北师大版必修四2.1《从位移、速度、力到向量》word教案

第二章平面向量2-1从位移、速度、力到向量（1课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系. （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.【探究新知】1．学生阅读教材思考如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−AB注意：起点一定写在终点的前面。

A BA(起点)B（终点）a有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段−→−AB的长度有向线段的三要素：起点、方向、长度②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即−→−AB可表示为（印刷时用黑体字）3. 向量的模的概念是如何定义的？向量−→−AB的大小——长度称为向量的模。

第二章平面向量2-1从位移、速度、力到向量一、教学目标：1.知识与技能⑪理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；⑫理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示；⑬通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】⑪经验链接：以前学过的量中，有很多量只用一个实数（或加上单位）就能确切表示，如“矩形的面积”、“一个人的身高”行、“一个物体的质量”等.但现实生活中有些量，只用一个实数不能确切地表示它们，如“物体的位移”、“作用在物体上的力”等.这些量，不仅要知道它们的大小，还必须知道它们的方向，才能确切表示它们.在数学中这些量就叫做向量.⑫问题链接：在小学的时候，我们曾经学习过这样一则故事，有几个动物找到了很多食物，它们想把这些食物用车拉回家去，于是，它们各自在车上绑一根绳子，尽全力拉了起来，可是怎么也拉不动车子，车子一步也不往前直，怎么回事呢？原来，它们各自拉着绳子，往自已的方向上用力：天鹅往上飞去，小猴子往前拉，山羊往后拉，小鼹鼠往地下拉.这个故事告诉我们一个生活哲理：做任何事情我们都应同心协力，可是从数学的角度如何看待、分析这个问题呢？学习向量后，你会得到正确的解答.【知识探究】【知识点1】向量的物理背景⑪矢量的概念作用于某一物体的力，拉力与重力虽然大小相同，但方向不同，因此它们并非同一力，不仅有大小还有方向.满足这两个要素的量，在物理学上，我们称之为矢量，即既有大小，又有方向的量.⑫位移、速度、力的特征对于位移，它只与质点的起点、终点位置有关，而与质点实际运动的路线无关，只要距离相同，方向相同就是相等的位移.对于力，需要注意的是较之位移，不仅有大小、方向、还有作用点.根据速度的定义，我们知道速度是伴生于位移的.解析：判断一个量是否是矢量，关键是它是否符合矢量的要素即要具有方向又要具有大小.【知识点2】向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量.解析：⑪向量不同于数量，向量不仅有大小还有方向。

数学ⅳ北师大版2.1从位移、速度、力到向量教案1教学目标：〔1〕掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法那么和平行四边形法那么做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.通过实例，掌握向量加、并理解其几何意义.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 教学重点:向量加法的概念和向量加法的法那么及运算律. 教学难点:向量的加法的几何验证.学法指导：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 【创设情境】 一、 提出课题：向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，那么两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC2． 假设上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 那么两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 那么两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 4． 船速为，水速为， 那么两速度和：−→−AB +−→−BC =−→−AC【二】引出新课：向量的加法1、定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：两个向量的和仍旧是向量〔简称和向量〕2、三角形法那么：强调：①“向量平移”〔自由向量〕：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②能够推广到n 个向量连加 ③a a a =+=+00④不共线向量都能够采纳这种法那么——三角形法那么 【三】范例分析 例1、向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作→−→−=a OA →−→−=b AB 那么→→−→−+=b a OB范例引申1、加法的交换律和平行四边形法那么A BCA BCA BCAA AB B BCCCO Aaaabb baa思考：上题中+的结果与+是否相同验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法那么 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a2、向量加法的结合律：(+)+=+(+)〔可请学生先上来做，不足之处学生更正〕 证：如图：使→−→−=a AB ,→−→−=b BC ,→−→−=c CD 那么(a +b )+c =−→−−→−−→−=+AD CD AC+(+)=−→−−→−−→−=+AD BD AB∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算能够按照任意的次序、任意的组合来进行。

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2.1 从位移、速度、力到向量知识梳理1.概念（1）向量、数量的定义既有大小又有方向的量叫做向量(vector),物理学中常称为矢量.只有大小没有方向的量叫做数量,物理学中常称为标量.（2）向量与数量的区别向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.数量只有一个要素：大小,数量没有方向，可以比较大小.2.平面向量的表示(1）有向线段一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，则线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。

以A为起点,B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作|AB｜.有向线段包含三要素：起点、方向、长度。

(2）向量的表示几何表示:用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模。

字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示,通常印刷体如a、b、c等，而手写体用带箭头的小写字母表示如,,、…；还可用两个大写英文字母表示。

3.相等向量与共线向量(1）向量的长度向量的大小,也就是向量的长度（或模），记作｜｜.长度为零的向量叫做零向量,记作0。

零向量的方向不确定，是任意的.长度为单位1的向量叫做单位向量.(2）共线向量（平行向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量。

1从位移、速度、力到向量考纲定位重难突破1.通过位移的概念，了解向量的实际背景．2.理解平面向量、零向量和单位向量的概念．3.理解向量的几何表示．4.理解向量共线及相等向量的含义.重点：对向量的有关概念的认识与理解及向量的表示．难点：相等向量、共线向量的理解与应用.授课提示：对应学生用书第33页[自主梳理]1．向量的概念及其表示(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量．(2)向量的表示：①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB→，线段AB的长度也叫作有向线段AB→的长度，记作|AB→|.②向量的表示(3)向量的模：|AB→|(或|a|)表示向量AB→的大小，即长度(也称模)．2．与向量有关的概念向量定义记法零向量长度为零的向量称为零向量0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的a0单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作a＝b 共线向量(平行向量)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行a与b平行或共线，记作a∥b1．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④拉力．其中是向量的有()A．①②B．②③C．②④D．③④解析：由向量的概念知：浮力和拉力是向量，密度与温度是数量．答案：C2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝()A．1 B. 3C．2 D．2 3解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝12AB＝1.在Rt△ABO中，易得|BO→|＝3，则|BD→|＝2|BO→|＝2 3.故选D.答案：D3.如图，AB→＝DC→，AC与BD相交于点O，则相等的向量是()A.AD→与CB→B.OA→与OC→C.AC→与DB→D.DO→与OB→解析：∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AC与BD的交点O为BD中点，DO→＝OB→.答案：D授课提示：对应学生用书第34页探究一向量的概念[典例1]判断下列语句是否正确，并简要说明理由．(1)若MN→与PQ→是共线向量，则P，Q，M，N四点共线；(2)共线的向量，若始点不同，则终点一定不同；(3)若两个向量相等，则它们的始点和终点都相同； (4)所有的单位向量都相等； (5)|AB →|＝|BA →|.[解析] (1)不正确．若MN →与PQ →是共线向量，则直线MN 与PQ 可能重合也可能平行，故P ，Q ，M ，N 四点不一定共线．(2)不正确．共线的向量，始点不同，终点也可能相同．如图中的AC →和BC →共线，它们的始点不同但终点相同．(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就相等，和始点、终点的位置无关． (4)不正确．所有的单位向量的长度均等于1，但它们的方向不一定相同，所以它们不一定相等．(5)正确.AB →与BA →的长度均为线段AB 的长度．(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．(2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．1．给出下列几种说法：①温度、速度、位移这些物理量都是向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑤向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中，正确的序号是________． 解析：①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ③错误.0的模|0|＝0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关． ⑤错误．当AB →∥CD →时，直线AB 与CD 也可能平行． 答案：④探究二 向量的表示方法[典例2] 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[解析] (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形的ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 (km)．1．要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型，数学建模是今后能力培养的主要方向，在日常学习中应注意积累经验．2．要注意区分向量和向量的模．2．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值． 解析：(1)所有的向量AC →如图所示． (2)由(1)所画的图知，①当点C 位于点C 1或C 2时，|BC →|取得最小值，为12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时，|BC →|取得最大值，为42＋52＝41. ∴|BC →|的最大值为41，最小值为 5.探究三 相等向量与共线向量[典例3] 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．[解析] (1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →的模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →.向量相等的辨别方法：判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．3.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量有________； (2)若|AB →|＝3，则|EC →|＝________.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED →相等的向量有AB →，DC →.(2)因为|AB →|＝3，EC →＝2AB →，所以|EC →|＝6. 答案：(1)AB →，DC →(2)6对向量的有关概念理解不准致误[典例] 给出下列几种说法：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |≠|b |，则a ≠b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的有________(填所有正确说法的序号)．[解析] ①错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同． ②正确．③错误．若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四个点有可能在同一条直线上．所以ABCD 不一定是平行四边形．④正确．平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝DC 且有向线段AB →与DC →方向相同，所以AB →＝DC →.⑤错误．若a ∥b ，b ∥c ，b ＝0，则a 与c 不一定平行． [答案] ②④[错因与防范] (1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解不正确或将向量与有向线段混淆，会对①④判断错误；混淆向量平行和直线平行，会导致对③④判断错误；忽视零向量与任意向量平行，会导致对⑤判断失误．(2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小和方向两个角度分析问题．共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量．理解时要注意与平面几何中的“共线”“平行”的区别．要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点就会出现错误．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

CB《从位移、速度、力到向量》课堂练习Ⅰ.合作交流，感知概念Ⅱ、判断对错，理解概念⑴若向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线.⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =;反之，若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形. ⑶若,,a b b c ==则a c = ⑷若//,//,a b b a 则//a cⅢ.应用迁移，巩固提高如图，,,D E F 依次为等边三解形ABC 的边,,AB BC AC ,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中,⑴找出与DE 相等的向量。

⑵找出与DF 共线的向量。

Ⅳ.创新应用，提升能力请你当一回老师，考考你的搭档，在方格中画出一些向量（要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处），让其辩认出是否存在共线向量、相等相量？若存在，请一一举出。

Ⅴ.回顾历史，感受文化Ⅵ. 总结反思，布置作业数学诗《我的向量》1、小结给你一个方向，你就成为我的向量2、作业给你一个坐标系，你就在我心空飞翔⑴课本73页第4题.给你一个基底，带着我，征途启航⑵请同学们逐步积累资料，在学完繁复的几何关系，变成纯代数的情疡《平面向量》一章后，以《话说“优美的动态结构，没有人情冷暖世态炎凉向量”》为题，写一篇数学短文，不管起点在哪里，你始终在水一方谈谈你对向量知识的理解.哪怕山高路远，哪怕风雨苍茫（参考网址：）啊，我的向量，你是一股力量溶进了我的身体，在我的血管量，静静地流淌Ⅶ.数学日记姓名：日期：今天数学课的课题：；今天所学的重要数学知识：；理解得最好的地方：；不明白或还需要进一步理解的地方：；你对什么问题还有不同见解：；今天你独立或和谁一起合作解决了什么问题：；所学内容能否应用在日常生活中，请举例说明：；自我评价：；教师评价：；。

2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.（1）用有向线段表示与向量相等的向量；（2）用有向线段表示与向量AB共线的向量.思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.解：（1）与向量相等的向量是、;（2）与向量AB共线的向量是DE、DC、CE.友情提示用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.各个击破类题演练 1如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，（1）图中与AB共线的向量有____________；（2）图中与相等的向量有____________；（3）图中与模相等的向量有____________；（4）图中与相等的向量有____________.解:（1）DC、BE、BA、CD、EB、AE、EA（2）DC，BE（3）、、、、、、、、（4）BD变式提升 1如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，=；长度为3的向量有2个，分别是和，所以最多可以写出6个互不相等的向量.答案：62.共线向量（平行向量）的判断【例2】给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.答案：①③④友情提示注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.类题演练 2有下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线③若a∥b且b∥c，则a∥c④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:①正确.②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.④正确.综上可知应选C.答案：C变式提升 2下列命题中，正确的是（）A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|＞|b|⇒a＞bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.答案：C3.零向量的应用【例3】下列说法正确的有几个（）①零向量是没有方向的向量②零向量与任一向量共线③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.解析：由零向量的特点可知②③对.答案：C友情提示容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.类题演练 3下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.答案：A变式提升 3下列条件中能得到a=b的是（）A.|a|=|b|B.a,b同向C.a=0,b任意D.a=0,b=0答案：D。

[核心必知]1．位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．2．向量的概念(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．(2)向量的表示法①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．②向量的表示法(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B ，则该有向线段记作：(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c ，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念[问题思考]1．有向线段就是向量，对吗？提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．2．相等向量的起点相同，对吗？提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．讲一讲1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．练一练1．给出下列命题(1)若|a|＝0，则a＝0；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．讲一讲2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C点，又改变方向向西走2 km到达D点．(2)求小李到达D点时与A点的距离．即小李到达D点时离A点4 km.1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．练一练2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．讲一讲3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量．1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．练一练3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( ) A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．2．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( ) A．①② B．②C．②③ D．③④解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．3. 设O为△ABC的外心，则是( )A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．起点相同的向量解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若＝3，则向量的模等于________．解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．答案： 66．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．解：如图，用向量表示某人的位移．位移的大小为22＋22＝22个单位长度．从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．一、选择题1．给出下列命题：①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进1003 m，则此人位移的方向是( )A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°∴θ＝60°.3．下列说法中正确的是( )A．平行向量一定方向相同B．共线向量一定相等C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )A．C A B．A∩B＝CC．C B D．A∩B C解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．二、填空题5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．答案：菱形6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．答案：8三、解答题9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.在Rt△CDF中，||＝1002，∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，∴CF＝DF＝100，ED＝200，在Rt△AED中，BE＝EA＝100，∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。

北师大版高中高二数学必修4《从位移、速度、力到向量》教案及教学反思1. 教学目标本章教学主要目的是引导学生理解和运用向量的概念和方法，能够用向量的加、减、乘等运算法则，解决静力学问题。

同时，注重拓展学生思维的多样性和可塑性，培养学生创新意识和解决问题的能力。

2. 教学重点及难点重点：1.掌握向量的基本概念和表示方法2.掌握向量的加、减、标量乘法运算，运用于解决静力学问题3.学会构建向量方程，解决静力学问题难点：1.学生根据题目内容理解问题，构建向量方程的能力2.学生对向量乘法的掌握和应用3. 教学环节及具体时间安排教学环节具体时间概念讲解30分钟实例分析40分钟练习演练50分钟解题思路分享30分钟4. 教学内容4.1 向量概念向量是一个既有大小又有方向的量。

在静力学中，一般用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

4.2 向量运算4.2.1 向量加法向量加法满足“交换律”和“结合律”，即：$$ \\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b} =\\overrightarrow{b} + \\overrightarrow{a} $$$$ \\overrightarrow{a} + (\\overrightarrow{b} +\\overrightarrow{c}) = (\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b})+ \\overrightarrow{c} $$4.2.2 向量减法向量减法可以看做向量加法的一种特殊情况，即：$$ \\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b} =\\overrightarrow{a} + (-\\overrightarrow{b}) $$4.2.3 向量的标量乘法向量的标量乘法是指将向量乘以一个实数，即：$$ k\\overrightarrow{a} = \\overrightarrow{a_1} $$其中，k表示实数，$\\overrightarrow{a}$ 表示向量，$\\overrightarrow{a_1}$ 表示向量的新的大小和方向。

从位移、速度、力到向量一、教学目标： 1.知识与技能（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会之间的联系. （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 2.过程与方法通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 二.教学重、难点重点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.【探究新知】1．学生阅读教材思考如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充） 1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，A B不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？ ①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−AB 注意：起点一定写在终点的前面。

有向线段的长度：线段AB 的长度也叫做有向线段−→−AB 的长度 有向线段的三要素：起点、方向、长度②字母表示法：也可用字母a 、b 、c （黑体字）来表示，即−→−AB 可表示为（印刷时用黑体字） 3. 向量的模的概念是如何定义的？ 向量−→−AB 的大小——长度称为向量的模。