元钱。
如果每天工作9小时,平均每小时收入多少钱?11、学校食堂买了一批粮食。
买了11袋大米,每袋25千克;买了34袋面粉,每袋20千克。
用载重1吨的货车一次能运回来吗?12、小新从家到学校要走1.2千米。
今天他走了0.4千米后又回家取一本书再去上学,这样他比平时要多走多少千米?13、小明有180张照片,正好放满了3本相册。
每页放4张照片,每本相册有多少页?14、3位教师带50名学生去参观植物园。
具体票价如下:成人每人10元;学生每人5元;团体(10人及以上)每人6元。
怎样买票最合算?15、4位老师带50名学生去参观动物园。
三年级奥数教程第13讲数阵图例1、把1~6这六个数字分别填入图13一l的六个圈内,使得每个正方形顶点上的数的和都为13.分析从1到6这六个数的和是21.而两个正方形8个顶点上的数之和是26(=13×2),比六个数的总和大5.这是因为中间两个圈内的数,都被算了两次,所以,多出来的5就是中间两个圈内的数的和.解在1到6六个数中,两个数的和为5,只可能是1+4、2+3.当中间两个圈内填1与4时,剩下的四个数,3与5、2与6配对即可以满足条件.当中间两个圈内填2与3时,剩下的四个数无法组成和相等的两对,因而无法满足条件.所以,得到如图13—2的填法.随堂练习1将3、4、6这三个数填入图13—3的三个圆圈内,使得每条边上的三个数的和等于11.例2、将2到7这六个数,填入图13—4的圈中,使得每条线上的三个数的和相等.分析与解将三条线上的三个数都相加,中间的1被加了3次,所以三条线上三个数的和为1+2+…+6+7+1+1=30.从而每条线上的和是10(=30÷3),即每条线上剩余两个圆圈内数的和是9(=10—1).由 2+7=4+5=3+6=9.可以得到如图13—5的解.随堂练习2 将1到7这七个数填入图13—6,使得每条线上的三个数的和相等.例3、将1到9这九个数填入图13—7,使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等.分析与解先来确定中心的数.设这个数为a,则4条线上12个数(中心的数出现4次,其余的数各出现一次)的和1+2+…+9+a+a+a是4的倍数,即45+3×a是4的倍数.所以a只可能是1、5、9.(1)当a=1时,2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可.(2)当a=5时,l与9、2与8、3与7、4与6搭配.(3)当a=9时,1与8、2与7、3与6、4与5搭配.这样得到如图13—8所示的三个解.随堂练习3 将1~8填入图13—9,使两个正方形顶点上的数的和相等,并且用斜线连接的4对数的和也都相等.例4、将1到5这五个数填入图13-10,使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等.分析与解设处于中心圈内的数是a,因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和,所以a等于它左、右两个数的和.同理,a等于它上、下两个数的和.从而a是最大的数5.其余四个数,2与3搭配,1与4搭配,写在同一条线上.得到的解如图13—11所示.随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12,使得每个圆内的四个数的和相等.例5、将1~6这六个数填入图13~13的六个圆圈内,使得每条边上的三个数的和相等.分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数.如果l、6都在边上,那么a、b、c中有两个数的差是5(=6—1).这不可能.所以可设以a=1或6.如果a=1,那么由2+6=3+5.3+6=4+5.可得图13—14的(1),(2).如果a=6,同样可得图13—14的 (3),(4).随堂练习5 将l到16填入图13—15,使得每条线段上四个数的和相等,两个八边形八个顶点上的数的和也相等.例6、将1~16填入图13—16的正方形,使每行、每列、每条对角线的和都相等.图13—16分析与解本题也就是造一个四阶幻方.四阶幻方的造法很多,解也不惟一.下面介绍一种最简的做法,可以称为调整法.先将1~16依照次序先左后右,先上后下逐一填入图13—17(1)中得1234114154115144 567896712126799101112510118810115 13141516132316133216⑴⑵⑶图13—17四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+…+16)÷4=(1+16)×16÷2÷4=34.现在图13—17(1)的两条对角线的和都已经是34,合乎要求.所以对角线上的数不要再动.先来调整行.将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调,第二行的5、8分别与第三行的9、12对调,得图13—17(2),这个图中,不但每条对角线的和是34,每一行的和也都是34.再调整列.将图13—17(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调,第二列的14、2分别与15、3对调,得图13—17(3),这个图就是一个合乎要求的幻方.随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案.有何联系?读一读……………………………………………………可能与必然上节末,说到一个游戏“数独”.数独怎么填呢?比如先看第一行,在上节末的图中,有6个空格,应填1、2、4、7、8、9这6个数字.每个空格填的数有6种可能,难以确定.如果看第二列,只有2个空格,应填2、7,每个空格有2种可能,但还不能惟一确定.可能性太多,需要逐个枚举讨论,比较麻烦.所以应先考虑可能较小的方格.最好能发现一些方格,只有一种填法,也就是说这些方格填什么数是必然的.将这些方格先填好,对填其他方格会有帮助.同时考虑几个方面的要求,可以得到必然的填法.比如中间的3×3的正方形,只有3个空格,应填2、6、8.再结合第四行已经有8,第六行也已经有8,所以8必须填在中央.接下去,因为第四行已经有6,所以6必须填在第六行,2填在第四行.现在再看第四行,只剩2个空格,应填9与3.第九列有9,所以第四行的9只能(必然)在第三列,3在第九列.同样,右中3×3的正方形中,9必然在第六行.第六行第一列必填2.左中3×3的正方形中,5必在第一列,7在第三列.第八列3必填在第九行,9必填在第二行.右上3×3的正方形中,7必填在第七列.右下3×3的正方形中,5必在第八行第七列,2必在第八行,1在第九列第七行,6在第七行第七列.右中3×3的正方形中,6在第九列,2在第七列.左下3×3的正方形中,2、3、8、6的填法都是必然的.左上3×3的正方形中,按行依次填2、1、4、7、6.右上3×3的正方形中,填4、8.中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4.中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7.填法都是必然的。
在前一讲中我们主要学习了如何用假设法来解决鸡兔同笼问题.而除了假设法之外,分组法也是解决鸡兔同笼问题的一种重要方法.
所谓“分组”,就是把一定个数的鸡和兔子“捆”在一起来考虑.比如把1只鸡和1只兔子“捆”在一起的话,那么这样一“捆”动物就有2个头和6条腿,两“捆”就有224
×=条腿.在计算时,只要通过头数或者腿数就能算出“捆”数,×=个头和2612
从而求出对应的鸡和兔子的数量.
例题1
鸡兔同笼,鸡和兔子一样多,兔子和鸡的腿数总和为30,鸡和兔子各有几只?
分析 鸡和兔子一样多,可以画出右图.应该如何分组呢?
练习
1. 鸡兔同笼,鸡和兔子一样多,一共有90条腿,鸡和兔子各有几只?
分析 把1只鸡和1只兔子配成一组,如图,用“2”代表鸡,用“4”代表兔子.图中右边还应该画上些什么呢?
练习
2. 六一儿童节,老师为全班学生准备午餐,每个男生3个面包,每个女生2个.班上男生比女生多2人,老师一共准备了86个面包.请问:班里有几个男生?几个女生?
鹤龟算
龟和鹤在东方文化中都是长寿的象征,我国更是有着“龟鹤遐寿”等等很多表示长寿的成语,在民间也经常能见到一些以龟和鹤为题材的剪纸作品.而在我们的近邻日本,也有一类称之为“鹤龟算”的数学问题,是日本传统数学——“和算”的重要组成部分.例如:“金沙滩上有鹤龟共15只,腿共有48条.鹤龟各有多少只?”不难看出其实这个问题就是我们所说的鸡兔同笼问题.鹤与鸡一样,都是一个头两条腿,而龟与兔相同,都是一个头四条腿.在解决鹤龟算时,日本古代数学家给出的也一样是“假设法”,即假鸡和兔子各有几只?
例题2
设全是龟或者全是鹤,然后再进行调整以求得结果.
其实“鹤龟算”就是从我国古代的鸡兔同笼问题变化而来的.早在我国的隋唐时期以前,《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《缀术》等几部重要的数学著作已经通过各种途径传入了日本,“鹤龟算”以及和算中的许多问题都是从其中记载的各种数学问题衍生出来的.
在进行分组的时候,并不是一定要把1只鸡和1只兔子分为一组,而是应该根据题目条件来决定如何分组,关键要注意的是每组的“头”数和“腿”数.比如把1只鸡和2只兔子“捆”在一起,那么一“捆”就有3个头和10条腿,两“捆”就有个236×=(个)头和21020×=(条)腿.在决定如何分组时,鸡和兔子的倍数关系往往是非常重要的依据.
分析 鸡的数量是兔的3倍,如果我们把3只鸡、1只兔分成一组,那么所有的鸡和兔都能恰好分完.如图:
每组的头数和腿数分别是多少呢?
练习
3. 鸡兔同笼,
兔子的数量是鸡的2倍,两种动物一共有80条腿.请问:兔子有几只?在学习和差倍问题时,会出现“几倍多几”或是“几倍少几”的问题,我们会采用“去多”、“补少”的方法来变成整倍数来计算,在鸡兔同笼问题中同样如此.为110
分析 找一找,其中哪里出现了倍数关系,所以应该如何分组呢?
练习
4. 在自然界中,犀牛和犀鸟是一对互帮互助的典型.如果一群犀牛中,每只犀牛背上都停着4只犀鸟,犀鸟的总腿数要比犀牛的总腿数多48条.那么这群犀牛一共有几只?
分析 题中没有倍数关系,那应该如何分组呢?生产一台不合格的电视机需要几台合格的来弥补?
练习
5. 游园会上有一个智力问答的游戏,
可以用一朵小红花换一道题来回答.如果答对了,那么奖励5朵小红花,如果答错了,那么就什么都拿不到.小明开始有10朵小红花,答了10道题后发现自己多了20朵小红花,那么小明答对了多少题?
假设法和分组法是解题的两种基本方法,其实很多鸡兔同笼的问题无论用哪种方法都能够解决.用假设法解题的话就要抓住当把“鸡”变成“兔”(或者“兔”变成“鸡”)的时候,“腿”的数目产生了什么样的变化,然后进行调整.而用分组法的时候则要注意的总腿数比狗的总腿数多机记分,每生产出一台不合格电视机扣100例题5
“鸡”数与“兔”数的倍数关系,这往往是如何分组的依据.
假设法和分组法都是解决鸡兔同笼问题的好方法,大家可以根据自己的喜好和题目的条件选取适当的方法.果券,技术部每人得到
张水果券,问市场部和技术部各有多少人?
本讲知识点汇总
一、分组法解决鸡兔同笼问题:
根据题中的倍数关系来分组.二、非整倍数问题:
通过“去多”或“补少”,变成整倍数的问题来解决.作业
1. 鸡兔同笼,鸡和兔子一样多,一共有96条腿,鸡和兔子各有几只?
2. 鸡兔同笼,鸡比兔子多6只,一共有96条腿,鸡和兔子各有几只?
3.鸡兔同笼,鸡的数量是兔子的2倍,一共有96条腿,鸡和兔子各有几只?
4.鸡兔同笼,鸡比兔子的3倍多3只,一共有96条腿,鸡和兔子各有几只?
5.一次计算测试,一共20题.老师严格要求同学,规定如果答对1题可以得6分,但如果答错1题非但不能得分,还要倒扣2分.小高把所有的题都答了,结果最后得了72分.那么小高答对了多少题?。