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芯衣州星海市涌泉学校§函数的图象及其运用〔一〕【复习目的】掌握根本初等函数的图象特征，能利用函数的图象研究函数的性质；掌握画函数图象的根本方法，掌握图象的三种根本变换：平移变换、对称变换、伸缩变换。
【重点难点】掌握图象的三种根本变换，能利用函数的图象研究函数的性质【课前预习】函数()y f x =的图象与函数()y f x =-的图象的关系是；函数()y f x =的图象与函数()y f x =-的图象的关系是；函数()y f x =的图象与函数()y f x =--的图象的关系是；将函数()y f x =的图象，即可得|()|y f x =的图象；将函数()y f x =的图象，即可得(||)y f x =的图象；将函数()y f x =的图象，即可得()y f x h =+的图象；将函数()y f x =的图象，即可得()y f x k =+的图象。
其图象与函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的函数的解析式是；其图象与函数()y f x =的图象关于点(),0a 对称的函数的解析式是。
3()l o g f x x =，作出以下函数的图象，并说明其图象如何由3()l o g f x x =变化而来？ ⑴(1)f x +⑵()2f x -⑶2()f x ⑷1()1f x -+ ⑸()f x -⑹()f x -⑺|()|f x ⑻(||)f x5．将函数3x y =的图象向左平移2个单位得到的图象为c ，再将c 图象向下平移2个单位得到的图象为2c ，那么图象2c 的解析式为。
6．把函数()f x 的图象先向左，再向下分别平移2个单位，得到函数3xy =的图象，那么()f x =。
7．我出租车起步价为6元〔起步价内行驶的里程是3Km 〕以后每1Km 价为1.6元，那么乘坐出租车的费用y 〔元〕与行驶的里程x 〔Km 〕之间的函数图象大致为〔〕(A)(B)(C)(D)【典型例题】例1作出以下各函数图象的示意图：〔1〕13l o g[3(2)]y x =+〔2〕12|l o g ()|y x =-例2作出函数211x y x -=-的图象，并说出有关性质，指出它是由1y x=的图象如何变化得到的。
函数的图象【学习目标】1.巩固复习基本初等函数的图像及性质，掌握函数图像变换的一般规律。
2.培养学生综合作图及应用图像解决问题能力。
3.体会高中数学中数形结合的思想。
4.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】基本初等函数的图像及性质。
【学习难点】基本初等函数的图像及性质，基本函数图像的综合运用。
[自主学习]一、基本函数图象特征（作出草图）1．一次函数为；2．二次函数为；3．反比例函数为；4．指数函数为，对数函数为 .幂函数二、函数图象变换1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0)y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0)y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)2．对称变换：① y＝f(－x)与y＝f(x)关于对称② y＝－f(x)与y＝f(x)关于对称③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于对称④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于对称⑤ y ＝|f(x)|的图象是将y ＝f(x)图象的 ⑥ y ＝f(|x|)的图象是将y ＝f(x)图象的3．伸缩变换：① y ＝Af (x) (A>0)的图象是将y ＝f(x)的图象的 . ② y ＝f (ax) (a>0)的图象是将y ＝f(x)的图象的 .4．若对于定义域内的任意x ，若f (a －x)＝f (a ＋x) (或f (x)＝f (2a －x))，则f (x)关于 对称，若f (a －x)＋f (a ＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a －x)＝2b)，则f (x)关于 对称.[典型例析]例1 作出下列函数的图象.(1)y=|x-x 2| (2)y=x-|x 2| （3）y=112--x x ;.变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x ； （2）y=|log 21（1-x ）|；（3）y=112+-x x .小结：例2 设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；（4）求函数的值域.变式训练2:已知函数f(x)=x|m-x| (x∈R)，且f(4)=0(1)求实数m的值(2)做出函数f(x)的图像(3)根据图像指出f(x)的单调减区间(4) 根据图像写出不等式f(x)>0的解集小结：[当堂检测]1、已知函数f(x)是R上的奇函数，则函数y=f(x-3)+2的图像经过的定点为_____________2、若函数y=f(2x+1)的图像有唯一的对称轴，其方程为x=0,则函数y=f(2x-1)的图像的对称轴方程为_____________3、函数y=e-x 的图像与函数_____________的图像关于原点对称。
学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．2．已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．5．已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图 例2 (1)函数2log 2xy =|的图象大致是________(填入正确的序号)．(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos xx；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．数形结合思想例 (5分)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t s的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.t s为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤t s<1.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合t s的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．函数f (x )＝4x＋12x 的图象关于______对称．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．3．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理 3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方 自我检测1．左 3 下 1 2．③3．坐标原点解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．4．(－1,0)解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．5．②解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0， ∴0<a <1. 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．答案 (1)③ (2)③解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x >1)，所以图象画法正确的应为③.(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.变式迁移2 ①解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区 1．y 轴解析 f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称．2．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象． 又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾． 4．0<a <1解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解． 结合图象不难得到0<a <1. 5．－1解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(0，12)解析 规范作图如下：由图知0<2a <1，所以a ∈(0，12)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分)(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(7分)f (x )的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分)(4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12(5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log 2a ≥1.………………………………………………………………(12分)∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分)因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)方法二 作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0…………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．………………………………………………(14分)。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7节函数的图象教学案含解析理第七节 函数的图象[考纲传真] 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．利用描点法画函数图象的流程2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象y ＝af (x )的图象．(3)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象．(4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象y ＝f (|x |)的图象．[常用结论]1．一个函数图象的对称关系(1)函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；特别地，当f (a ＋x )＝f (a －x )时，函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．2．两个函数图象的对称关系(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称． ( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则如图所示的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )① ② ③ ④A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④B[设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]3．已知a＞0，a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是( )A B C DB[y＝log a(－x)与y＝log a x的图象关于y轴对称，故选B.]4．函数y＝log12(1－x)的大致图象是( )A B C DD[把函数y＝log12x的图象对称到y轴左侧得到y＝log12(－x)的图象，再把所得图象向右平移1个单位，得到y＝log12(1－x)的图象，故选D.]5．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1D[依题意，与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]作函数的图象【例1】(1)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1；(4)y＝x2－2|x|－1.[解](1)先作出y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，保留y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x图象中x≥0的部分，再作出y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝⎝⎛⎭⎪⎫12|x|的图象，如图①实线部分．① ②(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.③ ④(4)∵y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x＜0，且函数为偶函数，先作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.[规律方法]函数图象的三种画法1直接法：当函数解析式或变形后的解析式是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.3图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.易错警示：1画函数的图象一定要注意定义域.2利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.识图与辨图【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝xxx2的图象大致为( )(2)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )A B C D(1)B (2)D [(1)因为f (－x )＝e －x－e x －x 2＝－e x －e －xx 2＝－f (x )(x ≠0)，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以函数f (x )的图象关于原点(0,0)中心对称，排除选项A ；因为f (1)＝e －1e >2，所以排除选项C ，D ，选B.(2)如图所示，点P 的轨迹是分别以A ，B ，C ，D 为圆心，半径为12的4个14圆，以及线段EF ，GH ，RQ ，SJ 部分．则G围成的面积为矩形的面积减去4个14圆的面积，即y ＝x (4－x )－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4x －x 2－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.][规律方法] 识别函数图象的方法技巧 1由解析式确定函数图象①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势. ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性. ④从函数的周期性，判断图象的循环往复. ⑤从函数的特殊点，排除不合要求的图象. ⑥从函数的极值点判断函数图象的拐点.2由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题.(1)(2019·武汉模拟)函数f (x )＝x 33x －1的大致图象是( )(2)如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )A B C D(1)C (2)C [(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，排除A. 又f (－1)＝－133－1－1＝32＞0，排除B.当x →＋∞时，f (x )→0，故选C.(2)当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.]函数图象的应用►考法1 【例3】 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]►考法2 求不等式解集【例4】 函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]＜0，则x 的取值范围为________．(－3,0)∪(0,3) [函数f (x )的图象大致如图所示．因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]＜0，所以2x·f(x)＜0.由图可知，不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．][规律方法] 1.利用函数图象研究性质的方法(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．(4)从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．2．利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．3．利用函数图象研究方程根的策略构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(1)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．(1)C(2)[－1，＋∞)[(1)作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}，故选C.(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.]函数图象对称性的应用【例5】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0C．2 D．50(2)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(1)C(2)B[(1)由f(x)是奇函数知f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.(2)设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.] [规律方法]函数图象对称性的常见结论1关于点a，0对称①若两个函数f x与g x的图象关于a，0对称，则有f x＝－g2a－x.②函数y＝f x的图象关于a，0对称，则有f x＝－f2a－x.2关于直线x＝a对称①函数f x的图象关于直线x＝a对称，则有f a＋x＝f a－x或f2a－x＝f x②若两个函数f x与g x的图象关于直线x＝a对称，则有g x＝f2a－x③偶函数f x的图象关于直线x＝a对称，则函数f x是周期为2a的周期函数④奇函数g x的图象关于直线x＝a对称，则函数g x是周期为4a的周期函数.(1)直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝5x＋17x＋3的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2等于( )A．2 B．4 C．6 D．8(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)．则f(2 019)＝( )A．－3 B．0 C．1 D．3(1)B(2)B[(1)因为y＝5x＋17x＋3＝2x＋3＋5，其图象关于点(－3,5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3,5)，如图所示．所以A，B关于点(－3,5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.(2)由题意知f(3－x)＝f(x)＝－f(－x)，则f(x＋3)＝－f(x)，从而f(x＋6)＝f(x)．即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 019)＝f(3)＝f(0)＝0，故选B.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )C [令f (x )＝sin 2x 1－cos x， ∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0， ∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x x2的部分图象大致为( )D [当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x x2→＋∞，故排除选项B.当0＜x＜π2时，y＝1＋x＋sin xx2＞0，故排除选项A，C.故选D.]3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )D[∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，∴其图象关于y轴对称．又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1mx i＝( ) A．0 B．mC．2m D．4mB[∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．当m为偶数时，∑i＝1mx i＝2×m2＝m；当m为奇数时，∑i＝1mx i＝2×m－12＋1＝m.故选B.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
函数的图象二．教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．三．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换．四．教学过程：（一）主要知识：1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．（二）主要方法：1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；（3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． （三）例题分析：例1．（《高考A 计划》考点16“智能训练第5题”）函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）例2．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321xy --=+的图像．A B C D解：方法一：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像；（2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像． 方法二：（1）作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x y -=的图像；（2）把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．例3．（《高考A 计划》考点16“智能训练第11题”）如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 C ；（2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 A ；（3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 D ；（4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 B ．例4．设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ，（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t sA 对称； （3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：24t s t =-． 解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点， 则有1212,2222x x t y y s ++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程， 得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上．反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上．因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，()A ()B ()C ()D∴方程组33()()y x x y x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．例5．（《高考A 计划》考点16，智能训练12）（1）试作出函数1y x x=+的图像； （2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？解：（1）∵1()f x x x=+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像， 又∵0x >时，()2f x ≥，∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)，又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x=+>>即以y x =为渐近线， 于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：（2）y 是x 的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知，()f x 的图像是图③中实线部分．定义域为R ；值域为[1,)+∞；单调增区间为[1,0),[1,)-+∞；单调减区间为(,1),[0,1)-∞-；当1x =±时，函数有最小值1；函数无最大值．（四）巩固练习：1．已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如右图所示，则（ A ）()A (,0)b ∈-∞ ()B (0,1)b ∈ ()C (1,2)b ∈ ()D (2,)b ∈+∞五．课后作业：《高考A 计划》考点16，智能训练3， 7，9，15，16．。
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数的图像教案相关信息；能用数形结合思想解决有关分析函数图象来获取信息，用数形结合思想解．作图图象变换法：通过基本函数的图象经过的图象画出所给函数的图象．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势，对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析函数图象形象地显示了函数的性质，要重视数形结合解题的思想方法．、为了得到函数个单位长度的图象关于，)的四个方程:0x y -= x y -=0x y -=,,,A B C D 的顺 . 4 .解析：画出y=x^2-4x+3的图象（与x轴焦点为（1,0）和（3，0）），把再将图设函数数集上答案： 右， 1个 3、已知函数1xy x =-,给出下列四个命题: ①函数图象关于点()1,1对称;图象关于直线2y x =-对称;③函数在定义域内单调递减;④将函数图象向左平精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数概念、图象性质教案学习重点难点：时，则不仅要考虑使紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问2＋【解析】注意到当0<a <1时，函数y ＝a x－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知，选4．(2012·冀州中学模拟)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是(23，＋∞)，则＝________.【解析】由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是(所以a 3＝23，a ＝2.自主﹒合作﹒探究例1．(2012·江西卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))A ．lg101 B ．2 C ．1 D ．0【解析】 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A ；令y ＝＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为(π12，0)，又函数y ＝2x －数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x>0，cos6x >0，所以函数y ＝cos6x 2x －2－x >0选D.例3(1)(2012·全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21，则( A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <xD ．y <z <x(2)(2012·重庆卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )，故排除解析】由题意知，函数y个单位，)*为偶数，∴011)时，。
第17课时：第二章 函数——函数的图象一．课题：函数的图象二．教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．三．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换．四．教学过程：（一）主要知识：1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．（二）主要方法：1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；（3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到． 3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到．（三）例题分析：例1．（《高考A 计划》考点16“智能训练第5题”）函数()y f x =与()y g x =的图像如下图： 则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）例2．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y--=+的图像． 解：方法一：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像；（2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像． 方法二：（1）作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x y -=的图像；（2）把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．例3．（《高考A 计划》考点16“智能训练第11题”）如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 C ；()A ()B ()C ()DA B C D（2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 A ；（3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 D ；（4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 B ．例4．设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ，（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：24t s t =-．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+； （2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s ++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=--- 即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上．因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x x y x t x t s ⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解，消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t=-．例5．（《高考A 计划》考点16，智能训练12）（1）试作出函数1y x x =+的图像；（2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？解：（1）∵1()f x x x =+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像，又∵0x >时，()2f x ≥，∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)，又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x =+>>即以y x =为渐近线，于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：（2）y 是x 的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知，()f x 的图像是图③中实线部分．定义域为R ；值域为[1,)+∞；单调增区间为[1,0),[1,)-+∞；单调减区间为(,1),[0,1)-∞-；当1x =±时，函数有最小值1；函数无最大值．（四）巩固练习：1．已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如右图所示，则（ A ）()A (,0)b ∈-∞ ()B (0,1)b ∈()C (1,2)b ∈ ()D (2,)b ∈+∞五．课后作业：《高考A 计划》考点16，智能训练3， 7，9，15，16．。
2.7 函数的图象考情分析考点新知① 图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据，预测在今后的高考中还将加大对函数图象考查的力度.② 主要考查形式有：知图选式、知式选图、图象变换以及自觉地运用图象解题，因此要注意识图读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用．①掌握基本函数图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题.②掌握图象的作法：描点法和图象变换法1. 函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于________对称．2.函数y ＝2－x 的图象是________．(填序号)3.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则(1) f (0)＝________，f(－1)＝________，f (4)＝________．(2) 若－1<x 1≤x 2<2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________________．4.函数y ＝x －2x ＋2的图象关于________对称．5.某同学从A 地跑步到B 地，随路程的增加速度减小．若以y 表示该同学离B 地的距离，x 表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)1. 基本初等函数及其图象 (1) 一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)(2) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(3) 反比例函数y ＝kx(k ≠0)(4) 指数函数y ＝ax (a >0，a ≠1)(5) 对数函数y ＝log ax (a >0，a ≠1)2. 图象变换 (1) 平移变换原图象对应的函数图象变换过程(a >0，b >0)变换后图象对应的函数 y ＝f (x ) 向左平移a 个单位 向上平移b 个单位 y ＝f (x ) 向右平移a 个单位 向下平移b 个单位 y ＝f (x ) y ＝f (x ＋a ) y ＝f (x )＋b y ＝f (x )y ＝f (x －a )y ＝f (x )－b (2) 对称变换函数A 函数B A 与B 图象间的对称关系 y ＝f (x ) y ＝f (－x) 关于y 轴对称 y ＝f (x ) y ＝－f (x ) 关于x 轴对称 y ＝f (x )y ＝－f (－x )关于原点对称(3) 翻折变换 原图象对应的函数图象变换过程变换后图象对应的函数 y ＝f (x )先把f (x )的图象中位于x 轴上方的部分保留，将图象中位于x轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方．y ＝|f (x )|y ＝f (x )先把f (x )的图象中位于y 轴右侧的部分保留，将图象中位于y轴右侧的部分沿y 轴翻折到y 轴左侧．y ＝f (|x |)『备课札记』题型1 利用描点法画函数图象 例1 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x |≤2； (2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)； (3) y ＝12(lg x ＋|lg x |)．画出下列函数的图象： (1) y ＝x 2－2x ()||x>1； (2) f (x )＝⎪⎪⎪⎪1x ； (3) y ＝x |2－x |.题型2 利用图象的平移变换作函数图象例2 (1) 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象：①y ＝f (x ＋1)；②y ＝f (x )＋2； (2) 作出函数y ＝2－x －3＋1的图象．作下列函数的图象． (1) y ＝3x －1x －2；(2) y ＝log 13『3(x ＋1)』．题型3 函数图象的应用例3 当m 为何值时，方程x 2－4|x |＋5－m ＝0有四个不相等的实数根？已知函数y ＝|x2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．1. (2013·福建)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是________．(填序号)2. (2013·徐州期初)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝2x 及g (x )＝3·2x 的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．3. (2013·安徽)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间『a ，b 』上可以找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，xn ，使得f （x1）x1＝f （x2）x2＝…＝f （xn ）xn，则n 的取值集合是________．4. (2013·新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等．2. 掌握几种图象的变换的方法技巧，如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻折变换等，能帮助我们简化作图过程．3. 利用函数图象可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题，解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图．答案1.『答案』y 轴 2. 『答案』① 3.『答案』(1) 4 5 6 (2) f (x 1)≥f (x 2) 4.『答案』(－2，1)『解析』由y ＝x －2x ＋2＝1－4x ＋2，知y ＝x －2x ＋2的图象可以由y ＝－4x 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得．由于函数y ＝－4x 的图象关于原点对称，所以y ＝x －2x ＋2的图象关于(－2，1)对称． 5.『答案』③『解析』由于y 表示该同学离B 地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.题型1 利用描点法画函数图象 例1『答案』(1) (2) (3)『解析』(1) ∵ x ∈Z ，|x |≤2，∴ x ＝±2、±1、0，图象由五个孤立点组成，如(1)图所示． (2) ∵ y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5(0≤x <3)，∴ 图象为抛物线上的一段弧，如(2)图所示．(3) ∵ y ＝12(lg x ＋|lg x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx ，x≥1，0，0<x<1，∴ 图象由两部分组成，如图(3)所示．『答案』(1)∵ ||x >1，∴ x <－1或x >1，图象是两段曲线，如图①.(2)f ()x ＝⎩⎨⎧1x()x>0－1x ()x<0 ，图象如图②.① ②③(3) ∵ y ＝x |2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x （x≥2）－x2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图③.题型2 利用图象的平移变换作函数图象 例2『答案』(1) 将函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到y ＝f (x ＋1)的图象(如图①所示)，将函数y ＝f (x )的图象向上平移两个单位得到y ＝f (x )＋2的图象(如图②所示)．③(2) 由于y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3＋1，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x －3＋1的图象，如图③. 变式训练『答案』(1) 由y ＝3＋5x －2，将函数y ＝5x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数y ＝3x －1x －2的图象，如图．(2) 由y ＝log 133＋log 13(x ＋1)＝log 13(x ＋1)－1，将函数y ＝log 13x 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝log 13『3(x ＋1)』的图象，图略．题型3 函数图象的应用 例3『答案』方程x 2－4|x |＋5－m ＝0变形为x 2－4|x |＋5＝m ，设y 1＝x 2－4|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋5（x≥0），x2＋4x ＋5（x<0），y 2＝m ，在同一坐标系下分别作出函数y 1和y 2的图象，如图所示．由两个函数图象的交点可以知道，当两函数图象有四个不同交点，即方程有四个不同的实数根，满足条件的m 取值范围是1<m <5. 备选变式『答案』y ＝|x2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1，－x －1，－1≤x<1x ＋1，x<－1，在同一直角坐标系下画出两函数的图象，当x >1时，有两交点的实数k 的取值范围为1<k <4；当x <1时，有两交点的实数k 的取值范围为0<k <1，所以实数k 的取值范围是0<k <1或1<k <4.1. 『答案』①『解析』f (x )＝ln(x 2＋1)，x ∈R ，当x ＝0时，f (0)＝ln1＝0，即f (x )过点(0，0)．又f (－x )＝ln 『(－x )2＋1』＝ln(x 2＋1)＝f (x )，即f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选①. 2.『答案』log23『解析』由题意知A (log2a ，a )，B (log2a3，a )，所以A 、B 之间的距离AB ＝|xA －xB |＝log23.3.『答案』{}2，3，4『解析』由题意，函数y ＝f (x )上的任一点坐标为(x ，f (x ))，故f （x ）x 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若f （x1）x1＝f （x2）x2＝…＝f （xn ）xn ，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y ＝f (x )有n 个交点，数形结合可得n 的取值可为2，3， 4.『答案』『－2，0』『解析』作出函数y ＝|f (x )|的图象，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然k ＝－2.所以a 的取值范围是『－2，0』．。
高考数学（理科）一轮复习函数的图象学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案10 函数的图象导学目标：1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：平移变换：函数y＝f的图象可由y＝f的图象向____或向____平移____个单位得到；函数y＝f＋a的图象可由函数y＝f的图象向____或向____平移____个单位得到．伸缩变换：函数y＝f的图象可由y＝f的图象沿x轴伸长或缩短到原来的1a倍得到；函数y＝af的图象可由函数y ＝f的图象沿y轴伸长或缩短为原来的____倍得到．对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f与f的图象关于____轴对称；③f与－f的图象关于____轴对称；④f与－f的图象关于________对称；⑤f与f的图象关于直线________对称；⑥曲线f＝0与曲线f＝0关于点________对称；⑦|f|的图象先保留f原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；⑧f的图象先保留f在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．自我检测．为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度c．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．已知图1是函数y＝f的图象，则图2中的图象对应的函数可能是A．y＝fB．y＝|f|c．y＝fD．y＝－f3．函数f＝1x－x的图象关于A．y轴对称B．直线y＝－x对称c．坐标原点对称D．直线y＝x对称4．使log2<x＋1成立的x的取值范围是A．B．[－1,0)c．D．[－2,0)5．已知f＝ax－2，g＝loga|x|，若f•g<0，则y＝f，y＝g在同一坐标系内的大致图象是探究点一作图例1 作函数y＝|x－x2|的图象；作函数y＝x2－|x|的图象；作函数的图象．变式迁移1 作函数y＝1|x|－1的图象．探究点二识图例2 函数y＝f与函数y＝g的图象如图，则函数y＝f•g的图象可能是已知y＝f的图象如图所示，则y＝f的图象为变式迁移2 函数y＝2x－x2的图象大致是函数f的部分图象如图所示，则函数f的解析式是A．f＝x＋sinxB．f＝cosxxc．f＝xcosxD．f＝x••探究点三图象的应用例3 若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．变式迁移3 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．数形结合思想的应用例定义在R上的函数y＝f是减函数，且函数y＝f的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式f≤－f．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是A.－14，1B.－14，1c.－12，1D.－12，1【答题模板】答案 D解析因函数y＝f的图象关于成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f，即y＝f的图象关于对称，所以y＝f是奇函数．又y＝f是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝2－1，图象的对称轴为x＝1，当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，当t≥1时，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；当t<1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t<1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts<1.综上可知选D.【突破思维障碍】当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t<1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合ts的几何意义为点和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t<1及联想不起来线性规划．．掌握作函数图象的两种基本方法，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质解决问题．2．合理处理识图题与用图题识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．一、选择题．函数f＝4x＋12x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称c．关于x轴对称D．关于y轴对称2．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f ＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为A．－2B．2c．－1D．13．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x ＋a的图象，可能正确的是4．若函数y＝f的图象如图所示，则函数y＝－f的图象大致为5．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为A．1B．－1c.－1－52D.－1＋52题号2345答案二、填空题6．为了得到函数y＝3×x的图象，可以把函数y＝x的图象向________平移________个单位长度．7．函数f＝2x－1x＋1的图象对称中心是________．8．如下图所示，向高为H的水瓶A、B、c、D同时以等速注水，注满为止．若水量V与水深h函数图象是下图的，则水瓶的形状是________；若水深h与注水时间t的函数图象是下图的，则水瓶的形状是________．若注水时间t与水深h的函数图象是下图的，则水瓶的形状是________；若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的，则水瓶的形状是________．三、解答题9．已知函数f＝x|m－x|，且f＝0.求实数m的值；作出函数f的图象；根据图象指出f的单调递减区间；根据图象写出不等式f>0的解集；求当x∈[1,5)时函数的值域．0．当x∈时，不等式2<logax恒成立，求a的取值范围．1．已知函数f＝－x2＋2ex＋m－1，g＝x＋e2x．若g＝m有根，求m的取值范围；确定m的取值范围，使得g－f＝0有两个相异实根．答案自主梳理2．③奇偶性单调性周期性 3.左右|a| 上下|a| a>1 a>1 0<a<1 a ①原点y ②y ③x ④原点⑤x＝a ⑥⑦上方⑧右方自我检测．c [A项y＝lg＋1＝lg[10]，B项y＝lg＋1＝lg[10]，c项y＝lg－1＝lgx＋310，D项y＝lg－1＝lgx－310.]2．c3．c [∵f＝－1x＋x＝－1x－x＝－f，∴f是奇函数，即f的图象关于原点对称．]4．A [作出y＝log2，y＝x＋1的图象知满足条件的x ∈．]5．B [由f•g<0得a2•loga4<0，∴0<a<1.]课堂活动区例1 解y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x>1或x<0，即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x>1或x<0，其图象如图所示．y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x<0，其图象如图所示．作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象．变式迁移1 解定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1的图象所示)．又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝1|x|－1的图象所示)．例2 解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（1A[从f、g的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f•g是奇函数，排除B.又x<0时，g 为增函数且为正值,f也是增函数，故f•g为增函数，且正负取决于f的正负，注意到x→（从小于0趋向于0），f•g→+∞，可排除c、D.2A f=f （-）,故y=f的图象可以由y=f的图象按照如下变换得到：先将y=f的图象关于y轴翻折，得y=f的图象，然后将y=fy=f的图象.］变式迁移2 A [考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：当x<0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，且→－∞；当x>0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，且→＋∞.]c [由图象知f为奇函数，排除D；又0，±π2，±32π为方程f＝0的根，故选c.]例3 解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点时a＝－1；当直线y＝x ＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，由Δ＝9－4＝0，得a＝－34.由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a －14，x≥0，x＋122＋a－14，x<0.当其图象如图所示时满足题意．由图知a>1，a－14<1，解得1<a<54.课后练习区．D [f＝2x＋2－x，因为f＝f，所以f为偶函数．所以f图象关于y轴对称．]2.D [令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，如图，所以t＝1.]3．D [选项A、B、c中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]4．c [函数y＝f的图象与函数y＝－f关于x轴对称，函数y＝－f的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f的图象．]5．B [∵b>0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a>0，∴a<0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.] 6．右 1解析∵y＝3×x＝x－1，∴y＝x向右平移1个单位便得到y＝x－1.7．解析∵f＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x ＋1＝2－3x＋1，∴函数f图象的对称中心为．8．A D B c9．解∵f＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………f＝x|x－4|＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x －22＋4，x<4.………………………………………………f的图象如右图所示．由图可知，f的减区间是[2,4]．……………………………………………………由图象可知f>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．………………………………………………………………………∵f＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………0.解设f1＝2，f2＝logax，要使当x∈时，不等式2<logax恒成立，只需f1＝2在上的图象在f2＝logax的下方即可．当0<a<1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………当a>1时，如图，要使在上，f1＝2的图象在f2＝logax的下方，只需f1≤f2，即2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………∴1<a≤2.………………………………………………………………………………1．解方法一∵x>0，∴g＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………因而只需m≥2e，则g＝m就有根．…………………………………………………方法二作出g＝x＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………可知若使g＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………方法三解方程由g＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m2>0Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………等价于m>0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………若g－f＝0有两个相异的实根，即g＝f中函数g与f的图象有两个不同的交点，作出g＝x＋e2x的图象．∵f＝－x2＋2ex＋m－1＝－2＋m－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g与f有两个交点，即g－f＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是．……………………………………………。
2016届高考数学一轮复习教学案函数的图象[知识能否忆起]一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．二、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．(2)y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．[小题能否全取]1．一次函数f (x )的图象过点A (0,1)和B (1,2)，则下列各点在函数f (x )的图象上的是( ) A ．(2,2) B ．(－1,1) C ．(3,2)D ．(2,3)解析：选D 一次函数f (x )的图象过点A (0,1)，B (1,2)，则f (x )＝x ＋1，代入验证D 满足条件．2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A 函数y ＝x |x |为奇函数，图象关于原点对称．3．(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x 的图象可能是下列四个图象中的( )解析：选B 因a >0且a ≠1，再对a 分类讨论．4．(教材习题改编)为了得到函数y ＝2x －3的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点向______平移______个单位长度．答案：右 35．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解则a >0.答案：(0，＋∞)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．[注意] 对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．2．一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．典题导入[例1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[自主解答] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图象如图3.由题悟法画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．以题试法1．作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －x 2|； (2)y ＝x ＋2x －1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤1，－x －x 2，x >1或x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x >1或x <0，其图象如图1所示(实线部分)．(2)y ＝x －＋3x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.典题导入[例2] (2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[自主解答] 法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ，x当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，2－x x ，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x －x法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[答案] B由题悟法“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．以题试法2.(1)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 的值等于________． (2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )解析：(1)∵由图象知f (3)＝1， ∴1f＝1.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f ＝f (1)＝2. (2)∵对∀x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )是奇函数．f (0)＝0，y ＝f (x )的图象关于原点对称，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x ＋1)＝－ln(1－x )，由图象知符合上述条件的图象为D.答案：(1)2 (2)D典题导入[例3] (2011·新课标全国卷)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[自主解答] 根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；0<x <10时，|lg x |<1；x >10时|lg x |>1.结合图象知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象交点共有10个．[答案]A若本例中f (x )变为f (x )＝|x |，其他条件不变，试确定交点个数． 解：根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下：由图象知共10个交点．由题悟法1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．2．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．以题试法3．已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x .若f (x )*g (x )＝min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是________．(注意：min 表示最小值)解析：画出示意图(实线部分)，f (x )*g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2x ≤－，x －2<x，2－x 2x，其最大值为1. 答案：11．函数f (x )＝2x 3的图象( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称解析：选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称．2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.3．(2012·北京海淀二模)为了得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度解析：选A 本题考查图象的平移和伸缩．将y ＝log 2x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，得y ＝12log 2x 的图象，再将y ＝12log 2x 的图象向右平移1个单位长度即可．4．(2011·陕西高考)设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B 表达式“f (x )＝f (－x )”，说明函数是偶函数，表达式“f (x ＋2)＝f (x )”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B.5． (2012·济南模拟)函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )解析：选D 由题知该函数的图象是由函数y ＝－lg|x |的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D 中的图象．6．(2011·天津高考)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 B.(]－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析：选B由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－x ＋x 2≤1，x －x 2，x 2－2－x ＋x 2>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32作出图象，由图象可知y ＝f (x )与y ＝c 有两个交点时，c ≤－2或－1<c <－34， 即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34. 7.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义， 由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．答案：(2,8]8．函数f (x )＝x ＋1x 图象的对称中心为________．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x的图象向上平移1个单位，即得函数f (x )的图象．由y ＝1x的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0,1)． 答案：(0,1)9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1.当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x >010．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12. 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅. 综上可知，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x， 即f (x )＝x ＋1x. (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ，且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)．1.(2013·威海质检)函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )；②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )；③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )；④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：选C 由图象可知，函数f (x )为奇函数且关于直线x ＝1对称，所以f (1＋x )＝f (1－x )，所以f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]，即f (x ＋2)＝f (－x )．故①②正确．2．若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与函数f (x )的值域相同，则称变换T 是函数f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中变换T 不属于函数f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，变换T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，变换T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称 解析：选B 对于A ，与f (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，易知两者的值域都为[0，＋∞)；对于B ，函数f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，与函数f (x )的图象关于x 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝－2x －1＋1，其值域为(－∞，1)；对于C ，与f (x )＝2x ＋3的图象关于点(－1,1)对称的图象对应的函数解析式为2－g (x )＝2(－2－x )＋3，即g (x )＝2x ＋3，易知值域相同；对于D ，与f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象关于点(－1,0)对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2，其值域为[－1,1]，易知两函数的值域相同．3．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f (2＋(2－x 0))＝f (2－(2－x 0))＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(2)因为当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]，所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7.而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为( )解析：选C 如图平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除D ；当t ＝－12时，S >14S max ，排除A 、B.2．(2012·深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③f x 1＋f x 22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)解析：①错误，①即为f x 2－f x 1x 2－x 1>1，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0<x 1<x 2<1时，f x 1x 1>f x 2x 2，②正确；图象是上凸的，③正确． 答案：②③。
