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计算机学科专业基础综合数据结构-图(二)(总分100,考试时间90分钟)一、单项选择题(下列每题给出的4个选项中，只有一个最符合试题要求)1. 具有6个顶点的无向图至少应有______条边才能确保是一个连通图。
A.5 B.6 C.7 D.82. 设G是一个非连通无向图，有15条边，则该图至少有______个顶点。
A.5 B.6 C.7 D.83. 下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是______。
①所有顶点的度之和为偶数②边数大于顶点个数减1③至少有一个顶点的度为1A.只有① B.只有② C.①和② D.①和③4. 对于具有n(n＞1)个顶点的强连通图，其有向边的条数至少是______。
A.n+1B.nC.n-1D.n-25. 下列有关图的说法中正确的是______。
A.在图结构中，顶点不可以没有任何前驱和后继 B.具有n个顶点的无向图最多有n(n-1)条边，最少有n-1条边 C.在无向图中，边的条数是结点度数之和 D.在有向图中，各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和6. 对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，若采用邻接矩阵表示，则该矩阵大小是______，矩阵中非零元素的个数是2e。
A.n B.(n-1)2 C.n-1 D.n27. 无向图的邻接矩阵是一个______。
A.对称矩阵 B.零矩阵 C.上三角矩阵 D.对角矩阵8. 从邻接矩阵可知，该图共有______个顶点。
如果是有向图，该图共有4条有向边；如果是无向图，则共有2条边。
A.9 B.3 C.6 D.1 E.5 F.4 G.2 H.09. 下列说法中正确的是______。
A.一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示也唯一 B.一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一 C.一个图的邻接矩阵表示不唯一，邻接表表示唯一 D.一个图的邻接矩阵表示不唯一，邻接表表示也不唯一10. 用邻接表存储图所用的空间大小______。
A.与图的顶点数和边数都有关 B.只与图的边数有关 C.只与图的顶点数有关 D.与边数的二次方有关11. 采用邻接表存储的图的深度优先搜索算法类似于二叉树的______，广度优先搜索算法类似于二叉树的层次序遍历。
深度优先遍历的算法
深度优先遍历（Depth-FirstSearch，简称DFS）是一种常见的图遍历算法。
该算法以深度为优先级，先访问一个结点的所有子结点，再依次访问每个子结点的所有子结点，直到遍历完整个图。
DFS算法通常使用递归实现，在访问一个结点时，先将该结点标记为已访问，并对其所有未访问过的子结点进行深度优先遍历。
这一过程会一直持续下去，直到所有结点都被遍历过。
在实际应用中，DFS算法常用于解决以下问题：
1. 图的连通性问题：使用DFS算法可以判断一个图是否为连通图。
2. 寻找图中能够到达某一个结点的所有路径：在DFS算法的递归过程中，可以记录下所有访问过的结点，从而得到到达目标结点的所有路径。
3. 拓扑排序：DFS算法可以实现拓扑排序，即对图中的所有结点进行排序，使得对于任意的有向边(u, v)，u在排序结果中都排在v的前面。
4. 最短路径问题：DFS算法可以用于解决最短路径问题，例如在无权图中，可以通过DFS算法找到从起点到目标结点的最短路径。
总之，DFS算法是一种非常重要的图遍历算法，在各种实际应用中都具有广泛的运用价值。
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深度优先递归算法深度优先递归算法是一种常用的算法，它可以用来解决许多问题。
在这篇文章中，我们将介绍深度优先递归算法的基本原理和应用。
深度优先递归算法是一种递归算法，它的基本思想是从根节点开始，沿着一条路径一直走到底，直到找到目标节点或者无法继续走下去为止。
如果无法继续走下去，就返回上一个节点，继续沿着另一条路径走下去，直到找到目标节点或者遍历完整个图为止。
深度优先递归算法的实现通常使用递归函数来实现。
递归函数的基本结构是：```void dfs(int u) {// 处理节点ufor (int v : adj[u]) {if (!visited[v]) {visited[v] = true;dfs(v);}}}```其中，`u`表示当前节点，`adj[u]`表示与节点`u`相邻的节点集合，`visited[v]`表示节点`v`是否已经被访问过。
在处理节点`u`时，我们可以进行一些操作，比如更新最短路径、计算连通块等等。
然后，我们遍历与节点`u`相邻的节点，如果这些节点没有被访问过，就递归调用`dfs`函数，处理这些节点。
深度优先递归算法的应用非常广泛，比如：1. 图的遍历：深度优先递归算法可以用来遍历图，找到所有连通块、最短路径等信息。
2. 拓扑排序：深度优先递归算法可以用来进行拓扑排序，找到有向无环图的拓扑序列。
3. 回溯算法：回溯算法是一种搜索算法，它可以用深度优先递归算法来实现。
回溯算法通常用来解决一些组合问题，比如八皇后问题、数独问题等等。
4. 生成树：深度优先递归算法可以用来生成树，比如最小生成树、最大生成树等等。
深度优先递归算法是一种非常重要的算法，它可以用来解决许多问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的算法，并进行适当的优化，以提高算法的效率。
深度优先遍历（Depth-First Search，DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
这个算法会尽可能深地搜索树的分支。
当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。
这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。
如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
下面是一个简单的深度优先遍历的伪代码实例，用于遍历图：```pythonfunction DFS(vertex, visited):mark vertex as visitedprint vertexfor each neighbour of vertex:if neighbour is not visited:DFS(neighbour, visited)function startDFS(graph):visited = array with size equal to number of vertices in graph, filled with Falsefor each vertex in graph:if vertex is not visited:DFS(vertex, visited)```这个伪代码首先初始化了一个数组visited，用于跟踪已经被访问过的顶点。
然后，对于图中的每个顶点，如果该顶点尚未被访问，就对其进行深度优先遍历。
在DFS函数中，首先将当前顶点标记为已访问，并打印出该顶点。
然后，对于当前顶点的每个邻居，如果邻居尚未被访问，就对其进行深度优先遍历。
注意：在某些情况下，比如在迷宫搜索或者寻找图的连通分量等应用中，我们需要标记每个节点为“未访问”、“正在访问”或“已访问”，以防止在回溯过程中再次访问已经访问过的节点。
rsa模幂实现思路-概述说明以及解释1.引言1.1 概述RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，被广泛应用于信息安全领域。
它的安全性基于一个简单的数论问题：将两个大素数相乘相对容易，但是想要将一个很大的数分解成两个大素数却非常困难。
模幂运算是RSA算法中的核心运算之一，用于加密和解密过程中。
它使用了模重复平方法，通过不断平方和取模的运算，高效地对大数进行幂次运算。
本文将探讨RSA模幂实现的思路，并详细介绍了其原理与过程。
首先，我们将介绍RSA算法的基本原理。
RSA算法由三个重要的步骤组成：密钥生成、加密和解密。
在密钥生成阶段，首先选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积N=p*q。
然后，根据欧拉函数确定一个整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质。
接着，选择一个整数d，满足d*e ≡1 (mod (p-1)(q-1))。
公钥由N和e组成，私钥由N和d组成。
其次，我们将重点介绍模幂运算的概念。
模幂运算是RSA算法关键的数论运算，用于加密和解密过程中的指数运算。
它的原理是利用模运算的特性，将幂次运算转换为更简单和高效的运算。
通过不断平方和取模操作，可以快速计算大数的指数幂。
最后，我们将总结RSA模幂实现的思路。
我们将介绍基于模幂运算的RSA加密和解密算法的具体步骤。
首先，根据公钥进行加密，将明文通过模幂运算得到密文。
然后，使用私钥进行解密，将密文通过模幂运算得到原始的明文。
同时，我们还将讨论可能的改进方向，如增强RSA算法的安全性和提高模幂运算的效率。
通过本文的阅读，读者将了解到RSA模幂的基本原理和实现思路。
同时，也能够深入了解RSA算法在信息安全领域中的重要性和应用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍整篇文章的组织结构和各个部分的主要内容概述。
首先，本文将按照以下结构进行组织：引言、正文和结论。
每个部分将有特定的目的和内容要点。
深度优先搜索+递归 ⼀般涉及到数学中的组合求解的问题⼀般使⽤的问题，可以通过修改dfs算法+递归进⾏相应的求解。
此问题的解法⼀般是进⾏对给出的字符串进⾏深度搜索，需要处理各种边界条件，同时需要准确的判定出递归的终⽌条件。
这类问题⼀般是⼤致上相同，主要是处理边界条件的不同。
下⾯例题为leetcode上⼀道经典例题。
此问题的边界条件是： 1.ip每⼀段的⼤⼩最多为3 2.ip每⼀段的⼤⼩需要检验其合理性，不能⼤于255，同时每⼀段需要有值。
3.⼀共需要划分4段。
代码：1 #include <iostream>2 #include <string>3 #include <vector>4 #include <list>5using namespace std;6//给出⼀个包含数字的字符串，给出可能的ip组合7//应该使⽤dfs+递归实现89//⽤来保存运算的结果1011string changeToString(vector<string>path)12 {13string str = "";14 auto it1 = path.begin();15 auto it2 = path.end();16while (it1 != it2)17 {18 str += (*it1);19//添加上“."20 str += ".";21 ++it1;22 }23//去除最后的“."24int length = str.length();25 str = str.substr(0, length - 1);26return str;27 }2829bool isAvailable(string out)30 {3132int length = out.length();33if (length == 0)34return false;35if (length > 1 && out[0] == '0')36return false;37int num = atoi(out.c_str());38if (num <0 || num >= 256)39return false;40return true;41 }4243void dfs(vector<string>&result, string s, int pos, vector<string>&path)44 {45if (path.size() == 4)46 {47if (pos != s.length())48return;49else50 {51//将path转换成string 添加到result中52 result.push_back(changeToString(path));53return;54 }55 }56else57 {58for (int i = pos; i < s.length() && i < pos + 3; i++) 59 {60//开始递归过程61string out = s.substr(pos, i-pos+1);62if (isAvailable(out))63 {64 path.push_back(out);65 dfs(result, s, i + 1, path);66//当处理完之后将vector中最后⼀个元素pop67 path.pop_back();68 }6970 }71 }7273 }7475 vector<string> restoreIpAddresses(string s)76 {77int length = s.length();78//⽤来保存输出的结果79 vector<string> result;80//判断长度是否符合要求81if (length == 0 || length < 4 || length>12)82return result;8384//⽤来保存每⼀个可能的ip组合85 vector<string> path;86//调⽤dfs处理函数87 dfs(result, s, 0, path);88return result;8990 }9192int main()93 {94string str;95 vector<string> list;96 cin >> str;97 list=restoreIpAddresses(str);98 auto it1 = list.begin();99 auto it2 = list.end();100while (it1 != it2)101 {102 cout << *it1 << endl;103 ++it1;104 }105return0;106 } 运⾏结果：。
rsa算法过程原理RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种常用的非对称加密算法，它是公钥加密的代表之一、RSA算法基于数论中的大数分解问题，其安全性依赖于质因数分解问题的困难性。
RSA算法的过程包括密钥生成、加密和解密三个步骤。
下面将详细介绍RSA算法的原理和过程。
1.密钥生成：（1）选择两个大素数p和q。
（2）计算n=p*q，并得到欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
（3）选择一个整数e（1<e<φ(n)），使得e与φ(n)互质。
e称为公钥指数。
（4）计算d满足 d * e ≡ 1 mod φ(n)，d称为私钥指数。
（5）公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
2.加密：假设Bob要给Alice发送一条消息m。
（1）Bob使用Alice的公钥(n, e)将消息m进行加密，计算c ≡ m^e mod n，c为密文。
这里的^表示乘方运算。
（2）Bob将密文c发送给Alice。
3.解密：Alice接收到密文c后，使用自己的私钥(n, d)进行解密。
（1）Alice计算m ≡ c^d mod n，m为明文。
实际上，解密过程与加密反过来，即使用私钥的指数d进行幂运算。
下面是对上述步骤进行详细解析：密钥生成：在密钥生成过程中，选择两个大素数p和q是RSA算法的基础。
这两个素数越大，加密的安全性就越高。
通常，选择的素数位数越多，算法越安全，但计算过程也越慢。
加密：对于Bob要发送给Alice的明文m，Bob使用Alice的公钥(n, e)进行加密。
加密过程是通过对明文m进行指数运算来得到密文c。
公式为：c ≡ m^e mod n。
其中，^表示乘方运算，mod表示模运算。
c就是加密后的密文。
解密：Alice收到密文c后，使用自己的私钥(n, d)进行解密。
解密过程与加密正好相反。
Alice计算：m ≡ c^d mod n。
通过指数运算，Alice恢复出原始的明文m。
RSA算法的安全性：RSA算法的安全性基于大数分解问题，即将一个大数因数分解为两个质数的乘积。
RSA算法数学原理首先，让我们来了解一下RSA算法的加密和解密过程。
RSA算法涉及到三个关键的步骤：密钥生成、加密和解密。
1.密钥生成RSA算法使用两个不同的大质数p和q来生成密钥。
首先，选择两个不同的质数p和q。
将p和q相乘得到n=p*q作为RSA算法的模数。
接下来，计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
然后，选择一个比φ(n)小但与之互质的整数e作为公钥的指数。
最后，计算e的乘法逆元d，使得(e*d)%φ(n)=1，d作为私钥的指数。
公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
2.加密要加密一个消息m，我们首先将消息m转换为一个整数M，使得0≤M<n。
然后，计算密文C=(M^e)%n。
密文C即为加密后的消息。
3.解密要解密一个密文C，我们使用私钥(n,d)。
通过计算明文M=(C^d)%n，我们可以得到解密后的消息。
接下来，我们将详细介绍RSA算法的数学原理。
1.大整数的因子分解RSA算法的安全性基于大整数的因子分解问题。
给定一个大合数n，找到n的两个素因子是一个非常困难的数学问题。
这个问题被认为是一个复杂的数学问题，没有快速的解法。
RSA算法利用这个数学问题来保证私钥的安全。
2.求模的离散对数问题RSA算法的加密过程中使用了求模的离散对数问题。
对于给定的大整数n和e，以及一个密文C，求解满足(C^d)%n=M的明文M，需要计算e的乘法逆元d。
这个问题被认为是一个困难的数学问题，没有快速的解法。
中间步骤中的欧拉函数φ(n)计算，基于两个质数p和q。
欧拉函数计算公式为φ(n)=(p-1)*(q-1)。
由于n=p*q，p和q是质数，所以φ(n)=(p-1)*(q-1)。
在RSA算法的密钥生成过程中，选择合适的e是非常重要的。
e必须满足1<e<φ(n)且e与φ(n)互质，这样才能保证加密和解密运算的正确性。
-质因数分解问题是困难的，没有快速的解法。
-求模的离散对数问题是困难的，没有快速的解法。
RSA算法数学原理RSA(Rivest-Shamir-Adleman)算法是一种非对称加密算法，由Ron Rivest, Adi Shamir和Len Adleman三位计算机科学家于1977年共同提出。
RSA算法利用了数论中两个重要的数学原理：欧拉定理和大整数分解困难性。
首先，我们来了解一下欧拉定理。
欧拉定理是费马小定理的推广，它在用于证明RSA算法的正确性过程中发挥了重要作用。
欧拉定理表述如下：对于任意正整数n和与n互质的整数a，a的φ(n)次幂与1对n取模的结果等于1、其中，φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数，称为欧拉函数。
接下来，我们了解一下大整数分解困难性。
大整数分解问题是指将一个大的合数分解成素数的乘积的问题。
举个例子，如果我们有一个巨大的数字n，它是两个素数p和q的乘积，即n=p*q，那么要找到p和q就变得非常困难。
虽然我们可以通过穷举法逐个检查所有可能的因子，但当n的位数很大时，这将是一个非常耗时的过程。
大整数分解问题之所以难以解决，是因为我们还没有有效的算法来解决它。
基于以上两个数学原理，RSA算法的加密和解密过程如下：1.密钥生成：选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
将n作为模数，并计算模数n的欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
2.公钥生成：选择一个与φ(n)互质的整数e，作为公钥的指数，与n一起构成公钥。
3. 私钥生成：计算e对于φ(n)的模反元素d，即满足e * d ≡ 1 (mod φ(n))。
d作为私钥的指数，与n一起构成私钥。
4. 加密：对于要加密的明文M，利用公钥的指数e和模数n，计算其密文C = M^e mod n。
5. 解密：对于接收到的密文C，利用私钥的指数d和模数n，计算其明文M' = C^d mod n。
RSA算法的安全性基于大整数分解问题的难解性。
如果有人能够在合理的时间内将密文C分解为p和q，那么他就可以轻松地计算得到私钥d。
深度优先递归算法
深度优先递归算法（Depth-First Recursive Algorithm，DFS）是一种常用的图论算法，它能够快速地搜索一个图中的节点，从而找到最佳路径。
这种算法也常被用来解决迷宫问题。
深度优先递归算法的原理是，使用一个指针（或者说游标）来遍历图中的所有节点，并依次进行深度优先搜索。
它的基本思想就是，将当前节点放在栈的顶部，然后寻找它的相邻节点，将相邻节点也放入栈中，直到找到满足条件的目标节点，再从栈中弹出节点。
深度优先递归算法需要使用一个栈来存储已经访问过的节点。
当算法从一个新节点开始时，会将当前节点放入栈中，然后检查该节点的所有相邻节点，如果存在未访问过的节点，就将其放入栈中，重复上述步骤，直到找到终点，或者栈为空。
深度优先递归算法的特点是，它能够快速地搜索图中的所有节点，并且可以找到最佳路径。
它也比较容易理解，不需要复杂的数据结构，只需要一个栈即可。
但是，深度优先递归算法也有一些缺点，其中一个就是它容易出现堆栈溢出，尤其是在处理大型图时，算法的时间复杂度会很高，因此，它的效率不是很高。
总的来说，深度优先递归算法是一种简单而有效的图搜索算法，在处理一些小型图时，它的效率还是很高的。
